Metamath Proof Explorer < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  cfilres Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem cfilres 23140
 Description: Cauchy filter on a metric subspace. (Contributed by Mario Carneiro, 15-Oct-2015.)
Assertion
Ref Expression
cfilres ((𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝐹 ∈ (Fil‘𝑋) ∧ 𝑌𝐹) → (𝐹 ∈ (CauFil‘𝐷) ↔ (𝐹t 𝑌) ∈ (CauFil‘(𝐷 ↾ (𝑌 × 𝑌)))))

Proof of Theorem cfilres
Dummy variables 𝑢 𝑠 𝑣 𝑥 𝑦 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 simp2 1082 . . . . . . . 8 ((𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝐹 ∈ (Fil‘𝑋) ∧ 𝑌𝐹) → 𝐹 ∈ (Fil‘𝑋))
2 filfbas 21699 . . . . . . . 8 (𝐹 ∈ (Fil‘𝑋) → 𝐹 ∈ (fBas‘𝑋))
31, 2syl 17 . . . . . . 7 ((𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝐹 ∈ (Fil‘𝑋) ∧ 𝑌𝐹) → 𝐹 ∈ (fBas‘𝑋))
4 simp3 1083 . . . . . . 7 ((𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝐹 ∈ (Fil‘𝑋) ∧ 𝑌𝐹) → 𝑌𝐹)
5 fbncp 21690 . . . . . . 7 ((𝐹 ∈ (fBas‘𝑋) ∧ 𝑌𝐹) → ¬ (𝑋𝑌) ∈ 𝐹)
63, 4, 5syl2anc 694 . . . . . 6 ((𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝐹 ∈ (Fil‘𝑋) ∧ 𝑌𝐹) → ¬ (𝑋𝑌) ∈ 𝐹)
7 filelss 21703 . . . . . . . 8 ((𝐹 ∈ (Fil‘𝑋) ∧ 𝑌𝐹) → 𝑌𝑋)
873adant1 1099 . . . . . . 7 ((𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝐹 ∈ (Fil‘𝑋) ∧ 𝑌𝐹) → 𝑌𝑋)
9 trfil3 21739 . . . . . . 7 ((𝐹 ∈ (Fil‘𝑋) ∧ 𝑌𝑋) → ((𝐹t 𝑌) ∈ (Fil‘𝑌) ↔ ¬ (𝑋𝑌) ∈ 𝐹))
101, 8, 9syl2anc 694 . . . . . 6 ((𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝐹 ∈ (Fil‘𝑋) ∧ 𝑌𝐹) → ((𝐹t 𝑌) ∈ (Fil‘𝑌) ↔ ¬ (𝑋𝑌) ∈ 𝐹))
116, 10mpbird 247 . . . . 5 ((𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝐹 ∈ (Fil‘𝑋) ∧ 𝑌𝐹) → (𝐹t 𝑌) ∈ (Fil‘𝑌))
1211adantr 480 . . . 4 (((𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝐹 ∈ (Fil‘𝑋) ∧ 𝑌𝐹) ∧ 𝐹 ∈ (CauFil‘𝐷)) → (𝐹t 𝑌) ∈ (Fil‘𝑌))
13 cfili 23112 . . . . . . 7 ((𝐹 ∈ (CauFil‘𝐷) ∧ 𝑥 ∈ ℝ+) → ∃𝑠𝐹𝑢𝑠𝑣𝑠 (𝑢𝐷𝑣) < 𝑥)
1413adantll 750 . . . . . 6 ((((𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝐹 ∈ (Fil‘𝑋) ∧ 𝑌𝐹) ∧ 𝐹 ∈ (CauFil‘𝐷)) ∧ 𝑥 ∈ ℝ+) → ∃𝑠𝐹𝑢𝑠𝑣𝑠 (𝑢𝐷𝑣) < 𝑥)
