Hilbert Space Explorer < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  HSE Home  >  Th. List  >  chintcli Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem chintcli 28060
 Description: The intersection of a nonempty set of closed subspaces is a closed subspace. (Contributed by NM, 14-Oct-1999.) (New usage is discouraged.)
Hypothesis
Ref Expression
chintcl.1 (𝐴C𝐴 ≠ ∅)
Assertion
Ref Expression
chintcli 𝐴C

Proof of Theorem chintcli
Dummy variables 𝑥 𝑓 𝑦 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 chintcl.1 . . . . . 6 (𝐴C𝐴 ≠ ∅)
21simpli 474 . . . . 5 𝐴C
3 chsssh 27952 . . . . 5 CS
42, 3sstri 3596 . . . 4 𝐴S
51simpri 478 . . . 4 𝐴 ≠ ∅
64, 5pm3.2i 471 . . 3 (𝐴S𝐴 ≠ ∅)
76shintcli 28058 . 2 𝐴S
82sseli 3583 . . . . . . . 8 (𝑦𝐴𝑦C )
9 vex 3192 . . . . . . . . . . 11 𝑥 ∈ V
109chlimi 27961 . . . . . . . . . 10 ((𝑦C𝑓:ℕ⟶𝑦𝑓𝑣 𝑥) → 𝑥𝑦)
11103exp 1261 . . . . . . . . 9 (𝑦C → (𝑓:ℕ⟶𝑦 → (𝑓𝑣 𝑥𝑥𝑦)))
1211com3r 87 . . . . . . . 8 (𝑓𝑣 𝑥 → (𝑦C → (𝑓:ℕ⟶𝑦𝑥𝑦)))
138, 12syl5 34 . . . . . . 7 (𝑓𝑣 𝑥 → (𝑦𝐴 → (𝑓:ℕ⟶𝑦𝑥𝑦)))
1413imp 445 . . . . . 6 ((𝑓𝑣 𝑥𝑦𝐴) → (𝑓:ℕ⟶𝑦𝑥𝑦))
1514ralimdva 2957 . . . . 5 (𝑓𝑣 𝑥 → (∀𝑦𝐴 𝑓:ℕ⟶𝑦 → ∀𝑦𝐴 𝑥𝑦))
165fint 6046 . . . . 5 (𝑓:ℕ⟶ 𝐴 ↔ ∀𝑦𝐴 𝑓:ℕ⟶𝑦)
179elint2 4452 . . . . 5 (𝑥 𝐴 ↔ ∀𝑦𝐴 𝑥𝑦)
1815, 16, 173imtr4g 285 . . . 4 (𝑓𝑣 𝑥 → (𝑓:ℕ⟶ 𝐴𝑥 𝐴))
1918impcom 446 . . 3 ((𝑓:ℕ⟶ 𝐴𝑓𝑣 𝑥) → 𝑥 𝐴)
2019gen2 1720 . 2 𝑓𝑥((𝑓:ℕ⟶ 𝐴𝑓𝑣 𝑥) → 𝑥 𝐴)
21 isch2 27950 . 2 ( 𝐴C ↔ ( 𝐴S ∧ ∀𝑓𝑥((𝑓:ℕ⟶ 𝐴𝑓𝑣 𝑥) → 𝑥 𝐴)))
227, 20, 21mpbir2an 954 1 𝐴C
 Colors of variables: wff setvar class Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 384  ∀wal 1478   ∈ wcel 1987   ≠ wne 2790  ∀wral 2907   ⊆ wss 3559  ∅c0 3896  ∩ cint 4445   class class class wbr 4618  ⟶wf 5848  ℕcn 10972   ⇝𝑣 chli 27654   Sℋ csh 27655   Cℋ cch 27656 This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1719  ax-4 1734  ax-5 1836  ax-6 1885  ax-7 1932  ax-8 1989  ax-9 1996  ax-10 2016  ax-11 2031  ax-12 2044  ax-13 2245  ax-ext 2601  ax-rep 4736  ax-sep 4746  ax-nul 4754  ax-pow 4808  ax-pr 4872  ax-un 6909  ax-cnex 9944  ax-resscn 9945  ax-1cn 9946  ax-icn 9947  ax-addcl 9948  ax-addrcl 9949  ax-mulcl 9950  ax-mulrcl 9951  ax-i2m1 9956  ax-1ne0 9957  ax-rrecex 9960  ax-cnre 9961  ax-hilex 27726  ax-hfvadd 27727  ax-hv0cl 27730  ax-hfvmul 27732 This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 385  df-an 386  df-3or 1037  df-3an 1038  df-tru 1483  df-ex 1702  df-nf 1707  df-sb 1878  df-eu 2473  df-mo 2474  df-clab 2608  df-cleq 2614  df-clel 2617  df-nfc 2750  df-ne 2791  df-ral 2912  df-rex 2913  df-reu 2914  df-rab 2916  df-v 3191  df-sbc 3422  df-csb 3519  df-dif 3562  df-un 3564  df-in 3566  df-ss 3573  df-pss 3575  df-nul 3897  df-if 4064  df-pw 4137  df-sn 4154  df-pr 4156  df-tp 4158  df-op 4160  df-uni 4408  df-int 4446  df-iun 4492  df-br 4619  df-opab 4679  df-mpt 4680  df-tr 4718  df-eprel 4990  df-id 4994  df-po 5000  df-so 5001  df-fr 5038  df-we 5040  df-xp 5085  df-rel 5086  df-cnv 5087  df-co 5088  df-dm 5089  df-rn 5090  df-res 5091  df-ima 5092  df-pred 5644  df-ord 5690  df-on 5691  df-lim 5692  df-suc 5693  df-iota 5815  df-fun 5854  df-fn 5855  df-f 5856  df-f1 5857  df-fo 5858  df-f1o 5859  df-fv 5860  df-ov 6613  df-oprab 6614  df-mpt2 6615  df-om 7020  df-wrecs 7359  df-recs 7420  df-rdg 7458  df-map 7811  df-nn 10973  df-sh 27934  df-ch 27948 This theorem is referenced by:  chintcl  28061  chincli  28189
 Copyright terms: Public domain W3C validator