MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  ceim1l Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem ceim1l 12629
Description: One less than the ceiling of a real number is strictly less than that number. (Contributed by Jeff Hankins, 10-Jun-2007.)
Assertion
Ref Expression
ceim1l (𝐴 ∈ ℝ → (-(⌊‘-𝐴) − 1) < 𝐴)

Proof of Theorem ceim1l
StepHypRef Expression
1 renegcl 10329 . . . . . 6 (𝐴 ∈ ℝ → -𝐴 ∈ ℝ)
2 reflcl 12580 . . . . . 6 (-𝐴 ∈ ℝ → (⌊‘-𝐴) ∈ ℝ)
31, 2syl 17 . . . . 5 (𝐴 ∈ ℝ → (⌊‘-𝐴) ∈ ℝ)
43recnd 10053 . . . 4 (𝐴 ∈ ℝ → (⌊‘-𝐴) ∈ ℂ)
5 ax-1cn 9979 . . . 4 1 ∈ ℂ
6 negdi 10323 . . . 4 (((⌊‘-𝐴) ∈ ℂ ∧ 1 ∈ ℂ) → -((⌊‘-𝐴) + 1) = (-(⌊‘-𝐴) + -1))
74, 5, 6sylancl 693 . . 3 (𝐴 ∈ ℝ → -((⌊‘-𝐴) + 1) = (-(⌊‘-𝐴) + -1))
84negcld 10364 . . . 4 (𝐴 ∈ ℝ → -(⌊‘-𝐴) ∈ ℂ)
9 negsub 10314 . . . 4 ((-(⌊‘-𝐴) ∈ ℂ ∧ 1 ∈ ℂ) → (-(⌊‘-𝐴) + -1) = (-(⌊‘-𝐴) − 1))
108, 5, 9sylancl 693 . . 3 (𝐴 ∈ ℝ → (-(⌊‘-𝐴) + -1) = (-(⌊‘-𝐴) − 1))
117, 10eqtr2d 2655 . 2 (𝐴 ∈ ℝ → (-(⌊‘-𝐴) − 1) = -((⌊‘-𝐴) + 1))
12 peano2re 10194 . . . 4 ((⌊‘-𝐴) ∈ ℝ → ((⌊‘-𝐴) + 1) ∈ ℝ)
133, 12syl 17 . . 3 (𝐴 ∈ ℝ → ((⌊‘-𝐴) + 1) ∈ ℝ)
14 flltp1 12584 . . . . . 6 (-𝐴 ∈ ℝ → -𝐴 < ((⌊‘-𝐴) + 1))
151, 14syl 17 . . . . 5 (𝐴 ∈ ℝ → -𝐴 < ((⌊‘-𝐴) + 1))
1615adantr 481 . . . 4 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ ((⌊‘-𝐴) + 1) ∈ ℝ) → -𝐴 < ((⌊‘-𝐴) + 1))
17 ltnegcon1 10514 . . . 4 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ ((⌊‘-𝐴) + 1) ∈ ℝ) → (-𝐴 < ((⌊‘-𝐴) + 1) ↔ -((⌊‘-𝐴) + 1) < 𝐴))
1816, 17mpbid 222 . . 3 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ ((⌊‘-𝐴) + 1) ∈ ℝ) → -((⌊‘-𝐴) + 1) < 𝐴)
1913, 18mpdan 701 . 2 (𝐴 ∈ ℝ → -((⌊‘-𝐴) + 1) < 𝐴)
2011, 19eqbrtrd 4666 1 (𝐴 ∈ ℝ → (-(⌊‘-𝐴) − 1) < 𝐴)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wa 384   = wceq 1481  wcel 1988   class class class wbr 4644  cfv 5876  (class class class)co 6635  cc 9919  cr 9920  1c1 9922   + caddc 9924   < clt 10059  cmin 10251  -cneg 10252  cfl 12574
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1720  ax-4 1735  ax-5 1837  ax-6 1886  ax-7 1933  ax-8 1990  ax-9 1997  ax-10 2017  ax-11 2032  ax-12 2045  ax-13 2244  ax-ext 2600  ax-sep 4772  ax-nul 4780  ax-pow 4834  ax-pr 4897  ax-un 6934  ax-cnex 9977  ax-resscn 9978  ax-1cn 9979  ax-icn 9980  ax-addcl 9981  ax-addrcl 9982  ax-mulcl 9983  ax-mulrcl 9984  ax-mulcom 9985  ax-addass 9986  ax-mulass 9987  ax-distr 9988  ax-i2m1 9989  ax-1ne0 9990  ax-1rid 9991  ax-rnegex 9992  ax-rrecex 9993  ax-cnre 9994  ax-pre-lttri 9995  ax-pre-lttrn 9996  ax-pre-ltadd 9997  ax-pre-mulgt0 9998  ax-pre-sup 9999
This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 385  df-an 386  df-3or 1037  df-3an 1038  df-tru 1484  df-ex 1703  df-nf 1708  df-sb 1879  df-eu 2472  df-mo 2473  df-clab 2607  df-cleq 2613  df-clel 2616  df-nfc 2751  df-ne 2792  df-nel 2895  df-ral 2914  df-rex 2915  df-reu 2916  df-rmo 2917  df-rab 2918  df-v 3197  df-sbc 3430  df-csb 3527  df-dif 3570  df-un 3572  df-in 3574  df-ss 3581  df-pss 3583  df-nul 3908  df-if 4078  df-pw 4151  df-sn 4169  df-pr 4171  df-tp 4173  df-op 4175  df-uni 4428  df-iun 4513  df-br 4645  df-opab 4704  df-mpt 4721  df-tr 4744  df-id 5014  df-eprel 5019  df-po 5025  df-so 5026  df-fr 5063  df-we 5065  df-xp 5110  df-rel 5111  df-cnv 5112  df-co 5113  df-dm 5114  df-rn 5115  df-res 5116  df-ima 5117  df-pred 5668  df-ord 5714  df-on 5715  df-lim 5716  df-suc 5717  df-iota 5839  df-fun 5878  df-fn 5879  df-f 5880  df-f1 5881  df-fo 5882  df-f1o 5883  df-fv 5884  df-riota 6596  df-ov 6638  df-oprab 6639  df-mpt2 6640  df-om 7051  df-wrecs 7392  df-recs 7453  df-rdg 7491  df-er 7727  df-en 7941  df-dom 7942  df-sdom 7943  df-sup 8333  df-inf 8334  df-pnf 10061  df-mnf 10062  df-xr 10063  df-ltxr 10064  df-le 10065  df-sub 10253  df-neg 10254  df-nn 11006  df-n0 11278  df-z 11363  df-uz 11673  df-fl 12576
This theorem is referenced by:  ceilm1lt  12630  ceile  12631  ltflcei  33368
  Copyright terms: Public domain W3C validator