MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  cfilres Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem cfilres 22997
Description: Cauchy filter on a metric subspace. (Contributed by Mario Carneiro, 15-Oct-2015.)
Assertion
Ref Expression
cfilres ((𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝐹 ∈ (Fil‘𝑋) ∧ 𝑌𝐹) → (𝐹 ∈ (CauFil‘𝐷) ↔ (𝐹t 𝑌) ∈ (CauFil‘(𝐷 ↾ (𝑌 × 𝑌)))))

Proof of Theorem cfilres
Dummy variables 𝑢 𝑠 𝑣 𝑥 𝑦 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 simp2 1060 . . . . . . . 8 ((𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝐹 ∈ (Fil‘𝑋) ∧ 𝑌𝐹) → 𝐹 ∈ (Fil‘𝑋))
2 filfbas 21557 . . . . . . . 8 (𝐹 ∈ (Fil‘𝑋) → 𝐹 ∈ (fBas‘𝑋))
31, 2syl 17 . . . . . . 7 ((𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝐹 ∈ (Fil‘𝑋) ∧ 𝑌𝐹) → 𝐹 ∈ (fBas‘𝑋))
4 simp3 1061 . . . . . . 7 ((𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝐹 ∈ (Fil‘𝑋) ∧ 𝑌𝐹) → 𝑌𝐹)
5 fbncp 21548 . . . . . . 7 ((𝐹 ∈ (fBas‘𝑋) ∧ 𝑌𝐹) → ¬ (𝑋𝑌) ∈ 𝐹)
63, 4, 5syl2anc 692 . . . . . 6 ((𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝐹 ∈ (Fil‘𝑋) ∧ 𝑌𝐹) → ¬ (𝑋𝑌) ∈ 𝐹)
7 filelss 21561 . . . . . . . 8 ((𝐹 ∈ (Fil‘𝑋) ∧ 𝑌𝐹) → 𝑌𝑋)
873adant1 1077 . . . . . . 7 ((𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝐹 ∈ (Fil‘𝑋) ∧ 𝑌𝐹) → 𝑌𝑋)
9 trfil3 21597 . . . . . . 7 ((𝐹 ∈ (Fil‘𝑋) ∧ 𝑌𝑋) → ((𝐹t 𝑌) ∈ (Fil‘𝑌) ↔ ¬ (𝑋𝑌) ∈ 𝐹))
101, 8, 9syl2anc 692 . . . . . 6 ((𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝐹 ∈ (Fil‘𝑋) ∧ 𝑌𝐹) → ((𝐹t 𝑌) ∈ (Fil‘𝑌) ↔ ¬ (𝑋𝑌) ∈ 𝐹))
116, 10mpbird 247 . . . . 5 ((𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝐹 ∈ (Fil‘𝑋) ∧ 𝑌𝐹) → (𝐹t 𝑌) ∈ (Fil‘𝑌))
1211adantr 481 . . . 4 (((𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝐹 ∈ (Fil‘𝑋) ∧ 𝑌𝐹) ∧ 𝐹 ∈ (CauFil‘𝐷)) → (𝐹t 𝑌) ∈ (Fil‘𝑌))
13 cfili 22969 . . . . . . 7 ((𝐹 ∈ (CauFil‘𝐷) ∧ 𝑥 ∈ ℝ+) → ∃𝑠𝐹𝑢𝑠𝑣𝑠 (𝑢𝐷𝑣) < 𝑥)
1413adantll 749 . . . . . 6 ((((𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝐹 ∈ (Fil‘𝑋) ∧ 𝑌𝐹) ∧ 𝐹 ∈ (CauFil‘𝐷)) ∧ 𝑥 ∈ ℝ+) → ∃𝑠𝐹𝑢𝑠𝑣𝑠 (𝑢𝐷𝑣) < 𝑥)
