Metamath Proof Explorer < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  chordthmlem3 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem chordthmlem3 24781
 Description: If M is the midpoint of AB, AQ = BQ, and P is on the line AB, then PQ 2 = QM 2 + PM 2 . This follows from chordthmlem2 24780 and the Pythagorean theorem (pythag 24767) in the case where P and Q are unequal to M. If either P or Q equals M, the result is trivial. (Contributed by David Moews, 28-Feb-2017.)
Hypotheses
Ref Expression
chordthmlem3.A (𝜑𝐴 ∈ ℂ)
chordthmlem3.B (𝜑𝐵 ∈ ℂ)
chordthmlem3.Q (𝜑𝑄 ∈ ℂ)
chordthmlem3.X (𝜑𝑋 ∈ ℝ)
chordthmlem3.M (𝜑𝑀 = ((𝐴 + 𝐵) / 2))
chordthmlem3.P (𝜑𝑃 = ((𝑋 · 𝐴) + ((1 − 𝑋) · 𝐵)))
chordthmlem3.ABequidistQ (𝜑 → (abs‘(𝐴𝑄)) = (abs‘(𝐵𝑄)))
Assertion
Ref Expression
chordthmlem3 (𝜑 → ((abs‘(𝑃𝑄))↑2) = (((abs‘(𝑄𝑀))↑2) + ((abs‘(𝑃𝑀))↑2)))

Proof of Theorem chordthmlem3
Dummy variables 𝑥 𝑦 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 chordthmlem3.Q . . . . . . . . 9 (𝜑𝑄 ∈ ℂ)
2 chordthmlem3.M . . . . . . . . . 10 (𝜑𝑀 = ((𝐴 + 𝐵) / 2))
3 chordthmlem3.A . . . . . . . . . . . 12 (𝜑𝐴 ∈ ℂ)
4 chordthmlem3.B . . . . . . . . . . . 12 (𝜑𝐵 ∈ ℂ)
53, 4addcld 10271 . . . . . . . . . . 11 (𝜑 → (𝐴 + 𝐵) ∈ ℂ)
65halfcld 11489 . . . . . . . . . 10 (𝜑 → ((𝐴 + 𝐵) / 2) ∈ ℂ)
72, 6eqeltrd 2839 . . . . . . . . 9 (𝜑𝑀 ∈ ℂ)
81, 7subcld 10604 . . . . . . . 8 (𝜑 → (𝑄𝑀) ∈ ℂ)
98abscld 14394 . . . . . . 7 (𝜑 → (abs‘(𝑄𝑀)) ∈ ℝ)
109recnd 10280 . . . . . 6 (𝜑 → (abs‘(𝑄𝑀)) ∈ ℂ)
1110sqcld 13220 . . . . 5 (𝜑 → ((abs‘(𝑄𝑀))↑2) ∈ ℂ)
1211adantr 472 . . . 4 ((𝜑𝑃 = 𝑀) → ((abs‘(𝑄𝑀))↑2) ∈ ℂ)
1312addid1d 10448 . . 3 ((𝜑𝑃 = 𝑀) → (((abs‘(𝑄𝑀))↑2) + 0) = ((abs‘(𝑄𝑀))↑2))
14 chordthmlem3.P . . . . . . . . 9 (𝜑𝑃 = ((𝑋 · 𝐴) + ((1 − 𝑋) · 𝐵)))
15 chordthmlem3.X . . . . . . . . . . . 12 (𝜑𝑋 ∈ ℝ)
1615recnd 10280 . . . . . . . . . . 11 (𝜑𝑋 ∈ ℂ)
1716, 3mulcld 10272 . . . . . . . . . 10 (𝜑 → (𝑋 · 𝐴) ∈ ℂ)
18 1cnd 10268 . . . . . . . . . . . 12 (𝜑 → 1 ∈ ℂ)
1918, 16subcld 10604 . . . . . . . . . . 11 (𝜑 → (1 − 𝑋) ∈ ℂ)
