HSE Home Hilbert Space Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  HSE Home  >  Th. List  >  chcv1 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem chcv1 28386
Description: The Hilbert lattice has the covering property. Proposition 1(ii) of [Kalmbach] p. 140 (and its converse). (Contributed by NM, 11-Jun-2004.) (New usage is discouraged.)
Assertion
Ref Expression
chcv1 ((𝐴C𝐵 ∈ HAtoms) → (¬ 𝐵𝐴𝐴 (𝐴 𝐵)))

Proof of Theorem chcv1
Dummy variable 𝑥 is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 atom1d 28384 . . 3 (𝐵 ∈ HAtoms ↔ ∃𝑥 ∈ ℋ (𝑥 ≠ 0𝐵 = (span‘{𝑥})))
2 spansncv2 28324 . . . . . . 7 ((𝐴C𝑥 ∈ ℋ) → (¬ (span‘{𝑥}) ⊆ 𝐴𝐴 (𝐴 (span‘{𝑥}))))
3 sseq1 3493 . . . . . . . . 9 (𝐵 = (span‘{𝑥}) → (𝐵𝐴 ↔ (span‘{𝑥}) ⊆ 𝐴))
43notbid 306 . . . . . . . 8 (𝐵 = (span‘{𝑥}) → (¬ 𝐵𝐴 ↔ ¬ (span‘{𝑥}) ⊆ 𝐴))
5 oveq2 6434 . . . . . . . . 9 (𝐵 = (span‘{𝑥}) → (𝐴 𝐵) = (𝐴 (span‘{𝑥})))
65breq2d 4493 . . . . . . . 8 (𝐵 = (span‘{𝑥}) → (𝐴 (𝐴 𝐵) ↔ 𝐴 (𝐴 (span‘{𝑥}))))
74, 6imbi12d 332 . . . . . . 7 (𝐵 = (span‘{𝑥}) → ((¬ 𝐵𝐴𝐴 (𝐴 𝐵)) ↔ (¬ (span‘{𝑥}) ⊆ 𝐴𝐴 (𝐴 (span‘{𝑥})))))
82, 7syl5ibrcom 235 . . . . . 6 ((𝐴C𝑥 ∈ ℋ) → (𝐵 = (span‘{𝑥}) → (¬ 𝐵𝐴𝐴 (𝐴 𝐵))))
98adantld 481 . . . . 5 ((𝐴C𝑥 ∈ ℋ) → ((𝑥 ≠ 0𝐵 = (span‘{𝑥})) → (¬ 𝐵𝐴𝐴 (𝐴 𝐵))))
109rexlimdva 2917 . . . 4 (𝐴C → (∃𝑥 ∈ ℋ (𝑥 ≠ 0𝐵 = (span‘{𝑥})) → (¬ 𝐵𝐴𝐴 (𝐴 𝐵))))
1110imp 443 . . 3 ((𝐴C ∧ ∃𝑥 ∈ ℋ (𝑥 ≠ 0𝐵 = (span‘{𝑥}))) → (¬ 𝐵𝐴𝐴 (𝐴 𝐵)))
121, 11sylan2b 490 . 2 ((𝐴C𝐵 ∈ HAtoms) → (¬ 𝐵𝐴𝐴 (𝐴 𝐵)))
13 atelch 28375 . . 3 (𝐵 ∈ HAtoms → 𝐵C )
14 chjcl 27388 . . . . 5 ((𝐴C𝐵C ) → (𝐴 𝐵) ∈ C )
15 cvpss 28316 . . . . 5 ((𝐴C ∧ (𝐴 𝐵) ∈ C ) → (𝐴 (𝐴 𝐵) → 𝐴 ⊊ (𝐴 𝐵)))
1614, 15syldan 485 . . . 4 ((𝐴C𝐵C ) → (𝐴 (𝐴 𝐵) → 𝐴 ⊊ (𝐴 𝐵)))
17 chnle 27545 . . . 4 ((𝐴C𝐵C ) → (¬ 𝐵𝐴𝐴 ⊊ (𝐴 𝐵)))
1816, 17sylibrd 247 . . 3 ((𝐴C𝐵C ) → (𝐴 (𝐴 𝐵) → ¬ 𝐵𝐴))
1913, 18sylan2 489 . 2 ((𝐴C𝐵 ∈ HAtoms) → (𝐴 (𝐴 𝐵) → ¬ 𝐵𝐴))
2012, 19impbid 200 1 ((𝐴C𝐵 ∈ HAtoms) → (¬ 𝐵𝐴𝐴 (𝐴 𝐵)))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  ¬ wn 3  wi 4  wb 194  wa 382   = wceq 1474  wcel 1938  wne 2684  wrex 2801  wss 3444  wpss 3445  {csn 4028   class class class wbr 4481  cfv 5689  (class class class)co 6426  chil 26948  0c0v 26953   C cch 26958  spancspn 26961   chj 26962   ccv 26993  HAtomscat 26994
