HSE Home Hilbert Space Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  HSE Home  >  Th. List  >  chjatom Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem chjatom 28401
Description: The join of a closed subspace and an atom equals their subspace sum. Special case of remark in [Kalmbach] p. 65, stating that if 𝐴 or 𝐵 is finite-dimensional, then this equality holds. (Contributed by NM, 4-Jun-2004.) (New usage is discouraged.)
Assertion
Ref Expression
chjatom ((𝐴C𝐵 ∈ HAtoms) → (𝐴 + 𝐵) = (𝐴 𝐵))

Proof of Theorem chjatom
Dummy variable 𝑥 is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 atom1d 28397 . . 3 (𝐵 ∈ HAtoms ↔ ∃𝑥 ∈ ℋ (𝑥 ≠ 0𝐵 = (span‘{𝑥})))
2 spansnj 27691 . . . . . . . 8 ((𝐴C𝑥 ∈ ℋ) → (𝐴 + (span‘{𝑥})) = (𝐴 (span‘{𝑥})))
3 oveq2 6530 . . . . . . . . 9 (𝐵 = (span‘{𝑥}) → (𝐴 + 𝐵) = (𝐴 + (span‘{𝑥})))
4 oveq2 6530 . . . . . . . . 9 (𝐵 = (span‘{𝑥}) → (𝐴 𝐵) = (𝐴 (span‘{𝑥})))
53, 4eqeq12d 2619 . . . . . . . 8 (𝐵 = (span‘{𝑥}) → ((𝐴 + 𝐵) = (𝐴 𝐵) ↔ (𝐴 + (span‘{𝑥})) = (𝐴 (span‘{𝑥}))))
62, 5syl5ibr 234 . . . . . . 7 (𝐵 = (span‘{𝑥}) → ((𝐴C𝑥 ∈ ℋ) → (𝐴 + 𝐵) = (𝐴 𝐵)))
76expd 450 . . . . . 6 (𝐵 = (span‘{𝑥}) → (𝐴C → (𝑥 ∈ ℋ → (𝐴 + 𝐵) = (𝐴 𝐵))))
87adantl 480 . . . . 5 ((𝑥 ≠ 0𝐵 = (span‘{𝑥})) → (𝐴C → (𝑥 ∈ ℋ → (𝐴 + 𝐵) = (𝐴 𝐵))))
98com3l 86 . . . 4 (𝐴C → (𝑥 ∈ ℋ → ((𝑥 ≠ 0𝐵 = (span‘{𝑥})) → (𝐴 + 𝐵) = (𝐴 𝐵))))
109rexlimdv 3006 . . 3 (𝐴C → (∃𝑥 ∈ ℋ (𝑥 ≠ 0𝐵 = (span‘{𝑥})) → (𝐴 + 𝐵) = (𝐴 𝐵)))
111, 10syl5bi 230 . 2 (𝐴C → (𝐵 ∈ HAtoms → (𝐴 + 𝐵) = (𝐴 𝐵)))
1211imp 443 1 ((𝐴C𝐵 ∈ HAtoms) → (𝐴 + 𝐵) = (𝐴 𝐵))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wa 382   = wceq 1474  wcel 1975  wne 2774  wrex 2891  {csn 4119  cfv 5785  (class class class)co 6522  chil 26961  0c0v 26966   C cch 26971   + cph 26973  spancspn 26974   chj 26975  HAtomscat 27007
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1711  ax-4 1726  ax-5 1825  ax-6 1873  ax-7 1920  ax-8 1977  ax-9 1984  ax-10 2004  ax-11 2019  ax-12 2031  ax-13 2227  ax-ext 2584  ax-rep 4688  ax-sep 4698  ax-nul 4707  ax-pow 4759  ax-pr 4823  ax-un 6819  ax-inf2 8393  ax-cc 9112  ax-cnex 9843  ax-resscn 9844  ax-1cn 9845  ax-icn 9846  ax-addcl 9847  ax-addrcl 9848  ax-mulcl 9849  ax-mulrcl 9850  ax-mulcom 9851  ax-addass 9852  ax-mulass 9853  ax-distr 9854  ax-i2m1 9855  ax-1ne0 9856  ax-1rid 9857  ax-rnegex 9858  ax-rrecex 9859  ax-cnre 9860  ax-pre-lttri 9861  ax-pre-lttrn 9862  ax-pre-ltadd 9863  ax-pre-mulgt0 9864  ax-pre-sup 9865  ax-addf 9866  ax-mulf 9867  ax-hilex 27041  ax-hfvadd 27042  ax-hvcom 27043  ax-hvass 27044  ax-hv0cl 27045  ax-hvaddid 27046  ax-hfvmul 27047  ax-hvmulid 27048  ax-hvmulass 27049  ax-hvdistr1 27050  ax-hvdistr2 27051  ax-hvmul0 27052  ax-hfi 27121  ax-his1 27124  ax-his2 27125  ax-his3 27126  ax-his4 27127  ax-hcompl 27244