2019, 4mulcld 10272 . . . . . . . . . 10 (𝜑 → ((1 − 𝑋) · 𝐵) ∈ ℂ)
2117, 20addcld 10271 . . . . . . . . 9 (𝜑 → ((𝑋 · 𝐴) + ((1 − 𝑋) · 𝐵)) ∈ ℂ)
2214, 21eqeltrd 2839 . . . . . . . 8 (𝜑𝑃 ∈ ℂ)
2322adantr 472 . . . . . . 7 ((𝜑𝑃 = 𝑀) → 𝑃 ∈ ℂ)
24 simpr 479 . . . . . . 7 ((𝜑𝑃 = 𝑀) → 𝑃 = 𝑀)
2523, 24subeq0bd 10668 . . . . . 6 ((𝜑𝑃 = 𝑀) → (𝑃𝑀) = 0)
2625abs00bd 14250 . . . . 5 ((𝜑𝑃 = 𝑀) → (abs‘(𝑃𝑀)) = 0)
2726sq0id 13171 . . . 4 ((𝜑𝑃 = 𝑀) → ((abs‘(𝑃𝑀))↑2) = 0)
2827oveq2d 6830 . . 3 ((𝜑𝑃 = 𝑀) → (((abs‘(𝑄𝑀))↑2) + ((abs‘(𝑃𝑀))↑2)) = (((abs‘(𝑄𝑀))↑2) + 0))
291adantr 472 . . . . . 6 ((𝜑𝑃 = 𝑀) → 𝑄 ∈ ℂ)
3029, 23abssubd 14411 . . . . 5 ((𝜑𝑃 = 𝑀) → (abs‘(𝑄𝑃)) = (abs‘(𝑃𝑄)))
3124oveq2d 6830 . . . . . 6 ((𝜑𝑃 = 𝑀) → (𝑄𝑃) = (𝑄𝑀))
3231fveq2d 6357 . . . . 5 ((𝜑𝑃 = 𝑀) → (abs‘(𝑄𝑃)) = (abs‘(𝑄𝑀)))
3330, 32eqtr3d 2796 . . . 4 ((𝜑𝑃 = 𝑀) → (abs‘(𝑃𝑄)) = (abs‘(𝑄𝑀)))
3433oveq1d 6829 . . 3 ((𝜑𝑃 = 𝑀) → ((abs‘(𝑃𝑄))↑2) = ((abs‘(𝑄𝑀))↑2))
3513, 28, 343eqtr4rd 2805 . 2 ((𝜑𝑃 = 𝑀) → ((abs‘(𝑃𝑄))↑2) = (((abs‘(𝑄𝑀))↑2) + ((abs‘(𝑃𝑀))↑2)))
3622, 7subcld 10604 . . . . . . . 8 (𝜑 → (𝑃𝑀) ∈ ℂ)
3736abscld 14394 . . . . . . 7 (𝜑 → (abs‘(𝑃𝑀)) ∈ ℝ)
3837recnd 10280 . . . . . 6 (𝜑 → (abs‘(𝑃𝑀)) ∈ ℂ)
3938sqcld 13220 . . . . 5 (𝜑 → ((abs‘(𝑃𝑀))↑2) ∈ ℂ)
4039adantr 472 . . . 4 ((𝜑𝑄 = 𝑀) → ((abs‘(𝑃𝑀))↑2) ∈ ℂ)
4140addid2d 10449 . . 3 ((𝜑𝑄 = 𝑀) → (0 + ((abs‘(𝑃𝑀))↑2)) = ((abs‘(𝑃𝑀))↑2))
421adantr 472 . . . . . . 7 ((𝜑𝑄 = 𝑀) → 𝑄 ∈ ℂ)
43 simpr 479 . . . . . . 7 ((𝜑𝑄 = 𝑀) → 𝑄 = 𝑀)
4442, 43subeq0bd 10668 . . . . . 6 ((𝜑𝑄 = 𝑀) → (𝑄𝑀) = 0)
4544abs00bd 14250 . . . . 5 ((𝜑𝑄 = 𝑀) → (abs‘(𝑄𝑀)) = 0)
4645sq0id 13171 . . . 4 ((𝜑𝑄 = 𝑀) → ((abs‘(𝑄𝑀))↑2) = 0)
4746oveq1d 6829 . . 3 ((𝜑𝑄 = 𝑀) → (((abs‘(𝑄𝑀))↑2) + ((abs‘(𝑃𝑀))↑2)) = (0 + ((abs‘(𝑃𝑀))↑2)))
4843oveq2d 6830 . . . . 5 ((𝜑𝑄 = 𝑀) → (𝑃𝑄) = (𝑃𝑀))
4948fveq2d 6357 . . . 4 ((𝜑𝑄 = 𝑀) → (abs‘(𝑃𝑄)) = (abs‘(𝑃𝑀)))
5049oveq1d 6829 . . 3 ((𝜑𝑄 = 𝑀) → ((abs‘(𝑃𝑄))↑2) = ((abs‘(𝑃𝑀))↑2))
5141, 47, 503eqtr4rd 2805 . 2 ((𝜑𝑄 = 𝑀) → ((abs‘(𝑃𝑄))↑2) = (((abs‘(𝑄𝑀))↑2) + ((abs‘(𝑃𝑀))↑2)))
