HSE Home Hilbert Space Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  HSE Home  >  Th. List  >  choc0 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem choc0 28052
Description: The orthocomplement of the zero subspace is the unit subspace. (Contributed by NM, 15-Oct-1999.) (New usage is discouraged.)
Assertion
Ref Expression
choc0 (⊥‘0) = ℋ

Proof of Theorem choc0
Dummy variables 𝑥 𝑦 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 h0elsh 27980 . . . 4 0S
2 shocel 28008 . . . 4 (0S → (𝑥 ∈ (⊥‘0) ↔ (𝑥 ∈ ℋ ∧ ∀𝑦 ∈ 0 (𝑥 ·ih 𝑦) = 0)))
31, 2ax-mp 5 . . 3 (𝑥 ∈ (⊥‘0) ↔ (𝑥 ∈ ℋ ∧ ∀𝑦 ∈ 0 (𝑥 ·ih 𝑦) = 0))
4 hi02 27821 . . . . 5 (𝑥 ∈ ℋ → (𝑥 ·ih 0) = 0)
5 df-ral 2912 . . . . . 6 (∀𝑦 ∈ 0 (𝑥 ·ih 𝑦) = 0 ↔ ∀𝑦(𝑦 ∈ 0 → (𝑥 ·ih 𝑦) = 0))
6 elch0 27978 . . . . . . . . 9 (𝑦 ∈ 0𝑦 = 0)
76imbi1i 339 . . . . . . . 8 ((𝑦 ∈ 0 → (𝑥 ·ih 𝑦) = 0) ↔ (𝑦 = 0 → (𝑥 ·ih 𝑦) = 0))
87albii 1744 . . . . . . 7 (∀𝑦(𝑦 ∈ 0 → (𝑥 ·ih 𝑦) = 0) ↔ ∀𝑦(𝑦 = 0 → (𝑥 ·ih 𝑦) = 0))
9 ax-hv0cl 27727 . . . . . . . . 9 0 ∈ ℋ
109elexi 3202 . . . . . . . 8 0 ∈ V
11 oveq2 6618 . . . . . . . . 9 (𝑦 = 0 → (𝑥 ·ih 𝑦) = (𝑥 ·ih 0))
1211eqeq1d 2623 . . . . . . . 8 (𝑦 = 0 → ((𝑥 ·ih 𝑦) = 0 ↔ (𝑥 ·ih 0) = 0))
1310, 12ceqsalv 3222 . . . . . . 7 (∀𝑦(𝑦 = 0 → (𝑥 ·ih 𝑦) = 0) ↔ (𝑥 ·ih 0) = 0)
148, 13bitri 264 . . . . . 6 (∀𝑦(𝑦 ∈ 0 → (𝑥 ·ih 𝑦) = 0) ↔ (𝑥 ·ih 0) = 0)
155, 14bitri 264 . . . . 5 (∀𝑦 ∈ 0 (𝑥 ·ih 𝑦) = 0 ↔ (𝑥 ·ih 0) = 0)
164, 15sylibr 224 . . . 4 (𝑥 ∈ ℋ → ∀𝑦 ∈ 0 (𝑥 ·ih 𝑦) = 0)
17 abai 835 . . . 4 ((𝑥 ∈ ℋ ∧ ∀𝑦 ∈ 0 (𝑥 ·ih 𝑦) = 0) ↔ (𝑥 ∈ ℋ ∧ (𝑥 ∈ ℋ → ∀𝑦 ∈ 0 (𝑥 ·ih 𝑦) = 0)))
1816, 17mpbiran2 953 . . 3 ((𝑥 ∈ ℋ ∧ ∀𝑦 ∈ 0 (𝑥 ·ih 𝑦) = 0) ↔ 𝑥 ∈ ℋ)
193, 18bitri 264 . 2 (𝑥 ∈ (⊥‘0) ↔ 𝑥 ∈ ℋ)
2019eqriv 2618 1 (⊥‘0) = ℋ
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wb 196  wa 384  wal 1478   = wceq 1480  wcel 1987  wral 2907  cfv 5852  (class class class)co 6610  0cc0 9887  chil 27643   ·ih csp 27646  0c0v 27648   S csh 27652  cort 27654  0c0h 27659
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1719  ax-4 1734  ax-5 1836  ax-6 1885  ax-7 1932  ax-8 1989  ax-9 1996  ax-10 2016  ax-11 2031  ax-12 2044  ax-13 2245  ax-ext 2601  ax-rep 4736  ax-sep 4746  ax-nul 4754  ax-pow 4808  ax-pr 4872  ax-un 6909  ax-cnex 9943  ax-resscn 9944  ax-1cn 9945  ax-icn 9946  ax-addcl 9947  ax-addrcl 9948  ax-mulcl 9949  ax-mulrcl 9950  ax-mulcom 9951  ax-addass 9952  ax-mulass 9953  ax-distr 9954  ax-i2m1 9955  ax-1ne0 9956  ax-1rid 9957  ax-rnegex 9958  ax-rrecex 9959  ax-cnre 9960  ax-pre-lttri 9961  ax-pre-lttrn 9962  ax-pre-ltadd 9963  ax-pre-mulgt0 9964  ax-pre-sup 9965  ax-addf 9966  ax-mulf 9967  ax-hilex 27723  ax-hfvadd 27724  ax-hvcom 27725  ax-hvass 27726  ax-hv0cl 27727  ax-hvaddid 27728  ax-hfvmul 27729  ax-hvmulid 27730  ax-hvmulass 27731  ax-hvdistr1 27732  ax-hvdistr2 27733  ax-hvmul0 27734  ax-hfi 27803  ax-his1 27806  ax-his2 27807  ax-his3 27808  ax-his4 27809
