HSE Home Hilbert Space Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  HSE Home  >  Th. List  >  chirred Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem chirred 29382
Description: The Hilbert lattice is irreducible: any element that commutes with all elements must be zero or one. Theorem 14.8.4 of [BeltramettiCassinelli] p. 166. (Contributed by NM, 16-Jun-2006.) (New usage is discouraged.)
Assertion
Ref Expression
chirred ((𝐴C ∧ ∀𝑥C 𝐴 𝐶 𝑥) → (𝐴 = 0𝐴 = ℋ))
Distinct variable group:   𝑥,𝐴

Proof of Theorem chirred
Dummy variable 𝑦 is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 eqeq1 2655 . . 3 (𝐴 = if((𝐴C ∧ ∀𝑥C 𝐴 𝐶 𝑥), 𝐴, 0) → (𝐴 = 0 ↔ if((𝐴C ∧ ∀𝑥C 𝐴 𝐶 𝑥), 𝐴, 0) = 0))
2 eqeq1 2655 . . 3 (𝐴 = if((𝐴C ∧ ∀𝑥C 𝐴 𝐶 𝑥), 𝐴, 0) → (𝐴 = ℋ ↔ if((𝐴C ∧ ∀𝑥C 𝐴 𝐶 𝑥), 𝐴, 0) = ℋ))
31, 2orbi12d 746 . 2 (𝐴 = if((𝐴C ∧ ∀𝑥C 𝐴 𝐶 𝑥), 𝐴, 0) → ((𝐴 = 0𝐴 = ℋ) ↔ (if((𝐴C ∧ ∀𝑥C 𝐴 𝐶 𝑥), 𝐴, 0) = 0 ∨ if((𝐴C ∧ ∀𝑥C 𝐴 𝐶 𝑥), 𝐴, 0) = ℋ)))
4 eleq1 2718 . . . . . 6 (𝐴 = if((𝐴C ∧ ∀𝑥C 𝐴 𝐶 𝑥), 𝐴, 0) → (𝐴C ↔ if((𝐴C ∧ ∀𝑥C 𝐴 𝐶 𝑥), 𝐴, 0) ∈ C ))
5 nfv 1883 . . . . . . . . . 10 𝑥 𝐴C
6 nfra1 2970 . . . . . . . . . 10 𝑥𝑥C 𝐴 𝐶 𝑥
75, 6nfan 1868 . . . . . . . . 9 𝑥(𝐴C ∧ ∀𝑥C 𝐴 𝐶 𝑥)
8 nfcv 2793 . . . . . . . . 9 𝑥𝐴
9 nfcv 2793 . . . . . . . . 9 𝑥0
107, 8, 9nfif 4148 . . . . . . . 8 𝑥if((𝐴C ∧ ∀𝑥C 𝐴 𝐶 𝑥), 𝐴, 0)
1110nfeq2 2809 . . . . . . 7 𝑥 𝐴 = if((𝐴C ∧ ∀𝑥C 𝐴 𝐶 𝑥), 𝐴, 0)
12 breq1 4688 . . . . . . 7 (𝐴 = if((𝐴C ∧ ∀𝑥C 𝐴 𝐶 𝑥), 𝐴, 0) → (𝐴 𝐶 𝑥 ↔ if((𝐴C ∧ ∀𝑥C 𝐴 𝐶 𝑥), 𝐴, 0) 𝐶 𝑥))
1311, 12ralbid 3012 . . . . . 6 (𝐴 = if((𝐴C ∧ ∀𝑥C 𝐴 𝐶 𝑥), 𝐴, 0) → (∀𝑥C 𝐴 𝐶 𝑥 ↔ ∀𝑥C if((𝐴C ∧ ∀𝑥C 𝐴 𝐶 𝑥), 𝐴, 0) 𝐶 𝑥))
144, 13anbi12d 747 . . . . 5 (𝐴 = if((𝐴C ∧ ∀𝑥C 𝐴 𝐶 𝑥), 𝐴, 0) → ((𝐴C ∧ ∀𝑥C 𝐴 𝐶 𝑥) ↔ (if((𝐴C ∧ ∀𝑥C 𝐴 𝐶 𝑥), 𝐴, 0) ∈ C ∧ ∀𝑥C if((𝐴C ∧ ∀𝑥C 𝐴 𝐶 𝑥), 𝐴, 0) 𝐶 𝑥)))
15 eleq1 2718 . . . . . 6 (0 = if((𝐴C ∧ ∀𝑥C 𝐴 𝐶 𝑥), 𝐴, 0) → (0C ↔ if((𝐴C ∧ ∀𝑥C 𝐴 𝐶 𝑥), 𝐴, 0) ∈ C ))
1610nfeq2 2809 . . . . . . 7 𝑥0 = if((𝐴C ∧ ∀𝑥C 𝐴 𝐶 𝑥), 𝐴, 0)
17 breq1 4688 . . . . . . 7 (0 = if((𝐴C ∧ ∀𝑥C 𝐴 𝐶 𝑥), 𝐴, 0) → (0 𝐶 𝑥 ↔ if((𝐴C ∧ ∀𝑥C 𝐴 𝐶 𝑥), 𝐴, 0) 𝐶 𝑥))
