MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  chpmat1dlem Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem chpmat1dlem 21371
Description: Lemma for chpmat1d 21372. (Contributed by AV, 7-Aug-2019.)
Hypotheses
Ref Expression
chpmat1d.c 𝐶 = (𝑁 CharPlyMat 𝑅)
chpmat1d.p 𝑃 = (Poly1𝑅)
chpmat1d.a 𝐴 = (𝑁 Mat 𝑅)
chpmat1d.b 𝐵 = (Base‘𝐴)
chpmat1d.x 𝑋 = (var1𝑅)
chpmat1d.z = (-g𝑃)
chpmat1d.s 𝑆 = (algSc‘𝑃)
chpmat1dlem.g 𝐺 = (𝑁 Mat 𝑃)
chpmat1dlem.x 𝑇 = (𝑁 matToPolyMat 𝑅)
Assertion
Ref Expression
chpmat1dlem ((𝑅 ∈ Ring ∧ (𝑁 = {𝐼} ∧ 𝐼𝑉) ∧ 𝑀𝐵) → (𝐼((𝑋( ·𝑠𝐺)(1r𝐺))(-g𝐺)(𝑇𝑀))𝐼) = (𝑋 (𝑆‘(𝐼𝑀𝐼))))

Proof of Theorem chpmat1dlem
StepHypRef Expression
1 chpmat1d.p . . . . 5 𝑃 = (Poly1𝑅)
21ply1ring 20344 . . . 4 (𝑅 ∈ Ring → 𝑃 ∈ Ring)
323ad2ant1 1125 . . 3 ((𝑅 ∈ Ring ∧ (𝑁 = {𝐼} ∧ 𝐼𝑉) ∧ 𝑀𝐵) → 𝑃 ∈ Ring)
4 snfi 8582 . . . . . . . . . . 11 {𝐼} ∈ Fin
5 eleq1 2897 . . . . . . . . . . 11 (𝑁 = {𝐼} → (𝑁 ∈ Fin ↔ {𝐼} ∈ Fin))
64, 5mpbiri 259 . . . . . . . . . 10 (𝑁 = {𝐼} → 𝑁 ∈ Fin)
76adantr 481 . . . . . . . . 9 ((𝑁 = {𝐼} ∧ 𝐼𝑉) → 𝑁 ∈ Fin)
82, 7anim12i 612 . . . . . . . 8 ((𝑅 ∈ Ring ∧ (𝑁 = {𝐼} ∧ 𝐼𝑉)) → (𝑃 ∈ Ring ∧ 𝑁 ∈ Fin))
983adant3 1124 . . . . . . 7 ((𝑅 ∈ Ring ∧ (𝑁 = {𝐼} ∧ 𝐼𝑉) ∧ 𝑀𝐵) → (𝑃 ∈ Ring ∧ 𝑁 ∈ Fin))
109ancomd 462 . . . . . 6 ((𝑅 ∈ Ring ∧ (𝑁 = {𝐼} ∧ 𝐼𝑉) ∧ 𝑀𝐵) → (𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑃 ∈ Ring))
11 chpmat1dlem.g . . . . . . 7 𝐺 = (𝑁 Mat 𝑃)
1211matlmod 20966 . . . . . 6 ((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑃 ∈ Ring) → 𝐺 ∈ LMod)
1310, 12syl 17 . . . . 5 ((𝑅 ∈ Ring ∧ (𝑁 = {𝐼} ∧ 𝐼𝑉) ∧ 𝑀𝐵) → 𝐺 ∈ LMod)
14 chpmat1d.x . . . . . . . 8 𝑋 = (var1𝑅)
15 eqid 2818 . . . . . . . 8 (Poly1𝑅) = (Poly1𝑅)
16 eqid 2818 . . . . . . . 8 (Base‘(Poly1𝑅)) = (Base‘(Poly1𝑅))