5222adantr 472 . . 3 ((𝜑 ∧ (𝑃𝑀𝑄𝑀)) → 𝑃 ∈ ℂ)
531adantr 472 . . 3 ((𝜑 ∧ (𝑃𝑀𝑄𝑀)) → 𝑄 ∈ ℂ)
547adantr 472 . . 3 ((𝜑 ∧ (𝑃𝑀𝑄𝑀)) → 𝑀 ∈ ℂ)
55 simprl 811 . . 3 ((𝜑 ∧ (𝑃𝑀𝑄𝑀)) → 𝑃𝑀)
56 simprr 813 . . 3 ((𝜑 ∧ (𝑃𝑀𝑄𝑀)) → 𝑄𝑀)
57 eqid 2760 . . . 4 (𝑥 ∈ (ℂ ∖ {0}), 𝑦 ∈ (ℂ ∖ {0}) ↦ (ℑ‘(log‘(𝑦 / 𝑥)))) = (𝑥 ∈ (ℂ ∖ {0}), 𝑦 ∈ (ℂ ∖ {0}) ↦ (ℑ‘(log‘(𝑦 / 𝑥))))
583adantr 472 . . . 4 ((𝜑 ∧ (𝑃𝑀𝑄𝑀)) → 𝐴 ∈ ℂ)
594adantr 472 . . . 4 ((𝜑 ∧ (𝑃𝑀𝑄𝑀)) → 𝐵 ∈ ℂ)
6015adantr 472 . . . 4 ((𝜑 ∧ (𝑃𝑀𝑄𝑀)) → 𝑋 ∈ ℝ)
612adantr 472 . . . 4 ((𝜑 ∧ (𝑃𝑀𝑄𝑀)) → 𝑀 = ((𝐴 + 𝐵) / 2))
6214adantr 472 . . . 4 ((𝜑 ∧ (𝑃𝑀𝑄𝑀)) → 𝑃 = ((𝑋 · 𝐴) + ((1 − 𝑋) · 𝐵)))
63 chordthmlem3.ABequidistQ . . . . 5 (𝜑 → (abs‘(𝐴𝑄)) = (abs‘(𝐵𝑄)))
6463adantr 472 . . . 4 ((𝜑 ∧ (𝑃𝑀𝑄𝑀)) → (abs‘(𝐴𝑄)) = (abs‘(𝐵𝑄)))
6557, 58, 59, 53, 60, 61, 62, 64, 55, 56chordthmlem2 24780 . . 3 ((𝜑 ∧ (𝑃𝑀𝑄𝑀)) → ((𝑄𝑀)(𝑥 ∈ (ℂ ∖ {0}), 𝑦 ∈ (ℂ ∖ {0}) ↦ (ℑ‘(log‘(𝑦 / 𝑥))))(𝑃𝑀)) ∈ {(π / 2), -(π / 2)})
66 eqid 2760 . . . 4 (abs‘(𝑄𝑀)) = (abs‘(𝑄𝑀))
67 eqid 2760 . . . 4 (abs‘(𝑃𝑀)) = (abs‘(𝑃𝑀))
68 eqid 2760 . . . 4 (abs‘(𝑃𝑄)) = (abs‘(𝑃𝑄))
69 eqid 2760 . . . 4 ((𝑄𝑀)(𝑥 ∈ (ℂ ∖ {0}), 𝑦 ∈ (ℂ ∖ {0}) ↦ (ℑ‘(log‘(𝑦 / 𝑥))))(𝑃𝑀)) = ((𝑄𝑀)(𝑥 ∈ (ℂ ∖ {0}), 𝑦 ∈ (ℂ ∖ {0}) ↦ (ℑ‘(log‘(𝑦 / 𝑥))))(𝑃𝑀))
7057, 66, 67, 68, 69pythag 24767 . . 3 (((𝑃 ∈ ℂ ∧ 𝑄 ∈ ℂ ∧ 𝑀 ∈ ℂ) ∧ (𝑃𝑀𝑄𝑀) ∧ ((𝑄𝑀)(𝑥 ∈ (ℂ ∖ {0}), 𝑦 ∈ (ℂ ∖ {0}) ↦ (ℑ‘(log‘(𝑦 / 𝑥))))(𝑃𝑀)) ∈ {(π / 2), -(π / 2)}) → ((abs‘(𝑃𝑄))↑2) = (((abs‘(𝑄𝑀))↑2) + ((abs‘(𝑃𝑀))↑2)))
7152, 53, 54, 55, 56, 65, 70syl321anc 1499 . 2 ((𝜑 ∧ (𝑃𝑀𝑄𝑀)) → ((abs‘(𝑃𝑄))↑2) = (((abs‘(𝑄𝑀))↑2) + ((abs‘(𝑃𝑀))↑2)))
7235, 51, 71pm2.61da2ne 3020 1 (𝜑 → ((abs‘(𝑃𝑄))↑2) = (((abs‘(𝑄𝑀))↑2) + ((abs‘(𝑃𝑀))↑2)))
 Colors of variables: wff setvar class Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 383   = wceq 1632   ∈ wcel 2139   ≠ wne 2932   ∖ cdif 3712  {csn 4321  {cpr 4323  ‘cfv 6049  (class class class)co 6814   ↦ cmpt2 6816  ℂcc 10146  ℝcr 10147  0cc0 10148  1c1 10149   + caddc 10151   · cmul 10153   − cmin 10478  -cneg 10479   / cdiv 10896  2c2 11282  ↑cexp 13074  ℑcim 14057  abscabs 14193  πcpi 15016  