Theorem cfilres 23898

Description: Cauchy filter on a metric subspace. (Contributed by Mario Carneiro, 15-Oct-2015.)

Assertion

Ref	Expression
cfilres	⊢ ((𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝐹 ∈ (Fil‘𝑋) ∧ 𝑌 ∈ 𝐹) → (𝐹 ∈ (CauFil‘𝐷) ↔ (𝐹 ↾t 𝑌) ∈ (CauFil‘(𝐷 ↾ (𝑌 × 𝑌)))))

Proof of Theorem cfilres

Dummy variables 𝑢 𝑠 𝑣 𝑥 𝑦 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		simp2 1133	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝐹 ∈ (Fil‘𝑋) ∧ 𝑌 ∈ 𝐹) → 𝐹 ∈ (Fil‘𝑋))
2		filfbas 22455	. . . . . . . 8 ⊢ (𝐹 ∈ (Fil‘𝑋) → 𝐹 ∈ (fBas‘𝑋))
3	1, 2	syl 17	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝐹 ∈ (Fil‘𝑋) ∧ 𝑌 ∈ 𝐹) → 𝐹 ∈ (fBas‘𝑋))
4		simp3 1134	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝐹 ∈ (Fil‘𝑋) ∧ 𝑌 ∈ 𝐹) → 𝑌 ∈ 𝐹)
5		fbncp 22446	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐹 ∈ (fBas‘𝑋) ∧ 𝑌 ∈ 𝐹) → ¬ (𝑋 ∖ 𝑌) ∈ 𝐹)
6	3, 4, 5	syl2anc 586	. . . . . 6 ⊢ ((𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝐹 ∈ (Fil‘𝑋) ∧ 𝑌 ∈ 𝐹) → ¬ (𝑋 ∖ 𝑌) ∈ 𝐹)
7		filelss 22459	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐹 ∈ (Fil‘𝑋) ∧ 𝑌 ∈ 𝐹) → 𝑌 ⊆ 𝑋)
8	7	3adant1 1126	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝐹 ∈ (Fil‘𝑋) ∧ 𝑌 ∈ 𝐹) → 𝑌 ⊆ 𝑋)
9		trfil3 22495	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐹 ∈ (Fil‘𝑋) ∧ 𝑌 ⊆ 𝑋) → ((𝐹 ↾t 𝑌) ∈ (Fil‘𝑌) ↔ ¬ (𝑋 ∖ 𝑌) ∈ 𝐹))
10	1, 8, 9	syl2anc 586	. . . . . 6 ⊢ ((𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝐹 ∈ (Fil‘𝑋) ∧ 𝑌 ∈ 𝐹) → ((𝐹 ↾t 𝑌) ∈ (Fil‘𝑌) ↔ ¬ (𝑋 ∖ 𝑌) ∈ 𝐹))
11	6, 10	mpbird 259	. . . . 5 ⊢ ((𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝐹 ∈ (Fil‘𝑋) ∧ 𝑌 ∈ 𝐹) → (𝐹 ↾t 𝑌) ∈ (Fil‘𝑌))
12	11	adantr 483	. . . 4 ⊢ (((𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝐹 ∈ (Fil‘𝑋) ∧ 𝑌 ∈ 𝐹) ∧ 𝐹 ∈ (CauFil‘𝐷)) → (𝐹 ↾t 𝑌) ∈ (Fil‘𝑌))