1714, 15, 16vr1cl 20313 . . . . . . 7 (𝑅 ∈ Ring → 𝑋 ∈ (Base‘(Poly1𝑅)))
18173ad2ant1 1125 . . . . . 6 ((𝑅 ∈ Ring ∧ (𝑁 = {𝐼} ∧ 𝐼𝑉) ∧ 𝑀𝐵) → 𝑋 ∈ (Base‘(Poly1𝑅)))
1973ad2ant2 1126 . . . . . . . . 9 ((𝑅 ∈ Ring ∧ (𝑁 = {𝐼} ∧ 𝐼𝑉) ∧ 𝑀𝐵) → 𝑁 ∈ Fin)
20 fvex 6676 . . . . . . . . 9 (Poly1𝑅) ∈ V
211oveq2i 7156 . . . . . . . . . . 11 (𝑁 Mat 𝑃) = (𝑁 Mat (Poly1𝑅))
2211, 21eqtri 2841 . . . . . . . . . 10 𝐺 = (𝑁 Mat (Poly1𝑅))
2322matsca2 20957 . . . . . . . . 9 ((𝑁 ∈ Fin ∧ (Poly1𝑅) ∈ V) → (Poly1𝑅) = (Scalar‘𝐺))
2419, 20, 23sylancl 586 . . . . . . . 8 ((𝑅 ∈ Ring ∧ (𝑁 = {𝐼} ∧ 𝐼𝑉) ∧ 𝑀𝐵) → (Poly1𝑅) = (Scalar‘𝐺))
2524eqcomd 2824 . . . . . . 7 ((𝑅 ∈ Ring ∧ (𝑁 = {𝐼} ∧ 𝐼𝑉) ∧ 𝑀𝐵) → (Scalar‘𝐺) = (Poly1𝑅))
2625fveq2d 6667 . . . . . 6 ((𝑅 ∈ Ring ∧ (𝑁 = {𝐼} ∧ 𝐼𝑉) ∧ 𝑀𝐵) → (Base‘(Scalar‘𝐺)) = (Base‘(Poly1𝑅)))
2718, 26eleqtrrd 2913 . . . . 5 ((𝑅 ∈ Ring ∧ (𝑁 = {𝐼} ∧ 𝐼𝑉) ∧ 𝑀𝐵) → 𝑋 ∈ (Base‘(Scalar‘𝐺)))
2811matring 20980 . . . . . . 7 ((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑃 ∈ Ring) → 𝐺 ∈ Ring)
2910, 28syl 17 . . . . . 6 ((𝑅 ∈ Ring ∧ (𝑁 = {𝐼} ∧ 𝐼𝑉) ∧ 𝑀𝐵) → 𝐺 ∈ Ring)
30 eqid 2818 . . . . . . 7 (Base‘𝐺) = (Base‘𝐺)
31 eqid 2818 . . . . . . 7 (1r𝐺) = (1r𝐺)
3230, 31ringidcl 19247 . . . . . 6 (𝐺 ∈ Ring → (1r𝐺) ∈ (Base‘𝐺))
3329, 32syl 17 . . . . 5 ((𝑅 ∈ Ring ∧ (𝑁 = {𝐼} ∧ 𝐼𝑉) ∧ 𝑀𝐵) → (1r𝐺) ∈ (Base‘𝐺))
3413, 27, 333jca 1120 . . . 4 ((𝑅 ∈ Ring ∧ (𝑁 = {𝐼} ∧ 𝐼𝑉) ∧ 𝑀𝐵) → (𝐺 ∈ LMod ∧ 𝑋 ∈ (Base‘(Scalar‘𝐺)) ∧ (1r𝐺) ∈ (Base‘𝐺)))
35 eqid 2818 . . . . 5 (Scalar‘𝐺) = (Scalar‘𝐺)
36 eqid 2818 . . . . 5 ( ·𝑠𝐺) = ( ·𝑠𝐺)
37 eqid 2818 . . . . 5 (Base‘(Scalar‘𝐺)) = (Base‘(Scalar‘𝐺))
3830, 35, 36, 37lmodvscl 19580 . . . 4 ((𝐺 ∈ LMod ∧ 𝑋 ∈ (Base‘(Scalar‘𝐺)) ∧ (1r𝐺) ∈ (Base‘𝐺)) → (𝑋( ·𝑠𝐺)(1r𝐺)) ∈ (Base‘𝐺))
3934, 38syl 17 . . 3 ((𝑅 ∈ Ring ∧ (𝑁 = {𝐼} ∧ 𝐼𝑉) ∧ 𝑀𝐵) → (𝑋( ·𝑠𝐺)(1r𝐺)) ∈ (Base‘𝐺))
