MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  chordthmlem2 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem chordthmlem2 24460
Description: If M is the midpoint of AB, AQ = BQ, and P is on the line AB, then QMP is a right angle. This is proven by reduction to the special case chordthmlem 24459, where P = B, and using angrtmuld 24438 to observe that QMP is right iff QMB is. (Contributed by David Moews, 28-Feb-2017.)
Hypotheses
Ref Expression
chordthmlem2.angdef 𝐹 = (𝑥 ∈ (ℂ ∖ {0}), 𝑦 ∈ (ℂ ∖ {0}) ↦ (ℑ‘(log‘(𝑦 / 𝑥))))
chordthmlem2.A (𝜑𝐴 ∈ ℂ)
chordthmlem2.B (𝜑𝐵 ∈ ℂ)
chordthmlem2.Q (𝜑𝑄 ∈ ℂ)
chordthmlem2.X (𝜑𝑋 ∈ ℝ)
chordthmlem2.M (𝜑𝑀 = ((𝐴 + 𝐵) / 2))
chordthmlem2.P (𝜑𝑃 = ((𝑋 · 𝐴) + ((1 − 𝑋) · 𝐵)))
chordthmlem2.ABequidistQ (𝜑 → (abs‘(𝐴𝑄)) = (abs‘(𝐵𝑄)))
chordthmlem2.PneM (𝜑𝑃𝑀)
chordthmlem2.QneM (𝜑𝑄𝑀)
Assertion
Ref Expression
chordthmlem2 (𝜑 → ((𝑄𝑀)𝐹(𝑃𝑀)) ∈ {(π / 2), -(π / 2)})
Distinct variable groups:   𝑥,𝑦,𝑄   𝑥,𝑃,𝑦   𝑥,𝑀,𝑦   𝑥,𝐵,𝑦   𝑥,𝐴,𝑦
Allowed substitution hints:   𝜑(𝑥,𝑦)   𝐹(𝑥,𝑦)   𝑋(𝑥,𝑦)

Proof of Theorem chordthmlem2
StepHypRef Expression
1 chordthmlem2.angdef . . 3 𝐹 = (𝑥 ∈ (ℂ ∖ {0}), 𝑦 ∈ (ℂ ∖ {0}) ↦ (ℑ‘(log‘(𝑦 / 𝑥))))
2 chordthmlem2.A . . 3 (𝜑𝐴 ∈ ℂ)
3 chordthmlem2.B . . 3 (𝜑𝐵 ∈ ℂ)
4 chordthmlem2.Q . . 3 (𝜑𝑄 ∈ ℂ)
5 chordthmlem2.M . . 3 (𝜑𝑀 = ((𝐴 + 𝐵) / 2))
6 chordthmlem2.ABequidistQ . . 3 (𝜑 → (abs‘(𝐴𝑄)) = (abs‘(𝐵𝑄)))
7 2re 11034 . . . . . . . . . 10 2 ∈ ℝ
87a1i 11 . . . . . . . . 9 (𝜑 → 2 ∈ ℝ)
9 2ne0 11057 . . . . . . . . . 10 2 ≠ 0
109a1i 11 . . . . . . . . 9 (𝜑 → 2 ≠ 0)
118, 10rereccld 10796 . . . . . . . 8 (𝜑 → (1 / 2) ∈ ℝ)
12 chordthmlem2.X . . . . . . . 8 (𝜑𝑋 ∈ ℝ)
1311, 12resubcld 10402 . . . . . . 7 (𝜑 → ((1 / 2) − 𝑋) ∈ ℝ)
1413recnd 10012 . . . . . 6 (𝜑 → ((1 / 2) − 𝑋) ∈ ℂ)
153, 2subcld 10336 . . . . . 6 (𝜑 → (𝐵𝐴) ∈ ℂ)
1611recnd 10012 . . . . . . . . 9 (𝜑 → (1 / 2) ∈ ℂ)
1712recnd 10012 . . . . . . . . 9 (𝜑𝑋 ∈ ℂ)
1816, 17, 15subdird 10431 . . . . . . . 8 (𝜑 → (((1 / 2) − 𝑋) · (𝐵𝐴)) = (((1 / 2) · (𝐵𝐴)) − (𝑋 · (𝐵𝐴))))
19 2cnd 11037 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝜑 → 2 ∈ ℂ)
203, 19, 10divcan4d 10751 . . . . . . . . . . . . 13 (𝜑 → ((𝐵 · 2) / 2) = 𝐵)
213times2d 11220 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝜑 → (𝐵 · 2) = (𝐵 + 𝐵))
2221oveq1d 6619 . . . . . . . . . . . . 13 (𝜑 → ((𝐵 · 2) / 2) = ((𝐵 + 𝐵) / 2))
2320, 22eqtr3d 2657 . . . . . . . . . . . 12 (𝜑𝐵 = ((𝐵 + 𝐵) / 2))
2423, 5oveq12d 6622 . . . . . . . . . . 11 (𝜑 → (𝐵𝑀) = (((𝐵 + 𝐵) / 2) − ((𝐴 + 𝐵) / 2)))
