MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  cgracol Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem cgracol 26541
Description: Angle congruence preserves colinearity. (Contributed by Thierry Arnoux, 9-Aug-2020.)
Hypotheses
Ref Expression
cgracol.p 𝑃 = (Base‘𝐺)
cgracol.i 𝐼 = (Itv‘𝐺)
cgracol.m = (dist‘𝐺)
cgracol.g (𝜑𝐺 ∈ TarskiG)
cgracol.a (𝜑𝐴𝑃)
cgracol.b (𝜑𝐵𝑃)
cgracol.c (𝜑𝐶𝑃)
cgracol.d (𝜑𝐷𝑃)
cgracol.e (𝜑𝐸𝑃)
cgracol.f (𝜑𝐹𝑃)
cgracol.1 (𝜑 → ⟨“𝐴𝐵𝐶”⟩(cgrA‘𝐺)⟨“𝐷𝐸𝐹”⟩)
cgracol.l 𝐿 = (LineG‘𝐺)
cgracol.2 (𝜑 → (𝐶 ∈ (𝐴𝐿𝐵) ∨ 𝐴 = 𝐵))
Assertion
Ref Expression
cgracol (𝜑 → (𝐹 ∈ (𝐷𝐿𝐸) ∨ 𝐷 = 𝐸))

Proof of Theorem cgracol
StepHypRef Expression
1 cgracol.p . . . . . . . . . 10 𝑃 = (Base‘𝐺)
2 cgracol.i . . . . . . . . . 10 𝐼 = (Itv‘𝐺)
3 cgracol.m . . . . . . . . . 10 = (dist‘𝐺)
4 cgracol.g . . . . . . . . . . 11 (𝜑𝐺 ∈ TarskiG)
54adantr 481 . . . . . . . . . 10 ((𝜑 ∧ (𝐶 ∈ (𝐴𝐼𝐵) ∨ 𝐴 ∈ (𝐶𝐼𝐵))) → 𝐺 ∈ TarskiG)
6 cgracol.a . . . . . . . . . . 11 (𝜑𝐴𝑃)
76adantr 481 . . . . . . . . . 10 ((𝜑 ∧ (𝐶 ∈ (𝐴𝐼𝐵) ∨ 𝐴 ∈ (𝐶𝐼𝐵))) → 𝐴𝑃)
8 cgracol.b . . . . . . . . . . 11 (𝜑𝐵𝑃)
98adantr 481 . . . . . . . . . 10 ((𝜑 ∧ (𝐶 ∈ (𝐴𝐼𝐵) ∨ 𝐴 ∈ (𝐶𝐼𝐵))) → 𝐵𝑃)
10 cgracol.c . . . . . . . . . . 11 (𝜑𝐶𝑃)
1110adantr 481 . . . . . . . . . 10 ((𝜑 ∧ (𝐶 ∈ (𝐴𝐼𝐵) ∨ 𝐴 ∈ (𝐶𝐼𝐵))) → 𝐶𝑃)
12 cgracol.d . . . . . . . . . . 11 (𝜑𝐷𝑃)
1312adantr 481 . . . . . . . . . 10 ((𝜑 ∧ (𝐶 ∈ (𝐴𝐼𝐵) ∨ 𝐴 ∈ (𝐶𝐼𝐵))) → 𝐷𝑃)
14 cgracol.e . . . . . . . . . . 11 (𝜑𝐸𝑃)
1514adantr 481 . . . . . . . . . 10 ((𝜑 ∧ (𝐶 ∈ (𝐴𝐼𝐵) ∨ 𝐴 ∈ (𝐶𝐼𝐵))) → 𝐸𝑃)
16 cgracol.f . . . . . . . . . . 11 (𝜑𝐹𝑃)
1716adantr 481 . . . . . . . . . 10 ((𝜑 ∧ (𝐶 ∈ (𝐴𝐼𝐵) ∨ 𝐴 ∈ (𝐶𝐼𝐵))) → 𝐹𝑃)
18 cgracol.1 . . . . . . . . . . 11 (𝜑 → ⟨“𝐴𝐵𝐶”⟩(cgrA‘𝐺)⟨“𝐷𝐸𝐹”⟩)
1918adantr 481 . . . . . . . . . 10 ((𝜑 ∧ (𝐶 ∈ (𝐴𝐼𝐵) ∨ 𝐴 ∈ (𝐶𝐼𝐵))) → ⟨“𝐴𝐵𝐶”⟩(cgrA‘𝐺)⟨“𝐷𝐸𝐹”⟩)
20 eqid 2818 . . . . . . . . . 10 (hlG‘𝐺) = (hlG‘𝐺)
