MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  cfilucfil2 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem cfilucfil2 22124
Description: Given a metric 𝐷 and a uniform structure generated by that metric, Cauchy filter bases on that uniform structure are exactly the filter bases which contain balls of any pre-chosen size. See iscfil 22816. (Contributed by Thierry Arnoux, 1-Dec-2017.) (Revised by Thierry Arnoux, 11-Feb-2018.)
Assertion
Ref Expression
cfilucfil2 ((𝑋 ≠ ∅ ∧ 𝐷 ∈ (PsMet‘𝑋)) → (𝐶 ∈ (CauFilu‘(metUnif‘𝐷)) ↔ (𝐶 ∈ (fBas‘𝑋) ∧ ∀𝑥 ∈ ℝ+𝑦𝐶 (𝐷 “ (𝑦 × 𝑦)) ⊆ (0[,)𝑥))))
Distinct variable groups:   𝑥,𝑦,𝐶   𝑥,𝐷,𝑦   𝑥,𝑋,𝑦

Proof of Theorem cfilucfil2
Dummy variables 𝑏 𝑎 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 metuval 22112 . . . . 5 (𝐷 ∈ (PsMet‘𝑋) → (metUnif‘𝐷) = ((𝑋 × 𝑋)filGenran (𝑎 ∈ ℝ+ ↦ (𝐷 “ (0[,)𝑎)))))
21adantl 480 . . . 4 ((𝑋 ≠ ∅ ∧ 𝐷 ∈ (PsMet‘𝑋)) → (metUnif‘𝐷) = ((𝑋 × 𝑋)filGenran (𝑎 ∈ ℝ+ ↦ (𝐷 “ (0[,)𝑎)))))
32fveq2d 6092 . . 3 ((𝑋 ≠ ∅ ∧ 𝐷 ∈ (PsMet‘𝑋)) → (CauFilu‘(metUnif‘𝐷)) = (CauFilu‘((𝑋 × 𝑋)filGenran (𝑎 ∈ ℝ+ ↦ (𝐷 “ (0[,)𝑎))))))
43eleq2d 2672 . 2 ((𝑋 ≠ ∅ ∧ 𝐷 ∈ (PsMet‘𝑋)) → (𝐶 ∈ (CauFilu‘(metUnif‘𝐷)) ↔ 𝐶 ∈ (CauFilu‘((𝑋 × 𝑋)filGenran (𝑎 ∈ ℝ+ ↦ (𝐷 “ (0[,)𝑎)))))))
5 oveq2 6535 . . . . . 6 (𝑎 = 𝑏 → (0[,)𝑎) = (0[,)𝑏))
65imaeq2d 5372 . . . . 5 (𝑎 = 𝑏 → (𝐷 “ (0[,)𝑎)) = (𝐷 “ (0[,)𝑏)))
76cbvmptv 4672 . . . 4 (𝑎 ∈ ℝ+ ↦ (𝐷 “ (0[,)𝑎))) = (𝑏 ∈ ℝ+ ↦ (𝐷 “ (0[,)𝑏)))
87rneqi 5260 . . 3 ran (𝑎 ∈ ℝ+ ↦ (𝐷 “ (0[,)𝑎))) = ran (𝑏 ∈ ℝ+ ↦ (𝐷 “ (0[,)𝑏)))
98cfilucfil 22122 . 2 ((𝑋 ≠ ∅ ∧ 𝐷 ∈ (PsMet‘𝑋)) → (𝐶 ∈ (CauFilu‘((𝑋 × 𝑋)filGenran (𝑎 ∈ ℝ+ ↦ (𝐷 “ (0[,)𝑎))))) ↔ (𝐶 ∈ (fBas‘𝑋) ∧ ∀𝑥 ∈ ℝ+𝑦𝐶 (𝐷 “ (𝑦 × 𝑦)) ⊆ (0[,)𝑥))))
104, 9bitrd 266 1 ((𝑋 ≠ ∅ ∧ 𝐷 ∈ (PsMet‘𝑋)) → (𝐶 ∈ (CauFilu‘(metUnif‘𝐷)) ↔ (𝐶 ∈ (fBas‘𝑋) ∧ ∀𝑥 ∈ ℝ+𝑦𝐶 (𝐷 “ (𝑦 × 𝑦)) ⊆ (0[,)𝑥))))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wb 194  wa 382   = wceq 1474  wcel 1976  wne 2779  wral 2895  wrex 2896  wss 3539  c0 3873  cmpt 4637   × cxp 5026  ccnv 5027  ran crn 5029  cima 5031  cfv 5790  (class class class)co 6527  0cc0 9793  +crp 11667  [,)cico 12007  PsMetcpsmet 19500  fBascfbas 19504  filGencfg 19505  metUnifcmetu 19507  CauFiluccfilu 21848