15 simpll2 1099 . . . . . . . . . 10 ((((𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝐹 ∈ (Fil‘𝑋) ∧ 𝑌𝐹) ∧ 𝐹 ∈ (CauFil‘𝐷)) ∧ 𝑥 ∈ ℝ+) → 𝐹 ∈ (Fil‘𝑋))
16 simpll3 1100 . . . . . . . . . 10 ((((𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝐹 ∈ (Fil‘𝑋) ∧ 𝑌𝐹) ∧ 𝐹 ∈ (CauFil‘𝐷)) ∧ 𝑥 ∈ ℝ+) → 𝑌𝐹)
1715, 16jca 554 . . . . . . . . 9 ((((𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝐹 ∈ (Fil‘𝑋) ∧ 𝑌𝐹) ∧ 𝐹 ∈ (CauFil‘𝐷)) ∧ 𝑥 ∈ ℝ+) → (𝐹 ∈ (Fil‘𝑋) ∧ 𝑌𝐹))
18 elrestr 16005 . . . . . . . . . 10 ((𝐹 ∈ (Fil‘𝑋) ∧ 𝑌𝐹𝑠𝐹) → (𝑠𝑌) ∈ (𝐹t 𝑌))
19183expa 1262 . . . . . . . . 9 (((𝐹 ∈ (Fil‘𝑋) ∧ 𝑌𝐹) ∧ 𝑠𝐹) → (𝑠𝑌) ∈ (𝐹t 𝑌))
2017, 19sylan 488 . . . . . . . 8 (((((𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝐹 ∈ (Fil‘𝑋) ∧ 𝑌𝐹) ∧ 𝐹 ∈ (CauFil‘𝐷)) ∧ 𝑥 ∈ ℝ+) ∧ 𝑠𝐹) → (𝑠𝑌) ∈ (𝐹t 𝑌))
21 inss1 3816 . . . . . . . . . 10 (𝑠𝑌) ⊆ 𝑠
22 ssralv 3650 . . . . . . . . . . . 12 ((𝑠𝑌) ⊆ 𝑠 → (∀𝑣𝑠 (𝑢𝐷𝑣) < 𝑥 → ∀𝑣 ∈ (𝑠𝑌)(𝑢𝐷𝑣) < 𝑥))
2322ralimdv 2962 . . . . . . . . . . 11 ((𝑠𝑌) ⊆ 𝑠 → (∀𝑢𝑠𝑣𝑠 (𝑢𝐷𝑣) < 𝑥 → ∀𝑢𝑠𝑣 ∈ (𝑠𝑌)(𝑢𝐷𝑣) < 𝑥))
24 ssralv 3650 . . . . . . . . . . 11 ((𝑠𝑌) ⊆ 𝑠 → (∀𝑢𝑠𝑣 ∈ (𝑠𝑌)(𝑢𝐷𝑣) < 𝑥 → ∀𝑢 ∈ (𝑠𝑌)∀𝑣 ∈ (𝑠𝑌)(𝑢𝐷𝑣) < 𝑥))
2523, 24syld 47 . . . . . . . . . 10 ((𝑠𝑌) ⊆ 𝑠 → (∀𝑢𝑠𝑣𝑠 (𝑢𝐷𝑣) < 𝑥 → ∀𝑢 ∈ (𝑠𝑌)∀𝑣 ∈ (𝑠𝑌)(𝑢𝐷𝑣) < 𝑥))
2621, 25ax-mp 5 . . . . . . . . 9 (∀𝑢𝑠𝑣𝑠 (𝑢𝐷𝑣) < 𝑥 → ∀𝑢 ∈ (𝑠𝑌)∀𝑣 ∈ (𝑠𝑌)(𝑢𝐷𝑣) < 𝑥)
27 inss2 3817 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑠𝑌) ⊆ 𝑌
2827sseli 3584 . . . . . . . . . . . 12 (𝑢 ∈ (𝑠𝑌) → 𝑢𝑌)
2927sseli 3584 . . . . . . . . . . . 12 (𝑣 ∈ (𝑠𝑌) → 𝑣𝑌)
30 ovres 6754 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝑢𝑌𝑣𝑌) → (𝑢(𝐷 ↾ (𝑌 × 𝑌))𝑣) = (𝑢𝐷𝑣))
3130breq1d 4628 . . . . . . . . . . . 12 ((𝑢𝑌𝑣𝑌) → ((𝑢(𝐷 ↾ (𝑌 × 𝑌))𝑣) < 𝑥 ↔ (𝑢𝐷𝑣) < 𝑥))
3228, 29, 31syl2an 494 . . . . . . . . . . 11 ((𝑢 ∈ (𝑠𝑌) ∧ 𝑣 ∈ (𝑠𝑌)) → ((𝑢(𝐷 ↾ (𝑌 × 𝑌))𝑣) < 𝑥 ↔ (𝑢𝐷𝑣) < 𝑥))
3332ralbidva 2984 . . . . . . . . . 10 (𝑢 ∈ (𝑠𝑌) → (∀𝑣 ∈ (𝑠𝑌)(𝑢(𝐷 ↾ (𝑌 × 𝑌))𝑣) < 𝑥 ↔ ∀𝑣 ∈ (𝑠𝑌)(𝑢𝐷𝑣) < 𝑥))
3433ralbiia 2978 . . . . . . . . 9 (∀𝑢 ∈ (𝑠𝑌)∀𝑣 ∈ (𝑠𝑌)(𝑢(𝐷 ↾ (𝑌 × 𝑌))𝑣) < 𝑥 ↔ ∀𝑢 ∈ (𝑠𝑌)∀𝑣 ∈ (𝑠𝑌)(𝑢𝐷𝑣) < 𝑥)
