MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  chordthmlem4 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem chordthmlem4 25340
Description: If P is on the segment AB and M is the midpoint of AB, then PA · PB = BM 2 PM 2 . If all lengths are reexpressed as fractions of AB, this reduces to the identity 𝑋 · (1 − 𝑋) = (1 / 2) 2 − ((1 / 2) − 𝑋) 2 . (Contributed by David Moews, 28-Feb-2017.)
Hypotheses
Ref Expression
chordthmlem4.A (𝜑𝐴 ∈ ℂ)
chordthmlem4.B (𝜑𝐵 ∈ ℂ)
chordthmlem4.X (𝜑𝑋 ∈ (0[,]1))
chordthmlem4.M (𝜑𝑀 = ((𝐴 + 𝐵) / 2))
chordthmlem4.P (𝜑𝑃 = ((𝑋 · 𝐴) + ((1 − 𝑋) · 𝐵)))
Assertion
Ref Expression
chordthmlem4 (𝜑 → ((abs‘(𝑃𝐴)) · (abs‘(𝑃𝐵))) = (((abs‘(𝐵𝑀))↑2) − ((abs‘(𝑃𝑀))↑2)))

Proof of Theorem chordthmlem4
StepHypRef Expression
1 1red 10630 . . . . . . . 8 (𝜑 → 1 ∈ ℝ)
2 unitssre 12873 . . . . . . . . 9 (0[,]1) ⊆ ℝ
3 chordthmlem4.X . . . . . . . . 9 (𝜑𝑋 ∈ (0[,]1))
42, 3sseldi 3962 . . . . . . . 8 (𝜑𝑋 ∈ ℝ)
51, 4resubcld 11056 . . . . . . 7 (𝜑 → (1 − 𝑋) ∈ ℝ)
65recnd 10657 . . . . . 6 (𝜑 → (1 − 𝑋) ∈ ℂ)
76abscld 14784 . . . . 5 (𝜑 → (abs‘(1 − 𝑋)) ∈ ℝ)
87recnd 10657 . . . 4 (𝜑 → (abs‘(1 − 𝑋)) ∈ ℂ)
9 chordthmlem4.B . . . . . . 7 (𝜑𝐵 ∈ ℂ)
10 chordthmlem4.A . . . . . . 7 (𝜑𝐴 ∈ ℂ)
119, 10subcld 10985 . . . . . 6 (𝜑 → (𝐵𝐴) ∈ ℂ)
1211abscld 14784 . . . . 5 (𝜑 → (abs‘(𝐵𝐴)) ∈ ℝ)
1312recnd 10657 . . . 4 (𝜑 → (abs‘(𝐵𝐴)) ∈ ℂ)
144recnd 10657 . . . . . 6 (𝜑𝑋 ∈ ℂ)
1514abscld 14784 . . . . 5 (𝜑 → (abs‘𝑋) ∈ ℝ)
1615recnd 10657 . . . 4 (𝜑 → (abs‘𝑋) ∈ ℂ)
178, 13, 16, 13mul4d 10840 . . 3 (𝜑 → (((abs‘(1 − 𝑋)) · (abs‘(𝐵𝐴))) · ((abs‘𝑋) · (abs‘(𝐵𝐴)))) = (((abs‘(1 − 𝑋)) · (abs‘𝑋)) · ((abs‘(𝐵𝐴)) · (abs‘(𝐵𝐴)))))
18 chordthmlem4.P . . . . . . 7 (𝜑𝑃 = ((𝑋 · 𝐴) + ((1 − 𝑋) · 𝐵)))
1914, 10mulcld 10649 . . . . . . . . . 10 (𝜑 → (𝑋 · 𝐴) ∈ ℂ)
206, 9mulcld 10649 . . . . . . . . . 10 (𝜑 → ((1 − 𝑋) · 𝐵) ∈ ℂ)
2119, 20addcld 10648 . . . . . . . . 9 (𝜑 → ((𝑋 · 𝐴) + ((1 − 𝑋) · 𝐵)) ∈ ℂ)
2218, 21eqeltrd 2910 . . . . . . . 8 (𝜑𝑃 ∈ ℂ)