15 simpll2 1121 . . . . . . . . . 10 ((((𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝐹 ∈ (Fil‘𝑋) ∧ 𝑌𝐹) ∧ 𝐹 ∈ (CauFil‘𝐷)) ∧ 𝑥 ∈ ℝ+) → 𝐹 ∈ (Fil‘𝑋))
16 simpll3 1122 . . . . . . . . . 10 ((((𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝐹 ∈ (Fil‘𝑋) ∧ 𝑌𝐹) ∧ 𝐹 ∈ (CauFil‘𝐷)) ∧ 𝑥 ∈ ℝ+) → 𝑌𝐹)
1715, 16jca 553 . . . . . . . . 9 ((((𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝐹 ∈ (Fil‘𝑋) ∧ 𝑌𝐹) ∧ 𝐹 ∈ (CauFil‘𝐷)) ∧ 𝑥 ∈ ℝ+) → (𝐹 ∈ (Fil‘𝑋) ∧ 𝑌𝐹))
18 elrestr 16136 . . . . . . . . . 10 ((𝐹 ∈ (Fil‘𝑋) ∧ 𝑌𝐹𝑠𝐹) → (𝑠𝑌) ∈ (𝐹t 𝑌))
19183expa 1284 . . . . . . . . 9 (((𝐹 ∈ (Fil‘𝑋) ∧ 𝑌𝐹) ∧ 𝑠𝐹) → (𝑠𝑌) ∈ (𝐹t 𝑌))
2017, 19sylan 487 . . . . . . . 8 (((((𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝐹 ∈ (Fil‘𝑋) ∧ 𝑌𝐹) ∧ 𝐹 ∈ (CauFil‘𝐷)) ∧ 𝑥 ∈ ℝ+) ∧ 𝑠𝐹) → (𝑠𝑌) ∈ (𝐹t 𝑌))
21 inss1 3866 . . . . . . . . . 10 (𝑠𝑌) ⊆ 𝑠
22 ssralv 3699 . . . . . . . . . . . 12 ((𝑠𝑌) ⊆ 𝑠 → (∀𝑣𝑠 (𝑢𝐷𝑣) < 𝑥 → ∀𝑣 ∈ (𝑠𝑌)(𝑢𝐷𝑣) < 𝑥))
2322ralimdv 2992 . . . . . . . . . . 11 ((𝑠𝑌) ⊆ 𝑠 → (∀𝑢𝑠𝑣𝑠 (𝑢𝐷𝑣) < 𝑥 → ∀𝑢𝑠𝑣 ∈ (𝑠𝑌)(𝑢𝐷𝑣) < 𝑥))
24 ssralv 3699 . . . . . . . . . . 11 ((𝑠𝑌) ⊆ 𝑠 → (∀𝑢𝑠𝑣 ∈ (𝑠𝑌)(𝑢𝐷𝑣) < 𝑥 → ∀𝑢 ∈ (𝑠𝑌)∀𝑣 ∈ (𝑠𝑌)(𝑢𝐷𝑣) < 𝑥))
2523, 24syld 47 . . . . . . . . . 10 ((𝑠𝑌) ⊆ 𝑠 → (∀𝑢𝑠𝑣𝑠 (𝑢𝐷𝑣) < 𝑥 → ∀𝑢 ∈ (𝑠𝑌)∀𝑣 ∈ (𝑠𝑌)(𝑢𝐷𝑣) < 𝑥))
2621, 25ax-mp 5 . . . . . . . . 9 (∀𝑢𝑠𝑣𝑠 (𝑢𝐷𝑣) < 𝑥 → ∀𝑢 ∈ (𝑠𝑌)∀𝑣 ∈ (𝑠𝑌)(𝑢𝐷𝑣) < 𝑥)
27 inss2 3867 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑠𝑌) ⊆ 𝑌
2827sseli 3632 . . . . . . . . . . . 12 (𝑢 ∈ (𝑠𝑌) → 𝑢𝑌)
2927sseli 3632 . . . . . . . . . . . 12 (𝑣 ∈ (𝑠𝑌) → 𝑣𝑌)
30 ovres 6842 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝑢𝑌𝑣𝑌) → (𝑢(𝐷 ↾ (𝑌 × 𝑌))𝑣) = (𝑢𝐷𝑣))
3130breq1d 4695 . . . . . . . . . . . 12 ((𝑢𝑌𝑣𝑌) → ((𝑢(𝐷 ↾ (𝑌 × 𝑌))𝑣) < 𝑥 ↔ (𝑢𝐷𝑣) < 𝑥))
3228, 29, 31syl2an 493 . . . . . . . . . . 11 ((𝑢 ∈ (𝑠𝑌) ∧ 𝑣 ∈ (𝑠𝑌)) → ((𝑢(𝐷 ↾ (𝑌 × 𝑌))𝑣) < 𝑥 ↔ (𝑢𝐷𝑣) < 𝑥))
3332ralbidva 3014 . . . . . . . . . 10 (𝑢 ∈ (𝑠𝑌) → (∀𝑣 ∈ (𝑠𝑌)(𝑢(𝐷 ↾ (𝑌 × 𝑌))𝑣) < 𝑥 ↔ ∀𝑣 ∈ (𝑠𝑌)(𝑢𝐷𝑣) < 𝑥))
3433ralbiia 3008 . . . . . . . . 9 (∀𝑢 ∈ (𝑠𝑌)∀𝑣 ∈ (𝑠𝑌)(𝑢(𝐷 ↾ (𝑌 × 𝑌))𝑣) < 𝑥 ↔ ∀𝑢 ∈ (𝑠𝑌)∀𝑣 ∈ (𝑠𝑌)(𝑢𝐷𝑣) < 𝑥)
