Hilbert Space Explorer < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  HSE Home  >  Th. List  >  chocunii Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem chocunii 28130
 Description: Lemma for uniqueness part of Projection Theorem. Theorem 3.7(i) of [Beran] p. 102 (uniqueness part). (Contributed by NM, 23-Oct-1999.) (Proof shortened by Mario Carneiro, 15-May-2014.) (New usage is discouraged.)
Hypothesis
Ref Expression
chocuni.1 𝐻C
Assertion
Ref Expression
chocunii (((𝐴𝐻𝐵 ∈ (⊥‘𝐻)) ∧ (𝐶𝐻𝐷 ∈ (⊥‘𝐻))) → ((𝑅 = (𝐴 + 𝐵) ∧ 𝑅 = (𝐶 + 𝐷)) → (𝐴 = 𝐶𝐵 = 𝐷)))

Proof of Theorem chocunii
StepHypRef Expression
1 chocuni.1 . . . . 5 𝐻C
21chshii 28054 . . . 4 𝐻S
32a1i 11 . . 3 ((((𝐴𝐻𝐵 ∈ (⊥‘𝐻)) ∧ (𝐶𝐻𝐷 ∈ (⊥‘𝐻))) ∧ (𝑅 = (𝐴 + 𝐵) ∧ 𝑅 = (𝐶 + 𝐷))) → 𝐻S )
4 shocsh 28113 . . . 4 (𝐻S → (⊥‘𝐻) ∈ S )
52, 4mp1i 13 . . 3 ((((𝐴𝐻𝐵 ∈ (⊥‘𝐻)) ∧ (𝐶𝐻𝐷 ∈ (⊥‘𝐻))) ∧ (𝑅 = (𝐴 + 𝐵) ∧ 𝑅 = (𝐶 + 𝐷))) → (⊥‘𝐻) ∈ S )
6 ocin 28125 . . . 4 (𝐻S → (𝐻 ∩ (⊥‘𝐻)) = 0)
72, 6mp1i 13 . . 3 ((((𝐴𝐻𝐵 ∈ (⊥‘𝐻)) ∧ (𝐶𝐻𝐷 ∈ (⊥‘𝐻))) ∧ (𝑅 = (𝐴 + 𝐵) ∧ 𝑅 = (𝐶 + 𝐷))) → (𝐻 ∩ (⊥‘𝐻)) = 0)
8 simplll 797 . . 3 ((((𝐴𝐻𝐵 ∈ (⊥‘𝐻)) ∧ (𝐶𝐻𝐷 ∈ (⊥‘𝐻))) ∧ (𝑅 = (𝐴 + 𝐵) ∧ 𝑅 = (𝐶 + 𝐷))) → 𝐴𝐻)
9 simpllr 798 . . 3 ((((𝐴𝐻𝐵 ∈ (⊥‘𝐻)) ∧ (𝐶𝐻𝐷 ∈ (⊥‘𝐻))) ∧ (𝑅 = (𝐴 + 𝐵) ∧ 𝑅 = (𝐶 + 𝐷))) → 𝐵 ∈ (⊥‘𝐻))
10 simplrl 799 . . 3 ((((𝐴𝐻𝐵 ∈ (⊥‘𝐻)) ∧ (𝐶𝐻𝐷 ∈ (⊥‘𝐻))) ∧ (𝑅 = (𝐴 + 𝐵) ∧ 𝑅 = (𝐶 + 𝐷))) → 𝐶𝐻)
11 simplrr 800 . . 3 ((((𝐴𝐻𝐵 ∈ (⊥‘𝐻)) ∧ (𝐶𝐻𝐷 ∈ (⊥‘𝐻))) ∧ (𝑅 = (𝐴 + 𝐵) ∧ 𝑅 = (𝐶 + 𝐷))) → 𝐷 ∈ (⊥‘𝐻))
12 eqtr2 2640 . . . 4 ((𝑅 = (𝐴 + 𝐵) ∧ 𝑅 = (𝐶 + 𝐷)) → (𝐴 + 𝐵) = (𝐶 + 𝐷))
1312adantl 482 . . 3 ((((𝐴𝐻𝐵 ∈ (⊥‘𝐻)) ∧ (𝐶𝐻𝐷 ∈ (⊥‘𝐻))) ∧ (𝑅 = (𝐴 + 𝐵) ∧ 𝑅 = (𝐶 + 𝐷))) → (𝐴 + 𝐵) = (𝐶 + 𝐷))
143, 5, 7, 8, 9, 10, 11, 13shuni 28129 . 2 ((((𝐴𝐻𝐵 ∈ (⊥‘𝐻)) ∧ (𝐶𝐻𝐷 ∈ (⊥‘𝐻))) ∧ (𝑅 = (𝐴 + 𝐵) ∧ 𝑅 = (𝐶 + 𝐷))) → (𝐴 = 𝐶𝐵 = 𝐷))
1514ex 450 1 (((𝐴𝐻𝐵 ∈ (⊥‘𝐻)) ∧ (𝐶𝐻𝐷 ∈ (⊥‘𝐻))) → ((𝑅 = (𝐴 + 𝐵) ∧ 𝑅 = (𝐶 + 𝐷)) → (𝐴 = 𝐶𝐵 = 𝐷)))