This theorem depends on definitions:  df-bi 195  df-or 383  df-an 384  df-3or 1031  df-3an 1032  df-tru 1477  df-fal 1480  df-ex 1695  df-nf 1700  df-sb 1866  df-eu 2456  df-mo 2457  df-clab 2591  df-cleq 2597  df-clel 2600  df-nfc 2734  df-ne 2776  df-nel 2777  df-ral 2895  df-rex 2896  df-reu 2897  df-rmo 2898  df-rab 2899  df-v 3169  df-sbc 3397  df-csb 3494  df-dif 3537  df-un 3539  df-in 3541  df-ss 3548  df-pss 3550  df-nul 3869  df-if 4031  df-pw 4104  df-sn 4120  df-pr 4122  df-tp 4124  df-op 4126  df-uni 4362  df-int 4400  df-iun 4446  df-iin 4447  df-br 4573  df-opab 4633  df-mpt 4634  df-tr 4670  df-eprel 4934  df-id 4938  df-po 4944  df-so 4945  df-fr 4982  df-se 4983  df-we 4984  df-xp 5029  df-rel 5030  df-cnv 5031  df-co 5032  df-dm 5033  df-rn 5034  df-res 5035  df-ima 5036  df-pred 5578  df-ord 5624  df-on 5625  df-lim 5626  df-suc 5627  df-iota 5749  df-fun 5787  df-fn 5788  df-f 5789  df-f1 5790  df-fo 5791  df-f1o 5792  df-fv 5793  df-isom 5794  df-riota 6484  df-ov 6525  df-oprab 6526  df-mpt2 6527  df-of 6767  df-om 6930  df-1st 7031  df-2nd 7032  df-supp 7155  df-wrecs 7266  df-recs 7327  df-rdg 7365  df-1o 7419  df-2o 7420  df-oadd 7423  df-omul 7424  df-er 7601  df-map 7718  df-pm 7719  df-ixp 7767  df-en 7814  df-dom 7815  df-sdom 7816  df-fin 7817  df-fsupp 8131  df-fi 8172  df-sup 8203  df-inf 8204  df-oi 8270  df-card 8620  df-acn 8623  df-cda 8845  df-pnf 9927  df-mnf 9928  df-xr 9929  df-ltxr 9930  df-le 9931  df-sub 10114  df-neg 10115  df-div 10529  df-nn 10863  df-2 10921  df-3 10922  df-4 10923  df-5 10924  df-6 10925  df-7 10926  df-8 10927  df-9 10928  df-n0 11135  df-z 11206  df-dec 11321  df-uz 11515  df-q 11616  df-rp 11660  df-xneg 11773  df-xadd 11774  df-xmul 11775  df-ioo 12001  df-ico 12003  df-icc 12004  df-fz 12148  df-fzo 12285  df-fl 12405  df-seq 12614  df-exp 12673  df-hash 12930  df-cj 13628  df-re 13629  df-im 13630  df-sqrt 13764  df-abs 13765  df-clim 14008  df-rlim 14009  df-sum 14206  df-struct 15638  df-ndx 15639  df-slot 15640  df-base 15641  df-sets 15642  df-ress 15643  df-plusg 15722  df-mulr 15723  df-starv 15724  df-sca 15725  df-vsca 15726  df-ip 15727  df-tset 15728  df-ple 15729  df-ds 15732  df-unif 15733  df-hom 15734  df-cco 15735  df-rest 15847  df-topn 15848  df-0g 15866  df-gsum 15867  df-topgen 15868  df-pt 15869  df-prds 15872  df-xrs 15926  df-qtop 15931  df-imas 15932  df-xps 15934  df-mre 16010  df-mrc 16011  df-acs 16013  df-mgm 17006  df-sgrp 17048  df-mnd 17059  df-submnd 17100  df-mulg 17305  df-cntz 17514  df-cmn 17959  df-psmet 19500  df-xmet 19501  df-met 19502  df-bl 19503  df-mopn 19504  df-fbas 19505  df-fg 19506  df-cnfld 19509  df-top 20458  df-bases 20459  df-topon 20460  df-topsp 20461  df-cld 20570  df-ntr 20571  df-cls 20572  df-nei 20649  df-cn 20778  df-cnp 20779  df-lm 20780  df-haus 20866  df-tx 21112  df-hmeo 21305  df-fil 21397  df-fm 21489  df-flim 21490  df-flf 21491  df-xms 21871  df-ms 21872  df-tms 21873  df-cfil 22774  df-cau 22775  df-cmet 22776  df-grpo 26492  df-gid 26493  df-ginv 26494  df-gdiv 26495  df-ablo 26547  df-vc 26562  df-nv 26610  df-va 26613  df-ba 26614  df-sm 26615  df-0v 26616  df-vs 26617  df-nmcv 26618  df-ims 26619  df-dip 26736  df-ssp 26760  df-ph 26853  df-cbn 26904  df-hnorm 27010  df-hba 27011  df-hvsub 27013  df-hlim 27014  df-hcau 27015  df-sh 27249  df-ch 27263  df-oc 27294  df-ch0 27295  df-shs 27352  df-span 27353  df-chj 27354  df-pjh 27439  df-cv 28323  df-at 28382
This theorem is referenced by: (None)
  Copyright terms: Public domain W3C validator