Mathbox for Norm Megill < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  cdlemn9 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem cdlemn9 36313
 Description: Part of proof of Lemma N of [Crawley] p. 121 line 36. (Contributed by NM, 27-Feb-2014.)
Hypotheses
Ref Expression
cdlemn8.b 𝐵 = (Base‘𝐾)
cdlemn8.l = (le‘𝐾)
cdlemn8.a 𝐴 = (Atoms‘𝐾)
cdlemn8.h 𝐻 = (LHyp‘𝐾)
cdlemn8.p 𝑃 = ((oc‘𝐾)‘𝑊)
cdlemn8.o 𝑂 = (𝑇 ↦ ( I ↾ 𝐵))
cdlemn8.t 𝑇 = ((LTrn‘𝐾)‘𝑊)
cdlemn8.e 𝐸 = ((TEndo‘𝐾)‘𝑊)
cdlemn8.u 𝑈 = ((DVecH‘𝐾)‘𝑊)
cdlemn8.s + = (+g𝑈)
cdlemn8.f 𝐹 = (𝑇 (𝑃) = 𝑄)
cdlemn8.g 𝐺 = (𝑇 (𝑃) = 𝑅)
Assertion
Ref Expression
cdlemn9 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ ((𝑄𝐴 ∧ ¬ 𝑄 𝑊) ∧ (𝑅𝐴 ∧ ¬ 𝑅 𝑊)) ∧ (𝑠𝐸𝑔𝑇 ∧ ⟨𝐺, ( I ↾ 𝑇)⟩ = (⟨(𝑠𝐹), 𝑠+𝑔, 𝑂⟩))) → (𝑔𝑄) = 𝑅)
Distinct variable groups:   ,   𝐴,   𝐵,   ,𝐻   ,𝐾   𝑇,   𝑃,   𝑄,   ,𝑊   𝑅,
Allowed substitution hints:   𝐴(𝑔,𝑠)   𝐵(𝑔,𝑠)   𝑃(𝑔,𝑠)   + (𝑔,,𝑠)   𝑄(𝑔,𝑠)   𝑅(𝑔,𝑠)   𝑇(𝑔,𝑠)   𝑈(𝑔,,𝑠)   𝐸(𝑔,,𝑠)   𝐹(𝑔,,𝑠)   𝐺(𝑔,,𝑠)   𝐻(𝑔,𝑠)   𝐾(𝑔,𝑠)   (𝑔,𝑠)   𝑂(𝑔,,𝑠)   𝑊(𝑔,𝑠)

Proof of Theorem cdlemn9
StepHypRef Expression
1 cdlemn8.b . . . 4 𝐵 = (Base‘𝐾)
2 cdlemn8.l . . . 4 = (le‘𝐾)
3 cdlemn8.a . . . 4 𝐴 = (Atoms‘𝐾)
4 cdlemn8.h . . . 4 𝐻 = (LHyp‘𝐾)
5 cdlemn8.p . . . 4 𝑃 = ((oc‘𝐾)‘𝑊)
6 cdlemn8.o . . . 4 𝑂 = (𝑇 ↦ ( I ↾ 𝐵))
7 cdlemn8.t . . . 4 𝑇 = ((LTrn‘𝐾)‘𝑊)
8 cdlemn8.e . . . 4 𝐸 = ((TEndo‘𝐾)‘𝑊)
9 cdlemn8.u . . . 4 𝑈 = ((DVecH‘𝐾)‘𝑊)
10 cdlemn8.s . . . 4 + = (+g𝑈)
11 cdlemn8.f . . . 4 𝐹 = (𝑇 (𝑃) = 𝑄)
12 cdlemn8.g . . . 4 𝐺 = (𝑇 (𝑃) = 𝑅)
131, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12cdlemn8 36312 . . 3 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ ((𝑄𝐴 ∧ ¬ 𝑄 𝑊) ∧ (𝑅𝐴 ∧ ¬ 𝑅 𝑊)) ∧ (𝑠𝐸𝑔𝑇 ∧ ⟨𝐺, ( I ↾ 𝑇)⟩ = (⟨(𝑠𝐹), 𝑠+𝑔, 𝑂⟩))) → 𝑔 = (𝐺𝐹))
1413fveq1d 6180 . 2 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ ((𝑄𝐴 ∧ ¬ 𝑄 𝑊) ∧ (𝑅𝐴 ∧ ¬ 𝑅 𝑊)) ∧ (𝑠𝐸𝑔𝑇 ∧ ⟨𝐺, ( I ↾ 𝑇)⟩ = (⟨(𝑠𝐹), 𝑠+𝑔, 𝑂⟩))) → (𝑔𝑄) = ((𝐺𝐹)‘𝑄))
15 simp1 1059 . . . . 5 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ ((𝑄𝐴 ∧ ¬ 𝑄 𝑊) ∧ (𝑅𝐴 ∧ ¬ 𝑅 𝑊)) ∧ (𝑠𝐸𝑔𝑇 ∧ ⟨𝐺, ( I ↾ 𝑇)⟩ = (⟨(𝑠𝐹), 𝑠+𝑔, 𝑂⟩))) → (𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻))