1816, 17ralbid 3012 . . . . . 6 (0 = if((𝐴C ∧ ∀𝑥C 𝐴 𝐶 𝑥), 𝐴, 0) → (∀𝑥C 0 𝐶 𝑥 ↔ ∀𝑥C if((𝐴C ∧ ∀𝑥C 𝐴 𝐶 𝑥), 𝐴, 0) 𝐶 𝑥))
1915, 18anbi12d 747 . . . . 5 (0 = if((𝐴C ∧ ∀𝑥C 𝐴 𝐶 𝑥), 𝐴, 0) → ((0C ∧ ∀𝑥C 0 𝐶 𝑥) ↔ (if((𝐴C ∧ ∀𝑥C 𝐴 𝐶 𝑥), 𝐴, 0) ∈ C ∧ ∀𝑥C if((𝐴C ∧ ∀𝑥C 𝐴 𝐶 𝑥), 𝐴, 0) 𝐶 𝑥)))
20 h0elch 28240 . . . . . 6 0C
21 cm0 28596 . . . . . . 7 (𝑥C → 0 𝐶 𝑥)
2221rgen 2951 . . . . . 6 𝑥C 0 𝐶 𝑥
2320, 22pm3.2i 470 . . . . 5 (0C ∧ ∀𝑥C 0 𝐶 𝑥)
2414, 19, 23elimhyp 4179 . . . 4 (if((𝐴C ∧ ∀𝑥C 𝐴 𝐶 𝑥), 𝐴, 0) ∈ C ∧ ∀𝑥C if((𝐴C ∧ ∀𝑥C 𝐴 𝐶 𝑥), 𝐴, 0) 𝐶 𝑥)
2524simpli 473 . . 3 if((𝐴C ∧ ∀𝑥C 𝐴 𝐶 𝑥), 𝐴, 0) ∈ C
2624simpri 477 . . . 4 𝑥C if((𝐴C ∧ ∀𝑥C 𝐴 𝐶 𝑥), 𝐴, 0) 𝐶 𝑥
27 nfcv 2793 . . . . . 6 𝑥 𝐶
28 nfcv 2793 . . . . . 6 𝑥𝑦
2910, 27, 28nfbr 4732 . . . . 5 𝑥if((𝐴C ∧ ∀𝑥C 𝐴 𝐶 𝑥), 𝐴, 0) 𝐶 𝑦
30 breq2 4689 . . . . 5 (𝑥 = 𝑦 → (if((𝐴C ∧ ∀𝑥C 𝐴 𝐶 𝑥), 𝐴, 0) 𝐶 𝑥 ↔ if((𝐴C ∧ ∀𝑥C 𝐴 𝐶 𝑥), 𝐴, 0) 𝐶 𝑦))
3129, 30rspc 3334 . . . 4 (𝑦C → (∀𝑥C if((𝐴C ∧ ∀𝑥C 𝐴 𝐶 𝑥), 𝐴, 0) 𝐶 𝑥 → if((𝐴C ∧ ∀𝑥C 𝐴 𝐶 𝑥), 𝐴, 0) 𝐶 𝑦))
3226, 31mpi 20 . . 3 (𝑦C → if((𝐴C ∧ ∀𝑥C 𝐴 𝐶 𝑥), 𝐴, 0) 𝐶 𝑦)
3325, 32chirredi 29381 . 2 (if((𝐴C ∧ ∀𝑥C 𝐴 𝐶 𝑥), 𝐴, 0) = 0 ∨ if((𝐴C ∧ ∀𝑥C 𝐴 𝐶 𝑥), 𝐴, 0) = ℋ)
343, 33dedth 4172 1 ((𝐴C ∧ ∀𝑥C 𝐴 𝐶 𝑥) → (𝐴 = 0𝐴 = ℋ))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wo 382  wa 383   = wceq 1523  wcel 2030  wral 2941  ifcif 4119   class class class wbr 4685  chil 27904   C cch 27914  0c0h 27920   𝐶 ccm 27921
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1762  ax-4 1777  ax-5 1879  ax-6 1945  ax-7 1981  ax-8 2032  ax-9 2039  ax-10 2059  ax-11 2074  ax-12 2087  ax-13 2282  ax-ext 2631  ax-rep 4804  ax-sep 4814  ax-nul 4822  ax-pow 4873  ax-pr 4936  ax-un 6991  ax-inf2 8576  ax-cc 9295  ax-cnex 10030  ax-resscn 10031  ax-1cn 10032  ax-icn 10033  ax-addcl 10034  ax-addrcl 10035  ax-mulcl 10036  ax-mulrcl 10037  ax-mulcom 10038  ax-addass 10039  ax-mulass 10040  ax-distr 10041  ax-i2m1 10042  ax-1ne0 10043  ax-1rid 10044  ax-rnegex 10045  ax-rrecex 10046  ax-cnre 10047  ax-pre-lttri 10048  ax-pre-lttrn 10049  