13		cfili 23870	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐹 ∈ (CauFil‘𝐷) ∧ 𝑥 ∈ ℝ+) → ∃𝑠 ∈ 𝐹 ∀𝑢 ∈ 𝑠 ∀𝑣 ∈ 𝑠 (𝑢𝐷𝑣) < 𝑥)
14	13	adantll 712	. . . . . 6 ⊢ ((((𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝐹 ∈ (Fil‘𝑋) ∧ 𝑌 ∈ 𝐹) ∧ 𝐹 ∈ (CauFil‘𝐷)) ∧ 𝑥 ∈ ℝ+) → ∃𝑠 ∈ 𝐹 ∀𝑢 ∈ 𝑠 ∀𝑣 ∈ 𝑠 (𝑢𝐷𝑣) < 𝑥)
15		simpll2 1209	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((((𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝐹 ∈ (Fil‘𝑋) ∧ 𝑌 ∈ 𝐹) ∧ 𝐹 ∈ (CauFil‘𝐷)) ∧ 𝑥 ∈ ℝ+) → 𝐹 ∈ (Fil‘𝑋))
16		simpll3 1210	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((((𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝐹 ∈ (Fil‘𝑋) ∧ 𝑌 ∈ 𝐹) ∧ 𝐹 ∈ (CauFil‘𝐷)) ∧ 𝑥 ∈ ℝ+) → 𝑌 ∈ 𝐹)
17	15, 16	jca 514	. . . . . . . . 9 ⊢ ((((𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝐹 ∈ (Fil‘𝑋) ∧ 𝑌 ∈ 𝐹) ∧ 𝐹 ∈ (CauFil‘𝐷)) ∧ 𝑥 ∈ ℝ+) → (𝐹 ∈ (Fil‘𝑋) ∧ 𝑌 ∈ 𝐹))
18		elrestr 16701	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝐹 ∈ (Fil‘𝑋) ∧ 𝑌 ∈ 𝐹 ∧ 𝑠 ∈ 𝐹) → (𝑠 ∩ 𝑌) ∈ (𝐹 ↾t 𝑌))
19	18	3expa 1114	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝐹 ∈ (Fil‘𝑋) ∧ 𝑌 ∈ 𝐹) ∧ 𝑠 ∈ 𝐹) → (𝑠 ∩ 𝑌) ∈ (𝐹 ↾t 𝑌))
20	17, 19	sylan 582	. . . . . . . 8 ⊢ (((((𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝐹 ∈ (Fil‘𝑋) ∧ 𝑌 ∈ 𝐹) ∧ 𝐹 ∈ (CauFil‘𝐷)) ∧ 𝑥 ∈ ℝ+) ∧ 𝑠 ∈ 𝐹) → (𝑠 ∩ 𝑌) ∈ (𝐹 ↾t 𝑌))
21		inss1 4204	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑠 ∩ 𝑌) ⊆ 𝑠
22		ss2ralv 4034	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑠 ∩ 𝑌) ⊆ 𝑠 → (∀𝑢 ∈ 𝑠 ∀𝑣 ∈ 𝑠 (𝑢𝐷𝑣) < 𝑥 → ∀𝑢 ∈ (𝑠 ∩ 𝑌)∀𝑣 ∈ (𝑠 ∩ 𝑌)(𝑢𝐷𝑣) < 𝑥))
23	21, 22	ax-mp 5	. . . . . . . . 9 ⊢ (∀𝑢 ∈ 𝑠 ∀𝑣 ∈ 𝑠 (𝑢𝐷𝑣) < 𝑥 → ∀𝑢 ∈ (𝑠 ∩ 𝑌)∀𝑣 ∈ (𝑠 ∩ 𝑌)(𝑢𝐷𝑣) < 𝑥)
24		elinel2 4172	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑢 ∈ (𝑠 ∩ 𝑌) → 𝑢 ∈ 𝑌)
25		elinel2 4172	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑣 ∈ (𝑠 ∩ 𝑌) → 𝑣 ∈ 𝑌)
