Metamath Proof Explorer < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  chebbnd2 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem chebbnd2 25211
 Description: The Chebyshev bound, part 2: The function π(𝑥) is eventually upper bounded by a positive constant times 𝑥 / log(𝑥). Alternatively stated, the function π(𝑥) / (𝑥 / log(𝑥)) is eventually bounded. (Contributed by Mario Carneiro, 22-Sep-2014.)
Assertion
Ref Expression
chebbnd2 (𝑥 ∈ (2[,)+∞) ↦ ((π𝑥) / (𝑥 / (log‘𝑥)))) ∈ 𝑂(1)

Proof of Theorem chebbnd2
StepHypRef Expression
1 ovexd 6720 . . . . 5 (⊤ → (2[,)+∞) ∈ V)
2 ovexd 6720 . . . . 5 ((⊤ ∧ 𝑥 ∈ (2[,)+∞)) → ((θ‘𝑥) / 𝑥) ∈ V)
3 ovexd 6720 . . . . 5 ((⊤ ∧ 𝑥 ∈ (2[,)+∞)) → (((π𝑥) · (log‘𝑥)) / (θ‘𝑥)) ∈ V)
4 eqidd 2652 . . . . 5 (⊤ → (𝑥 ∈ (2[,)+∞) ↦ ((θ‘𝑥) / 𝑥)) = (𝑥 ∈ (2[,)+∞) ↦ ((θ‘𝑥) / 𝑥)))
5 simpr 476 . . . . . . . . . 10 ((⊤ ∧ 𝑥 ∈ (2[,)+∞)) → 𝑥 ∈ (2[,)+∞))
6 2re 11128 . . . . . . . . . . 11 2 ∈ ℝ
7 elicopnf 12307 . . . . . . . . . . 11 (2 ∈ ℝ → (𝑥 ∈ (2[,)+∞) ↔ (𝑥 ∈ ℝ ∧ 2 ≤ 𝑥)))
86, 7ax-mp 5 . . . . . . . . . 10 (𝑥 ∈ (2[,)+∞) ↔ (𝑥 ∈ ℝ ∧ 2 ≤ 𝑥))
95, 8sylib 208 . . . . . . . . 9 ((⊤ ∧ 𝑥 ∈ (2[,)+∞)) → (𝑥 ∈ ℝ ∧ 2 ≤ 𝑥))
10 chtrpcl 24946 . . . . . . . . 9 ((𝑥 ∈ ℝ ∧ 2 ≤ 𝑥) → (θ‘𝑥) ∈ ℝ+)
119, 10syl 17 . . . . . . . 8 ((⊤ ∧ 𝑥 ∈ (2[,)+∞)) → (θ‘𝑥) ∈ ℝ+)
1211rpcnne0d 11919 . . . . . . 7 ((⊤ ∧ 𝑥 ∈ (2[,)+∞)) → ((θ‘𝑥) ∈ ℂ ∧ (θ‘𝑥) ≠ 0))
13 ppinncl 24945 . . . . . . . . . . 11 ((𝑥 ∈ ℝ ∧ 2 ≤ 𝑥) → (π𝑥) ∈ ℕ)
149, 13syl 17 . . . . . . . . . 10 ((⊤ ∧ 𝑥 ∈ (2[,)+∞)) → (π𝑥) ∈ ℕ)
1514nnrpd 11908 . . . . . . . . 9 ((⊤ ∧ 𝑥 ∈ (2[,)+∞)) → (π𝑥) ∈ ℝ+)
169simpld 474 . . . . . . . . . 10 ((⊤ ∧ 𝑥 ∈ (2[,)+∞)) → 𝑥 ∈ ℝ)
17 1red 10093 . . . . . . . . . . 11 ((⊤ ∧ 𝑥 ∈ (2[,)+∞)) → 1 ∈ ℝ)
186a1i 11 . . . . . . . . . . 11 ((⊤ ∧ 𝑥 ∈ (2[,)+∞)) → 2 ∈ ℝ)
19 1lt2 11232 . . . . . . . . . . . 12 1 < 2
2019a1i 11 . . . . . . . . . . 11 ((⊤ ∧ 𝑥 ∈ (2[,)+∞)) → 1 < 2)