40 simp1 1128 . . . . 5 ((𝑅 ∈ Ring ∧ (𝑁 = {𝐼} ∧ 𝐼𝑉) ∧ 𝑀𝐵) → 𝑅 ∈ Ring)
41 simp3 1130 . . . . 5 ((𝑅 ∈ Ring ∧ (𝑁 = {𝐼} ∧ 𝐼𝑉) ∧ 𝑀𝐵) → 𝑀𝐵)
4219, 40, 413jca 1120 . . . 4 ((𝑅 ∈ Ring ∧ (𝑁 = {𝐼} ∧ 𝐼𝑉) ∧ 𝑀𝐵) → (𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑀𝐵))
43 chpmat1dlem.x . . . . 5 𝑇 = (𝑁 matToPolyMat 𝑅)
44 chpmat1d.a . . . . 5 𝐴 = (𝑁 Mat 𝑅)
45 chpmat1d.b . . . . 5 𝐵 = (Base‘𝐴)
4643, 44, 45, 1, 11mat2pmatbas 21262 . . . 4 ((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑀𝐵) → (𝑇𝑀) ∈ (Base‘𝐺))
4742, 46syl 17 . . 3 ((𝑅 ∈ Ring ∧ (𝑁 = {𝐼} ∧ 𝐼𝑉) ∧ 𝑀𝐵) → (𝑇𝑀) ∈ (Base‘𝐺))
48 snidg 4589 . . . . . . 7 (𝐼𝑉𝐼 ∈ {𝐼})
4948adantl 482 . . . . . 6 ((𝑁 = {𝐼} ∧ 𝐼𝑉) → 𝐼 ∈ {𝐼})
50 eleq2 2898 . . . . . . 7 (𝑁 = {𝐼} → (𝐼𝑁𝐼 ∈ {𝐼}))
5150adantr 481 . . . . . 6 ((𝑁 = {𝐼} ∧ 𝐼𝑉) → (𝐼𝑁𝐼 ∈ {𝐼}))
5249, 51mpbird 258 . . . . 5 ((𝑁 = {𝐼} ∧ 𝐼𝑉) → 𝐼𝑁)
53 id 22 . . . . 5 (𝐼𝑁𝐼𝑁)
5452, 53jccir 522 . . . 4 ((𝑁 = {𝐼} ∧ 𝐼𝑉) → (𝐼𝑁𝐼𝑁))
55543ad2ant2 1126 . . 3 ((𝑅 ∈ Ring ∧ (𝑁 = {𝐼} ∧ 𝐼𝑉) ∧ 𝑀𝐵) → (𝐼𝑁𝐼𝑁))
56 eqid 2818 . . . 4 (-g𝐺) = (-g𝐺)
57 chpmat1d.z . . . 4 = (-g𝑃)
5811, 30, 56, 57matsubgcell 20971 . . 3 ((𝑃 ∈ Ring ∧ ((𝑋( ·𝑠𝐺)(1r𝐺)) ∈ (Base‘𝐺) ∧ (𝑇𝑀) ∈ (Base‘𝐺)) ∧ (𝐼𝑁𝐼𝑁)) → (𝐼((𝑋( ·𝑠𝐺)(1r𝐺))(-g𝐺)(𝑇𝑀))𝐼) = ((𝐼(𝑋( ·𝑠𝐺)(1r𝐺))𝐼) (𝐼(𝑇𝑀)𝐼)))
593, 39, 47, 55, 58syl121anc 1367 . 2 ((𝑅 ∈ Ring ∧ (𝑁 = {𝐼} ∧ 𝐼𝑉) ∧ 𝑀𝐵) → (𝐼((𝑋( ·𝑠𝐺)(1r𝐺))(-g𝐺)(𝑇𝑀))𝐼) = ((𝐼(𝑋( ·𝑠𝐺)(1r𝐺))𝐼) (𝐼(𝑇𝑀)𝐼)))
60 eqid 2818 . . . . . . 7 (Base‘𝑃) = (Base‘𝑃)
6114, 1, 60vr1cl 20313 . . . . . 6 (𝑅 ∈ Ring → 𝑋 ∈ (Base‘𝑃))
62613ad2ant1 1125 . . . . 5 ((𝑅 ∈ Ring ∧ (𝑁 = {𝐼} ∧ 𝐼𝑉) ∧ 𝑀𝐵) → 𝑋 ∈ (Base‘𝑃))
63 eqid 2818 . . . . . 6 (.r𝑃) = (.r𝑃)
6411, 30, 60, 36, 63matvscacell 20973 . . . . 5 ((𝑃 ∈ Ring ∧ (𝑋 ∈ (Base‘𝑃) ∧ (1r𝐺) ∈ (Base‘𝐺)) ∧ (𝐼𝑁𝐼𝑁)) → (𝐼(𝑋( ·𝑠𝐺)(1r𝐺))𝐼) = (𝑋(.r𝑃)(𝐼(1r𝐺)𝐼)))
