Theorem chjcom 29285

Description: Commutative law for Hilbert lattice join. (Contributed by NM, 12-Jun-2004.) (New usage is discouraged.)

Assertion

Ref	Expression
chjcom	⊢ ((𝐴 ∈ Cℋ ∧ 𝐵 ∈ Cℋ ) → (𝐴 ∨ℋ 𝐵) = (𝐵 ∨ℋ 𝐴))

Proof of Theorem chjcom

Step	Hyp	Ref	Expression
1		chsh 29003	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ Cℋ → 𝐴 ∈ Sℋ )
2		chsh 29003	. 2 ⊢ (𝐵 ∈ Cℋ → 𝐵 ∈ Sℋ )
3		shjcom 29137	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ Sℋ ∧ 𝐵 ∈ Sℋ ) → (𝐴 ∨ℋ 𝐵) = (𝐵 ∨ℋ 𝐴))
4	1, 2, 3	syl2an 597	1 ⊢ ((𝐴 ∈ Cℋ ∧ 𝐵 ∈ Cℋ ) → (𝐴 ∨ℋ 𝐵) = (𝐵 ∨ℋ 𝐴))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 398   = wceq 1537   ∈ wcel 2114  (class class class)co 7158   S_ℋ csh 28707   C_ℋ cch 28708   ∨_ℋ chj 28712

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1796  ax-4 1810  ax-5 1911  ax-6 1970  ax-7 2015  ax-8 2116  ax-9 2124  ax-10 2145  ax-11 2161  ax-12 2177  ax-ext 2795  ax-sep 5205  ax-nul 5212  ax-pr 5332  ax-hilex 28778

This theorem depends on definitions:  df-bi 209  df-an 399  df-or 844  df-3an 1085  df-tru 1540  df-ex 1781  df-nf 1785  df-sb 2070  df-mo 2622  df-eu 2654  df-clab 2802  df-cleq 2816  df-clel 2895  df-nfc 2965  df-ral 3145  df-rex 3146  df-rab 3149  df-v 3498  df-sbc 3775  df-dif 3941  df-un 3943  df-in 3945  df-ss 3954  df-nul 4294  df-if 4470  df-pw 4543  df-sn 4570  df-pr 4572  df-op 4576  df-uni 4841  df-br 5069  df-opab 5131  df-id 5462  df-xp 5563  df-rel 5564  df-cnv 5565  df-co 5566  df-dm 5567  df-rn 5568  df-res 5569  df-ima 5570  df-iota 6316  df-fun 6359  df-fv 6365  df-ov 7161  df-oprab 7162  df-mpo 7163  df-sh 28986  df-ch 29000  df-chj 29089

This theorem is referenced by:  chub2  29287  chlejb2  29292  chj12  29313  mddmd2  30088  dmdsl3  30094  csmdsymi  30113  mdexchi  30114  atordi  30163  atcvatlem  30164  atcvati  30165  chirredlem2  30170  chirredlem4  30172  atcvat3i  30175  atcvat4i  30176  atdmd  30177  mdsymlem3  30184  mdsymlem5  30186  mdsymlem8  30189  sumdmdlem2  30198  dmdbr5ati  30201