logclog 24521 This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1871  ax-4 1886  ax-5 1988  ax-6 2054  ax-7 2090  ax-8 2141  ax-9 2148  ax-10 2168  ax-11 2183  ax-12 2196  ax-13 2391  ax-ext 2740  ax-rep 4923  ax-sep 4933  ax-nul 4941  ax-pow 4992  ax-pr 5055  ax-un 7115  ax-inf2 8713  ax-cnex 10204  ax-resscn 10205  ax-1cn 10206  ax-icn 10207  ax-addcl 10208  ax-addrcl 10209  ax-mulcl 10210  ax-mulrcl 10211  ax-mulcom 10212  ax-addass 10213  ax-mulass 10214  ax-distr 10215  ax-i2m1 10216  ax-1ne0 10217  ax-1rid 10218  ax-rnegex 10219  ax-rrecex 10220  ax-cnre 10221  ax-pre-lttri 10222  ax-pre-lttrn 10223  ax-pre-ltadd 10224  ax-pre-mulgt0 10225  ax-pre-sup 10226  ax-addf 10227  ax-mulf 10228 This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 384  df-an 385  df-3or 1073  df-3an 1074  df-tru 1635  df-fal 1638  df-ex 1854  df-nf 1859  df-sb 2047  df-eu 2611  df-mo 2612  df-clab 2747  df-cleq 2753  df-clel 2756  df-nfc 2891  df-ne 2933  df-nel 3036  df-ral 3055  df-rex 3056  df-reu 3057  df-rmo 3058  df-rab 3059  df-v 3342  df-sbc 3577  df-csb 3675  df-dif 3718  df-un 3720  df-in 3722  df-ss 3729  df-pss 3731  df-nul 4059  df-if 4231  df-pw 4304  df-sn 4322  df-pr 4324  df-tp 4326  df-op 4328  df-uni 4589  df-int 4628  df-iun 4674  df-iin 4675  df-br 4805  df-opab 4865  df-mpt 4882  df-tr 4905  df-id 5174  df-eprel 5179  df-po 5187  df-so 5188  df-fr 5225  df-se 5226  df-we 5227  df-xp 5272  df-rel 5273  df-cnv 5274  df-co 5275  df-dm 5276  df-rn 5277  df-res 5278  df-ima 5279  df-pred 5841  df-ord 5887  df-on 5888  df-lim 5889  df-suc 5890  df-iota 6012  df-fun 6051  df-fn 6052  df-f 6053  df-f1 6054  df-fo 6055  df-f1o 6056  df-fv 6057  df-isom 6058  df-riota 6775  df-ov 6817  df-oprab 6818  df-mpt2 6819  df-of 7063  df-om 7232  df-1st 7334  df-2nd 7335  df-supp 7465  df-wrecs 7577  df-recs 7638  df-rdg 7676  df-1o 7730  df-2o 7731  df-oadd 7734  df-er 7913  df-map 8027  df-pm 8028  df-ixp 8077  df-en 8124  df-dom 8125  df-sdom 8126  