HSE Home Hilbert Space Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  HSE Home  >  Th. List  >  ch0pss Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem ch0pss 28174
Description: The zero subspace is a proper subset of nonzero Hilbert lattice elements. (Contributed by NM, 9-Jun-2004.) (New usage is discouraged.)
Assertion
Ref Expression
ch0pss (𝐴C → (0𝐴𝐴 ≠ 0))

Proof of Theorem ch0pss
StepHypRef Expression
1 necom 2843 . . 3 (0𝐴𝐴 ≠ 0)
2 ch0le 28170 . . . 4 (𝐴C → 0𝐴)
32biantrurd 529 . . 3 (𝐴C → (0𝐴 ↔ (0𝐴 ∧ 0𝐴)))
41, 3syl5bbr 274 . 2 (𝐴C → (𝐴 ≠ 0 ↔ (0𝐴 ∧ 0𝐴)))
5 df-pss 3575 . 2 (0𝐴 ↔ (0𝐴 ∧ 0𝐴))
64, 5syl6rbbr 279 1 (𝐴C → (0𝐴𝐴 ≠ 0))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wb 196  wa 384  wcel 1987  wne 2790  wss 3559  wpss 3560   C cch 27656  0c0h 27662
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1719  ax-4 1734  ax-5 1836  ax-6 1885  ax-7 1932  ax-9 1996  ax-10 2016  ax-11 2031  ax-12 2044  ax-13 2245  ax-ext 2601  ax-sep 4746  ax-hilex 27726
This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 385  df-an 386  df-3an 1038  df-tru 1483  df-ex 1702  df-nf 1707  df-sb 1878  df-clab 2608  df-cleq 2614  df-clel 2617  df-nfc 2750  df-ne 2791  df-rex 2913  df-rab 2916  df-v 3191  df-dif 3562  df-un 3564  df-in 3566  df-ss 3573  df-pss 3575  df-nul 3897  df-if 4064  df-pw 4137  df-sn 4154  df-pr 4156  df-op 4160  df-uni 4408  df-br 4619  df-opab 4679  df-xp 5085  df-cnv 5087  df-dm 5089  df-rn 5090  df-res 5091  df-ima 5092  df-iota 5815  df-fv 5860  df-ov 6613  df-sh 27934  df-ch 27948  df-ch0 27980
This theorem is referenced by:  elat2  29069
  Copyright terms: Public domain W3C validator