This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 385  df-an 386  df-3or 1037  df-3an 1038  df-tru 1483  df-ex 1702  df-nf 1707  df-sb 1878  df-eu 2473  df-mo 2474  df-clab 2608  df-cleq 2614  df-clel 2617  df-nfc 2750  df-ne 2791  df-nel 2894  df-ral 2912  df-rex 2913  df-reu 2914  df-rmo 2915  df-rab 2916  df-v 3191  df-sbc 3422  df-csb 3519  df-dif 3562  df-un 3564  df-in 3566  df-ss 3573  df-pss 3575  df-nul 3897  df-if 4064  df-pw 4137  df-sn 4154  df-pr 4156  df-tp 4158  df-op 4160  df-uni 4408  df-iun 4492  df-br 4619  df-opab 4679  df-mpt 4680  df-tr 4718  df-eprel 4990  df-id 4994  df-po 5000  df-so 5001  df-fr 5038  df-we 5040  df-xp 5085  df-rel 5086  df-cnv 5087  df-co 5088  df-dm 5089  df-rn 5090  df-res 5091  df-ima 5092  df-pred 5644  df-ord 5690  df-on 5691  df-lim 5692  df-suc 5693  df-iota 5815  df-fun 5854  df-fn 5855  df-f 5856  df-f1 5857  df-fo 5858  df-f1o 5859  df-fv 5860  df-riota 6571  df-ov 6613  df-oprab 6614  df-mpt2 6615  df-om 7020  df-1st 7120  df-2nd 7121  df-wrecs 7359  df-recs 7420  df-rdg 7458  df-er 7694  df-map 7811  df-pm 7812  df-en 7907  df-dom 7908  df-sdom 7909  df-sup 8299  df-inf 8300  df-pnf 10027  df-mnf 10028  df-xr 10029  df-ltxr 10030  df-le 10031  df-sub 10219  df-neg 10220  df-div 10636  df-nn 10972  df-2 11030  df-3 11031  df-4 11032  df-n0 11244  df-z 11329  df-uz 11639  df-q 11740  df-rp 11784  df-xneg 11897  df-xadd 11898  df-xmul 11899  df-icc 12131  df-seq 12749  df-exp 12808  df-cj 13780  df-re 13781  df-im 13782  df-sqrt 13916  df-abs 13917  df-topgen 16032  df-psmet 19666  df-xmet 19667  df-met 19668  df-bl 19669  df-mopn 19670  df-top 20627  df-topon 20644  df-bases 20670  df-lm 20952  df-haus 21038  df-grpo 27214  df-gid 27215  df-ginv 27216  df-gdiv 27217  df-ablo 27266  df-vc 27281  df-nv 27314  df-va 27317  df-ba 27318  df-sm 27319  df-0v 27320  df-vs 27321  df-nmcv 27322  df-ims 27323  df-hnorm 27692  df-hvsub 27695  df-hlim 27696  df-sh 27931  df-ch 27945  df-oc 27976  df-ch0 27977
This theorem is referenced by:  choc1  28053  ssjo  28173  qlaxr3i  28362  riesz3i  28788  chirredi  29120  mdsymi  29137
  Copyright terms: Public domain W3C validator