211, 2, 20, 4, 6, 8, 10, 12, 14, 16, 18cgrane2 26526 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝜑𝐵𝐶)
2221necomd 3068 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝜑𝐶𝐵)
2322adantr 481 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝜑𝐶 ∈ (𝐴𝐼𝐵)) → 𝐶𝐵)
241, 2, 20, 4, 6, 8, 10, 12, 14, 16, 18cgrane1 26525 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝜑𝐴𝐵)
2524adantr 481 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝜑𝐶 ∈ (𝐴𝐼𝐵)) → 𝐴𝐵)
264adantr 481 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝜑𝐶 ∈ (𝐴𝐼𝐵)) → 𝐺 ∈ TarskiG)
276adantr 481 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝜑𝐶 ∈ (𝐴𝐼𝐵)) → 𝐴𝑃)
2810adantr 481 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝜑𝐶 ∈ (𝐴𝐼𝐵)) → 𝐶𝑃)
298adantr 481 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝜑𝐶 ∈ (𝐴𝐼𝐵)) → 𝐵𝑃)
30 simpr 485 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝜑𝐶 ∈ (𝐴𝐼𝐵)) → 𝐶 ∈ (𝐴𝐼𝐵))
311, 3, 2, 26, 27, 28, 29, 30tgbtwncom 26201 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝜑𝐶 ∈ (𝐴𝐼𝐵)) → 𝐶 ∈ (𝐵𝐼𝐴))
3231orcd 869 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝜑𝐶 ∈ (𝐴𝐼𝐵)) → (𝐶 ∈ (𝐵𝐼𝐴) ∨ 𝐴 ∈ (𝐵𝐼𝐶)))
3323, 25, 323jca 1120 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝜑𝐶 ∈ (𝐴𝐼𝐵)) → (𝐶𝐵𝐴𝐵 ∧ (𝐶 ∈ (𝐵𝐼𝐴) ∨ 𝐴 ∈ (𝐵𝐼𝐶))))
3422adantr 481 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝜑𝐴 ∈ (𝐶𝐼𝐵)) → 𝐶𝐵)
3524adantr 481 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝜑𝐴 ∈ (𝐶𝐼𝐵)) → 𝐴𝐵)
364adantr 481 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝜑𝐴 ∈ (𝐶𝐼𝐵)) → 𝐺 ∈ TarskiG)
3710adantr 481 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝜑𝐴 ∈ (𝐶𝐼𝐵)) → 𝐶𝑃)
386adantr 481 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝜑𝐴 ∈ (𝐶𝐼𝐵)) → 𝐴𝑃)
398adantr 481 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝜑𝐴 ∈ (𝐶𝐼𝐵)) → 𝐵𝑃)