219simprd 478 . . . . . . . . . . 11 ((⊤ ∧ 𝑥 ∈ (2[,)+∞)) → 2 ≤ 𝑥)
2217, 18, 16, 20, 21ltletrd 10235 . . . . . . . . . 10 ((⊤ ∧ 𝑥 ∈ (2[,)+∞)) → 1 < 𝑥)
2316, 22rplogcld 24420 . . . . . . . . 9 ((⊤ ∧ 𝑥 ∈ (2[,)+∞)) → (log‘𝑥) ∈ ℝ+)
2415, 23rpmulcld 11926 . . . . . . . 8 ((⊤ ∧ 𝑥 ∈ (2[,)+∞)) → ((π𝑥) · (log‘𝑥)) ∈ ℝ+)
2524rpcnne0d 11919 . . . . . . 7 ((⊤ ∧ 𝑥 ∈ (2[,)+∞)) → (((π𝑥) · (log‘𝑥)) ∈ ℂ ∧ ((π𝑥) · (log‘𝑥)) ≠ 0))
26 recdiv 10769 . . . . . . 7 ((((θ‘𝑥) ∈ ℂ ∧ (θ‘𝑥) ≠ 0) ∧ (((π𝑥) · (log‘𝑥)) ∈ ℂ ∧ ((π𝑥) · (log‘𝑥)) ≠ 0)) → (1 / ((θ‘𝑥) / ((π𝑥) · (log‘𝑥)))) = (((π𝑥) · (log‘𝑥)) / (θ‘𝑥)))
2712, 25, 26syl2anc 694 . . . . . 6 ((⊤ ∧ 𝑥 ∈ (2[,)+∞)) → (1 / ((θ‘𝑥) / ((π𝑥) · (log‘𝑥)))) = (((π𝑥) · (log‘𝑥)) / (θ‘𝑥)))
2827mpteq2dva 4777 . . . . 5 (⊤ → (𝑥 ∈ (2[,)+∞) ↦ (1 / ((θ‘𝑥) / ((π𝑥) · (log‘𝑥))))) = (𝑥 ∈ (2[,)+∞) ↦ (((π𝑥) · (log‘𝑥)) / (θ‘𝑥))))
291, 2, 3, 4, 28offval2 6956 . . . 4 (⊤ → ((𝑥 ∈ (2[,)+∞) ↦ ((θ‘𝑥) / 𝑥)) ∘𝑓 · (𝑥 ∈ (2[,)+∞) ↦ (1 / ((θ‘𝑥) / ((π𝑥) · (log‘𝑥)))))) = (𝑥 ∈ (2[,)+∞) ↦ (((θ‘𝑥) / 𝑥) · (((π𝑥) · (log‘𝑥)) / (θ‘𝑥)))))
30 0red 10079 . . . . . . . . . 10 ((⊤ ∧ 𝑥 ∈ (2[,)+∞)) → 0 ∈ ℝ)
31 2pos 11150 . . . . . . . . . . 11 0 < 2
3231a1i 11 . . . . . . . . . 10 ((⊤ ∧ 𝑥 ∈ (2[,)+∞)) → 0 < 2)
3330, 18, 16, 32, 21ltletrd 10235 . . . . . . . . 9 ((⊤ ∧ 𝑥 ∈ (2[,)+∞)) → 0 < 𝑥)
3416, 33elrpd 11907 . . . . . . . 8 ((⊤ ∧ 𝑥 ∈ (2[,)+∞)) → 𝑥 ∈ ℝ+)
3534rpcnne0d 11919 . . . . . . 7 ((⊤ ∧ 𝑥 ∈ (2[,)+∞)) → (𝑥 ∈ ℂ ∧ 𝑥 ≠ 0))
3624rpcnd 11912 . . . . . . 7 ((⊤ ∧ 𝑥 ∈ (2[,)+∞)) → ((π𝑥) · (log‘𝑥)) ∈ ℂ)
37 dmdcan 10773 . . . . . . 7 ((((θ‘𝑥) ∈ ℂ ∧ (θ‘𝑥) ≠ 0) ∧ (𝑥 ∈ ℂ ∧ 𝑥 ≠ 0) ∧ ((π𝑥) · (log‘𝑥)) ∈ ℂ) → (((θ‘𝑥) / 𝑥) · (((π𝑥) · (log‘𝑥)) / (θ‘𝑥))) = (((π𝑥) · (log‘𝑥)) / 𝑥))
3812, 35, 36, 37syl3anc 1366 . . . . . 6 ((⊤ ∧ 𝑥 ∈ (2[,)+∞)) → (((θ‘𝑥) / 𝑥) · (((π𝑥) · (log‘𝑥)) / (θ‘𝑥))) = (((π𝑥) · (log‘𝑥)) / 𝑥))
3915rpcnd 11912 . . . . . . 7 ((⊤ ∧ 𝑥 ∈ (2[,)+∞)) → (π𝑥) ∈ ℂ)