2310, 22, 9, 14affineequiv2 25329 . . . . . . 7 (𝜑 → (𝑃 = ((𝑋 · 𝐴) + ((1 − 𝑋) · 𝐵)) ↔ (𝑃𝐴) = ((1 − 𝑋) · (𝐵𝐴))))
2418, 23mpbid 233 . . . . . 6 (𝜑 → (𝑃𝐴) = ((1 − 𝑋) · (𝐵𝐴)))
2524fveq2d 6667 . . . . 5 (𝜑 → (abs‘(𝑃𝐴)) = (abs‘((1 − 𝑋) · (𝐵𝐴))))
266, 11absmuld 14802 . . . . 5 (𝜑 → (abs‘((1 − 𝑋) · (𝐵𝐴))) = ((abs‘(1 − 𝑋)) · (abs‘(𝐵𝐴))))
2725, 26eqtrd 2853 . . . 4 (𝜑 → (abs‘(𝑃𝐴)) = ((abs‘(1 − 𝑋)) · (abs‘(𝐵𝐴))))
2822, 9abssubd 14801 . . . . 5 (𝜑 → (abs‘(𝑃𝐵)) = (abs‘(𝐵𝑃)))
2910, 22, 9, 14affineequiv 25328 . . . . . . 7 (𝜑 → (𝑃 = ((𝑋 · 𝐴) + ((1 − 𝑋) · 𝐵)) ↔ (𝐵𝑃) = (𝑋 · (𝐵𝐴))))
3018, 29mpbid 233 . . . . . 6 (𝜑 → (𝐵𝑃) = (𝑋 · (𝐵𝐴)))
3130fveq2d 6667 . . . . 5 (𝜑 → (abs‘(𝐵𝑃)) = (abs‘(𝑋 · (𝐵𝐴))))
3214, 11absmuld 14802 . . . . 5 (𝜑 → (abs‘(𝑋 · (𝐵𝐴))) = ((abs‘𝑋) · (abs‘(𝐵𝐴))))
3328, 31, 323eqtrd 2857 . . . 4 (𝜑 → (abs‘(𝑃𝐵)) = ((abs‘𝑋) · (abs‘(𝐵𝐴))))
3427, 33oveq12d 7163 . . 3 (𝜑 → ((abs‘(𝑃𝐴)) · (abs‘(𝑃𝐵))) = (((abs‘(1 − 𝑋)) · (abs‘(𝐵𝐴))) · ((abs‘𝑋) · (abs‘(𝐵𝐴)))))
3513sqvald 13495 . . . 4 (𝜑 → ((abs‘(𝐵𝐴))↑2) = ((abs‘(𝐵𝐴)) · (abs‘(𝐵𝐴))))
3635oveq2d 7161 . . 3 (𝜑 → (((abs‘(1 − 𝑋)) · (abs‘𝑋)) · ((abs‘(𝐵𝐴))↑2)) = (((abs‘(1 − 𝑋)) · (abs‘𝑋)) · ((abs‘(𝐵𝐴)) · (abs‘(𝐵𝐴)))))
3717, 34, 363eqtr4d 2863 . 2 (𝜑 → ((abs‘(𝑃𝐴)) · (abs‘(𝑃𝐵))) = (((abs‘(1 − 𝑋)) · (abs‘𝑋)) · ((abs‘(𝐵𝐴))↑2)))
381recnd 10657 . . . . . 6 (𝜑 → 1 ∈ ℂ)
3938halfcld 11870 . . . . 5 (𝜑 → (1 / 2) ∈ ℂ)
4039sqcld 13496 . . . 4 (𝜑 → ((1 / 2)↑2) ∈ ℂ)
411rehalfcld 11872 . . . . . . . . 9 (𝜑 → (1 / 2) ∈ ℝ)
4241, 4resubcld 11056 . . . . . . . 8 (𝜑 → ((1 / 2) − 𝑋) ∈ ℝ)
4342recnd 10657 . . . . . . 7 (𝜑 → ((1 / 2) − 𝑋) ∈ ℂ)
4443abscld 14784 . . . . . 6 (𝜑 → (abs‘((1 / 2) − 𝑋)) ∈ ℝ)
4544recnd 10657 . . . . 5 (𝜑 → (abs‘((1 / 2) − 𝑋)) ∈ ℂ)
4645sqcld 13496 . . . 4 (𝜑 → ((abs‘((1 / 2) − 𝑋))↑2) ∈ ℂ)
4713sqcld 13496 . . . 4 (𝜑 → ((abs‘(𝐵𝐴))↑2) ∈ ℂ)
4840, 46, 47subdird 11085 . . 3 (𝜑 → ((((1 / 2)↑2) − ((abs‘((1 / 2) − 𝑋))↑2)) · ((abs‘(𝐵𝐴))↑2)) = ((((1 / 2)↑2) · ((abs‘(𝐵𝐴))↑2)) − (((abs‘((1 / 2) − 𝑋))↑2) · ((abs‘(𝐵𝐴))↑2))))
