Theorem chfacfscmulcl 21457

Description: Closure of a scaled value of the "characteristic factor function". (Contributed by AV, 9-Nov-2019.)

Hypotheses

Ref	Expression
chfacfisf.a	⊢ 𝐴 = (𝑁 Mat 𝑅)
chfacfisf.b	⊢ 𝐵 = (Base‘𝐴)
chfacfisf.p	⊢ 𝑃 = (Poly1‘𝑅)
chfacfisf.y	⊢ 𝑌 = (𝑁 Mat 𝑃)
chfacfisf.r	⊢ × = (.r‘𝑌)
chfacfisf.s	⊢ − = (-g‘𝑌)
chfacfisf.0	⊢ 0 = (0g‘𝑌)
chfacfisf.t	⊢ 𝑇 = (𝑁 matToPolyMat 𝑅)
chfacfisf.g	⊢ 𝐺 = (𝑛 ∈ ℕ0 ↦ if(𝑛 = 0, ( 0 − ((𝑇‘𝑀) × (𝑇‘(𝑏‘0)))), if(𝑛 = (𝑠 + 1), (𝑇‘(𝑏‘𝑠)), if((𝑠 + 1) < 𝑛, 0 , ((𝑇‘(𝑏‘(𝑛 − 1))) − ((𝑇‘𝑀) × (𝑇‘(𝑏‘𝑛))))))))
chfacfscmulcl.x	⊢ 𝑋 = (var1‘𝑅)
chfacfscmulcl.m	⊢ · = ( ·𝑠 ‘𝑌)
chfacfscmulcl.e	⊢ ↑ = (.g‘(mulGrp‘𝑃))

Assertion

Ref	Expression
chfacfscmulcl	⊢ (((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑀 ∈ 𝐵) ∧ (𝑠 ∈ ℕ ∧ 𝑏 ∈ (𝐵 ↑m (0...𝑠))) ∧ 𝐾 ∈ ℕ0) → ((𝐾 ↑ 𝑋) · (𝐺‘𝐾)) ∈ (Base‘𝑌))

Distinct variable groups:   𝐵,𝑛   𝑛,𝑀   𝑛,𝑁   𝑅,𝑛   𝑛,𝑌   𝑛,𝑏   𝑛,𝑠

Allowed substitution hints:   𝐴(𝑛,𝑠,𝑏)   𝐵(𝑠,𝑏)   𝑃(𝑛,𝑠,𝑏)   𝑅(𝑠,𝑏)   𝑇(𝑛,𝑠,𝑏)   · (𝑛,𝑠,𝑏)   × (𝑛,𝑠,𝑏)   ↑ (𝑛,𝑠,𝑏)   𝐺(𝑛,𝑠,𝑏)   𝐾(𝑛,𝑠,𝑏)   𝑀(𝑠,𝑏)   − (𝑛,𝑠,𝑏)   𝑁(𝑠,𝑏)   𝑋(𝑛,𝑠,𝑏)   𝑌(𝑠,𝑏)   0 (𝑛,𝑠,𝑏)

