HSE Home Hilbert Space Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  HSE Home  >  Th. List  >  chincl Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem chincl 28486
Description: Closure of Hilbert lattice intersection. (Contributed by NM, 15-Jun-2004.) (New usage is discouraged.)
Assertion
Ref Expression
chincl ((𝐴C𝐵C ) → (𝐴𝐵) ∈ C )

Proof of Theorem chincl
StepHypRef Expression
1 ineq1 3840 . . 3 (𝐴 = if(𝐴C , 𝐴, ℋ) → (𝐴𝐵) = (if(𝐴C , 𝐴, ℋ) ∩ 𝐵))
21eleq1d 2715 . 2 (𝐴 = if(𝐴C , 𝐴, ℋ) → ((𝐴𝐵) ∈ C ↔ (if(𝐴C , 𝐴, ℋ) ∩ 𝐵) ∈ C ))
3 ineq2 3841 . . 3 (𝐵 = if(𝐵C , 𝐵, ℋ) → (if(𝐴C , 𝐴, ℋ) ∩ 𝐵) = (if(𝐴C , 𝐴, ℋ) ∩ if(𝐵C , 𝐵, ℋ)))
43eleq1d 2715 . 2 (𝐵 = if(𝐵C , 𝐵, ℋ) → ((if(𝐴C , 𝐴, ℋ) ∩ 𝐵) ∈ C ↔ (if(𝐴C , 𝐴, ℋ) ∩ if(𝐵C , 𝐵, ℋ)) ∈ C ))
5 ifchhv 28229 . . 3 if(𝐴C , 𝐴, ℋ) ∈ C
6 ifchhv 28229 . . 3 if(𝐵C , 𝐵, ℋ) ∈ C
75, 6chincli 28447 . 2 (if(𝐴C , 𝐴, ℋ) ∩ if(𝐵C , 𝐵, ℋ)) ∈ C
82, 4, 7dedth2h 4173 1 ((𝐴C𝐵C ) → (𝐴𝐵) ∈ C )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wa 383   = wceq 1523  wcel 2030  cin 3606  ifcif 4119  chil 27904   C cch 27914
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1762  ax-4 1777  ax-5 1879  ax-6 1945  ax-7 1981  ax-8 2032  ax-9 2039  ax-10 2059  ax-11 2074  ax-12 2087  ax-13 2282  ax-ext 2631  ax-rep 4804  ax-sep 4814  ax-nul 4822  ax-pow 4873  ax-pr 4936  ax-un 6991  ax-cnex 10030  ax-resscn 10031  ax-1cn 10032  ax-icn 10033  ax-addcl 10034  ax-addrcl 10035  ax-mulcl 10036  ax-mulrcl 10037  ax-i2m1 10042  ax-1ne0 10043  ax-rrecex 10046  ax-cnre 10047  ax-hilex 27984  ax-hfvadd 27985  ax-hv0cl 27988  ax-hfvmul 27990
This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 384  df-an 385  df-3or 1055  df-3an 1056  df-tru 1526  df-ex 1745  df-nf 1750  df-sb 1938  df-eu 2502  df-mo 2503  df-clab 2638  df-cleq 2644  df-clel 2647  df-nfc 2782  df-ne 2824  df-ral 2946  df-rex 2947  df-reu 2948  df-rab 2950  df-v 3233  df-sbc 3469  df-csb 3567  df-dif 3610  df-un 3612  df-in 3614  df-ss 3621  df-pss 3623  df-nul 3949  df-if 4120  df-pw 4193  df-sn 4211  df-pr 4213  df-tp 4215  df-op 4217  df-uni 4469  df-int 4508  df-iun 4554  df-br 4686  df-opab 4746  df-mpt 4763  df-tr 4786  df-id 5053  df-eprel 5058  df-po 5064  df-so 5065  df-fr 5102  df-we 5104  df-xp 5149  df-rel 5150  df-cnv 5151  df-co 5152  df-dm 5153  df-rn 5154  df-res 5155  df-ima 5156  df-pred 5718  df-ord 5764  df-on 5765  df-lim 5766  df-suc 5767  df-iota 5889  df-fun 5928  df-fn 5929  df-f 5930  df-f1 5931  df-fo 5932  df-f1o 5933  df-fv 5934  df-ov 6693  df-oprab 6694  df-mpt2 6695  df-om 7108  df-wrecs 7452  df-recs 7513  df-rdg 7551  df-map 7901  df-nn 11059  df-hlim 27957  df-sh 28192  df-ch 28206
This theorem is referenced by:  chabs1  28503  chdmj1  28516  fh1  28605  fh2  28606  cm2j  28607  mdbr2  29283  mdbr3  29284  mdbr4  29285  dmdmd  29287  dmdbr2  29290  dmdbr5  29295  mddmd2  29296  mdsl0  29297  mdsl3  29303  mdsl2i  29309  mdslmd1i  29316  cvp  29362  atomli  29369  atordi  29371  atcvat3i  29383  atcvat4i  29384  mdsymlem1  29390  mdsymlem3  29392  mdsymlem5  29394  mdsymlem6  29395  sumdmdii  29402  dmdbr5ati  29409
  Copyright terms: Public domain W3C validator