253, 3addcld 10003 . . . . . . . . . . . 12 (𝜑 → (𝐵 + 𝐵) ∈ ℂ)
262, 3addcld 10003 . . . . . . . . . . . 12 (𝜑 → (𝐴 + 𝐵) ∈ ℂ)
2725, 26, 19, 10divsubdird 10784 . . . . . . . . . . 11 (𝜑 → (((𝐵 + 𝐵) − (𝐴 + 𝐵)) / 2) = (((𝐵 + 𝐵) / 2) − ((𝐴 + 𝐵) / 2)))
283, 2, 3pnpcan2d 10374 . . . . . . . . . . . 12 (𝜑 → ((𝐵 + 𝐵) − (𝐴 + 𝐵)) = (𝐵𝐴))
2928oveq1d 6619 . . . . . . . . . . 11 (𝜑 → (((𝐵 + 𝐵) − (𝐴 + 𝐵)) / 2) = ((𝐵𝐴) / 2))
3024, 27, 293eqtr2d 2661 . . . . . . . . . 10 (𝜑 → (𝐵𝑀) = ((𝐵𝐴) / 2))
3115, 19, 10divrec2d 10749 . . . . . . . . . 10 (𝜑 → ((𝐵𝐴) / 2) = ((1 / 2) · (𝐵𝐴)))
3230, 31eqtrd 2655 . . . . . . . . 9 (𝜑 → (𝐵𝑀) = ((1 / 2) · (𝐵𝐴)))
33 chordthmlem2.P . . . . . . . . . 10 (𝜑𝑃 = ((𝑋 · 𝐴) + ((1 − 𝑋) · 𝐵)))
3417, 2mulcld 10004 . . . . . . . . . . . . 13 (𝜑 → (𝑋 · 𝐴) ∈ ℂ)
35 1cnd 10000 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝜑 → 1 ∈ ℂ)
3635, 17subcld 10336 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝜑 → (1 − 𝑋) ∈ ℂ)
3736, 3mulcld 10004 . . . . . . . . . . . . 13 (𝜑 → ((1 − 𝑋) · 𝐵) ∈ ℂ)
3834, 37addcld 10003 . . . . . . . . . . . 12 (𝜑 → ((𝑋 · 𝐴) + ((1 − 𝑋) · 𝐵)) ∈ ℂ)
3933, 38eqeltrd 2698 . . . . . . . . . . 11 (𝜑𝑃 ∈ ℂ)
402, 39, 3, 17affineequiv 24453 . . . . . . . . . 10 (𝜑 → (𝑃 = ((𝑋 · 𝐴) + ((1 − 𝑋) · 𝐵)) ↔ (𝐵𝑃) = (𝑋 · (𝐵𝐴))))
4133, 40mpbid 222 . . . . . . . . 9 (𝜑 → (𝐵𝑃) = (𝑋 · (𝐵𝐴)))
4232, 41oveq12d 6622 . . . . . . . 8 (𝜑 → ((𝐵𝑀) − (𝐵𝑃)) = (((1 / 2) · (𝐵𝐴)) − (𝑋 · (𝐵𝐴))))
4326halfcld 11221 . . . . . . . . . 10 (𝜑 → ((𝐴 + 𝐵) / 2) ∈ ℂ)
445, 43eqeltrd 2698 . . . . . . . . 9 (𝜑𝑀 ∈ ℂ)
453, 44, 39nnncan1d 10370 . . . . . . . 8 (𝜑 → ((𝐵𝑀) − (𝐵𝑃)) = (𝑃𝑀))
4618, 42, 453eqtr2rd 2662 . . . . . . 7 (𝜑 → (𝑃𝑀) = (((1 / 2) − 𝑋) · (𝐵𝐴)))
47 chordthmlem2.PneM . . . . . . . 8 (𝜑𝑃𝑀)
4839, 44, 47subne0d 10345 . . . . . . 7 (𝜑 → (𝑃𝑀) ≠ 0)
4946, 48eqnetrrd 2858 . . . . . 6 (𝜑 → (((1 / 2) − 𝑋) · (𝐵𝐴)) ≠ 0)
5014, 15, 49mulne0bbd 10627 . . . . 5 (𝜑 → (𝐵𝐴) ≠ 0)
513, 2, 50subne0ad 10347 . . . 4 (𝜑𝐵𝐴)
5251necomd 2845 . . 3 (𝜑𝐴𝐵)
53 chordthmlem2.QneM . . 3 (𝜑𝑄𝑀)
541, 2, 3, 4, 5, 6, 52, 53chordthmlem 24459 . 2 (𝜑 → ((𝑄𝑀)𝐹(𝐵𝑀)) ∈ {(π / 2), -(π / 2)})
554, 44subcld 10336 . . 3 (𝜑 → (𝑄𝑀) ∈ ℂ)
5639, 44subcld 10336 . . 3 (𝜑 → (𝑃𝑀) ∈ ℂ)
573, 44subcld 10336 . . 3 (𝜑 → (𝐵𝑀) ∈ ℂ)
584, 44, 53subne0d 10345 . . 3 (𝜑 → (𝑄𝑀) ≠ 0)
5919, 10recne0d 10739 . . . . 5 (𝜑 → (1 / 2) ≠ 0)
6016, 15, 59, 50mulne0d 10623 . . . 4 (𝜑 → ((1 / 2) · (𝐵𝐴)) ≠ 0)
6132, 60eqnetrd 2857 . . 3 (𝜑 → (𝐵𝑀) ≠ 0)