3526, 34sylibr 224 . . . . . . . 8 (∀𝑢𝑠𝑣𝑠 (𝑢𝐷𝑣) < 𝑥 → ∀𝑢 ∈ (𝑠𝑌)∀𝑣 ∈ (𝑠𝑌)(𝑢(𝐷 ↾ (𝑌 × 𝑌))𝑣) < 𝑥)
36 raleq 3132 . . . . . . . . . . 11 (𝑦 = (𝑠𝑌) → (∀𝑣𝑦 (𝑢(𝐷 ↾ (𝑌 × 𝑌))𝑣) < 𝑥 ↔ ∀𝑣 ∈ (𝑠𝑌)(𝑢(𝐷 ↾ (𝑌 × 𝑌))𝑣) < 𝑥))
3736raleqbi1dv 3140 . . . . . . . . . 10 (𝑦 = (𝑠𝑌) → (∀𝑢𝑦𝑣𝑦 (𝑢(𝐷 ↾ (𝑌 × 𝑌))𝑣) < 𝑥 ↔ ∀𝑢 ∈ (𝑠𝑌)∀𝑣 ∈ (𝑠𝑌)(𝑢(𝐷 ↾ (𝑌 × 𝑌))𝑣) < 𝑥))
3837rspcev 3300 . . . . . . . . 9 (((𝑠𝑌) ∈ (𝐹t 𝑌) ∧ ∀𝑢 ∈ (𝑠𝑌)∀𝑣 ∈ (𝑠𝑌)(𝑢(𝐷 ↾ (𝑌 × 𝑌))𝑣) < 𝑥) → ∃𝑦 ∈ (𝐹t 𝑌)∀𝑢𝑦𝑣𝑦 (𝑢(𝐷 ↾ (𝑌 × 𝑌))𝑣) < 𝑥)
3938ex 450 . . . . . . . 8 ((𝑠𝑌) ∈ (𝐹t 𝑌) → (∀𝑢 ∈ (𝑠𝑌)∀𝑣 ∈ (𝑠𝑌)(𝑢(𝐷 ↾ (𝑌 × 𝑌))𝑣) < 𝑥 → ∃𝑦 ∈ (𝐹t 𝑌)∀𝑢𝑦𝑣𝑦 (𝑢(𝐷 ↾ (𝑌 × 𝑌))𝑣) < 𝑥))
4020, 35, 39syl2im 40 . . . . . . 7 (((((𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝐹 ∈ (Fil‘𝑋) ∧ 𝑌𝐹) ∧ 𝐹 ∈ (CauFil‘𝐷)) ∧ 𝑥 ∈ ℝ+) ∧ 𝑠𝐹) → (∀𝑢𝑠𝑣𝑠 (𝑢𝐷𝑣) < 𝑥 → ∃𝑦 ∈ (𝐹t 𝑌)∀𝑢𝑦𝑣𝑦 (𝑢(𝐷 ↾ (𝑌 × 𝑌))𝑣) < 𝑥))
4140rexlimdva 3029 . . . . . 6 ((((𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝐹 ∈ (Fil‘𝑋) ∧ 𝑌𝐹) ∧ 𝐹 ∈ (CauFil‘𝐷)) ∧ 𝑥 ∈ ℝ+) → (∃𝑠𝐹𝑢𝑠𝑣𝑠 (𝑢𝐷𝑣) < 𝑥 → ∃𝑦 ∈ (𝐹t 𝑌)∀𝑢𝑦𝑣𝑦 (𝑢(𝐷 ↾ (𝑌 × 𝑌))𝑣) < 𝑥))
4214, 41mpd 15 . . . . 5 ((((𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝐹 ∈ (Fil‘𝑋) ∧ 𝑌𝐹) ∧ 𝐹 ∈ (CauFil‘𝐷)) ∧ 𝑥 ∈ ℝ+) → ∃𝑦 ∈ (𝐹t 𝑌)∀𝑢𝑦𝑣𝑦 (𝑢(𝐷 ↾ (𝑌 × 𝑌))𝑣) < 𝑥)
4342ralrimiva 2965 . . . 4 (((𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝐹 ∈ (Fil‘𝑋) ∧ 𝑌𝐹) ∧ 𝐹 ∈ (CauFil‘𝐷)) → ∀𝑥 ∈ ℝ+𝑦 ∈ (𝐹t 𝑌)∀𝑢𝑦𝑣𝑦 (𝑢(𝐷 ↾ (𝑌 × 𝑌))𝑣) < 𝑥)
44 simp1 1059 . . . . . . 7 ((𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝐹 ∈ (Fil‘𝑋) ∧ 𝑌𝐹) → 𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋))
45 xmetres2 22071 . . . . . . 7 ((𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝑌𝑋) → (𝐷 ↾ (𝑌 × 𝑌)) ∈ (∞Met‘𝑌))
4644, 8, 45syl2anc 692 . . . . . 6 ((𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝐹 ∈ (Fil‘𝑋) ∧ 𝑌𝐹) → (𝐷 ↾ (𝑌 × 𝑌)) ∈ (∞Met‘𝑌))
4746adantr 481 . . . . 5 (((𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝐹 ∈ (Fil‘𝑋) ∧ 𝑌𝐹) ∧ 𝐹 ∈ (CauFil‘𝐷)) → (𝐷 ↾ (𝑌 × 𝑌)) ∈ (∞Met‘𝑌))
48 iscfil2 22967 . . . . 5 ((𝐷 ↾ (𝑌 × 𝑌)) ∈ (∞Met‘𝑌) → ((𝐹t 𝑌) ∈ (CauFil‘(𝐷 ↾ (𝑌 × 𝑌))) ↔ ((𝐹t 𝑌) ∈ (Fil‘𝑌) ∧ ∀𝑥 ∈ ℝ+𝑦 ∈ (𝐹t 𝑌)∀𝑢𝑦𝑣𝑦 (𝑢(𝐷 ↾ (𝑌 × 𝑌))𝑣) < 𝑥)))