49 subsq 13560 . . . . . . 7 (((1 / 2) ∈ ℂ ∧ ((1 / 2) − 𝑋) ∈ ℂ) → (((1 / 2)↑2) − (((1 / 2) − 𝑋)↑2)) = (((1 / 2) + ((1 / 2) − 𝑋)) · ((1 / 2) − ((1 / 2) − 𝑋))))
5039, 43, 49syl2anc 584 . . . . . 6 (𝜑 → (((1 / 2)↑2) − (((1 / 2) − 𝑋)↑2)) = (((1 / 2) + ((1 / 2) − 𝑋)) · ((1 / 2) − ((1 / 2) − 𝑋))))
5139, 39, 14addsubassd 11005 . . . . . . . 8 (𝜑 → (((1 / 2) + (1 / 2)) − 𝑋) = ((1 / 2) + ((1 / 2) − 𝑋)))
52382halvesd 11871 . . . . . . . . 9 (𝜑 → ((1 / 2) + (1 / 2)) = 1)
5352oveq1d 7160 . . . . . . . 8 (𝜑 → (((1 / 2) + (1 / 2)) − 𝑋) = (1 − 𝑋))
5451, 53eqtr3d 2855 . . . . . . 7 (𝜑 → ((1 / 2) + ((1 / 2) − 𝑋)) = (1 − 𝑋))
5539, 14nncand 10990 . . . . . . 7 (𝜑 → ((1 / 2) − ((1 / 2) − 𝑋)) = 𝑋)
5654, 55oveq12d 7163 . . . . . 6 (𝜑 → (((1 / 2) + ((1 / 2) − 𝑋)) · ((1 / 2) − ((1 / 2) − 𝑋))) = ((1 − 𝑋) · 𝑋))
5750, 56eqtr2d 2854 . . . . 5 (𝜑 → ((1 − 𝑋) · 𝑋) = (((1 / 2)↑2) − (((1 / 2) − 𝑋)↑2)))
58 elicc01 12842 . . . . . . . . 9 (𝑋 ∈ (0[,]1) ↔ (𝑋 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝑋𝑋 ≤ 1))
593, 58sylib 219 . . . . . . . 8 (𝜑 → (𝑋 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝑋𝑋 ≤ 1))
6059simp3d 1136 . . . . . . 7 (𝜑𝑋 ≤ 1)
614, 1, 60abssubge0d 14779 . . . . . 6 (𝜑 → (abs‘(1 − 𝑋)) = (1 − 𝑋))
6259simp2d 1135 . . . . . . 7 (𝜑 → 0 ≤ 𝑋)
634, 62absidd 14770 . . . . . 6 (𝜑 → (abs‘𝑋) = 𝑋)
6461, 63oveq12d 7163 . . . . 5 (𝜑 → ((abs‘(1 − 𝑋)) · (abs‘𝑋)) = ((1 − 𝑋) · 𝑋))
65 absresq 14650 . . . . . . 7 (((1 / 2) − 𝑋) ∈ ℝ → ((abs‘((1 / 2) − 𝑋))↑2) = (((1 / 2) − 𝑋)↑2))
6642, 65syl 17 . . . . . 6 (𝜑 → ((abs‘((1 / 2) − 𝑋))↑2) = (((1 / 2) − 𝑋)↑2))
6766oveq2d 7161 . . . . 5 (𝜑 → (((1 / 2)↑2) − ((abs‘((1 / 2) − 𝑋))↑2)) = (((1 / 2)↑2) − (((1 / 2) − 𝑋)↑2)))
6857, 64, 673eqtr4d 2863 . . . 4 (𝜑 → ((abs‘(1 − 𝑋)) · (abs‘𝑋)) = (((1 / 2)↑2) − ((abs‘((1 / 2) − 𝑋))↑2)))
6968oveq1d 7160 . . 3 (𝜑 → (((abs‘(1 − 𝑋)) · (abs‘𝑋)) · ((abs‘(𝐵𝐴))↑2)) = ((((1 / 2)↑2) − ((abs‘((1 / 2) − 𝑋))↑2)) · ((abs‘(𝐵𝐴))↑2)))
70 2cnd 11703 . . . . . . . . . . . . 13 (𝜑 → 2 ∈ ℂ)