ax-pre-ltadd 10050  ax-pre-mulgt0 10051  ax-pre-sup 10052  ax-addf 10053  ax-mulf 10054  ax-hilex 27984  ax-hfvadd 27985  ax-hvcom 27986  ax-hvass 27987  ax-hv0cl 27988  ax-hvaddid 27989  ax-hfvmul 27990  ax-hvmulid 27991  ax-hvmulass 27992  ax-hvdistr1 27993  ax-hvdistr2 27994  ax-hvmul0 27995  ax-hfi 28064  ax-his1 28067  ax-his2 28068  ax-his3 28069  ax-his4 28070  ax-hcompl 28187
This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 384  df-an 385  df-3or 1055  df-3an 1056  df-tru 1526  df-fal 1529  df-ex 1745  df-nf 1750  df-sb 1938  df-eu 2502  df-mo 2503  df-clab 2638  df-cleq 2644  df-clel 2647  df-nfc 2782  df-ne 2824  df-nel 2927  df-ral 2946  df-rex 2947  df-reu 2948  df-rmo 2949  df-rab 2950  df-v 3233  df-sbc 3469  df-csb 3567  df-dif 3610  df-un 3612  df-in 3614  df-ss 3621  df-pss 3623  df-nul 3949  df-if 4120  df-pw 4193  df-sn 4211  df-pr 4213  df-tp 4215  df-op 4217  df-uni 4469  df-int 4508  df-iun 4554  df-iin 4555  df-br 4686  df-opab 4746  df-mpt 4763  df-tr 4786  df-id 5053  df-eprel 5058  df-po 5064  df-so 5065  df-fr 5102  df-se 5103  df-we 5104  df-xp 5149  df-rel 5150  df-cnv 5151  df-co 5152  df-dm 5153  df-rn 5154  df-res 5155  df-ima 5156  df-pred 5718  df-ord 5764  df-on 5765  df-lim 5766  df-suc 5767  df-iota 5889  df-fun 5928  df-fn 5929  df-f 5930  df-f1 5931  df-fo 5932  df-f1o 5933  df-fv 5934  df-isom 5935  df-riota 6651  df-ov 6693  df-oprab 6694  df-mpt2 6695  df-of 6939  df-om 7108  df-1st 7210  df-2nd 7211  df-supp 7341  df-wrecs 7452  df-recs 7513  df-rdg 7551  df-1o 7605  df-2o 7606  df-oadd 7609  df-omul 7610  df-er 7787  df-map 7901  df-pm 7902  df-ixp 7951  df-en 7998  df-dom 7999  df-sdom 8000  df-fin 8001  df-fsupp 8317  df-fi 8358  df-sup 8389  df-inf 8390  df-oi 8456  df-card 8803  df-acn 8806  df-cda 9028  df-pnf 10114  df-mnf 10115  df-xr 10116  df-ltxr 10117  df-le 10118  df-sub 10306  df-neg 10307  df-div 10723  df-nn 11059  df-2 11117  df-3 11118  df-4 11119  df-5 11120  df-6 11121  df-7 11122  