6232, 46oveq12d 6622 . . . . 5 (𝜑 → ((𝐵𝑀) / (𝑃𝑀)) = (((1 / 2) · (𝐵𝐴)) / (((1 / 2) − 𝑋) · (𝐵𝐴))))
6314, 15, 49mulne0bad 10626 . . . . . 6 (𝜑 → ((1 / 2) − 𝑋) ≠ 0)
6416, 14, 15, 63, 50divcan5rd 10772 . . . . 5 (𝜑 → (((1 / 2) · (𝐵𝐴)) / (((1 / 2) − 𝑋) · (𝐵𝐴))) = ((1 / 2) / ((1 / 2) − 𝑋)))
6562, 64eqtrd 2655 . . . 4 (𝜑 → ((𝐵𝑀) / (𝑃𝑀)) = ((1 / 2) / ((1 / 2) − 𝑋)))
6611, 13, 63redivcld 10797 . . . 4 (𝜑 → ((1 / 2) / ((1 / 2) − 𝑋)) ∈ ℝ)
6765, 66eqeltrd 2698 . . 3 (𝜑 → ((𝐵𝑀) / (𝑃𝑀)) ∈ ℝ)
681, 55, 56, 57, 58, 48, 61, 67angrtmuld 24438 . 2 (𝜑 → (((𝑄𝑀)𝐹(𝑃𝑀)) ∈ {(π / 2), -(π / 2)} ↔ ((𝑄𝑀)𝐹(𝐵𝑀)) ∈ {(π / 2), -(π / 2)}))
6954, 68mpbird 247 1 (𝜑 → ((𝑄𝑀)𝐹(𝑃𝑀)) ∈ {(π / 2), -(π / 2)})
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4   = wceq 1480  wcel 1987  wne 2790  cdif 3552  {csn 4148  {cpr 4150  cfv 5847  (class class class)co 6604  cmpt2 6606  cc 9878  cr 9879  0cc0 9880  1c1 9881   + caddc 9883   · cmul 9885  cmin 10210  -cneg 10211   / cdiv 10628  2c2 11014  cim 13772  abscabs 13908  πcpi 14722  logclog 24205
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1719  ax-4 1734  ax-5 1836  ax-6 1885  ax-7 1932  ax-8 1989  ax-9 1996  ax-10 2016  ax-11 2031  ax-12 2044  ax-13 2245  ax-ext 2601  ax-rep 4731  ax-sep 4741  ax-nul 4749  ax-pow 4803  ax-pr 4867  ax-un 6902  ax-inf2 8482  ax-cnex 9936  ax-resscn 9937  ax-1cn 9938  ax-icn 9939  ax-addcl 9940  ax-addrcl 9941  ax-mulcl 9942  ax-mulrcl 9943  ax-mulcom 9944  ax-addass 9945  ax-mulass 9946  ax-distr 9947  ax-i2m1 9948  ax-1ne0 9949  ax-1rid 9950  ax-rnegex 9951  ax-rrecex 9952  ax-cnre 9953  ax-pre-lttri 9954  ax-pre-lttrn 9955  ax-pre-ltadd 9956  ax-pre-mulgt0 9957  ax-pre-sup 9958  ax-addf 9959  ax-mulf 9960
This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 385  df-an 386  df-3or 1037  df-3an 1038  df-tru 1483  df-fal 1486  df-ex 1702  df-nf 1707  df-sb 1878  df-eu 2473  df-mo 2474  df-clab 2608  df-cleq 2614  df-clel 2617  df-nfc 2750  df-ne 2791  df-nel 2894  df-ral 2912  df-rex 2913  df-reu 2914  df-rmo 2915  df-rab 2916  df-v 3188  df-sbc 3418  df-csb 3515  df-dif 3558  df-un 3560  df-in 3562  df-ss 3569  df-pss 3571  df-nul 3892  df-if 4059  df-pw 4132  df-sn 4149  df-pr 4151  df-tp 4153  df-op 4155  df-uni 4403  df-int 4441  df-iun 4487  df-iin 4488  df-br 4614  df-opab 4674  df-mpt 4675  df-tr 4713  df-eprel 4985  df-id 4989  df-po 4995  df-so 4996  df-fr 5033  df-se 5034  df-we 5035  df-xp 5080  df-rel 5081  df-cnv 5082  df-co 5083  df-dm 5084  df-rn 5085  df-res 5086  df-ima 5087  