40 simpr 485 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝜑𝐴 ∈ (𝐶𝐼𝐵)) → 𝐴 ∈ (𝐶𝐼𝐵))
411, 3, 2, 36, 37, 38, 39, 40tgbtwncom 26201 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝜑𝐴 ∈ (𝐶𝐼𝐵)) → 𝐴 ∈ (𝐵𝐼𝐶))
4241olcd 870 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝜑𝐴 ∈ (𝐶𝐼𝐵)) → (𝐶 ∈ (𝐵𝐼𝐴) ∨ 𝐴 ∈ (𝐵𝐼𝐶)))
4334, 35, 423jca 1120 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝜑𝐴 ∈ (𝐶𝐼𝐵)) → (𝐶𝐵𝐴𝐵 ∧ (𝐶 ∈ (𝐵𝐼𝐴) ∨ 𝐴 ∈ (𝐵𝐼𝐶))))
4433, 43jaodan 951 . . . . . . . . . . . 12 ((𝜑 ∧ (𝐶 ∈ (𝐴𝐼𝐵) ∨ 𝐴 ∈ (𝐶𝐼𝐵))) → (𝐶𝐵𝐴𝐵 ∧ (𝐶 ∈ (𝐵𝐼𝐴) ∨ 𝐴 ∈ (𝐵𝐼𝐶))))
451, 2, 20, 10, 6, 8, 4ishlg 26315 . . . . . . . . . . . . 13 (𝜑 → (𝐶((hlG‘𝐺)‘𝐵)𝐴 ↔ (𝐶𝐵𝐴𝐵 ∧ (𝐶 ∈ (𝐵𝐼𝐴) ∨ 𝐴 ∈ (𝐵𝐼𝐶)))))
4645adantr 481 . . . . . . . . . . . 12 ((𝜑 ∧ (𝐶 ∈ (𝐴𝐼𝐵) ∨ 𝐴 ∈ (𝐶𝐼𝐵))) → (𝐶((hlG‘𝐺)‘𝐵)𝐴 ↔ (𝐶𝐵𝐴𝐵 ∧ (𝐶 ∈ (𝐵𝐼𝐴) ∨ 𝐴 ∈ (𝐵𝐼𝐶)))))
4744, 46mpbird 258 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑 ∧ (𝐶 ∈ (𝐴𝐼𝐵) ∨ 𝐴 ∈ (𝐶𝐼𝐵))) → 𝐶((hlG‘𝐺)‘𝐵)𝐴)
481, 2, 20, 11, 7, 9, 5, 47hlcomd 26317 . . . . . . . . . 10 ((𝜑 ∧ (𝐶 ∈ (𝐴𝐼𝐵) ∨ 𝐴 ∈ (𝐶𝐼𝐵))) → 𝐴((hlG‘𝐺)‘𝐵)𝐶)
491, 2, 3, 5, 7, 9, 11, 13, 15, 17, 19, 20, 48cgrahl 26540 . . . . . . . . 9 ((𝜑 ∧ (𝐶 ∈ (𝐴𝐼𝐵) ∨ 𝐴 ∈ (𝐶𝐼𝐵))) → 𝐷((hlG‘𝐺)‘𝐸)𝐹)
501, 2, 20, 13, 17, 15, 5ishlg 26315 . . . . . . . . 9 ((𝜑 ∧ (𝐶 ∈ (𝐴𝐼𝐵) ∨ 𝐴 ∈ (𝐶𝐼𝐵))) → (𝐷((hlG‘𝐺)‘𝐸)𝐹 ↔ (𝐷𝐸𝐹𝐸 ∧ (𝐷 ∈ (𝐸𝐼𝐹) ∨ 𝐹 ∈ (𝐸𝐼𝐷)))))
5149, 50mpbid 233 . . . . . . . 8 ((𝜑 ∧ (𝐶 ∈ (𝐴𝐼𝐵) ∨ 𝐴 ∈ (𝐶𝐼𝐵))) → (𝐷𝐸𝐹𝐸 ∧ (𝐷 ∈ (𝐸𝐼𝐹) ∨ 𝐹 ∈ (𝐸𝐼𝐷))))
5251simp3d 1136 . . . . . . 7 ((𝜑 ∧ (𝐶 ∈ (𝐴𝐼𝐵) ∨ 𝐴 ∈ (𝐶𝐼𝐵))) → (𝐷 ∈ (𝐸𝐼𝐹) ∨ 𝐹 ∈ (𝐸𝐼𝐷)))
534adantr 481 . . . . . . . . . 10 ((𝜑𝐷 ∈ (𝐸𝐼𝐹)) → 𝐺 ∈ TarskiG)
5414adantr 481 . . . . . . . . . 10 ((𝜑𝐷 ∈ (𝐸𝐼𝐹)) → 𝐸𝑃)
5512adantr 481 . . . . . . . . . 10 ((𝜑𝐷 ∈ (𝐸𝐼𝐹)) → 𝐷𝑃)
5616adantr 481 . . . . . . . . . 10 ((𝜑𝐷 ∈ (𝐸𝐼𝐹)) → 𝐹𝑃)
57 simpr 485 . . . . . . . . . 10 ((𝜑𝐷 ∈ (𝐸𝐼𝐹)) → 𝐷 ∈ (𝐸𝐼𝐹))
581, 3, 2, 53, 54, 55, 56, 57tgbtwncom 26201 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝐷 ∈ (𝐸𝐼𝐹)) → 𝐷 ∈ (𝐹𝐼𝐸))