4023rpcnne0d 11919 . . . . . . 7 ((⊤ ∧ 𝑥 ∈ (2[,)+∞)) → ((log‘𝑥) ∈ ℂ ∧ (log‘𝑥) ≠ 0))
41 divdiv2 10775 . . . . . . 7 (((π𝑥) ∈ ℂ ∧ (𝑥 ∈ ℂ ∧ 𝑥 ≠ 0) ∧ ((log‘𝑥) ∈ ℂ ∧ (log‘𝑥) ≠ 0)) → ((π𝑥) / (𝑥 / (log‘𝑥))) = (((π𝑥) · (log‘𝑥)) / 𝑥))
4239, 35, 40, 41syl3anc 1366 . . . . . 6 ((⊤ ∧ 𝑥 ∈ (2[,)+∞)) → ((π𝑥) / (𝑥 / (log‘𝑥))) = (((π𝑥) · (log‘𝑥)) / 𝑥))
4338, 42eqtr4d 2688 . . . . 5 ((⊤ ∧ 𝑥 ∈ (2[,)+∞)) → (((θ‘𝑥) / 𝑥) · (((π𝑥) · (log‘𝑥)) / (θ‘𝑥))) = ((π𝑥) / (𝑥 / (log‘𝑥))))
4443mpteq2dva 4777 . . . 4 (⊤ → (𝑥 ∈ (2[,)+∞) ↦ (((θ‘𝑥) / 𝑥) · (((π𝑥) · (log‘𝑥)) / (θ‘𝑥)))) = (𝑥 ∈ (2[,)+∞) ↦ ((π𝑥) / (𝑥 / (log‘𝑥)))))
4529, 44eqtrd 2685 . . 3 (⊤ → ((𝑥 ∈ (2[,)+∞) ↦ ((θ‘𝑥) / 𝑥)) ∘𝑓 · (𝑥 ∈ (2[,)+∞) ↦ (1 / ((θ‘𝑥) / ((π𝑥) · (log‘𝑥)))))) = (𝑥 ∈ (2[,)+∞) ↦ ((π𝑥) / (𝑥 / (log‘𝑥)))))
4634ex 449 . . . . . 6 (⊤ → (𝑥 ∈ (2[,)+∞) → 𝑥 ∈ ℝ+))
4746ssrdv 3642 . . . . 5 (⊤ → (2[,)+∞) ⊆ ℝ+)
48 chto1ub 25210 . . . . . 6 (𝑥 ∈ ℝ+ ↦ ((θ‘𝑥) / 𝑥)) ∈ 𝑂(1)
4948a1i 11 . . . . 5 (⊤ → (𝑥 ∈ ℝ+ ↦ ((θ‘𝑥) / 𝑥)) ∈ 𝑂(1))
5047, 49o1res2 14338 . . . 4 (⊤ → (𝑥 ∈ (2[,)+∞) ↦ ((θ‘𝑥) / 𝑥)) ∈ 𝑂(1))
51 ax-1cn 10032 . . . . . . 7 1 ∈ ℂ
5251a1i 11 . . . . . 6 ((⊤ ∧ 𝑥 ∈ (2[,)+∞)) → 1 ∈ ℂ)
5311, 24rpdivcld 11927 . . . . . . 7 ((⊤ ∧ 𝑥 ∈ (2[,)+∞)) → ((θ‘𝑥) / ((π𝑥) · (log‘𝑥))) ∈ ℝ+)
5453rpcnd 11912 . . . . . 6 ((⊤ ∧ 𝑥 ∈ (2[,)+∞)) → ((θ‘𝑥) / ((π𝑥) · (log‘𝑥))) ∈ ℂ)
55 pnfxr 10130 . . . . . . . . 9 +∞ ∈ ℝ*
56 icossre 12292 . . . . . . . . 9 ((2 ∈ ℝ ∧ +∞ ∈ ℝ*) → (2[,)+∞) ⊆ ℝ)
576, 55, 56mp2an 708 . . . . . . . 8 (2[,)+∞) ⊆ ℝ
58 rlimconst 14319 . . . . . . . 8 (((2[,)+∞) ⊆ ℝ ∧ 1 ∈ ℂ) → (𝑥 ∈ (2[,)+∞) ↦ 1) ⇝𝑟 1)
5957, 51, 58mp2an 708 . . . . . . 7 (𝑥 ∈ (2[,)+∞) ↦ 1) ⇝𝑟 1
6059a1i 11 . . . . . 6 (⊤ → (𝑥 ∈ (2[,)+∞) ↦ 1) ⇝𝑟 1)
61 chtppilim 25209 . . . . . . 7 (𝑥 ∈ (2[,)+∞) ↦ ((θ‘𝑥) / ((π𝑥) · (log‘𝑥)))) ⇝𝑟 1
6261a1i 11 . . . . . 6 (⊤ → (𝑥 ∈ (2[,)+∞) ↦ ((θ‘𝑥) / ((π𝑥) · (log‘𝑥)))) ⇝𝑟 1)
63 ax-1ne0 10043 . . . . . . 7 1 ≠ 0