 Colors of variables: wff setvar class Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 384   = wceq 1481   ∈ wcel 1988   ∩ cin 3566  ‘cfv 5876  (class class class)co 6635   +ℎ cva 27747   Sℋ csh 27755   Cℋ cch 27756  ⊥cort 27757  0ℋc0h 27762 This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1720  ax-4 1735  ax-5 1837  ax-6 1886  ax-7 1933  ax-8 1990  ax-9 1997  ax-10 2017  ax-11 2032  ax-12 2045  ax-13 2244  ax-ext 2600  ax-sep 4772  ax-nul 4780  ax-pow 4834  ax-pr 4897  ax-un 6934  ax-resscn 9978  ax-1cn 9979  ax-icn 9980  ax-addcl 9981  ax-addrcl 9982  ax-mulcl 9983  ax-mulrcl 9984  ax-mulcom 9985  ax-addass 9986  ax-mulass 9987  ax-distr 9988  ax-i2m1 9989  ax-1ne0 9990  ax-1rid 9991  ax-rnegex 9992  ax-rrecex 9993  ax-cnre 9994  ax-pre-lttri 9995  ax-pre-lttrn 9996  ax-pre-ltadd 9997  ax-pre-mulgt0 9998  ax-hilex 27826  ax-hfvadd 27827  ax-hvcom 27828  ax-hvass 27829  ax-hv0cl 27830  ax-hvaddid 27831  ax-hfvmul 27832  ax-hvmulid 27833  ax-hvmulass 27834  ax-hvdistr1 27835  ax-hvdistr2 27836  ax-hvmul0 27837  ax-hfi 27906  ax-his2 27910  ax-his3 27911  ax-his4 27912 This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 385  df-an 386  df-3or 1037  df-3an 1038  df-tru 1484  df-ex 1703  df-nf 1708  df-sb 1879  df-eu 2472  df-mo 2473  df-clab 2607  df-cleq 2613  df-clel 2616  df-nfc 2751  df-ne 2792  df-nel 2895  df-ral 2914  df-rex 2915  df-reu 2916  df-rmo 2917  df-rab 2918  df-v 3197  df-sbc 3430  df-csb 3527  df-dif 3570  df-un 3572  df-in 3574  df-ss 3581  df-nul 3908  df-if 4078  df-pw 4151  df-sn 4169  df-pr 4171  df-op 4175  df-uni 4428  df-iun 4513  df-br 4645  df-opab 4704  df-mpt 4721  df-id 5014  df-po 5025  df-so 5026  df-xp 5110  df-rel 5111  df-cnv 5112  df-co 5113  df-dm 5114  df-rn 5115  df-res 5116  df-ima 5117  df-iota 5839  df-fun 5878  df-fn 5879  df-f 5880  df-f1 5881  df-fo 5882  df-f1o 5883  df-fv 5884  df-riota 6596  df-ov 6638  df-oprab 6639  df-mpt2 6640  df-er 7727  df-en 7941  df-dom 7942  df-sdom 7943  df-pnf 10061  df-mnf 10062  df-xr 10063  df-ltxr 10064  df-le 10065  df-sub 10253  df-neg 10254  df-div 10670  df-hvsub 27798  df-sh 28034  df-ch 28048  df-oc 28079  df-ch0 28080 This theorem is referenced by:  pjcompi  28501
 Copyright terms: Public domain W3C validator