Proof of Theorem chfacfscmulcl

Step	Hyp	Ref	Expression
1		crngring 19300	. . . . 5 ⊢ (𝑅 ∈ CRing → 𝑅 ∈ Ring)
2		chfacfisf.p	. . . . . 6 ⊢ 𝑃 = (Poly1‘𝑅)
3		chfacfisf.y	. . . . . 6 ⊢ 𝑌 = (𝑁 Mat 𝑃)
4	2, 3	pmatlmod 21294	. . . . 5 ⊢ ((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) → 𝑌 ∈ LMod)
5	1, 4	sylan2 594	. . . 4 ⊢ ((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ CRing) → 𝑌 ∈ LMod)
6	5	3adant3 1127	. . 3 ⊢ ((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑀 ∈ 𝐵) → 𝑌 ∈ LMod)
7	6	3ad2ant1 1128	. 2 ⊢ (((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑀 ∈ 𝐵) ∧ (𝑠 ∈ ℕ ∧ 𝑏 ∈ (𝐵 ↑m (0...𝑠))) ∧ 𝐾 ∈ ℕ0) → 𝑌 ∈ LMod)
8	2	ply1ring 20408	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑅 ∈ Ring → 𝑃 ∈ Ring)
9	1, 8	syl 17	. . . . . . 7 ⊢ (𝑅 ∈ CRing → 𝑃 ∈ Ring)
10	9	3ad2ant2 1129	. . . . . 6 ⊢ ((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑀 ∈ 𝐵) → 𝑃 ∈ Ring)
11		eqid 2819	. . . . . . 7 ⊢ (mulGrp‘𝑃) = (mulGrp‘𝑃)
12	11	ringmgp 19295	. . . . . 6 ⊢ (𝑃 ∈ Ring → (mulGrp‘𝑃) ∈ Mnd)
13	10, 12	syl 17	. . . . 5 ⊢ ((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑀 ∈ 𝐵) → (mulGrp‘𝑃) ∈ Mnd)
14	13	3ad2ant1 1128	. . . 4 ⊢ (((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑀 ∈ 𝐵) ∧ (𝑠 ∈ ℕ ∧ 𝑏 ∈ (𝐵 ↑m (0...𝑠))) ∧ 𝐾 ∈ ℕ0) → (mulGrp‘𝑃) ∈ Mnd)
15		simp3 1133	. . . 4 ⊢ (((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑀 ∈ 𝐵) ∧ (𝑠 ∈ ℕ ∧ 𝑏 ∈ (𝐵 ↑m (0...𝑠))) ∧ 𝐾 ∈ ℕ0) → 𝐾 ∈ ℕ0)
16	1	3ad2ant2 1129	. . . . . 6 ⊢ ((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑀 ∈ 𝐵) → 𝑅 ∈ Ring)
17		chfacfscmulcl.x	. . . . . . 7 ⊢ 𝑋 = (var1‘𝑅)
18		eqid 2819	. . . . . . 7 ⊢ (Base‘𝑃) = (Base‘𝑃)
19	17, 2, 18	vr1cl 20377	. . . . . 6 ⊢ (𝑅 ∈ Ring → 𝑋 ∈ (Base‘𝑃))
20	16, 19	syl 17	. . . . 5 ⊢ ((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑀 ∈ 𝐵) → 𝑋 ∈ (Base‘𝑃))
21	20	3ad2ant1 1128	. . . 4 ⊢ (((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑀 ∈ 𝐵) ∧ (𝑠 ∈ ℕ ∧ 𝑏 ∈ (𝐵 ↑m (0...𝑠))) ∧ 𝐾 ∈ ℕ0) → 𝑋 ∈ (Base‘𝑃))
22	11, 18	mgpbas 19237	. . . . 5 ⊢ (Base‘𝑃) = (Base‘(mulGrp‘𝑃))
23		chfacfscmulcl.e	. . . . 5 ⊢ ↑ = (.g‘(mulGrp‘𝑃))
24	22, 23	mulgnn0cl 18236	. . . 4 ⊢ (((mulGrp‘𝑃) ∈ Mnd ∧ 𝐾 ∈ ℕ0 ∧ 𝑋 ∈ (Base‘𝑃)) → (𝐾 ↑ 𝑋) ∈ (Base‘𝑃))
25	14, 15, 21, 24	syl3anc 1366	. . 3 ⊢ (((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑀 ∈ 𝐵) ∧ (𝑠 ∈ ℕ ∧ 𝑏 ∈ (𝐵 ↑m (0...𝑠))) ∧ 𝐾 ∈ ℕ0) → (𝐾 ↑ 𝑋) ∈ (Base‘𝑃))
26	2	ply1crng 20358	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑅 ∈ CRing → 𝑃 ∈ CRing)
27	26	anim2i 618	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ CRing) → (𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑃 ∈ CRing))
28	27	3adant3 1127	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑀 ∈ 𝐵) → (𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑃 ∈ CRing))
29	3	matsca2 21021	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑃 ∈ CRing) → 𝑃 = (Scalar‘𝑌))