71 2ne0 11729 . . . . . . . . . . . . . 14 2 ≠ 0
7271a1i 11 . . . . . . . . . . . . 13 (𝜑 → 2 ≠ 0)
739, 70, 72divcan4d 11410 . . . . . . . . . . . 12 (𝜑 → ((𝐵 · 2) / 2) = 𝐵)
749times2d 11869 . . . . . . . . . . . . 13 (𝜑 → (𝐵 · 2) = (𝐵 + 𝐵))
7574oveq1d 7160 . . . . . . . . . . . 12 (𝜑 → ((𝐵 · 2) / 2) = ((𝐵 + 𝐵) / 2))
7673, 75eqtr3d 2855 . . . . . . . . . . 11 (𝜑𝐵 = ((𝐵 + 𝐵) / 2))
77 chordthmlem4.M . . . . . . . . . . 11 (𝜑𝑀 = ((𝐴 + 𝐵) / 2))
7876, 77oveq12d 7163 . . . . . . . . . 10 (𝜑 → (𝐵𝑀) = (((𝐵 + 𝐵) / 2) − ((𝐴 + 𝐵) / 2)))
799, 9addcld 10648 . . . . . . . . . . 11 (𝜑 → (𝐵 + 𝐵) ∈ ℂ)
8010, 9addcld 10648 . . . . . . . . . . 11 (𝜑 → (𝐴 + 𝐵) ∈ ℂ)
8179, 80, 70, 72divsubdird 11443 . . . . . . . . . 10 (𝜑 → (((𝐵 + 𝐵) − (𝐴 + 𝐵)) / 2) = (((𝐵 + 𝐵) / 2) − ((𝐴 + 𝐵) / 2)))
829, 10, 9pnpcan2d 11023 . . . . . . . . . . 11 (𝜑 → ((𝐵 + 𝐵) − (𝐴 + 𝐵)) = (𝐵𝐴))
8382oveq1d 7160 . . . . . . . . . 10 (𝜑 → (((𝐵 + 𝐵) − (𝐴 + 𝐵)) / 2) = ((𝐵𝐴) / 2))
8478, 81, 833eqtr2d 2859 . . . . . . . . 9 (𝜑 → (𝐵𝑀) = ((𝐵𝐴) / 2))
8511, 70, 72divrec2d 11408 . . . . . . . . 9 (𝜑 → ((𝐵𝐴) / 2) = ((1 / 2) · (𝐵𝐴)))
8684, 85eqtrd 2853 . . . . . . . 8 (𝜑 → (𝐵𝑀) = ((1 / 2) · (𝐵𝐴)))
8786fveq2d 6667 . . . . . . 7 (𝜑 → (abs‘(𝐵𝑀)) = (abs‘((1 / 2) · (𝐵𝐴))))
8839, 11absmuld 14802 . . . . . . 7 (𝜑 → (abs‘((1 / 2) · (𝐵𝐴))) = ((abs‘(1 / 2)) · (abs‘(𝐵𝐴))))
89 0red 10632 . . . . . . . . . 10 (𝜑 → 0 ∈ ℝ)
90 halfgt0 11841 . . . . . . . . . . 11 0 < (1 / 2)
9190a1i 11 . . . . . . . . . 10 (𝜑 → 0 < (1 / 2))
9289, 41, 91ltled 10776 . . . . . . . . 9 (𝜑 → 0 ≤ (1 / 2))
9341, 92absidd 14770 . . . . . . . 8 (𝜑 → (abs‘(1 / 2)) = (1 / 2))
9493oveq1d 7160 . . . . . . 7 (𝜑 → ((abs‘(1 / 2)) · (abs‘(𝐵𝐴))) = ((1 / 2) · (abs‘(𝐵𝐴))))
9587, 88, 943eqtrd 2857 . . . . . 6 (𝜑 → (abs‘(𝐵𝑀)) = ((1 / 2) · (abs‘(𝐵𝐴))))
9695oveq1d 7160 . . . . 5 (𝜑 → ((abs‘(𝐵𝑀))↑2) = (((1 / 2) · (abs‘(𝐵𝐴)))↑2))
9739, 13sqmuld 13510 . . . . 5 (𝜑 → (((1 / 2) · (abs‘(𝐵𝐴)))↑2) = (((1 / 2)↑2) · ((abs‘(𝐵𝐴))↑2)))
9896, 97eqtrd 2853 . . . 4 (𝜑 → ((abs‘(𝐵𝑀))↑2) = (((1 / 2)↑2) · ((abs‘(𝐵𝐴))↑2)))