26		ovres 7313	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝑢 ∈ 𝑌 ∧ 𝑣 ∈ 𝑌) → (𝑢(𝐷 ↾ (𝑌 × 𝑌))𝑣) = (𝑢𝐷𝑣))
27	26	breq1d 5075	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝑢 ∈ 𝑌 ∧ 𝑣 ∈ 𝑌) → ((𝑢(𝐷 ↾ (𝑌 × 𝑌))𝑣) < 𝑥 ↔ (𝑢𝐷𝑣) < 𝑥))
28	24, 25, 27	syl2an 597	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝑢 ∈ (𝑠 ∩ 𝑌) ∧ 𝑣 ∈ (𝑠 ∩ 𝑌)) → ((𝑢(𝐷 ↾ (𝑌 × 𝑌))𝑣) < 𝑥 ↔ (𝑢𝐷𝑣) < 𝑥))
29	28	ralbidva 3196	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑢 ∈ (𝑠 ∩ 𝑌) → (∀𝑣 ∈ (𝑠 ∩ 𝑌)(𝑢(𝐷 ↾ (𝑌 × 𝑌))𝑣) < 𝑥 ↔ ∀𝑣 ∈ (𝑠 ∩ 𝑌)(𝑢𝐷𝑣) < 𝑥))
30	29	ralbiia 3164	. . . . . . . . 9 ⊢ (∀𝑢 ∈ (𝑠 ∩ 𝑌)∀𝑣 ∈ (𝑠 ∩ 𝑌)(𝑢(𝐷 ↾ (𝑌 × 𝑌))𝑣) < 𝑥 ↔ ∀𝑢 ∈ (𝑠 ∩ 𝑌)∀𝑣 ∈ (𝑠 ∩ 𝑌)(𝑢𝐷𝑣) < 𝑥)
31	23, 30	sylibr 236	. . . . . . . 8 ⊢ (∀𝑢 ∈ 𝑠 ∀𝑣 ∈ 𝑠 (𝑢𝐷𝑣) < 𝑥 → ∀𝑢 ∈ (𝑠 ∩ 𝑌)∀𝑣 ∈ (𝑠 ∩ 𝑌)(𝑢(𝐷 ↾ (𝑌 × 𝑌))𝑣) < 𝑥)
32		raleq 3405	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑦 = (𝑠 ∩ 𝑌) → (∀𝑣 ∈ 𝑦 (𝑢(𝐷 ↾ (𝑌 × 𝑌))𝑣) < 𝑥 ↔ ∀𝑣 ∈ (𝑠 ∩ 𝑌)(𝑢(𝐷 ↾ (𝑌 × 𝑌))𝑣) < 𝑥))
33	32	raleqbi1dv 3403	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑦 = (𝑠 ∩ 𝑌) → (∀𝑢 ∈ 𝑦 ∀𝑣 ∈ 𝑦 (𝑢(𝐷 ↾ (𝑌 × 𝑌))𝑣) < 𝑥 ↔ ∀𝑢 ∈ (𝑠 ∩ 𝑌)∀𝑣 ∈ (𝑠 ∩ 𝑌)(𝑢(𝐷 ↾ (𝑌 × 𝑌))𝑣) < 𝑥))
34	33	rspcev 3622	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝑠 ∩ 𝑌) ∈ (𝐹 ↾t 𝑌) ∧ ∀𝑢 ∈ (𝑠 ∩ 𝑌)∀𝑣 ∈ (𝑠 ∩ 𝑌)(𝑢(𝐷 ↾ (𝑌 × 𝑌))𝑣) < 𝑥) → ∃𝑦 ∈ (𝐹 ↾t 𝑌)∀𝑢 ∈ 𝑦 ∀𝑣 ∈ 𝑦 (𝑢(𝐷 ↾ (𝑌 × 𝑌))𝑣) < 𝑥)
35	34	ex 415	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑠 ∩ 𝑌) ∈ (𝐹 ↾t 𝑌) → (∀𝑢 ∈ (𝑠 ∩ 𝑌)∀𝑣 ∈ (𝑠 ∩ 𝑌)(𝑢(𝐷 ↾ (𝑌 × 𝑌))𝑣) < 𝑥 → ∃𝑦 ∈ (𝐹 ↾t 𝑌)∀𝑢 ∈ 𝑦 ∀𝑣 ∈ 𝑦 (𝑢(𝐷 ↾ (𝑌 × 𝑌))𝑣) < 𝑥))
36	20, 31, 35	syl2im 40	. . . . . . 7 ⊢ (((((𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝐹 ∈ (Fil‘𝑋) ∧ 𝑌 ∈ 𝐹) ∧ 𝐹 ∈ (CauFil‘𝐷)) ∧ 𝑥 ∈ ℝ+) ∧ 𝑠 ∈ 𝐹) → (∀𝑢 ∈ 𝑠 ∀𝑣 ∈ 𝑠 (𝑢𝐷𝑣) < 𝑥 → ∃𝑦 ∈ (𝐹 ↾t 𝑌)∀𝑢 ∈ 𝑦 ∀𝑣 ∈ 𝑦 (𝑢(𝐷 ↾ (𝑌 × 𝑌))𝑣) < 𝑥))