5958olcd 870 . . . . . . . 8 ((𝜑𝐷 ∈ (𝐸𝐼𝐹)) → (𝐹 ∈ (𝐷𝐼𝐸) ∨ 𝐷 ∈ (𝐹𝐼𝐸)))
604adantr 481 . . . . . . . . . 10 ((𝜑𝐹 ∈ (𝐸𝐼𝐷)) → 𝐺 ∈ TarskiG)
6114adantr 481 . . . . . . . . . 10 ((𝜑𝐹 ∈ (𝐸𝐼𝐷)) → 𝐸𝑃)
6216adantr 481 . . . . . . . . . 10 ((𝜑𝐹 ∈ (𝐸𝐼𝐷)) → 𝐹𝑃)
6312adantr 481 . . . . . . . . . 10 ((𝜑𝐹 ∈ (𝐸𝐼𝐷)) → 𝐷𝑃)
64 simpr 485 . . . . . . . . . 10 ((𝜑𝐹 ∈ (𝐸𝐼𝐷)) → 𝐹 ∈ (𝐸𝐼𝐷))
651, 3, 2, 60, 61, 62, 63, 64tgbtwncom 26201 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝐹 ∈ (𝐸𝐼𝐷)) → 𝐹 ∈ (𝐷𝐼𝐸))
6665orcd 869 . . . . . . . 8 ((𝜑𝐹 ∈ (𝐸𝐼𝐷)) → (𝐹 ∈ (𝐷𝐼𝐸) ∨ 𝐷 ∈ (𝐹𝐼𝐸)))
6759, 66jaodan 951 . . . . . . 7 ((𝜑 ∧ (𝐷 ∈ (𝐸𝐼𝐹) ∨ 𝐹 ∈ (𝐸𝐼𝐷))) → (𝐹 ∈ (𝐷𝐼𝐸) ∨ 𝐷 ∈ (𝐹𝐼𝐸)))
6852, 67syldan 591 . . . . . 6 ((𝜑 ∧ (𝐶 ∈ (𝐴𝐼𝐵) ∨ 𝐴 ∈ (𝐶𝐼𝐵))) → (𝐹 ∈ (𝐷𝐼𝐸) ∨ 𝐷 ∈ (𝐹𝐼𝐸)))
6968orcd 869 . . . . 5 ((𝜑 ∧ (𝐶 ∈ (𝐴𝐼𝐵) ∨ 𝐴 ∈ (𝐶𝐼𝐵))) → ((𝐹 ∈ (𝐷𝐼𝐸) ∨ 𝐷 ∈ (𝐹𝐼𝐸)) ∨ 𝐸 ∈ (𝐷𝐼𝐹)))
70 df-3or 1080 . . . . 5 ((𝐹 ∈ (𝐷𝐼𝐸) ∨ 𝐷 ∈ (𝐹𝐼𝐸) ∨ 𝐸 ∈ (𝐷𝐼𝐹)) ↔ ((𝐹 ∈ (𝐷𝐼𝐸) ∨ 𝐷 ∈ (𝐹𝐼𝐸)) ∨ 𝐸 ∈ (𝐷𝐼𝐹)))
7169, 70sylibr 235 . . . 4 ((𝜑 ∧ (𝐶 ∈ (𝐴𝐼𝐵) ∨ 𝐴 ∈ (𝐶𝐼𝐵))) → (𝐹 ∈ (𝐷𝐼𝐸) ∨ 𝐷 ∈ (𝐹𝐼𝐸) ∨ 𝐸 ∈ (𝐷𝐼𝐹)))
72 cgracol.l . . . . . 6 𝐿 = (LineG‘𝐺)
731, 2, 4, 20, 6, 8, 10, 12, 14, 16, 18cgracom 26535 . . . . . . 7 (𝜑 → ⟨“𝐷𝐸𝐹”⟩(cgrA‘𝐺)⟨“𝐴𝐵𝐶”⟩)
741, 2, 20, 4, 12, 14, 16, 6, 8, 10, 73cgrane1 26525 . . . . . 6 (𝜑𝐷𝐸)
751, 72, 2, 4, 12, 14, 74, 16tgellng 26266 . . . . 5 (𝜑 → (𝐹 ∈ (𝐷𝐿𝐸) ↔ (𝐹 ∈ (𝐷𝐼𝐸) ∨ 𝐷 ∈ (𝐹𝐼𝐸) ∨ 𝐸 ∈ (𝐷𝐼𝐹))))
7675adantr 481 . . . 4 ((𝜑 ∧ (𝐶 ∈ (𝐴𝐼𝐵) ∨ 𝐴 ∈ (𝐶𝐼𝐵))) → (𝐹 ∈ (𝐷𝐿𝐸) ↔ (𝐹 ∈ (𝐷𝐼𝐸) ∨ 𝐷 ∈ (𝐹𝐼𝐸) ∨ 𝐸 ∈ (𝐷𝐼𝐹))))
7771, 76mpbird 258 . . 3 ((𝜑 ∧ (𝐶 ∈ (𝐴𝐼𝐵) ∨ 𝐴 ∈ (𝐶𝐼𝐵))) → 𝐹 ∈ (𝐷𝐿𝐸))
7877orcd 869 . 2 ((𝜑 ∧ (𝐶 ∈ (𝐴𝐼𝐵) ∨ 𝐴 ∈ (𝐶𝐼𝐵))) → (𝐹 ∈ (𝐷𝐿𝐸) ∨ 𝐷 = 𝐸))
794adantr 481 . . 3 ((𝜑𝐵 ∈ (𝐴𝐼𝐶)) → 𝐺 ∈ TarskiG)
8012adantr 481 . . 3 ((𝜑𝐵 ∈ (𝐴𝐼𝐶)) → 𝐷𝑃)
8114adantr 481 . . 3 ((𝜑𝐵 ∈ (𝐴𝐼𝐶)) → 𝐸𝑃)
8216adantr 481 . . 3 ((𝜑𝐵 ∈ (𝐴𝐼𝐶)) → 𝐹𝑃)
836adantr 481 . . . 4 ((𝜑𝐵 ∈ (𝐴𝐼𝐶)) → 𝐴𝑃)