df-fin 8127  df-fsupp 8443  df-fi 8484  df-sup 8515  df-inf 8516  df-oi 8582  df-card 8975  df-cda 9202  df-pnf 10288  df-mnf 10289  df-xr 10290  df-ltxr 10291  df-le 10292  df-sub 10480  df-neg 10481  df-div 10897  df-nn 11233  df-2 11291  df-3 11292  df-4 11293  df-5 11294  df-6 11295  df-7 11296  df-8 11297  df-9 11298  df-n0 11505  df-z 11590  df-dec 11706  df-uz 11900  df-q 12002  df-rp 12046  df-xneg 12159  df-xadd 12160  df-xmul 12161  df-ioo 12392  df-ioc 12393  df-ico 12394  df-icc 12395  df-fz 12540  df-fzo 12680  df-fl 12807  df-mod 12883  df-seq 13016  df-exp 13075  df-fac 13275  df-bc 13304  df-hash 13332  df-shft 14026  df-cj 14058  df-re 14059  df-im 14060  df-sqrt 14194  df-abs 14195  df-limsup 14421  df-clim 14438  df-rlim 14439  df-sum 14636  df-ef 15017  df-sin 15019  df-cos 15020  df-pi 15022  df-struct 16081  df-ndx 16082  df-slot 16083  df-base 16085  df-sets 16086  df-ress 16087  df-plusg 16176  df-mulr 16177  df-starv 16178  df-sca 16179  df-vsca 16180  df-ip 16181  df-tset 16182  df-ple 16183  df-ds 16186  df-unif 16187  df-hom 16188  df-cco 16189  df-rest 16305  df-topn 16306  df-0g 16324  df-gsum 16325  df-topgen 16326  df-pt 16327  df-prds 16330  df-xrs 16384  df-qtop 16389  df-imas 16390  df-xps 16392  df-mre 16468  df-mrc 16469  df-acs 16471  df-mgm 17463  df-sgrp 17505  df-mnd 17516  df-submnd 17557  df-mulg 17762  df-cntz 17970  df-cmn 18415  df-psmet 19960  df-xmet 19961  df-met 19962  df-bl 19963  df-mopn 19964  df-fbas 19965  df-fg 19966  df-cnfld 19969  df-top 20921  df-topon 20938  df-topsp 20959  df-bases 20972  df-cld 21045  df-ntr 21046  df-cls 21047  df-nei 21124  df-lp 21162  df-perf 21163  df-cn 21253  df-cnp 21254  df-haus 21341  df-tx 21587  df-hmeo 21780  df-fil 21871  df-fm 21963  df-flim 21964  df-flf 21965  df-xms 22346  df-ms 22347  df-tms 22348  df-cncf 22902  df-limc 23849  df-dv 23850  df-log 24523 This theorem is referenced by:  chordthmlem5  24783
 Copyright terms: Public domain W3C validator