37	36	rexlimdva 3284	. . . . . 6 ⊢ ((((𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝐹 ∈ (Fil‘𝑋) ∧ 𝑌 ∈ 𝐹) ∧ 𝐹 ∈ (CauFil‘𝐷)) ∧ 𝑥 ∈ ℝ+) → (∃𝑠 ∈ 𝐹 ∀𝑢 ∈ 𝑠 ∀𝑣 ∈ 𝑠 (𝑢𝐷𝑣) < 𝑥 → ∃𝑦 ∈ (𝐹 ↾t 𝑌)∀𝑢 ∈ 𝑦 ∀𝑣 ∈ 𝑦 (𝑢(𝐷 ↾ (𝑌 × 𝑌))𝑣) < 𝑥))
38	14, 37	mpd 15	. . . . 5 ⊢ ((((𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝐹 ∈ (Fil‘𝑋) ∧ 𝑌 ∈ 𝐹) ∧ 𝐹 ∈ (CauFil‘𝐷)) ∧ 𝑥 ∈ ℝ+) → ∃𝑦 ∈ (𝐹 ↾t 𝑌)∀𝑢 ∈ 𝑦 ∀𝑣 ∈ 𝑦 (𝑢(𝐷 ↾ (𝑌 × 𝑌))𝑣) < 𝑥)
39	38	ralrimiva 3182	. . . 4 ⊢ (((𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝐹 ∈ (Fil‘𝑋) ∧ 𝑌 ∈ 𝐹) ∧ 𝐹 ∈ (CauFil‘𝐷)) → ∀𝑥 ∈ ℝ+ ∃𝑦 ∈ (𝐹 ↾t 𝑌)∀𝑢 ∈ 𝑦 ∀𝑣 ∈ 𝑦 (𝑢(𝐷 ↾ (𝑌 × 𝑌))𝑣) < 𝑥)
40		simp1 1132	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝐹 ∈ (Fil‘𝑋) ∧ 𝑌 ∈ 𝐹) → 𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋))
41		xmetres2 22970	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝑌 ⊆ 𝑋) → (𝐷 ↾ (𝑌 × 𝑌)) ∈ (∞Met‘𝑌))
42	40, 8, 41	syl2anc 586	. . . . . 6 ⊢ ((𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝐹 ∈ (Fil‘𝑋) ∧ 𝑌 ∈ 𝐹) → (𝐷 ↾ (𝑌 × 𝑌)) ∈ (∞Met‘𝑌))
43	42	adantr 483	. . . . 5 ⊢ (((𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝐹 ∈ (Fil‘𝑋) ∧ 𝑌 ∈ 𝐹) ∧ 𝐹 ∈ (CauFil‘𝐷)) → (𝐷 ↾ (𝑌 × 𝑌)) ∈ (∞Met‘𝑌))
44		iscfil2 23868	. . . . 5 ⊢ ((𝐷 ↾ (𝑌 × 𝑌)) ∈ (∞Met‘𝑌) → ((𝐹 ↾t 𝑌) ∈ (CauFil‘(𝐷 ↾ (𝑌 × 𝑌))) ↔ ((𝐹 ↾t 𝑌) ∈ (Fil‘𝑌) ∧ ∀𝑥 ∈ ℝ+ ∃𝑦 ∈ (𝐹 ↾t 𝑌)∀𝑢 ∈ 𝑦 ∀𝑣 ∈ 𝑦 (𝑢(𝐷 ↾ (𝑌 × 𝑌))𝑣) < 𝑥)))
45	43, 44	syl 17	. . . 4 ⊢ (((𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝐹 ∈ (Fil‘𝑋) ∧ 𝑌 ∈ 𝐹) ∧ 𝐹 ∈ (CauFil‘𝐷)) → ((𝐹 ↾t 𝑌) ∈ (CauFil‘(𝐷 ↾ (𝑌 × 𝑌))) ↔ ((𝐹 ↾t 𝑌) ∈ (Fil‘𝑌) ∧ ∀𝑥 ∈ ℝ+ ∃𝑦 ∈ (𝐹 ↾t 𝑌)∀𝑢 ∈ 𝑦 ∀𝑣 ∈ 𝑦 (𝑢(𝐷 ↾ (𝑌 × 𝑌))𝑣) < 𝑥)))
46	12, 39, 45	mpbir2and 711	. . 3 ⊢ (((𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝐹 ∈ (Fil‘𝑋) ∧ 𝑌 ∈ 𝐹) ∧ 𝐹 ∈ (CauFil‘𝐷)) → (𝐹 ↾t 𝑌) ∈ (CauFil‘(𝐷 ↾ (𝑌 × 𝑌))))