848adantr 481 . . . 4 ((𝜑𝐵 ∈ (𝐴𝐼𝐶)) → 𝐵𝑃)
8510adantr 481 . . . 4 ((𝜑𝐵 ∈ (𝐴𝐼𝐶)) → 𝐶𝑃)
8618adantr 481 . . . 4 ((𝜑𝐵 ∈ (𝐴𝐼𝐶)) → ⟨“𝐴𝐵𝐶”⟩(cgrA‘𝐺)⟨“𝐷𝐸𝐹”⟩)
87 simpr 485 . . . 4 ((𝜑𝐵 ∈ (𝐴𝐼𝐶)) → 𝐵 ∈ (𝐴𝐼𝐶))
881, 2, 3, 79, 83, 84, 85, 80, 81, 82, 86, 87cgrabtwn 26539 . . 3 ((𝜑𝐵 ∈ (𝐴𝐼𝐶)) → 𝐸 ∈ (𝐷𝐼𝐹))
891, 72, 2, 79, 80, 81, 82, 88btwncolg3 26270 . 2 ((𝜑𝐵 ∈ (𝐴𝐼𝐶)) → (𝐹 ∈ (𝐷𝐿𝐸) ∨ 𝐷 = 𝐸))
9024neneqd 3018 . . . . 5 (𝜑 → ¬ 𝐴 = 𝐵)
91 cgracol.2 . . . . . . 7 (𝜑 → (𝐶 ∈ (𝐴𝐿𝐵) ∨ 𝐴 = 𝐵))
9291orcomd 865 . . . . . 6 (𝜑 → (𝐴 = 𝐵𝐶 ∈ (𝐴𝐿𝐵)))
9392ord 858 . . . . 5 (𝜑 → (¬ 𝐴 = 𝐵𝐶 ∈ (𝐴𝐿𝐵)))
9490, 93mpd 15 . . . 4 (𝜑𝐶 ∈ (𝐴𝐿𝐵))
951, 72, 2, 4, 6, 8, 24, 10tgellng 26266 . . . 4 (𝜑 → (𝐶 ∈ (𝐴𝐿𝐵) ↔ (𝐶 ∈ (𝐴𝐼𝐵) ∨ 𝐴 ∈ (𝐶𝐼𝐵) ∨ 𝐵 ∈ (𝐴𝐼𝐶))))
9694, 95mpbid 233 . . 3 (𝜑 → (𝐶 ∈ (𝐴𝐼𝐵) ∨ 𝐴 ∈ (𝐶𝐼𝐵) ∨ 𝐵 ∈ (𝐴𝐼𝐶)))
97 df-3or 1080 . . 3 ((𝐶 ∈ (𝐴𝐼𝐵) ∨ 𝐴 ∈ (𝐶𝐼𝐵) ∨ 𝐵 ∈ (𝐴𝐼𝐶)) ↔ ((𝐶 ∈ (𝐴𝐼𝐵) ∨ 𝐴 ∈ (𝐶𝐼𝐵)) ∨ 𝐵 ∈ (𝐴𝐼𝐶)))
9896, 97sylib 219 . 2 (𝜑 → ((𝐶 ∈ (𝐴𝐼𝐵) ∨ 𝐴 ∈ (𝐶𝐼𝐵)) ∨ 𝐵 ∈ (𝐴𝐼𝐶)))
9978, 89, 98mpjaodan 952 1 (𝜑 → (𝐹 ∈ (𝐷𝐿𝐸) ∨ 𝐷 = 𝐸))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  ¬ wn 3  wi 4  wb 207  wa 396  wo 841  w3o 1078  w3a 1079   = wceq 1528  wcel 2105  wne 3013   class class class wbr 5057  cfv 6348  (class class class)co 7145  ⟨“cs3 14192  Basecbs 16471  distcds 16562  TarskiGcstrkg 26143  Itvcitv 26149  LineGclng 26150  hlGchlg 26313  cgrAccgra 26520
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1787  ax-4 1801  ax-5 1902  ax-6 1961  ax-7 2006  ax-8 2107  ax-9 2115  ax-10 2136  ax-11 2151  ax-12 2167  ax-ext 2790  ax-rep 5181  ax-sep 5194  ax-nul 5201  ax-pow 5257  ax-pr 5320  ax-un 7450  ax-cnex 10581  ax-resscn 10582  ax-1cn 10583  ax-icn 10584  ax-addcl 10585  ax-addrcl 10586  ax-mulcl 10587  ax-mulrcl 10588  ax-mulcom 10589  ax-addass 10590  ax-mulass 10591  ax-distr 10592  ax-i2m1 10593  ax-1ne0 10594  ax-1rid 10595  ax-rnegex 10596  ax-rrecex 10597  ax-cnre 10598  ax-pre-lttri 10599  ax-pre-lttrn 10600  ax-pre-ltadd 10601  ax-pre-mulgt0 10602