9939, 14, 11subdird 11085 . . . . . . . . 9 (𝜑 → (((1 / 2) − 𝑋) · (𝐵𝐴)) = (((1 / 2) · (𝐵𝐴)) − (𝑋 · (𝐵𝐴))))
10086, 30oveq12d 7163 . . . . . . . . 9 (𝜑 → ((𝐵𝑀) − (𝐵𝑃)) = (((1 / 2) · (𝐵𝐴)) − (𝑋 · (𝐵𝐴))))
10180halfcld 11870 . . . . . . . . . . 11 (𝜑 → ((𝐴 + 𝐵) / 2) ∈ ℂ)
10277, 101eqeltrd 2910 . . . . . . . . . 10 (𝜑𝑀 ∈ ℂ)
1039, 102, 22nnncan1d 11019 . . . . . . . . 9 (𝜑 → ((𝐵𝑀) − (𝐵𝑃)) = (𝑃𝑀))
10499, 100, 1033eqtr2rd 2860 . . . . . . . 8 (𝜑 → (𝑃𝑀) = (((1 / 2) − 𝑋) · (𝐵𝐴)))
105104fveq2d 6667 . . . . . . 7 (𝜑 → (abs‘(𝑃𝑀)) = (abs‘(((1 / 2) − 𝑋) · (𝐵𝐴))))
10643, 11absmuld 14802 . . . . . . 7 (𝜑 → (abs‘(((1 / 2) − 𝑋) · (𝐵𝐴))) = ((abs‘((1 / 2) − 𝑋)) · (abs‘(𝐵𝐴))))
107105, 106eqtrd 2853 . . . . . 6 (𝜑 → (abs‘(𝑃𝑀)) = ((abs‘((1 / 2) − 𝑋)) · (abs‘(𝐵𝐴))))
108107oveq1d 7160 . . . . 5 (𝜑 → ((abs‘(𝑃𝑀))↑2) = (((abs‘((1 / 2) − 𝑋)) · (abs‘(𝐵𝐴)))↑2))
10945, 13sqmuld 13510 . . . . 5 (𝜑 → (((abs‘((1 / 2) − 𝑋)) · (abs‘(𝐵𝐴)))↑2) = (((abs‘((1 / 2) − 𝑋))↑2) · ((abs‘(𝐵𝐴))↑2)))
110108, 109eqtrd 2853 . . . 4 (𝜑 → ((abs‘(𝑃𝑀))↑2) = (((abs‘((1 / 2) − 𝑋))↑2) · ((abs‘(𝐵𝐴))↑2)))
11198, 110oveq12d 7163 . . 3 (𝜑 → (((abs‘(𝐵𝑀))↑2) − ((abs‘(𝑃𝑀))↑2)) = ((((1 / 2)↑2) · ((abs‘(𝐵𝐴))↑2)) − (((abs‘((1 / 2) − 𝑋))↑2) · ((abs‘(𝐵𝐴))↑2))))
11248, 69, 1113eqtr4rd 2864 . 2 (𝜑 → (((abs‘(𝐵𝑀))↑2) − ((abs‘(𝑃𝑀))↑2)) = (((abs‘(1 − 𝑋)) · (abs‘𝑋)) · ((abs‘(𝐵𝐴))↑2)))
11337, 112eqtr4d 2856 1 (𝜑 → ((abs‘(𝑃𝐴)) · (abs‘(𝑃𝐵))) = (((abs‘(𝐵𝑀))↑2) − ((abs‘(𝑃𝑀))↑2)))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  w3a 1079   = wceq 1528  wcel 2105  wne 3013   class class class wbr 5057  cfv 6348  (class class class)co 7145  cc 10523  cr 10524  0cc0 10525  1c1 10526   + caddc 10528   · cmul 10530   < clt 10663  cle 10664  cmin 10858   / cdiv 11285  2c2 11680  [,]cicc 12729  cexp 13417  abscabs 14581