162, 3, 4, 5lhpocnel2 35124 . . . . . . 7 ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) → (𝑃𝐴 ∧ ¬ 𝑃 𝑊))
17163ad2ant1 1080 . . . . . 6 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ ((𝑄𝐴 ∧ ¬ 𝑄 𝑊) ∧ (𝑅𝐴 ∧ ¬ 𝑅 𝑊)) ∧ (𝑠𝐸𝑔𝑇 ∧ ⟨𝐺, ( I ↾ 𝑇)⟩ = (⟨(𝑠𝐹), 𝑠+𝑔, 𝑂⟩))) → (𝑃𝐴 ∧ ¬ 𝑃 𝑊))
18 simp2l 1085 . . . . . 6 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ ((𝑄𝐴 ∧ ¬ 𝑄 𝑊) ∧ (𝑅𝐴 ∧ ¬ 𝑅 𝑊)) ∧ (𝑠𝐸𝑔𝑇 ∧ ⟨𝐺, ( I ↾ 𝑇)⟩ = (⟨(𝑠𝐹), 𝑠+𝑔, 𝑂⟩))) → (𝑄𝐴 ∧ ¬ 𝑄 𝑊))
192, 3, 4, 7, 11ltrniotacl 35686 . . . . . 6 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑃𝐴 ∧ ¬ 𝑃 𝑊) ∧ (𝑄𝐴 ∧ ¬ 𝑄 𝑊)) → 𝐹𝑇)
2015, 17, 18, 19syl3anc 1324 . . . . 5 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ ((𝑄𝐴 ∧ ¬ 𝑄 𝑊) ∧ (𝑅𝐴 ∧ ¬ 𝑅 𝑊)) ∧ (𝑠𝐸𝑔𝑇 ∧ ⟨𝐺, ( I ↾ 𝑇)⟩ = (⟨(𝑠𝐹), 𝑠+𝑔, 𝑂⟩))) → 𝐹𝑇)
211, 4, 7ltrn1o 35229 . . . . 5 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ 𝐹𝑇) → 𝐹:𝐵1-1-onto𝐵)
2215, 20, 21syl2anc 692 . . . 4 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ ((𝑄𝐴 ∧ ¬ 𝑄 𝑊) ∧ (𝑅𝐴 ∧ ¬ 𝑅 𝑊)) ∧ (𝑠𝐸𝑔𝑇 ∧ ⟨𝐺, ( I ↾ 𝑇)⟩ = (⟨(𝑠𝐹), 𝑠+𝑔, 𝑂⟩))) → 𝐹:𝐵1-1-onto𝐵)
23 f1ocnv 6136 . . . 4 (𝐹:𝐵1-1-onto𝐵𝐹:𝐵1-1-onto𝐵)
24 f1of 6124 . . . 4 (𝐹:𝐵1-1-onto𝐵𝐹:𝐵𝐵)
2522, 23, 243syl 18 . . 3 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ ((𝑄𝐴 ∧ ¬ 𝑄 𝑊) ∧ (𝑅𝐴 ∧ ¬ 𝑅 𝑊)) ∧ (𝑠𝐸𝑔𝑇 ∧ ⟨𝐺, ( I ↾ 𝑇)⟩ = (⟨(𝑠𝐹), 𝑠+𝑔, 𝑂⟩))) → 𝐹:𝐵𝐵)
26 simp2ll 1126 . . . 4 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ ((𝑄𝐴 ∧ ¬ 𝑄 𝑊) ∧ (𝑅𝐴 ∧ ¬ 𝑅 𝑊)) ∧ (𝑠𝐸𝑔𝑇 ∧ ⟨𝐺, ( I ↾ 𝑇)⟩ = (⟨(𝑠𝐹), 𝑠+𝑔, 𝑂⟩))) → 𝑄𝐴)
271, 3atbase 34395 . . . 4 (𝑄𝐴𝑄𝐵)
2826, 27syl 17 . . 3 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ ((𝑄𝐴 ∧ ¬ 𝑄 𝑊) ∧ (𝑅𝐴 ∧ ¬ 𝑅 𝑊)) ∧ (𝑠𝐸𝑔𝑇 ∧ ⟨𝐺, ( I ↾ 𝑇)⟩ = (⟨(𝑠𝐹), 𝑠+𝑔, 𝑂⟩))) → 𝑄𝐵)
29 fvco3 6262 . . 3 ((𝐹:𝐵𝐵𝑄𝐵) → ((𝐺𝐹)‘𝑄) = (𝐺‘(𝐹𝑄)))
3025, 28, 29syl2anc 692 . 2 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ ((𝑄𝐴 ∧ ¬ 𝑄 𝑊) ∧ (𝑅𝐴 ∧ ¬ 𝑅 𝑊)) ∧ (𝑠𝐸𝑔𝑇 ∧ ⟨𝐺, ( I ↾ 𝑇)⟩ = (⟨(𝑠𝐹), 𝑠+𝑔, 𝑂⟩))) → ((𝐺𝐹)‘𝑄) = (𝐺‘(𝐹𝑄)))
312, 3, 4, 7, 11ltrniotacnvval 35689 . . . . 5 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑃𝐴 ∧ ¬ 𝑃 𝑊) ∧ (𝑄𝐴 ∧ ¬ 𝑄 𝑊)) → (𝐹𝑄) = 𝑃)
3215, 17, 18, 31syl3anc 1324 . . . 4 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ ((𝑄𝐴 ∧ ¬ 𝑄 𝑊) ∧ (𝑅𝐴 ∧ ¬ 𝑅 𝑊)) ∧ (𝑠𝐸𝑔𝑇 ∧ ⟨𝐺, ( I ↾ 𝑇)⟩ = (⟨(𝑠𝐹), 𝑠+𝑔, 𝑂⟩))) → (𝐹𝑄) = 𝑃)