653, 62, 33, 55, 64syl121anc 1367 . . . 4 ((𝑅 ∈ Ring ∧ (𝑁 = {𝐼} ∧ 𝐼𝑉) ∧ 𝑀𝐵) → (𝐼(𝑋( ·𝑠𝐺)(1r𝐺))𝐼) = (𝑋(.r𝑃)(𝐼(1r𝐺)𝐼)))
66 eqid 2818 . . . . . . 7 (1r𝑃) = (1r𝑃)
67 eqid 2818 . . . . . . 7 (0g𝑃) = (0g𝑃)
68523ad2ant2 1126 . . . . . . 7 ((𝑅 ∈ Ring ∧ (𝑁 = {𝐼} ∧ 𝐼𝑉) ∧ 𝑀𝐵) → 𝐼𝑁)
6911, 66, 67, 19, 3, 68, 68, 31mat1ov 20985 . . . . . 6 ((𝑅 ∈ Ring ∧ (𝑁 = {𝐼} ∧ 𝐼𝑉) ∧ 𝑀𝐵) → (𝐼(1r𝐺)𝐼) = if(𝐼 = 𝐼, (1r𝑃), (0g𝑃)))
70 eqidd 2819 . . . . . . 7 ((𝑅 ∈ Ring ∧ (𝑁 = {𝐼} ∧ 𝐼𝑉) ∧ 𝑀𝐵) → 𝐼 = 𝐼)
7170iftrued 4471 . . . . . 6 ((𝑅 ∈ Ring ∧ (𝑁 = {𝐼} ∧ 𝐼𝑉) ∧ 𝑀𝐵) → if(𝐼 = 𝐼, (1r𝑃), (0g𝑃)) = (1r𝑃))
7269, 71eqtrd 2853 . . . . 5 ((𝑅 ∈ Ring ∧ (𝑁 = {𝐼} ∧ 𝐼𝑉) ∧ 𝑀𝐵) → (𝐼(1r𝐺)𝐼) = (1r𝑃))
7372oveq2d 7161 . . . 4 ((𝑅 ∈ Ring ∧ (𝑁 = {𝐼} ∧ 𝐼𝑉) ∧ 𝑀𝐵) → (𝑋(.r𝑃)(𝐼(1r𝐺)𝐼)) = (𝑋(.r𝑃)(1r𝑃)))
7460, 63, 66ringridm 19251 . . . . 5 ((𝑃 ∈ Ring ∧ 𝑋 ∈ (Base‘𝑃)) → (𝑋(.r𝑃)(1r𝑃)) = 𝑋)
753, 62, 74syl2anc 584 . . . 4 ((𝑅 ∈ Ring ∧ (𝑁 = {𝐼} ∧ 𝐼𝑉) ∧ 𝑀𝐵) → (𝑋(.r𝑃)(1r𝑃)) = 𝑋)
7665, 73, 753eqtrd 2857 . . 3 ((𝑅 ∈ Ring ∧ (𝑁 = {𝐼} ∧ 𝐼𝑉) ∧ 𝑀𝐵) → (𝐼(𝑋( ·𝑠𝐺)(1r𝐺))𝐼) = 𝑋)
77 chpmat1d.s . . . . 5 𝑆 = (algSc‘𝑃)
7843, 44, 45, 1, 77mat2pmatvalel 21261 . . . 4 (((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑀𝐵) ∧ (𝐼𝑁𝐼𝑁)) → (𝐼(𝑇𝑀)𝐼) = (𝑆‘(𝐼𝑀𝐼)))
7942, 55, 78syl2anc 584 . . 3 ((𝑅 ∈ Ring ∧ (𝑁 = {𝐼} ∧ 𝐼𝑉) ∧ 𝑀𝐵) → (𝐼(𝑇𝑀)𝐼) = (𝑆‘(𝐼𝑀𝐼)))
8076, 79oveq12d 7163 . 2 ((𝑅 ∈ Ring ∧ (𝑁 = {𝐼} ∧ 𝐼𝑉) ∧ 𝑀𝐵) → ((𝐼(𝑋( ·𝑠𝐺)(1r𝐺))𝐼) (𝐼(𝑇𝑀)𝐼)) = (𝑋 (𝑆‘(𝐼𝑀𝐼))))
8159, 80eqtrd 2853 1 ((𝑅 ∈ Ring ∧ (𝑁 = {𝐼} ∧ 𝐼𝑉) ∧ 𝑀𝐵) → (𝐼((𝑋( ·𝑠𝐺)(1r𝐺))(-g𝐺)(𝑇𝑀))𝐼) = (𝑋 (𝑆‘(𝐼𝑀𝐼))))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wb 207  wa 396  w3a 1079   = wceq 1528  wcel 2105  Vcvv 3492  ifcif 4463  {csn 4557  cfv 6348  (class class class)co 7145  Fincfn 8497  Basecbs 16471  .rcmulr 16554  Scalarcsca 16556   ·𝑠 cvsca 16557  0gc0g 16701  -gcsg 18043  1rcur 19180  Ringcrg 19226  LModclmod 19563  algSccascl 20012  var1cv1 20272  Poly1cpl1 20273   Mat cmat 20944   matToPolyMat cmat2pmat 21240   CharPlyMat cchpmat 21362