30	28, 29	syl 17	. . . . . 6 ⊢ ((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑀 ∈ 𝐵) → 𝑃 = (Scalar‘𝑌))
31	30	eqcomd 2825	. . . . 5 ⊢ ((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑀 ∈ 𝐵) → (Scalar‘𝑌) = 𝑃)
32	31	fveq2d 6667	. . . 4 ⊢ ((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑀 ∈ 𝐵) → (Base‘(Scalar‘𝑌)) = (Base‘𝑃))
33	32	3ad2ant1 1128	. . 3 ⊢ (((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑀 ∈ 𝐵) ∧ (𝑠 ∈ ℕ ∧ 𝑏 ∈ (𝐵 ↑m (0...𝑠))) ∧ 𝐾 ∈ ℕ0) → (Base‘(Scalar‘𝑌)) = (Base‘𝑃))
34	25, 33	eleqtrrd 2914	. 2 ⊢ (((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑀 ∈ 𝐵) ∧ (𝑠 ∈ ℕ ∧ 𝑏 ∈ (𝐵 ↑m (0...𝑠))) ∧ 𝐾 ∈ ℕ0) → (𝐾 ↑ 𝑋) ∈ (Base‘(Scalar‘𝑌)))
35		chfacfisf.a	. . . . . 6 ⊢ 𝐴 = (𝑁 Mat 𝑅)
36		chfacfisf.b	. . . . . 6 ⊢ 𝐵 = (Base‘𝐴)
37		chfacfisf.r	. . . . . 6 ⊢ × = (.r‘𝑌)
38		chfacfisf.s	. . . . . 6 ⊢ − = (-g‘𝑌)
39		chfacfisf.0	. . . . . 6 ⊢ 0 = (0g‘𝑌)
40		chfacfisf.t	. . . . . 6 ⊢ 𝑇 = (𝑁 matToPolyMat 𝑅)
41		chfacfisf.g	. . . . . 6 ⊢ 𝐺 = (𝑛 ∈ ℕ0 ↦ if(𝑛 = 0, ( 0 − ((𝑇‘𝑀) × (𝑇‘(𝑏‘0)))), if(𝑛 = (𝑠 + 1), (𝑇‘(𝑏‘𝑠)), if((𝑠 + 1) < 𝑛, 0 , ((𝑇‘(𝑏‘(𝑛 − 1))) − ((𝑇‘𝑀) × (𝑇‘(𝑏‘𝑛))))))))
42	35, 36, 2, 3, 37, 38, 39, 40, 41	chfacfisf 21454	. . . . 5 ⊢ (((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑀 ∈ 𝐵) ∧ (𝑠 ∈ ℕ ∧ 𝑏 ∈ (𝐵 ↑m (0...𝑠)))) → 𝐺:ℕ0⟶(Base‘𝑌))
43	1, 42	syl3anl2 1408	. . . 4 ⊢ (((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑀 ∈ 𝐵) ∧ (𝑠 ∈ ℕ ∧ 𝑏 ∈ (𝐵 ↑m (0...𝑠)))) → 𝐺:ℕ0⟶(Base‘𝑌))
44	43	3adant3 1127	. . 3 ⊢ (((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑀 ∈ 𝐵) ∧ (𝑠 ∈ ℕ ∧ 𝑏 ∈ (𝐵 ↑m (0...𝑠))) ∧ 𝐾 ∈ ℕ0) → 𝐺:ℕ0⟶(Base‘𝑌))
45	44, 15	ffvelrnd 6845	. 2 ⊢ (((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑀 ∈ 𝐵) ∧ (𝑠 ∈ ℕ ∧ 𝑏 ∈ (𝐵 ↑m (0...𝑠))) ∧ 𝐾 ∈ ℕ0) → (𝐺‘𝐾) ∈ (Base‘𝑌))
46		eqid 2819	. . 3 ⊢ (Base‘𝑌) = (Base‘𝑌)
47		eqid 2819	. . 3 ⊢ (Scalar‘𝑌) = (Scalar‘𝑌)
48		chfacfscmulcl.m	. . 3 ⊢ · = ( ·𝑠 ‘𝑌)
49		eqid 2819	. . 3 ⊢ (Base‘(Scalar‘𝑌)) = (Base‘(Scalar‘𝑌))
50	46, 47, 48, 49	lmodvscl 19643	. 2 ⊢ ((𝑌 ∈ LMod ∧ (𝐾 ↑ 𝑋) ∈ (Base‘(Scalar‘𝑌)) ∧ (𝐺‘𝐾) ∈ (Base‘𝑌)) → ((𝐾 ↑ 𝑋) · (𝐺‘𝐾)) ∈ (Base‘𝑌))
51	7, 34, 45, 50	syl3anc 1366	1 ⊢ (((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑀 ∈ 𝐵) ∧ (𝑠 ∈ ℕ ∧ 𝑏 ∈ (𝐵 ↑m (0...𝑠))) ∧ 𝐾 ∈ ℕ0) → ((𝐾 ↑ 𝑋) · (𝐺‘𝐾)) ∈ (Base‘𝑌))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 398   ∧ w3a 1082   = wceq 1531   ∈ wcel 2108  ifcif 4465   class class class wbr 5057   ↦ cmpt 5137  ⟶wf 6344  ‘cfv 6348  (class class class)co 7148   ↑_m cmap 8398  Fincfn 8501  0cc0 10529  1c1 10530   + caddc 10532   < clt 10667   − cmin 10862  ℕcn 11630  ℕ₀cn0 11889  ...cfz 12884  Basecbs 16475  ._rcmulr 16558  Scalarcsca 16560   ·_𝑠 cvsca 16561  0_gc0g 16705  Mndcmnd 17903  -_gcsg 18097  ._gcmg 18216  mulGrpcmgp 19231  Ringcrg 19289  CRingccrg 19290  LModclmod 19626  var₁cv1 20336  Poly₁cpl1 20337   Mat cmat 21008   matToPolyMat cmat2pmat 21304