6463a1i 11 . . . . . 6 (⊤ → 1 ≠ 0)
6553rpne0d 11915 . . . . . 6 ((⊤ ∧ 𝑥 ∈ (2[,)+∞)) → ((θ‘𝑥) / ((π𝑥) · (log‘𝑥))) ≠ 0)
6652, 54, 60, 62, 64, 65rlimdiv 14420 . . . . 5 (⊤ → (𝑥 ∈ (2[,)+∞) ↦ (1 / ((θ‘𝑥) / ((π𝑥) · (log‘𝑥))))) ⇝𝑟 (1 / 1))
67 rlimo1 14391 . . . . 5 ((𝑥 ∈ (2[,)+∞) ↦ (1 / ((θ‘𝑥) / ((π𝑥) · (log‘𝑥))))) ⇝𝑟 (1 / 1) → (𝑥 ∈ (2[,)+∞) ↦ (1 / ((θ‘𝑥) / ((π𝑥) · (log‘𝑥))))) ∈ 𝑂(1))
6866, 67syl 17 . . . 4 (⊤ → (𝑥 ∈ (2[,)+∞) ↦ (1 / ((θ‘𝑥) / ((π𝑥) · (log‘𝑥))))) ∈ 𝑂(1))
69 o1mul 14389 . . . 4 (((𝑥 ∈ (2[,)+∞) ↦ ((θ‘𝑥) / 𝑥)) ∈ 𝑂(1) ∧ (𝑥 ∈ (2[,)+∞) ↦ (1 / ((θ‘𝑥) / ((π𝑥) · (log‘𝑥))))) ∈ 𝑂(1)) → ((𝑥 ∈ (2[,)+∞) ↦ ((θ‘𝑥) / 𝑥)) ∘𝑓 · (𝑥 ∈ (2[,)+∞) ↦ (1 / ((θ‘𝑥) / ((π𝑥) · (log‘𝑥)))))) ∈ 𝑂(1))
7050, 68, 69syl2anc 694 . . 3 (⊤ → ((𝑥 ∈ (2[,)+∞) ↦ ((θ‘𝑥) / 𝑥)) ∘𝑓 · (𝑥 ∈ (2[,)+∞) ↦ (1 / ((θ‘𝑥) / ((π𝑥) · (log‘𝑥)))))) ∈ 𝑂(1))
7145, 70eqeltrrd 2731 . 2 (⊤ → (𝑥 ∈ (2[,)+∞) ↦ ((π𝑥) / (𝑥 / (log‘𝑥)))) ∈ 𝑂(1))
7271trud 1533 1 (𝑥 ∈ (2[,)+∞) ↦ ((π𝑥) / (𝑥 / (log‘𝑥)))) ∈ 𝑂(1)
 Colors of variables: wff setvar class Syntax hints:   ↔ wb 196   ∧ wa 383   = wceq 1523  ⊤wtru 1524   ∈ wcel 2030   ≠ wne 2823  Vcvv 3231   ⊆ wss 3607   class class class wbr 4685   ↦ cmpt 4762  ‘cfv 5926  (class class class)co 6690   ∘𝑓 cof 6937  ℂcc 9972  ℝcr 9973  0cc0 9974  1c1 9975   · cmul 9979  +∞cpnf 10109  ℝ*cxr 10111   < clt 10112   ≤ cle 10113   / cdiv 10722  ℕcn 11058  2c2 11108  ℝ+crp 11870  [,)cico 12215   ⇝𝑟 crli 14260  𝑂(1)co1 14261  logclog 24346  θccht 24862  πcppi 24865 This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1762  ax-4 1777  ax-5 1879  ax-6 1945  ax-7 1981  ax-8 2032  ax-9 2039  ax-10 2059  ax-11 2074  ax-12 2087  ax-13 2282  ax-ext 2631  ax-rep 4804  ax-sep 4814  ax-nul 4822  ax-pow 4873  ax-pr 4936  ax-un 6991  ax-inf2 8576  ax-cnex 10030  ax-resscn 10031  ax-1cn 10032  ax-icn 10033  ax-addcl 10034  ax-addrcl 10035  ax-mulcl 