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1787  ax-4 1801  ax-5 1902  ax-6 1961  ax-7 2006  ax-8 2107  ax-9 2115  ax-10 2136  ax-11 2151  ax-12 2167  ax-ext 2790  ax-rep 5181  ax-sep 5194  ax-nul 5201  ax-pow 5257  ax-pr 5320  ax-un 7450  ax-cnex 10581  ax-resscn 10582  ax-1cn 10583  ax-icn 10584  ax-addcl 10585  ax-addrcl 10586  ax-mulcl 10587  ax-mulrcl 10588  ax-mulcom 10589  ax-addass 10590  ax-mulass 10591  ax-distr 10592  ax-i2m1 10593  ax-1ne0 10594  ax-1rid 10595  ax-rnegex 10596  ax-rrecex 10597  ax-cnre 10598  ax-pre-lttri 10599  ax-pre-lttrn 10600  ax-pre-ltadd 10601  ax-pre-mulgt0 10602
This theorem depends on definitions:  df-bi 208  df-an 397  df-or 842  df-3or 1080  df-3an 1081  df-tru 1531  df-ex 1772  df-nf 1776  df-sb 2061  df-mo 2615  df-eu 2647  df-clab 2797  df-cleq 2811  df-clel 2890  df-nfc 2960  df-ne 3014  df-nel 3121  df-ral 3140  df-rex 3141  df-reu 3142  df-rmo 3143  df-rab 3144  df-v 3494  df-sbc 3770  df-csb 3881  df-dif 3936  df-un 3938  df-in 3940  df-ss 3949  df-pss 3951  df-nul 4289  df-if 4464  df-pw 4537  df-sn 4558  df-pr 4560  df-tp 4562  df-op 4564  df-ot 4566  df-uni 4831  df-int 4868  df-iun 4912  df-iin 4913  df-br 5058  df-opab 5120  df-mpt 5138  df-tr 5164  df-id 5453  df-eprel 5458  df-po 5467  df-so 5468  df-fr 5507  df-se 5508  df-we 5509  df-xp 5554  df-rel 5555  df-cnv 5556  df-co 5557  df-dm 5558  df-rn 5559  df-res 5560  df-ima 5561  df-pred 6141  df-ord 6187  df-on 6188  df-lim 6189  df-suc 6190  df-iota 