Metamath Proof Explorer < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  cfslbn Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem cfslbn 9041
 Description: Any subset of 𝐴 smaller than its cofinality has union less than 𝐴. (This is the contrapositive to cfslb 9040.) (Contributed by Mario Carneiro, 24-Jun-2013.)
Hypothesis
Ref Expression
cfslb.1 𝐴 ∈ V
Assertion
Ref Expression
cfslbn ((Lim 𝐴𝐵𝐴𝐵 ≺ (cf‘𝐴)) → 𝐵𝐴)

Proof of Theorem cfslbn
StepHypRef Expression
1 uniss 4429 . . . . . . . 8 (𝐵𝐴 𝐵 𝐴)
2 limuni 5749 . . . . . . . . 9 (Lim 𝐴𝐴 = 𝐴)
32sseq2d 3617 . . . . . . . 8 (Lim 𝐴 → ( 𝐵𝐴 𝐵 𝐴))
41, 3syl5ibr 236 . . . . . . 7 (Lim 𝐴 → (𝐵𝐴 𝐵𝐴))
54imp 445 . . . . . 6 ((Lim 𝐴𝐵𝐴) → 𝐵𝐴)
6 limord 5748 . . . . . . . . . . . 12 (Lim 𝐴 → Ord 𝐴)
7 ordsson 6943 . . . . . . . . . . . 12 (Ord 𝐴𝐴 ⊆ On)
86, 7syl 17 . . . . . . . . . . 11 (Lim 𝐴𝐴 ⊆ On)
9 sstr2 3594 . . . . . . . . . . 11 (𝐵𝐴 → (𝐴 ⊆ On → 𝐵 ⊆ On))
108, 9syl5com 31 . . . . . . . . . 10 (Lim 𝐴 → (𝐵𝐴𝐵 ⊆ On))
11 ssorduni 6939 . . . . . . . . . 10 (𝐵 ⊆ On → Ord 𝐵)
1210, 11syl6 35 . . . . . . . . 9 (Lim 𝐴 → (𝐵𝐴 → Ord 𝐵))
1312, 6jctird 566 . . . . . . . 8 (Lim 𝐴 → (𝐵𝐴 → (Ord 𝐵 ∧ Ord 𝐴)))
14 ordsseleq 5716 . . . . . . . 8 ((Ord 𝐵 ∧ Ord 𝐴) → ( 𝐵𝐴 ↔ ( 𝐵𝐴 𝐵 = 𝐴)))
1513, 14syl6 35 . . . . . . 7 (Lim 𝐴 → (𝐵𝐴 → ( 𝐵𝐴 ↔ ( 𝐵𝐴 𝐵 = 𝐴))))
1615imp 445 . . . . . 6 ((Lim 𝐴𝐵𝐴) → ( 𝐵𝐴 ↔ ( 𝐵𝐴 𝐵 = 𝐴)))
175, 16mpbid 222 . . . . 5 ((Lim 𝐴𝐵𝐴) → ( 𝐵𝐴 𝐵 = 𝐴))
1817ord 392 . . . 4 ((Lim 𝐴𝐵𝐴) → (¬ 𝐵𝐴 𝐵 = 𝐴))
19 cfslb.1 . . . . . . 7 𝐴 ∈ V
2019cfslb 9040 . . . . . 6 ((Lim 𝐴𝐵𝐴 𝐵 = 𝐴) → (cf‘𝐴) ≼ 𝐵)
21 domnsym 8038 . . . . . 6 ((cf‘𝐴) ≼ 𝐵 → ¬ 𝐵 ≺ (cf‘𝐴))
2220, 21syl 17 . . . . 5 ((Lim 𝐴𝐵𝐴 𝐵 = 𝐴) → ¬ 𝐵 ≺ (cf‘𝐴))
23223expia 1264 . . . 4 ((Lim 𝐴𝐵𝐴) → ( 𝐵 = 𝐴 → ¬ 𝐵 ≺ (cf‘𝐴)))
2418, 23syld 47 . . 3 ((Lim 𝐴𝐵𝐴) → (¬ 𝐵𝐴 → ¬ 𝐵 ≺ (cf‘𝐴)))
2524con4d 114 . 2 ((Lim 𝐴𝐵𝐴) → (𝐵 ≺ (cf‘𝐴) → 𝐵𝐴))
26253impia 1258 1 ((Lim 𝐴𝐵𝐴𝐵 ≺ (cf‘𝐴)) → 𝐵𝐴)
 Colors of variables: wff setvar class Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ↔ wb 196   ∨ wo 383   ∧ wa 384   ∧ w3a 1036   = wceq 1480   ∈ wcel 1987  Vcvv 3189   ⊆ wss 3559  ∪ cuni 4407   class class class wbr 4618  Ord word 5686  Oncon0 5687  Lim wlim 5688  ‘cfv 5852   ≼ cdom 7905   ≺ csdm 7906  cfccf 8715 This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1719  ax-4 1734  ax-5 1836  ax-6 1885  ax-7 1932  ax-8 1989  ax-9 1996  ax-10 2016  ax-11 2031  ax-12 2044  ax-13 2245  ax-ext 2601  ax-rep 4736  ax-sep 4746  ax-nul 4754  ax-pow 4808  ax-pr 4872  ax-un 6909 This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 385  df-an 386  df-3or 1037  df-3an 1038  df-tru 1483  df-ex 1702  df-nf 1707  df-sb 1878  df-eu 2473  df-mo 2474  df-clab 2608  df-cleq 2614  df-clel 2617  df-nfc 2750  df-ne 2791  df-ral 2912  df-rex 2913  df-reu 2914  df-rmo 2915  df-rab 2916  df-v 3191  df-sbc 3422  df-csb 3519  df-dif 3562  df-un 3564  df-in 3566  df-ss 3573  df-pss 3575  df-nul 3897  df-if 4064  df-pw 4137  df-sn 4154  df-pr 4156  df-tp 4158  df-op 4160  df-uni 4408  df-int 4446  df-iun 4492  df-iin 4493  df-br 4619  df-opab 4679  df-mpt 4680  df-tr 4718  df-eprel 4990  df-id 4994  df-po 5000  df-so 5001  df-fr 5038  df-se 5039  df-we 5040  df-xp 5085  df-rel 5086  df-cnv 5087  df-co 5088  df-dm 5089  df-rn 5090  df-res 5091  df-ima 5092  df-pred 5644  df-ord 5690  df-on 5691  df-lim 5692  df-suc 5693  df-iota 5815  df-fun 5854  df-fn 5855  df-f 5856  df-f1 5857  df-fo 5858  df-f1o 5859  df-fv 5860  df-isom 5861  df-riota 6571  df-wrecs 7359  df-recs 7420  df-er 7694  df-en 7908  df-dom 7909  df-sdom 7910  df-card 8717  df-cf 8719 This theorem is referenced by:  cfslb2n  9042
 Copyright terms: Public domain W3C validator