Theorem cgrcomland 32231

Description: Deduction form of cgrcoml 32228. (Contributed by Scott Fenton, 14-Oct-2013.)

Hypotheses

Ref	Expression
cgrcomlrand.1	⊢ (𝜑 → 𝑁 ∈ ℕ)
cgrcomlrand.2	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ (𝔼‘𝑁))
cgrcomlrand.3	⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ (𝔼‘𝑁))
cgrcomlrand.4	⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ (𝔼‘𝑁))
cgrcomlrand.5	⊢ (𝜑 → 𝐷 ∈ (𝔼‘𝑁))
cgrcomlrand.6	⊢ ((𝜑 ∧ 𝜓) → ⟨𝐴, 𝐵⟩Cgr⟨𝐶, 𝐷⟩)

Assertion

Ref	Expression
cgrcomland	⊢ ((𝜑 ∧ 𝜓) → ⟨𝐵, 𝐴⟩Cgr⟨𝐶, 𝐷⟩)

Proof of Theorem cgrcomland

Step	Hyp	Ref	Expression
1		cgrcomlrand.6	. 2 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝜓) → ⟨𝐴, 𝐵⟩Cgr⟨𝐶, 𝐷⟩)
2		cgrcomlrand.1	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝑁 ∈ ℕ)
3		cgrcomlrand.2	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ (𝔼‘𝑁))
4		cgrcomlrand.3	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ (𝔼‘𝑁))
5		cgrcomlrand.4	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ (𝔼‘𝑁))
6		cgrcomlrand.5	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐷 ∈ (𝔼‘𝑁))
7		cgrcoml 32228	. . . 4 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ ∧ (𝐴 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐵 ∈ (𝔼‘𝑁)) ∧ (𝐶 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐷 ∈ (𝔼‘𝑁))) → (⟨𝐴, 𝐵⟩Cgr⟨𝐶, 𝐷⟩ ↔ ⟨𝐵, 𝐴⟩Cgr⟨𝐶, 𝐷⟩))
8	2, 3, 4, 5, 6, 7	syl122anc 1375	. . 3 ⊢ (𝜑 → (⟨𝐴, 𝐵⟩Cgr⟨𝐶, 𝐷⟩ ↔ ⟨𝐵, 𝐴⟩Cgr⟨𝐶, 𝐷⟩))
9	8	adantr 480	. 2 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝜓) → (⟨𝐴, 𝐵⟩Cgr⟨𝐶, 𝐷⟩ ↔ ⟨𝐵, 𝐴⟩Cgr⟨𝐶, 𝐷⟩))
10	1, 9	mpbid 222	1 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝜓) → ⟨𝐵, 𝐴⟩Cgr⟨𝐶, 𝐷⟩)

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 196   ∧ wa 383   ∈ wcel 2030  ⟨cop 4216   class class class wbr 4685  ‘cfv 5926  ℕcn 11058  𝔼cee 25813  Cgrccgr 25815

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1762  ax-4 1777  ax-5 1879  ax-6 1945  ax-7 1981  ax-8 2032  ax-9 2039  ax-10 2059  ax-11 2074  ax-12 2087  ax-13 2282  ax-ext 2631  ax-sep 4814  ax-nul 4822  ax-pow 4873  ax-pr 4936  ax-un 6991  ax-cnex 10030  ax-resscn 10031  ax-1cn 10032  ax-icn 10033  ax-addcl 10034  ax-addrcl 10035  ax-mulcl 10036  ax-mulrcl 10037  ax-mulcom 10038  ax-addass 10039  ax-mulass 10040  ax-distr 10041  ax-i2m1 10042  ax-1ne0 10043  ax-1rid 10044  ax-rnegex 10045  ax-rrecex 10046  ax-cnre 10047  ax-pre-lttri 10048  ax-pre-lttrn 10049  ax-pre-ltadd 10050  ax-pre-mulgt0 10051

This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 384  df-an 385  df-3or 1055  df-3an 1056  df-tru 1526  df-fal 1529  df-ex 1745  df-nf 1750  df-sb 1938  df-eu 2502  df-mo 2503  df-clab 2638  df-cleq 2644  df-clel 2647  df-nfc 2782  df-ne 2824  df-nel 2927  df-ral 2946  df-rex 2947  df-reu 2948  df-rab 2950  df-v 3233  df-sbc 3469  df-csb 3567  df-dif 3610  df-un 3612  df-in 3614  df-ss 3621  df-pss 3623  df-nul 3949  df-if 4120  df-pw 4193  df-sn 4211  df-pr 4213  df-tp 4215  df-op 4217  df-uni 4469  df-iun 4554  df-br 4686  df-opab 4746  df-mpt 4763  df-tr 4786  df-id 5053  df-eprel 5058  df-po 5064  df-so 5065  df-fr 5102  df-we 5104  df-xp 5149  df-rel 5150  df-cnv 5151  df-co 5152  df-dm 5153  df-rn 5154  df-res 5155  df-ima 5156  df-pred 5718  df-ord 5764  df-on 5765  df-lim 5766  df-suc 5767  df-iota 5889  df-fun 5928  df-fn 5929  df-f 5930  df-f1 5931  df-fo 5932  df-f1o 5933  df-fv 5934  df-riota 6651  df-ov 6693  df-oprab 6694  df-mpt2 6695  df-om 7108  df-1st 7210  df-2nd 7211  df-wrecs 7452  df-recs 7513  df-rdg 7551  df-er 7787  df-map 7901  df-en 7998  df-dom 7999  df-sdom 8000  df-pnf 10114  df-mnf 10115  df-xr 10116  df-ltxr 10117  df-le 10118  df-sub 10306  df-neg 10307  df-nn 11059  df-2 11117  df-n0 11331  df-z 11416  df-uz 11726  df-fz 12365  df-seq 12842  df-exp 12901  df-sum 14461  df-ee 25816  df-cgr 25818

This theorem is referenced by:  cgrcomlrand  32233  btwnconn1lem1  32319  btwnconn1lem3  32321  btwnconn1lem4  32322