3526, 34sylibr 224 . . . . . . . 8 (∀𝑢𝑠𝑣𝑠 (𝑢𝐷𝑣) < 𝑥 → ∀𝑢 ∈ (𝑠𝑌)∀𝑣 ∈ (𝑠𝑌)(𝑢(𝐷 ↾ (𝑌 × 𝑌))𝑣) < 𝑥)
36 raleq 3168 . . . . . . . . . . 11 (𝑦 = (𝑠𝑌) → (∀𝑣𝑦 (𝑢(𝐷 ↾ (𝑌 × 𝑌))𝑣) < 𝑥 ↔ ∀𝑣 ∈ (𝑠𝑌)(𝑢(𝐷 ↾ (𝑌 × 𝑌))𝑣) < 𝑥))
3736raleqbi1dv 3176 . . . . . . . . . 10 (𝑦 = (𝑠𝑌) → (∀𝑢𝑦𝑣𝑦 (𝑢(𝐷 ↾ (𝑌 × 𝑌))𝑣) < 𝑥 ↔ ∀𝑢 ∈ (𝑠𝑌)∀𝑣 ∈ (𝑠𝑌)(𝑢(𝐷 ↾ (𝑌 × 𝑌))𝑣) < 𝑥))
3837rspcev 3340 . . . . . . . . 9 (((𝑠𝑌) ∈ (𝐹t 𝑌) ∧ ∀𝑢 ∈ (𝑠𝑌)∀𝑣 ∈ (𝑠𝑌)(𝑢(𝐷 ↾ (𝑌 × 𝑌))𝑣) < 𝑥) → ∃𝑦 ∈ (𝐹t 𝑌)∀𝑢𝑦𝑣𝑦 (𝑢(𝐷 ↾ (𝑌 × 𝑌))𝑣) < 𝑥)
3938ex 449 . . . . . . . 8 ((𝑠𝑌) ∈ (𝐹t 𝑌) → (∀𝑢 ∈ (𝑠𝑌)∀𝑣 ∈ (𝑠𝑌)(𝑢(𝐷 ↾ (𝑌 × 𝑌))𝑣) < 𝑥 → ∃𝑦 ∈ (𝐹t 𝑌)∀𝑢𝑦𝑣𝑦 (𝑢(𝐷 ↾ (𝑌 × 𝑌))𝑣) < 𝑥))
4020, 35, 39syl2im 40 . . . . . . 7 (((((𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝐹 ∈ (Fil‘𝑋) ∧ 𝑌𝐹) ∧ 𝐹 ∈ (CauFil‘𝐷)) ∧ 𝑥 ∈ ℝ+) ∧ 𝑠𝐹) → (∀𝑢𝑠𝑣𝑠 (𝑢𝐷𝑣) < 𝑥 → ∃𝑦 ∈ (𝐹t 𝑌)∀𝑢𝑦𝑣𝑦 (𝑢(𝐷 ↾ (𝑌 × 𝑌))𝑣) < 𝑥))
4140rexlimdva 3060 . . . . . 6 ((((𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝐹 ∈ (Fil‘𝑋) ∧ 𝑌𝐹) ∧ 𝐹 ∈ (CauFil‘𝐷)) ∧ 𝑥 ∈ ℝ+) → (∃𝑠𝐹𝑢𝑠𝑣𝑠 (𝑢𝐷𝑣) < 𝑥 → ∃𝑦 ∈ (𝐹t 𝑌)∀𝑢𝑦𝑣𝑦 (𝑢(𝐷 ↾ (𝑌 × 𝑌))𝑣) < 𝑥))
4214, 41mpd 15 . . . . 5 ((((𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝐹 ∈ (Fil‘𝑋) ∧ 𝑌𝐹) ∧ 𝐹 ∈ (CauFil‘𝐷)) ∧ 𝑥 ∈ ℝ+) → ∃𝑦 ∈ (𝐹t 𝑌)∀𝑢𝑦𝑣𝑦 (𝑢(𝐷 ↾ (𝑌 × 𝑌))𝑣) < 𝑥)
4342ralrimiva 2995 . . . 4 (((𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝐹 ∈ (Fil‘𝑋) ∧ 𝑌𝐹) ∧ 𝐹 ∈ (CauFil‘𝐷)) → ∀𝑥 ∈ ℝ+𝑦 ∈ (𝐹t 𝑌)∀𝑢𝑦𝑣𝑦 (𝑢(𝐷 ↾ (𝑌 × 𝑌))𝑣) < 𝑥)
44 simp1 1081 . . . . . . 7 ((𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝐹 ∈ (Fil‘𝑋) ∧ 𝑌𝐹) → 𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋))
45 xmetres2 22213 . . . . . . 7 ((𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝑌𝑋) → (𝐷 ↾ (𝑌 × 𝑌)) ∈ (∞Met‘𝑌))
4644, 8, 45syl2anc 694 . . . . . 6 ((𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝐹 ∈ (Fil‘𝑋) ∧ 𝑌𝐹) → (𝐷 ↾ (𝑌 × 𝑌)) ∈ (∞Met‘𝑌))
4746adantr 480 . . . . 5 (((𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝐹 ∈ (Fil‘𝑋) ∧ 𝑌𝐹) ∧ 𝐹 ∈ (CauFil‘𝐷)) → (𝐷 ↾ (𝑌 × 𝑌)) ∈ (∞Met‘𝑌))
48 iscfil2 23110 . . . . 5 ((𝐷 ↾ (𝑌 × 𝑌)) ∈ (∞Met‘𝑌) → ((𝐹t 𝑌) ∈ (CauFil‘(𝐷 ↾ (𝑌 × 𝑌))) ↔ ((𝐹t 𝑌) ∈ (Fil‘𝑌) ∧ ∀𝑥 ∈ ℝ+𝑦 ∈ (𝐹t 𝑌)∀𝑢𝑦𝑣𝑦 (𝑢(𝐷 ↾ (𝑌 × 𝑌))𝑣) < 𝑥)))