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1712  ax-4 1727  ax-5 1826  ax-6 1874  ax-7 1921  ax-8 1978  ax-9 1985  ax-10 2005  ax-11 2020  ax-12 2033  ax-13 2233  ax-ext 2589  ax-sep 4703  ax-nul 4712  ax-pow 4764  ax-pr 4828  ax-un 6825  ax-cnex 9849  ax-resscn 9850  ax-1cn 9851  ax-icn 9852  ax-addcl 9853  ax-addrcl 9854  ax-mulcl 9855  ax-mulrcl 9856  ax-mulcom 9857  ax-addass 9858  ax-mulass 9859  ax-distr 9860  ax-i2m1 9861  ax-1ne0 9862  ax-1rid 9863  ax-rnegex 9864  ax-rrecex 9865  ax-cnre 9866  ax-pre-lttri 9867  ax-pre-lttrn 9868  ax-pre-ltadd 9869  ax-pre-mulgt0 9870
This theorem depends on definitions:  df-bi 195  df-or 383  df-an 384  df-3or 1031  df-3an 1032  df-tru 1477  df-ex 1695  df-nf 1700  df-sb 1867  df-eu 2461  df-mo 2462  df-clab 2596  df-cleq 2602  df-clel 2605  df-nfc 2739  df-ne 2781  df-nel 2782  df-ral 2900  df-rex 2901  df-reu 2902  df-rmo 2903  df-rab 2904  df-v 3174  df-sbc 3402  df-csb 3499  df-dif 3542  df-un 3544  df-in 3546  df-ss 3553  df-nul 3874  df-if 4036  df-pw 4109  df-sn 4125  df-pr 4127  df-op 4131  df-uni 4367  df-iun 4451  df-br 4578  df-opab 4638  df-mpt 4639  df-id 4943  df-po 4949  df-so 4950  df-xp 5034  df-rel 5035  df-cnv 5036  df-co 5037  df-dm 5038  df-rn 5039  df-res 5040  df-ima 5041  df-iota 5754  df-fun 5792  df-fn 5793  df-f 5794  df-f1 5795  df-fo 5796  df-f1o 5797  df-fv 5798  df-riota 6489  df-ov 6530  df-oprab 6531  df-mpt2 6532  df-1st 7037  df-2nd 7038  df-er 7607  df-map 7724  df-en 7820  df-dom 7821  df-sdom 7822  df-pnf 9933  df-mnf 9934  df-xr 9935  df-ltxr 9936  df-le 9937  df-sub 10120  df-neg 10121  df-div 10537  df-2 10929  df-rp 11668  df-xneg 11781  df-xadd 11782  df-xmul 11783  df-ico 12011  df-psmet 19508  df-fbas 19513  df-fg 19514  df-metu 19515  df-fil 21408  df-ust 21762  df-cfilu 21849
This theorem is referenced by:  cfilucfil3  22870  cmetcusp  22903
  Copyright terms: Public domain W3C validator