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1700  ax-4 1713  ax-5 1793  ax-6 1838  ax-7 1885  ax-8 1940  ax-9 1947  ax-10 1966  ax-11 1971  ax-12 1983  ax-13 2137  ax-ext 2494  ax-rep 4597  ax-sep 4607  ax-nul 4616  ax-pow 4668  ax-pr 4732  ax-un 6723  ax-inf2 8297  ax-cc 9016  ax-cnex 9747  ax-resscn 9748  ax-1cn 9749  ax-icn 9750  ax-addcl 9751  ax-addrcl 9752  ax-mulcl 9753  ax-mulrcl 9754  ax-mulcom 9755  ax-addass 9756  ax-mulass 9757  ax-distr 9758  ax-i2m1 9759  ax-1ne0 9760  ax-1rid 9761  ax-rnegex 9762  ax-rrecex 9763  ax-cnre 9764  ax-pre-lttri 9765  ax-pre-lttrn 9766  ax-pre-ltadd 9767  ax-pre-mulgt0 9768  ax-pre-sup 9769  ax-addf 9770  ax-mulf 9771  ax-hilex 27028  ax-hfvadd 27029  ax-hvcom 27030  ax-hvass 27031  ax-hv0cl 27032  ax-hvaddid 27033  ax-hfvmul 27034  ax-hvmulid 27035  ax-hvmulass 27036  ax-hvdistr1 27037  ax-hvdistr2 27038  ax-hvmul0 27039  ax-hfi 27108  ax-his1 27111  ax-his2 27112  ax-his3 27113  ax-his4 27114  ax-hcompl 27231
This theorem depends on definitions:  df-bi 195  df-or 383  df-an 384  df-3or 1031  df-3an 1032  df-tru 1477  df-fal 1480  df-ex 1695  df-nf 1699  df-sb 1831  df-eu 2366  df-mo 2367  df-clab 2501  df-cleq 2507  df-clel 2510  df-nfc 2644  df-ne 2686  df-nel 2687  df-ral 2805  df-rex 2806  df-reu 2807  df-rmo 2808  df-rab 2809  df-v 3079  df-sbc 3307  df-csb 3404  df-dif 3447  df-un 3449  df-in 3451  df-ss 3458  df-pss 3460  df-nul 3778  df-if 3940  df-pw 4013  df-sn 4029  df-pr 4031  df-tp 4033  df-op 4035  df-uni 4271  df-int 4309  df-iun 4355  df-iin 4356  df-br 4482  df-opab 4542  df-mpt 4543  df-tr 4579  df-eprel 4843  df-id 4847  df-po 4853  df-so 4854  df-fr 4891  df-se 4892  df-we 4893  df-xp 4938  df-rel 4939  df-cnv 4940  df-co 4941  df-dm 4942  df-rn 4943  df-res 4944  df-ima 4945  df-pred 5487  df-ord 5533  df-on 5534  df-lim 5535  df-suc 5536  df-iota 5653  df-fun 5691  df-fn 5692  df-f 5693  df-f1 5694  df-fo 5695  df-f1o 5696  df-fv 5697  df-isom 5698  df-riota 6388  df-ov 6429  df-oprab 6430  df-mpt2 6431  df-of 6671  df-om 6834  df-1st 6934  df-2nd 6935  df-supp 7058  df-wrecs 7169  df-recs 7231  df-rdg 7269  df-1o 7323  df-2o 7324  df-oadd 7327  df-omul 7328  df-er 7505  df-map 7622  df-pm 7623  df-ixp 7671  df-en 7718  df-dom 7719  df-sdom 7720  df-fin 7721  df-fsupp 8035  df-fi 8076  df-sup 8107  df-inf 8108  