3332fveq2d 6182 . . 3 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ ((𝑄𝐴 ∧ ¬ 𝑄 𝑊) ∧ (𝑅𝐴 ∧ ¬ 𝑅 𝑊)) ∧ (𝑠𝐸𝑔𝑇 ∧ ⟨𝐺, ( I ↾ 𝑇)⟩ = (⟨(𝑠𝐹), 𝑠+𝑔, 𝑂⟩))) → (𝐺‘(𝐹𝑄)) = (𝐺𝑃))
34 simp2r 1086 . . . 4 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ ((𝑄𝐴 ∧ ¬ 𝑄 𝑊) ∧ (𝑅𝐴 ∧ ¬ 𝑅 𝑊)) ∧ (𝑠𝐸𝑔𝑇 ∧ ⟨𝐺, ( I ↾ 𝑇)⟩ = (⟨(𝑠𝐹), 𝑠+𝑔, 𝑂⟩))) → (𝑅𝐴 ∧ ¬ 𝑅 𝑊))
352, 3, 4, 7, 12ltrniotaval 35688 . . . 4 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑃𝐴 ∧ ¬ 𝑃 𝑊) ∧ (𝑅𝐴 ∧ ¬ 𝑅 𝑊)) → (𝐺𝑃) = 𝑅)
3615, 17, 34, 35syl3anc 1324 . . 3 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ ((𝑄𝐴 ∧ ¬ 𝑄 𝑊) ∧ (𝑅𝐴 ∧ ¬ 𝑅 𝑊)) ∧ (𝑠𝐸𝑔𝑇 ∧ ⟨𝐺, ( I ↾ 𝑇)⟩ = (⟨(𝑠𝐹), 𝑠+𝑔, 𝑂⟩))) → (𝐺𝑃) = 𝑅)
3733, 36eqtrd 2654 . 2 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ ((𝑄𝐴 ∧ ¬ 𝑄 𝑊) ∧ (𝑅𝐴 ∧ ¬ 𝑅 𝑊)) ∧ (𝑠𝐸𝑔𝑇 ∧ ⟨𝐺, ( I ↾ 𝑇)⟩ = (⟨(𝑠𝐹), 𝑠+𝑔, 𝑂⟩))) → (𝐺‘(𝐹𝑄)) = 𝑅)
3814, 30, 373eqtrd 2658 1 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ ((𝑄𝐴 ∧ ¬ 𝑄 𝑊) ∧ (𝑅𝐴 ∧ ¬ 𝑅 𝑊)) ∧ (𝑠𝐸𝑔𝑇 ∧ ⟨𝐺, ( I ↾ 𝑇)⟩ = (⟨(𝑠𝐹), 𝑠+𝑔, 𝑂⟩))) → (𝑔𝑄) = 𝑅)
 Colors of variables: wff setvar class Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ∧ wa 384   ∧ w3a 1036   = wceq 1481   ∈ wcel 1988  ⟨cop 4174   class class class wbr 4644   ↦ cmpt 4720   I cid 5013  ◡ccnv 5103   ↾ cres 5106   ∘ ccom 5108  ⟶wf 5872  –1-1-onto→wf1o 5875  ‘cfv 5876  ℩crio 6595  (class class class)co 6635  Basecbs 15838  +gcplusg 15922  lecple 15929  occoc 15930  Atomscatm 34369  HLchlt 34456  LHypclh 35089  LTrncltrn 35206  TEndoctendo 35859  DVecHcdvh 36186 This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1720  ax-4 1735  ax-5 1837  ax-6 1886  ax-7 1933  ax-8 1990  ax-9 1997  ax-10 2017  ax-11 2032  ax-12 2045  ax-13 2244  ax-ext 2600  ax-rep 4762  ax-sep 4772  ax-nul 4780  ax-pow 4834  ax-pr 4897  ax-un 6934  ax-cnex 9977  ax-resscn 9978  ax-1cn 9979  ax-icn 9980  ax-addcl 9981  ax-addrcl 9982  ax-mulcl 9983  ax-mulrcl 9984  ax-mulcom 9985  ax-addass 9986  ax-mulass 9987  ax-distr 9988  ax-i2m1 9989  ax-1ne0 9990  ax-1rid 9991  ax-rnegex 9992  ax-rrecex 9993  ax-cnre 9994  ax-pre-lttri 9995  ax-pre-lttrn 9996  ax-pre-ltadd 9997  ax-pre-mulgt0 9998  ax-riotaBAD 34058 