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1790  ax-4 1804  ax-5 1905  ax-6 1964  ax-7 2009  ax-8 2110  ax-9 2118  ax-10 2139  ax-11 2154  ax-12 2170  ax-ext 2791  ax-rep 5181  ax-sep 5194  ax-nul 5201  ax-pow 5257  ax-pr 5320  ax-un 7453  ax-cnex 10585  ax-resscn 10586  ax-1cn 10587  ax-icn 10588  ax-addcl 10589  ax-addrcl 10590  ax-mulcl 10591  ax-mulrcl 10592  ax-mulcom 10593  ax-addass 10594  ax-mulass 10595  ax-distr 10596  ax-i2m1 10597  ax-1ne0 10598  ax-1rid 10599  ax-rnegex 10600  ax-rrecex 10601  ax-cnre 10602  ax-pre-lttri 10603  ax-pre-lttrn 10604  ax-pre-ltadd 10605  ax-pre-mulgt0 10606

This theorem depends on definitions:  df-bi 209  df-an 399  df-or 844  df-3or 1083  df-3an 1084  df-tru 1534  df-ex 1775  df-nf 1779  df-sb 2064  df-mo 2616  df-eu 2648  df-clab 2798  df-cleq 2812  df-clel 2891  df-nfc 2961  df-ne 3015  df-nel 3122  df-ral 3141  df-rex 3142  df-reu 3143  df-rmo 3144  df-rab 3145  df-v 3495  df-sbc 3771  df-csb 3882  df-dif 3937  df-un 3939  df-in 3941  df-ss 3950  df-pss 3952  df-nul 4290  df-if 4466  df-pw 4539  df-sn 4560  df-pr 4562  df-tp 4564  df-op 4566  df-ot 4568  df-uni 4831  df-int 4868  df-iun 4912  df-iin 4913  df-br 5058  df-opab 5120  df-mpt 5138  df-tr 5164  df-id 5453  df-eprel 5458  df-po 5467  df-so 5468  df-fr 5507  df-se 5508  df-we 5509  df-xp 5554  df-rel 5555  df-cnv 5556  df-co 5557  df-dm 5558  df-rn 5559  df-res 5560  df-ima 5561  df-pred 6141  df-ord 6187  df-on 6188  df-lim 6189  df-suc 6190  df-iota 6307  df-fun 6350  df-fn 6351  df-f 6352  df-f1 6353  df-fo 6354  df-f1o 6355  df-fv 6356  df-isom 6357  df-riota 7106  df-ov 7151  df-oprab 7152  df-mpo 7153  df-of 7401  df-ofr 7402  df-om 7573  df-1st 7681  df-2nd 7682  df-supp 7823  df-wrecs 7939  df-recs 8000  df-rdg 8038  df-1o 8094  df-2o 8095  df-oadd 8098  df-er 8281  df-map 8400  df-pm 8401  df-ixp 8454  df-en 8502  df-dom 8503  df-sdom 8504  df-fin 8505  df-fsupp 8826  df-sup 8898  df-oi 8966  df-card 9360  df-pnf 10669  df-mnf 10670  df-xr 10671  df-ltxr 10672  df-le 10673  df-sub 10864  df-neg 10865  df-nn 11631  df-2 11692  df-3 11693  df-4 11694  df-5 11695  df-6 11696  df-7 11697  df-8 11698  df-9 11699  df-n0 11890  df-z 11974  df-dec 12091  df-uz 12236  df-fz 12885  df-fzo 13026  df-seq 13362  df-hash 13683  df-struct 16477  df-ndx 16478  df-slot 16479  df-base 16481  df-sets 16482  df-ress 16483  df-plusg 16570  df-mulr 16571  df-sca 16573  df-vsca 16574  df-ip 16575  df-tset 16576  df-ple 16577  df-ds 16579  df-hom 16581  df-cco 16582  df-0g 16707  df-gsum 16708  df-prds 16713  df-pws 16715  df-mre 16849  df-mrc 16850  df-acs 16852  df-mgm 17844  df-sgrp 17893  df-mnd 17904  df-mhm 17948  df-submnd 17949  df-grp 18098  df-minusg 18099  df-sbg 18100  df-mulg 18217  df-subg 18268  df-ghm 18348  df-cntz 18439  df-cmn 18900  df-abl 18901  df-mgp 19232  df-ur 19244  df-ring 19291  df-cring 19292  df-subrg 19525  df-lmod 19628  df-lss 19696  df-sra 19936  df-rgmod 19937  df-ascl 20079  df-psr 20128  df-mvr 20129  df-mpl 20130  df-opsr 20132  df-psr1 20340  df-vr1 20341  df-ply1 20342  df-dsmm 20868  df-frlm 20883  df-mamu 20987  df-mat 21009  df-mat2pmat 21307

This theorem is referenced by:  chfacfscmulgsum  21460