47	46	ex 415	. 2 ⊢ ((𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝐹 ∈ (Fil‘𝑋) ∧ 𝑌 ∈ 𝐹) → (𝐹 ∈ (CauFil‘𝐷) → (𝐹 ↾t 𝑌) ∈ (CauFil‘(𝐷 ↾ (𝑌 × 𝑌)))))
48		cfilresi 23897	. . . . 5 ⊢ ((𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ (𝐹 ↾t 𝑌) ∈ (CauFil‘(𝐷 ↾ (𝑌 × 𝑌)))) → (𝑋filGen(𝐹 ↾t 𝑌)) ∈ (CauFil‘𝐷))
49	48	ex 415	. . . 4 ⊢ (𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) → ((𝐹 ↾t 𝑌) ∈ (CauFil‘(𝐷 ↾ (𝑌 × 𝑌))) → (𝑋filGen(𝐹 ↾t 𝑌)) ∈ (CauFil‘𝐷)))
50	49	3ad2ant1 1129	. . 3 ⊢ ((𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝐹 ∈ (Fil‘𝑋) ∧ 𝑌 ∈ 𝐹) → ((𝐹 ↾t 𝑌) ∈ (CauFil‘(𝐷 ↾ (𝑌 × 𝑌))) → (𝑋filGen(𝐹 ↾t 𝑌)) ∈ (CauFil‘𝐷)))
51		fgtr 22497	. . . . 5 ⊢ ((𝐹 ∈ (Fil‘𝑋) ∧ 𝑌 ∈ 𝐹) → (𝑋filGen(𝐹 ↾t 𝑌)) = 𝐹)
52	51	3adant1 1126	. . . 4 ⊢ ((𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝐹 ∈ (Fil‘𝑋) ∧ 𝑌 ∈ 𝐹) → (𝑋filGen(𝐹 ↾t 𝑌)) = 𝐹)
53	52	eleq1d 2897	. . 3 ⊢ ((𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝐹 ∈ (Fil‘𝑋) ∧ 𝑌 ∈ 𝐹) → ((𝑋filGen(𝐹 ↾t 𝑌)) ∈ (CauFil‘𝐷) ↔ 𝐹 ∈ (CauFil‘𝐷)))
54	50, 53	sylibd 241	. 2 ⊢ ((𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝐹 ∈ (Fil‘𝑋) ∧ 𝑌 ∈ 𝐹) → ((𝐹 ↾t 𝑌) ∈ (CauFil‘(𝐷 ↾ (𝑌 × 𝑌))) → 𝐹 ∈ (CauFil‘𝐷)))
55	47, 54	impbid 214	1 ⊢ ((𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝐹 ∈ (Fil‘𝑋) ∧ 𝑌 ∈ 𝐹) → (𝐹 ∈ (CauFil‘𝐷) ↔ (𝐹 ↾t 𝑌) ∈ (CauFil‘(𝐷 ↾ (𝑌 × 𝑌)))))

Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ↔ wb 208   ∧ wa 398   ∧ w3a 1083   = wceq 1533   ∈ wcel 2110  ∀wral 3138  ∃wrex 3139   ∖ cdif 3932   ∩ cin 3934   ⊆ wss 3935   class class class wbr 5065   × cxp 5552   ↾ cres 5556  ‘cfv 6354  (class class class)co 7155   < clt 10674  ℝ⁺crp 12388   ↾_t crest 16693  ∞Metcxmet 20529  fBascfbas 20532  filGencfg 20533  Filcfil 22452  CauFilccfil 23854