df-oi 8174  df-card 8524  df-acn 8527  df-cda 8749  df-pnf 9831  df-mnf 9832  df-xr 9833  df-ltxr 9834  df-le 9835  df-sub 10019  df-neg 10020  df-div 10434  df-nn 10776  df-2 10834  df-3 10835  df-4 10836  df-5 10837  df-6 10838  df-7 10839  df-8 10840  df-9 10841  df-n0 11048  df-z 11119  df-dec 11234  df-uz 11428  df-q 11531  df-rp 11575  df-xneg 11688  df-xadd 11689  df-xmul 11690  df-ioo 11919  df-ico 11921  df-icc 11922  df-fz 12066  df-fzo 12203  df-fl 12323  df-seq 12532  df-exp 12591  df-hash 12848  df-cj 13546  df-re 13547  df-im 13548  df-sqrt 13682  df-abs 13683  df-clim 13933  df-rlim 13934  df-sum 14134  df-struct 15581  df-ndx 15582  df-slot 15583  df-base 15584  df-sets 15585  df-ress 15586  df-plusg 15665  df-mulr 15666  df-starv 15667  df-sca 15668  df-vsca 15669  df-ip 15670  df-tset 15671  df-ple 15672  df-ds 15675  df-unif 15676  df-hom 15677  df-cco 15678  df-rest 15790  df-topn 15791  df-0g 15809  df-gsum 15810  df-topgen 15811  df-pt 15812  df-prds 15815  df-xrs 15869  df-qtop 15875  df-imas 15876  df-xps 15879  df-mre 15961  df-mrc 15962  df-acs 15964  df-mgm 16957  df-sgrp 16999  df-mnd 17010  df-submnd 17051  df-mulg 17256  df-cntz 17465  df-cmn 17926  df-psmet 19463  df-xmet 19464  df-met 19465  df-bl 19466  df-mopn 19467  df-fbas 19468  df-fg 19469  df-cnfld 19472  df-top 20424  df-bases 20425  df-topon 20426  df-topsp 20427  df-cld 20536  df-ntr 20537  df-cls 20538  df-nei 20615  df-cn 20744  df-cnp 20745  df-lm 20746  df-haus 20832  df-tx 21078  df-hmeo 21271  df-fil 21363  df-fm 21455  df-flim 21456  df-flf 21457  df-xms 21837  df-ms 21838  df-tms 21839  df-cfil 22725  df-cau 22726  df-cmet 22727  df-grpo 26469  df-gid 26470  df-ginv 26471  df-gdiv 26472  df-ablo 26524  df-vc 26539  df-nv 26587  df-va 26590  df-ba 26591  df-sm 26592  df-0v 26593  df-vs 26594  df-nmcv 26595  df-ims 26596  df-dip 26713  df-ssp 26737  df-ph 26830  df-cbn 26881  df-hnorm 26997  df-hba 26998  df-hvsub 27000  df-hlim 27001  df-hcau 27002  df-sh 27236  df-ch 27250  df-oc 27281  df-ch0 27282  df-shs 27339  df-span 27340  df-chj 27341  df-pjh 27426  df-cv 28310  df-at 28369
This theorem is referenced by:  chcv2  28387  cvexchlem  28399  atnssm0  28407  atcvat3i  28427
  Copyright terms: Public domain W3C validator