10036  ax-mulrcl 10037  ax-mulcom 10038  ax-addass 10039  ax-mulass 10040  ax-distr 10041  ax-i2m1 10042  ax-1ne0 10043  ax-1rid 10044  ax-rnegex 10045  ax-rrecex 10046  ax-cnre 10047  ax-pre-lttri 10048  ax-pre-lttrn 10049  ax-pre-ltadd 10050  ax-pre-mulgt0 10051  ax-pre-sup 10052  ax-addf 10053  ax-mulf 10054 This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 384  df-an 385  df-3or 1055  df-3an 1056  df-tru 1526  df-fal 1529  df-ex 1745  df-nf 1750  df-sb 1938  df-eu 2502  df-mo 2503  df-clab 2638  df-cleq 2644  df-clel 2647  df-nfc 2782  df-ne 2824  df-nel 2927  df-ral 2946  df-rex 2947  df-reu 2948  df-rmo 2949  df-rab 2950  df-v 3233  df-sbc 3469  df-csb 3567  df-dif 3610  df-un 3612  df-in 3614  df-ss 3621  df-pss 3623  df-nul 3949  df-if 4120  df-pw 4193  df-sn 4211  df-pr 4213  df-tp 4215  df-op 4217  df-uni 4469  df-int 4508  df-iun 4554  df-iin 4555  df-br 4686  df-opab 4746  df-mpt 4763  df-tr 4786  df-id 5053  df-eprel 5058  df-po 5064  df-so 5065  df-fr 5102  df-se 5103  df-we 5104  df-xp 5149  df-rel 5150  df-cnv 5151  df-co 5152  df-dm 5153  df-rn 5154  df-res 5155  df-ima 5156  df-pred 5718  df-ord 5764  df-on 5765  df-lim 5766  df-suc 5767  df-iota 5889  df-fun 5928  df-fn 5929  df-f 5930  df-f1 5931  df-fo 5932  df-f1o 5933  df-fv 5934  df-isom 5935  df-riota 6651  df-ov 6693  df-oprab 6694  df-mpt2 6695  df-of 6939  df-om 7108  df-1st 7210  df-2nd 7211  df-supp 7341  df-wrecs 7452  df-recs 7513  df-rdg 7551  df-1o 7605  df-2o 7606  df-oadd 7609  df-er 7787  df-map 7901  df-pm 7902  df-ixp 7951  df-en 7998  df-dom 7999  df-sdom 8000  df-fin 8001  df-fsupp 8317  df-fi 8358  df-sup 8389  df-inf 8390  df-oi 8456  df-card 8803  df-cda 9028  df-pnf 10114  df-mnf 10115  df-xr 10116  df-ltxr 10117  df-le 10118  df-sub 10306  df-neg 10307  df-div 10723  df-nn 11059  df-2 11117  df-3 11118  df-4 11119  df-5 