6307  df-fun 6350  df-fn 6351  df-f 6352  df-f1 6353  df-fo 6354  df-f1o 6355  df-fv 6356  df-isom 6357  df-riota 7103  df-ov 7148  df-oprab 7149  df-mpo 7150  df-of 7398  df-ofr 7399  df-om 7570  df-1st 7678  df-2nd 7679  df-supp 7820  df-wrecs 7936  df-recs 7997  df-rdg 8035  df-1o 8091  df-2o 8092  df-oadd 8095  df-er 8278  df-map 8397  df-pm 8398  df-ixp 8450  df-en 8498  df-dom 8499  df-sdom 8500  df-fin 8501  df-fsupp 8822  df-sup 8894  df-oi 8962  df-card 9356  df-pnf 10665  df-mnf 10666  df-xr 10667  df-ltxr 10668  df-le 10669  df-sub 10860  df-neg 10861  df-nn 11627  df-2 11688  df-3 11689  df-4 11690  df-5 11691  df-6 11692  df-7 11693  df-8 11694  df-9 11695  df-n0 11886  df-z 11970  df-dec 12087  df-uz 12232  df-fz 12881  df-fzo 13022  df-seq 13358  df-hash 13679  df-struct 16473  df-ndx 16474  df-slot 16475  df-base 16477  df-sets 16478  df-ress 16479  df-plusg 16566  df-mulr 16567  df-sca 16569  df-vsca 16570  df-ip 16571  df-tset 16572  df-ple 16573  df-ds 16575  df-hom 16577  df-cco 16578  df-0g 16703  df-gsum 16704  df-prds 16709  df-pws 16711  df-mre 16845  df-mrc 16846  df-acs 16848  df-mgm 17840  df-sgrp 17889  df-mnd 17900  df-mhm 17944  df-submnd 17945  df-grp 18044  df-minusg 18045  df-sbg 18046  df-mulg 18163  df-subg 18214  df-ghm 18294  df-cntz 18385  df-cmn 18837  df-abl 18838  df-mgp 19169  df-ur 19181  df-ring 19228  df-subrg 19462  df-lmod 19565  df-lss 19633  df-sra 19873  df-rgmod 19874  df-ascl 20015  df-psr 20064  df-mvr 20065  df-mpl 20066  df-opsr 20068  df-psr1 20276  df-vr1 20277  df-ply1 20278  df-dsmm 20804  df-frlm 20819  df-mamu 20923  df-mat 20945  df-mat2pmat 21243
This theorem is referenced by:  chpmat1d  21372
  Copyright terms: Public domain W3C validator