4947, 48syl 17 . . . 4 (((𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝐹 ∈ (Fil‘𝑋) ∧ 𝑌𝐹) ∧ 𝐹 ∈ (CauFil‘𝐷)) → ((𝐹t 𝑌) ∈ (CauFil‘(𝐷 ↾ (𝑌 × 𝑌))) ↔ ((𝐹t 𝑌) ∈ (Fil‘𝑌) ∧ ∀𝑥 ∈ ℝ+𝑦 ∈ (𝐹t 𝑌)∀𝑢𝑦𝑣𝑦 (𝑢(𝐷 ↾ (𝑌 × 𝑌))𝑣) < 𝑥)))
5012, 43, 49mpbir2and 956 . . 3 (((𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝐹 ∈ (Fil‘𝑋) ∧ 𝑌𝐹) ∧ 𝐹 ∈ (CauFil‘𝐷)) → (𝐹t 𝑌) ∈ (CauFil‘(𝐷 ↾ (𝑌 × 𝑌))))
5150ex 450 . 2 ((𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝐹 ∈ (Fil‘𝑋) ∧ 𝑌𝐹) → (𝐹 ∈ (CauFil‘𝐷) → (𝐹t 𝑌) ∈ (CauFil‘(𝐷 ↾ (𝑌 × 𝑌)))))
52 cfilresi 22996 . . . . 5 ((𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ (𝐹t 𝑌) ∈ (CauFil‘(𝐷 ↾ (𝑌 × 𝑌)))) → (𝑋filGen(𝐹t 𝑌)) ∈ (CauFil‘𝐷))
5352ex 450 . . . 4 (𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) → ((𝐹t 𝑌) ∈ (CauFil‘(𝐷 ↾ (𝑌 × 𝑌))) → (𝑋filGen(𝐹t 𝑌)) ∈ (CauFil‘𝐷)))
54533ad2ant1 1080 . . 3 ((𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝐹 ∈ (Fil‘𝑋) ∧ 𝑌𝐹) → ((𝐹t 𝑌) ∈ (CauFil‘(𝐷 ↾ (𝑌 × 𝑌))) → (𝑋filGen(𝐹t 𝑌)) ∈ (CauFil‘𝐷)))
55 fgtr 21599 . . . . 5 ((𝐹 ∈ (Fil‘𝑋) ∧ 𝑌𝐹) → (𝑋filGen(𝐹t 𝑌)) = 𝐹)
56553adant1 1077 . . . 4 ((𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝐹 ∈ (Fil‘𝑋) ∧ 𝑌𝐹) → (𝑋filGen(𝐹t 𝑌)) = 𝐹)
5756eleq1d 2688 . . 3 ((𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝐹 ∈ (Fil‘𝑋) ∧ 𝑌𝐹) → ((𝑋filGen(𝐹t 𝑌)) ∈ (CauFil‘𝐷) ↔ 𝐹 ∈ (CauFil‘𝐷)))
5854, 57sylibd 229 . 2 ((𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝐹 ∈ (Fil‘𝑋) ∧ 𝑌𝐹) → ((𝐹t 𝑌) ∈ (CauFil‘(𝐷 ↾ (𝑌 × 𝑌))) → 𝐹 ∈ (CauFil‘𝐷)))
5951, 58impbid 202 1 ((𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝐹 ∈ (Fil‘𝑋) ∧ 𝑌𝐹) → (𝐹 ∈ (CauFil‘𝐷) ↔ (𝐹t 𝑌) ∈ (CauFil‘(𝐷 ↾ (𝑌 × 𝑌)))))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  ¬ wn 3  wi 4  wb 196  wa 384  w3a 1036   = wceq 1480  wcel 1992  wral 2912  wrex 2913  cdif 3557  cin 3559  wss 3560   class class class wbr 4618   × cxp 5077  cres 5081  cfv 5850  (class class class)co 6605   < clt 10019  +crp 11776  t crest 15997  ∞Metcxmt 19645  fBascfbas 19648  filGencfg 19649  Filcfil 21554  CauFilccfil 22953