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1792  ax-4 1806  ax-5 1907  ax-6 1966  ax-7 2011  ax-8 2112  ax-9 2120  ax-10 2141  ax-11 2157  ax-12 2173  ax-ext 2793  ax-rep 5189  ax-sep 5202  ax-nul 5209  ax-pow 5265  ax-pr 5329  ax-un 7460  ax-cnex 10592  ax-resscn 10593  ax-1cn 10594  ax-icn 10595  ax-addcl 10596  ax-addrcl 10597  ax-mulcl 10598  ax-mulrcl 10599  ax-mulcom 10600  ax-addass 10601  ax-mulass 10602  ax-distr 10603  ax-i2m1 10604  ax-1ne0 10605  ax-1rid 10606  ax-rnegex 10607  ax-rrecex 10608  ax-cnre 10609  ax-pre-lttri 10610  ax-pre-lttrn 10611  ax-pre-ltadd 10612  ax-pre-mulgt0 10613

This theorem depends on definitions:  df-bi 209  df-an 399  df-or 844  df-3or 1084  df-3an 1085  df-tru 1536  df-ex 1777  df-nf 1781  df-sb 2066  df-mo 2618  df-eu 2650  df-clab 2800  df-cleq 2814  df-clel 2893  df-nfc 2963  df-ne 3017  df-nel 3124  df-ral 3143  df-rex 3144  df-reu 3145  df-rmo 3146  df-rab 3147  df-v 3496  df-sbc 3772  df-csb 3883  df-dif 3938  df-un 3940  df-in 3942  df-ss 3951  df-nul 4291  df-if 4467  df-pw 4540  df-sn 4567  df-pr 4569  df-op 4573  df-uni 4838  df-iun 4920  df-br 5066  df-opab 5128  df-mpt 5146  df-id 5459  df-po 5473  df-so 5474  df-xp 5560  df-rel 5561  df-cnv 5562  df-co 5563  df-dm 5564  df-rn 5565  df-res 5566  df-ima 5567  df-iota 6313  df-fun 6356  df-fn 6357  df-f 6358  df-f1 6359  df-fo 6360  df-f1o 6361  df-fv 6362  df-riota 7113  df-ov 7158  df-oprab 7159  df-mpo 7160  df-1st 7688  df-2nd 7689  df-er 8288  df-map 8407  df-en 8509  df-dom 8510  df-sdom 8511  df-pnf 10676  df-mnf 10677  df-xr 10678  df-ltxr 10679  df-le 10680  df-sub 10871  df-neg 10872  df-div 11297  df-2 11699  df-rp 12389  df-xneg 12506  df-xadd 12507  df-xmul 12508  df-ico 12743  df-rest 16695  df-xmet 20537  df-fbas 20541  df-fg 20542  df-fil 22453  df-cfil 23857

This theorem is referenced by:  metsscmetcld  23917