df-pred 5639  df-ord 5685  df-on 5686  df-lim 5687  df-suc 5688  df-iota 5810  df-fun 5849  df-fn 5850  df-f 5851  df-f1 5852  df-fo 5853  df-f1o 5854  df-fv 5855  df-isom 5856  df-riota 6565  df-ov 6607  df-oprab 6608  df-mpt2 6609  df-of 6850  df-om 7013  df-1st 7113  df-2nd 7114  df-supp 7241  df-wrecs 7352  df-recs 7413  df-rdg 7451  df-1o 7505  df-2o 7506  df-oadd 7509  df-er 7687  df-map 7804  df-pm 7805  df-ixp 7853  df-en 7900  df-dom 7901  df-sdom 7902  df-fin 7903  df-fsupp 8220  df-fi 8261  df-sup 8292  df-inf 8293  df-oi 8359  df-card 8709  df-cda 8934  df-pnf 10020  df-mnf 10021  df-xr 10022  df-ltxr 10023  df-le 10024  df-sub 10212  df-neg 10213  df-div 10629  df-nn 10965  df-2 11023  df-3 11024  df-4 11025  df-5 11026  df-6 11027  df-7 11028  df-8 11029  df-9 11030  df-n0 11237  df-z 11322  df-dec 11438  df-uz 11632  df-q 11733  df-rp 11777  df-xneg 11890  df-xadd 11891  df-xmul 11892  df-ioo 12121  df-ioc 12122  df-ico 12123  df-icc 12124  df-fz 12269  df-fzo 12407  df-fl 12533  df-mod 12609  df-seq 12742  df-exp 12801  df-fac 13001  df-bc 13030  df-hash 13058  df-shft 13741  df-cj 13773  df-re 13774  df-im 13775  df-sqrt 13909  df-abs 13910  df-limsup 14136  df-clim 14153  df-rlim 14154  df-sum 14351  df-ef 14723  df-sin 14725  df-cos 14726  df-pi 14728  df-struct 15783  df-ndx 15784  df-slot 15785  df-base 15786  df-sets 15787  df-ress 15788  df-plusg 15875  df-mulr 15876  df-starv 15877  df-sca 15878  df-vsca 15879  df-ip 15880  df-tset 15881  df-ple 15882  df-ds 15885  df-unif 15886  df-hom 15887  df-cco 15888  df-rest 16004  df-topn 16005  df-0g 16023  df-gsum 16024  df-topgen 16025  df-pt 16026  df-prds 16029  df-xrs 16083  df-qtop 16088  df-imas 16089  df-xps 16091  df-mre 16167  df-mrc 16168  df-acs 16170  df-mgm 17163  df-sgrp 17205  df-mnd 17216  df-submnd 17257  df-mulg 17462  df-cntz 17671  df-cmn 18116  df-psmet 19657  df-xmet 19658  df-met 19659  df-bl 19660  df-mopn 19661  df-fbas 19662  df-fg 19663  df-cnfld 19666  df-top 20621  df-bases 20622  df-topon 20623  df-topsp 20624  df-cld 20733  df-ntr 20734  df-cls 20735  df-nei 20812  df-lp 20850  df-perf 20851  df-cn 20941  df-cnp 20942  df-haus 21029  df-tx 21275  df-hmeo 21468  df-fil 21560  df-fm 21652  df-flim 21653  df-flf 21654  df-xms 22035  df-ms 22036  df-tms 22037  df-cncf 22589  df-limc 23536  df-dv 23537  df-log 24207
This theorem is referenced by:  chordthmlem3  24461
  Copyright terms: Public domain W3C validator