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1719  ax-4 1734  ax-5 1841  ax-6 1890  ax-7 1937  ax-8 1994  ax-9 2001  ax-10 2021  ax-11 2036  ax-12 2049  ax-13 2250  ax-ext 2606  ax-rep 4736  ax-sep 4746  ax-nul 4754  ax-pow 4808  ax-pr 4872  ax-un 6903  ax-cnex 9937  ax-resscn 9938  ax-1cn 9939  ax-icn 9940  ax-addcl 9941  ax-addrcl 9942  ax-mulcl 9943  ax-mulrcl 9944  ax-mulcom 9945  ax-addass 9946  ax-mulass 9947  ax-distr 9948  ax-i2m1 9949  ax-1ne0 9950  ax-1rid 9951  ax-rnegex 9952  ax-rrecex 9953  ax-cnre 9954  ax-pre-lttri 9955  ax-pre-lttrn 9956  ax-pre-ltadd 9957  ax-pre-mulgt0 9958
This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 385  df-an 386  df-3or 1037  df-3an 1038  df-tru 1483  df-ex 1702  df-nf 1707  df-sb 1883  df-eu 2478  df-mo 2479  df-clab 2613  df-cleq 2619  df-clel 2622  df-nfc 2756  df-ne 2797  df-nel 2900  df-ral 2917  df-rex 2918  df-reu 2919  df-rmo 2920  df-rab 2921  df-v 3193  df-sbc 3423  df-csb 3520  df-dif 3563  df-un 3565  df-in 3567  df-ss 3574  df-nul 3897  df-if 4064  df-pw 4137  df-sn 4154  df-pr 4156  df-op 4160  df-uni 4408  df-iun 4492  df-br 4619  df-opab 4679  df-mpt 4680  df-id 4994  df-po 5000  df-so 5001  df-xp 5085  df-rel 5086  df-cnv 5087  df-co 5088  df-dm 5089  df-rn 5090  df-res 5091  df-ima 5092  df-iota 5813  df-fun 5852  df-fn 5853  df-f 5854  df-f1 5855  df-fo 5856  df-f1o 5857  df-fv 5858  df-riota 6566  df-ov 6608  df-oprab 6609  df-mpt2 6610  df-1st 7116  df-2nd 7117  df-er 7688  df-map 7805  df-en 7901  df-dom 7902  df-sdom 7903  df-pnf 10021  df-mnf 10022  df-xr 10023  df-ltxr 10024  df-le 10025  df-sub 10213  df-neg 10214  df-div 10630  df-2 11024  df-rp 11777  df-xneg 11890  df-xadd 11891  df-xmul 11892  df-ico 12120  df-rest 15999  df-xmet 19653  df-fbas 19657  df-fg 19658  df-fil 21555  df-cfil 22956
This theorem is referenced by:  cmetss  23016
  Copyright terms: Public domain W3C validator