df-8 11123  df-9 11124  df-n0 11331  df-z 11416  df-dec 11532  df-uz 11726  df-q 11827  df-rp 11871  df-xneg 11984  df-xadd 11985  df-xmul 11986  df-ioo 12217  df-ico 12219  df-icc 12220  df-fz 12365  df-fzo 12505  df-fl 12633  df-seq 12842  df-exp 12901  df-hash 13158  df-cj 13883  df-re 13884  df-im 13885  df-sqrt 14019  df-abs 14020  df-clim 14263  df-rlim 14264  df-sum 14461  df-struct 15906  df-ndx 15907  df-slot 15908  df-base 15910  df-sets 15911  df-ress 15912  df-plusg 16001  df-mulr 16002  df-starv 16003  df-sca 16004  df-vsca 16005  df-ip 16006  df-tset 16007  df-ple 16008  df-ds 16011  df-unif 16012  df-hom 16013  df-cco 16014  df-rest 16130  df-topn 16131  df-0g 16149  df-gsum 16150  df-topgen 16151  df-pt 16152  df-prds 16155  df-xrs 16209  df-qtop 16214  df-imas 16215  df-xps 16217  df-mre 16293  df-mrc 16294  df-acs 16296  df-mgm 17289  df-sgrp 17331  df-mnd 17342  df-submnd 17383  df-mulg 17588  df-cntz 17796  df-cmn 18241  df-psmet 19786  df-xmet 19787  df-met 19788  df-bl 19789  df-mopn 19790  df-fbas 19791  df-fg 19792  df-cnfld 19795  df-top 20747  df-topon 20764  df-topsp 20785  df-bases 20798  df-cld 20871  df-ntr 20872  df-cls 20873  df-nei 20950  df-cn 21079  df-cnp 21080  df-lm 21081  df-haus 21167  df-tx 21413  df-hmeo 21606  df-fil 21697  df-fm 21789  df-flim 21790  df-flf 21791  df-xms 22172  df-ms 22173  df-tms 22174  df-cfil 23099  df-cau 23100  df-cmet 23101  df-grpo 27475  df-gid 27476  df-ginv 27477  df-gdiv 27478  df-ablo 27527  df-vc 27542  df-nv 27575  df-va 27578  df-ba 27579  df-sm 27580  df-0v 27581  df-vs 27582  df-nmcv 27583  df-ims 27584  df-dip 27684  df-ssp 27705  df-ph 27796  df-cbn 27847  df-hnorm 27953  df-hba 27954  df-hvsub 27956  df-hlim 27957  df-hcau 27958  df-sh 28192  df-ch 28206  df-oc 28237  df-ch0 28238  df-shs 28295  df-span 28296  df-chj 28297  df-chsup 28298  df-pjh 28382  df-cm 28570  df-cv 29266  df-at 29325
This theorem is referenced by: (None)
  Copyright terms: Public domain W3C validator