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1787  ax-4 1801  ax-5 1902  ax-6 1961  ax-7 2006  ax-8 2107  ax-9 2115  ax-10 2136  ax-11 2151  ax-12 2167  ax-ext 2790  ax-sep 5194  ax-nul 5201  ax-pow 5257  ax-pr 5320  ax-un 7450  ax-cnex 10581  ax-resscn 10582  ax-1cn 10583  ax-icn 10584  ax-addcl 10585  ax-addrcl 10586  ax-mulcl 10587  ax-mulrcl 10588  ax-mulcom 10589  ax-addass 10590  ax-mulass 10591  ax-distr 10592  ax-i2m1 10593  ax-1ne0 10594  ax-1rid 10595  ax-rnegex 10596  ax-rrecex 10597  ax-cnre 10598  ax-pre-lttri 10599  ax-pre-lttrn 10600  ax-pre-ltadd 10601  ax-pre-mulgt0 10602  ax-pre-sup 10603
This theorem depends on definitions:  df-bi 208  df-an 397  df-or 842  df-3or 1080  df-3an 1081  df-tru 1531  df-ex 1772  df-nf 1776  df-sb 2061  df-mo 2615  df-eu 2647  df-clab 2797  df-cleq 2811  df-clel 2890  df-nfc 2960  df-ne 3014  df-nel 3121  df-ral 3140  df-rex 3141  df-reu 3142  df-rmo 3143  df-rab 3144  df-v 3494  df-sbc 3770  df-csb 3881  df-dif 3936  df-un 3938  df-in 3940  df-ss 3949  df-pss 3951  df-nul 4289  df-if 4464  df-pw 4537  df-sn 4558  df-pr 4560  df-tp 4562  df-op 4564  df-uni 4831  df-iun 4912  df-br 5058  df-opab 5120  df-mpt 5138  df-tr 5164  df-id 5453  df-eprel 5458  df-po 5467  df-so 5468  df-fr 5507  df-we 5509  df-xp 5554  df-rel 5555  df-cnv 5556  df-co 5557  df-dm 5558  df-rn 5559  df-res 5560  df-ima 5561  df-pred 6141  df-ord 6187  df-on 6188  df-lim 6189  df-suc 6190  df-iota 6307  df-fun 6350  df-fn 6351  df-f 6352  df-f1 6353  df-fo 6354  df-f1o 6355  df-fv 6356  df-riota 7103  df-ov 7148  df-oprab 7149  df-mpo 7150  df-om 7570  df-2nd 7679  df-wrecs 7936  df-recs 7997  df-rdg 8035  df-er 8278  df-en 8498  df-dom 8499  df-sdom 8500  df-sup 8894  df-pnf 10665  df-mnf 10666  df-xr 10667  df-ltxr 10668  df-le 10669  df-sub 10860  df-neg 10861  df-div 11286  df-nn 11627  df-2 11688  df-3 11689  df-n0 11886  df-z 11970  df-uz 12232  df-rp 12378  df-icc 12733  df-seq 13358  df-exp 13418  df-cj 14446  df-re 14447  df-im 14448  df-sqrt 14582  df-abs 14583
This theorem is referenced by:  chordthmlem5  25341
  Copyright terms: Public domain W3C validator