This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 385  df-an 386  df-3or 1037  df-3an 1038  df-tru 1484  df-ex 1703  df-nf 1708  df-sb 1879  df-eu 2472  df-mo 2473  df-clab 2607  df-cleq 2613  df-clel 2616  df-nfc 2751  df-ne 2792  df-nel 2895  df-ral 2914  df-rex 2915  df-reu 2916  df-rmo 2917  df-rab 2918  df-v 3197  df-sbc 3430  df-csb 3527  df-dif 3570  df-un 3572  df-in 3574  df-ss 3581  df-pss 3583  df-nul 3908  df-if 4078  df-pw 4151  df-sn 4169  df-pr 4171  df-tp 4173  df-op 4175  df-uni 4428  df-int 4467  df-iun 4513  df-iin 4514  df-br 4645  df-opab 4704  df-mpt 4721  df-tr 4744  df-id 5014  df-eprel 5019  df-po 5025  df-so 5026  df-fr 5063  df-we 5065  df-xp 5110  df-rel 5111  df-cnv 5112  df-co 5113  df-dm 5114  df-rn 5115  df-res 5116  df-ima 5117  df-pred 5668  df-ord 5714  df-on 5715  df-lim 5716  df-suc 5717  df-iota 5839  df-fun 5878  df-fn 5879  df-f 5880  df-f1 5881  df-fo 5882  df-f1o 5883  df-fv 5884  df-riota 6596  df-ov 6638  df-oprab 6639  df-mpt2 6640  df-om 7051  df-1st 7153  df-2nd 7154  df-undef 7384  df-wrecs 7392  df-recs 7453  df-rdg 7491  df-1o 7545  df-oadd 7549  df-er 7727  df-map 7844  df-en 7941  df-dom 7942  df-sdom 7943  df-fin 7944  df-pnf 10061  df-mnf 10062  df-xr 10063  df-ltxr 10064  df-le 10065  df-sub 10253  df-neg 10254  df-nn 11006  df-2 11064  df-3 11065  df-4 11066  df-5 11067  df-6 11068  df-n0 11278  df-z 11363  df-uz 11673  df-fz 12312  df-struct 15840  df-ndx 15841  df-slot 15842  df-base 15844  df-plusg 15935  df-mulr 15936  df-sca 15938  df-vsca 15939  df-preset 16909  df-poset 16927  df-plt 16939  df-lub 16955  df-glb 16956  df-join 16957  df-meet 16958  df-p0 17020  df-p1 17021  df-lat 17027  df-clat 17089  df-oposet 34282  df-ol 34284  df-oml 34285  df-covers 34372  df-ats 34373  df-atl 34404  df-cvlat 34428  df-hlat 34457  df-llines 34603  df-lplanes 34604  df-lvols 34605  df-lines 34606  df-psubsp 34608  df-pmap 34609  df-padd 34901  df-lhyp 35093  df-laut 35094  df-ldil 35209  df-ltrn 35210  df-trl 35265  df-tendo 35862  df-edring 35864  df-dvech 36187 This theorem is referenced by:  cdlemn11pre  36318
 Copyright terms: Public domain W3C validator