11120  df-6 11121  df-7 11122  df-8 11123  df-9 11124  df-n0 11331  df-xnn0 11402  df-z 11416  df-dec 11532  df-uz 11726  df-q 11827  df-rp 11871  df-xneg 11984  df-xadd 11985  df-xmul 11986  df-ioo 12217  df-ioc 12218  df-ico 12219  df-icc 12220  df-fz 12365  df-fzo 12505  df-fl 12633  df-mod 12709  df-seq 12842  df-exp 12901  df-fac 13101  df-bc 13130  df-hash 13158  df-shft 13851  df-cj 13883  df-re 13884  df-im 13885  df-sqrt 14019  df-abs 14020  df-limsup 14246  df-clim 14263  df-rlim 14264  df-o1 14265  df-lo1 14266  df-sum 14461  df-ef 14842  df-e 14843  df-sin 14844  df-cos 14845  df-pi 14847  df-dvds 15028  df-gcd 15264  df-prm 15433  df-pc 15589  df-struct 15906  df-ndx 15907  df-slot 15908  df-base 15910  df-sets 15911  df-ress 15912  df-plusg 16001  df-mulr 16002  df-starv 16003  df-sca 16004  df-vsca 16005  df-ip 16006  df-tset 16007  df-ple 16008  df-ds 16011  df-unif 16012  df-hom 16013  df-cco 16014  df-rest 16130  df-topn 16131  df-0g 16149  df-gsum 16150  df-topgen 16151  df-pt 16152  df-prds 16155  df-xrs 16209  df-qtop 16214  df-imas 16215  df-xps 16217  df-mre 16293  df-mrc 16294  df-acs 16296  df-mgm 17289  df-sgrp 17331  df-mnd 17342  df-submnd 17383  df-mulg 17588  df-cntz 17796  df-cmn 18241  df-psmet 19786  df-xmet 19787  df-met 19788  df-bl 19789  df-mopn 19790  df-fbas 19791  df-fg 19792  df-cnfld 19795  df-top 20747  df-topon 20764  df-topsp 20785  df-bases 20798  df-cld 20871  df-ntr 20872  df-cls 20873  df-nei 20950  df-lp 20988  df-perf 20989  df-cn 21079  df-cnp 21080  df-haus 21167  df-tx 21413  df-hmeo 21606  df-fil 21697  df-fm 21789  df-flim 21790  df-flf 21791  df-xms 22172  df-ms 22173  df-tms 22174  df-cncf 22728  df-limc 23675  df-dv 23676  df-log 24348  df-cxp 24349  df-cht 24868  df-ppi 24871 This theorem is referenced by: (None)
 Copyright terms: Public domain W3C validator