4947, 48syl 17 . . . 4 (((𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝐹 ∈ (Fil‘𝑋) ∧ 𝑌𝐹) ∧ 𝐹 ∈ (CauFil‘𝐷)) → ((𝐹t 𝑌) ∈ (CauFil‘(𝐷 ↾ (𝑌 × 𝑌))) ↔ ((𝐹t 𝑌) ∈ (Fil‘𝑌) ∧ ∀𝑥 ∈ ℝ+𝑦 ∈ (𝐹t 𝑌)∀𝑢𝑦𝑣𝑦 (𝑢(𝐷 ↾ (𝑌 × 𝑌))𝑣) < 𝑥)))
5012, 43, 49mpbir2and 977 . . 3 (((𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝐹 ∈ (Fil‘𝑋) ∧ 𝑌𝐹) ∧ 𝐹 ∈ (CauFil‘𝐷)) → (𝐹t 𝑌) ∈ (CauFil‘(𝐷 ↾ (𝑌 × 𝑌))))
5150ex 449 . 2 ((𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝐹 ∈ (Fil‘𝑋) ∧ 𝑌𝐹) → (𝐹 ∈ (CauFil‘𝐷) → (𝐹t 𝑌) ∈ (CauFil‘(𝐷 ↾ (𝑌 × 𝑌)))))
52 cfilresi 23139 . . . . 5 ((𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ (𝐹t 𝑌) ∈ (CauFil‘(𝐷 ↾ (𝑌 × 𝑌)))) → (𝑋filGen(𝐹t 𝑌)) ∈ (CauFil‘𝐷))
5352ex 449 . . . 4 (𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) → ((𝐹t 𝑌) ∈ (CauFil‘(𝐷 ↾ (𝑌 × 𝑌))) → (𝑋filGen(𝐹t 𝑌)) ∈ (CauFil‘𝐷)))
54533ad2ant1 1102 . . 3 ((𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝐹 ∈ (Fil‘𝑋) ∧ 𝑌𝐹) → ((𝐹t 𝑌) ∈ (CauFil‘(𝐷 ↾ (𝑌 × 𝑌))) → (𝑋filGen(𝐹t 𝑌)) ∈ (CauFil‘𝐷)))
55 fgtr 21741 . . . . 5 ((𝐹 ∈ (Fil‘𝑋) ∧ 𝑌𝐹) → (𝑋filGen(𝐹t 𝑌)) = 𝐹)
56553adant1 1099 . . . 4 ((𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝐹 ∈ (Fil‘𝑋) ∧ 𝑌𝐹) → (𝑋filGen(𝐹t 𝑌)) = 𝐹)
5756eleq1d 2715 . . 3 ((𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝐹 ∈ (Fil‘𝑋) ∧ 𝑌𝐹) → ((𝑋filGen(𝐹t 𝑌)) ∈ (CauFil‘𝐷) ↔ 𝐹 ∈ (CauFil‘𝐷)))
5854, 57sylibd 229 . 2 ((𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝐹 ∈ (Fil‘𝑋) ∧ 𝑌𝐹) → ((𝐹t 𝑌) ∈ (CauFil‘(𝐷 ↾ (𝑌 × 𝑌))) → 𝐹 ∈ (CauFil‘𝐷)))
5951, 58impbid 202 1 ((𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝐹 ∈ (Fil‘𝑋) ∧ 𝑌𝐹) → (𝐹 ∈ (CauFil‘𝐷) ↔ (𝐹t 𝑌) ∈ (CauFil‘(𝐷 ↾ (𝑌 × 𝑌)))))
 Colors of variables: wff setvar class Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ↔ wb 196   ∧ wa 383   ∧ w3a 1054   = wceq 1523   ∈ wcel 2030  ∀wral 2941  ∃wrex 2942   ∖ cdif 3604   ∩ cin 3606   ⊆ wss 3607   class class class wbr 4685   × cxp 5141   ↾ cres 5145  ‘cfv 5926  (class class class)co 6690   < clt 10112  ℝ+crp 11870   ↾t crest 