This theorem depends on definitions:  df-bi 208  df-an 397  df-or 842  df-3or 1080  df-3an 1081  df-tru 1531  df-ex 1772  df-nf 1776  df-sb 2061  df-mo 2615  df-eu 2647  df-clab 2797  df-cleq 2811  df-clel 2890  df-nfc 2960  df-ne 3014  df-nel 3121  df-ral 3140  df-rex 3141  df-reu 3142  df-rmo 3143  df-rab 3144  df-v 3494  df-sbc 3770  df-csb 3881  df-dif 3936  df-un 3938  df-in 3940  df-ss 3949  df-pss 3951  df-nul 4289  df-if 4464  df-pw 4537  df-sn 4558  df-pr 4560  df-tp 4562  df-op 4564  df-uni 4831  df-int 4868  df-iun 4912  df-br 5058  df-opab 5120  df-mpt 5138  df-tr 5164  df-id 5453  df-eprel 5458  df-po 5467  df-so 5468  df-fr 5507  df-we 5509  df-xp 5554  df-rel 5555  df-cnv 5556  df-co 5557  df-dm 5558  df-rn 5559  df-res 5560  df-ima 5561  df-pred 6141  df-ord 6187  df-on 6188  df-lim 6189  df-suc 6190  df-iota 6307  df-fun 6350  df-fn 6351  df-f 6352  df-f1 6353  df-fo 6354  df-f1o 6355  df-fv 6356  df-riota 7103  df-ov 7148  df-oprab 7149  df-mpo 7150  df-om 7570  df-1st 7678  df-2nd 7679  df-wrecs 7936  df-recs 7997  df-rdg 8035  df-1o 8091  df-oadd 8095  df-er 8278  df-map 8397  df-pm 8398  df-en 8498  df-dom 8499  df-sdom 8500  df-fin 8501  df-dju 9318  df-card 9356  df-pnf 10665  df-mnf 10666  df-xr 10667  df-ltxr 10668  df-le 10669  df-sub 10860  df-neg 10861  df-nn 11627  df-2 11688  df-3 11689  df-n0 11886  df-xnn0 11956  df-z 11970  df-uz 12232  df-fz 12881  df-fzo 13022  df-hash 13679  df-word 13850  df-concat 13911  df-s1 13938  df-s2 14198  df-s3 14199  df-trkgc 26161  df-trkgb 26162  df-trkgcb 26163  df-trkg 26166  df-cgrg 26224  df-leg 26296  df-hlg 26314  df-cgra 26521
This theorem is referenced by:  cgrancol  26542  tgasa1  26571
  Copyright terms: Public domain W3C validator