16128  ∞Metcxmt 19779  fBascfbas 19782  filGencfg 19783  Filcfil 21696  CauFilccfil 23096 This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1762  ax-4 1777  ax-5 1879  ax-6 1945  ax-7 1981  ax-8 2032  ax-9 2039  ax-10 2059  ax-11 2074  ax-12 2087  ax-13 2282  ax-ext 2631  ax-rep 4804  ax-sep 4814  ax-nul 4822  ax-pow 4873  ax-pr 4936  ax-un 6991  ax-cnex 10030  ax-resscn 10031  ax-1cn 10032  ax-icn 10033  ax-addcl 10034  ax-addrcl 10035  ax-mulcl 10036  ax-mulrcl 10037  ax-mulcom 10038  ax-addass 10039  ax-mulass 10040  ax-distr 10041  ax-i2m1 10042  ax-1ne0 10043  ax-1rid 10044  ax-rnegex 10045  ax-rrecex 10046  ax-cnre 10047  ax-pre-lttri 10048  ax-pre-lttrn 10049  ax-pre-ltadd 10050  ax-pre-mulgt0 10051 This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 384  df-an 385  df-3or 1055  df-3an 1056  df-tru 1526  df-ex 1745  df-nf 1750  df-sb 1938  df-eu 2502  df-mo 2503  df-clab 2638  df-cleq 2644  df-clel 2647  df-nfc 2782  df-ne 2824  df-nel 2927  df-ral 2946  df-rex 2947  df-reu 2948  df-rmo 2949  df-rab 2950  df-v 3233  df-sbc 3469  df-csb 3567  df-dif 3610  df-un 3612  df-in 3614  df-ss 3621  df-nul 3949  df-if 4120  df-pw 4193  df-sn 4211  df-pr 4213  df-op 4217  df-uni 4469  df-iun 4554  df-br 4686  df-opab 4746  df-mpt 4763  df-id 5053  df-po 5064  df-so 5065  df-xp 5149  df-rel 5150  df-cnv 5151  df-co 5152  df-dm 5153  df-rn 5154  df-res 5155  df-ima 5156  df-iota 5889  df-fun 5928  df-fn 5929  df-f 5930  df-f1 5931  df-fo 5932  df-f1o 5933  df-fv 5934  df-riota 6651  df-ov 6693  df-oprab 6694  df-mpt2 6695  df-1st 7210  df-2nd 7211  df-er 7787  df-map 7901  df-en 7998  df-dom 7999  df-sdom 8000  df-pnf 10114  df-mnf 10115  df-xr 10116  df-ltxr 10117  df-le 10118  df-sub 10306  df-neg 10307  df-div 10723  df-2 11117  df-rp 11871  df-xneg 11984  df-xadd 11985  df-xmul 11986  df-ico 12219  df-rest 16130  df-xmet 19787  df-fbas 19791  df-fg 19792  df-fil 21697  df-cfil 23099 This theorem is referenced by:  cmetss  23159
 Copyright terms: Public domain W3C validator