Theorem chpmatval2 21435

Description: The characteristic polynomial of a (square) matrix (expressed with the Leibnitz formula for the determinant). (Contributed by AV, 2-Aug-2019.)

Hypotheses

Ref	Expression
chpmatply1.c	⊢ 𝐶 = (𝑁 CharPlyMat 𝑅)
chpmatply1.a	⊢ 𝐴 = (𝑁 Mat 𝑅)
chpmatply1.b	⊢ 𝐵 = (Base‘𝐴)
chpmatply1.p	⊢ 𝑃 = (Poly1‘𝑅)
chpmatval2.y	⊢ 𝑌 = (𝑁 Mat 𝑃)
chpmatval2.m1	⊢ − = (-g‘𝑌)
chpmatval2.x	⊢ 𝑋 = (var1‘𝑅)
chpmatval2.t1	⊢ · = ( ·𝑠 ‘𝑌)
chpmatval2.t	⊢ 𝑇 = (𝑁 matToPolyMat 𝑅)
chpmatval2.i	⊢ 1 = (1r‘𝑌)
chpmatval2.g	⊢ 𝐺 = (SymGrp‘𝑁)
chpmatval2.h	⊢ 𝐻 = (Base‘𝐺)
chpmatval2.z	⊢ 𝑍 = (ℤRHom‘𝑃)
chpmatval2.s	⊢ 𝑆 = (pmSgn‘𝑁)
chpmatval2.u	⊢ 𝑈 = (mulGrp‘𝑃)
chpmatval2.rm	⊢ × = (.r‘𝑃)

Assertion

Ref	Expression
chpmatval2	⊢ ((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑀 ∈ 𝐵) → (𝐶‘𝑀) = (𝑃 Σg (𝑝 ∈ 𝐻 ↦ (((𝑍 ∘ 𝑆)‘𝑝) × (𝑈 Σg (𝑥 ∈ 𝑁 ↦ ((𝑝‘𝑥)((𝑋 · 1 ) − (𝑇‘𝑀))𝑥)))))))

Distinct variable groups:   𝑥,𝑝,𝑀   𝑁,𝑝,𝑥   𝑃,𝑝,𝑥   𝑇,𝑝,𝑥   𝑋,𝑝,𝑥   · ,𝑝,𝑥   1 ,𝑝,𝑥   − ,𝑝,𝑥

Allowed substitution hints:   𝐴(𝑥,𝑝)   𝐵(𝑥,𝑝)   𝐶(𝑥,𝑝)   𝑅(𝑥,𝑝)   𝑆(𝑥,𝑝)   × (𝑥,𝑝)   𝑈(𝑥,𝑝)   𝐺(𝑥,𝑝)   𝐻(𝑥,𝑝)   𝑌(𝑥,𝑝)   𝑍(𝑥,𝑝)

Proof of Theorem chpmatval2

Step	Hyp	Ref	Expression
1		chpmatply1.c	. . 3 ⊢ 𝐶 = (𝑁 CharPlyMat 𝑅)
2		chpmatply1.a	. . 3 ⊢ 𝐴 = (𝑁 Mat 𝑅)
3		chpmatply1.b	. . 3 ⊢ 𝐵 = (Base‘𝐴)
4		chpmatply1.p	. . 3 ⊢ 𝑃 = (Poly1‘𝑅)
5		chpmatval2.y	. . 3 ⊢ 𝑌 = (𝑁 Mat 𝑃)
6		eqid 2821	. . 3 ⊢ (𝑁 maDet 𝑃) = (𝑁 maDet 𝑃)
7		chpmatval2.m1	. . 3 ⊢ − = (-g‘𝑌)
8		chpmatval2.x	. . 3 ⊢ 𝑋 = (var1‘𝑅)
9		chpmatval2.t1	. . 3 ⊢ · = ( ·𝑠 ‘𝑌)
10		chpmatval2.t	. . 3 ⊢ 𝑇 = (𝑁 matToPolyMat 𝑅)
11		chpmatval2.i	. . 3 ⊢ 1 = (1r‘𝑌)
12	1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11	chpmatval 21433	. 2 ⊢ ((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑀 ∈ 𝐵) → (𝐶‘𝑀) = ((𝑁 maDet 𝑃)‘((𝑋 · 1 ) − (𝑇‘𝑀))))
13		eqid 2821	. . . 4 ⊢ (𝑁 Mat 𝑃) = (𝑁 Mat 𝑃)
14	5	fveq2i 6667	. . . . 5 ⊢ (-g‘𝑌) = (-g‘(𝑁 Mat 𝑃))
15	7, 14	eqtri 2844	. . . 4 ⊢ − = (-g‘(𝑁 Mat 𝑃))
16	5	fveq2i 6667	. . . . 5 ⊢ ( ·𝑠 ‘𝑌) = ( ·𝑠 ‘(𝑁 Mat 𝑃))
17	9, 16	eqtri 2844	. . . 4 ⊢ · = ( ·𝑠 ‘(𝑁 Mat 𝑃))
18	5	fveq2i 6667	. . . . 5 ⊢ (1r‘𝑌) = (1r‘(𝑁 Mat 𝑃))
19	11, 18	eqtri 2844	. . . 4 ⊢ 1 = (1r‘(𝑁 Mat 𝑃))
20		eqid 2821	. . . 4 ⊢ ((𝑋 · 1 ) − (𝑇‘𝑀)) = ((𝑋 · 1 ) − (𝑇‘𝑀))
21	2, 3, 4, 13, 8, 10, 15, 17, 19, 20	chmatcl 21430	. . 3 ⊢ ((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑀 ∈ 𝐵) → ((𝑋 · 1 ) − (𝑇‘𝑀)) ∈ (Base‘(𝑁 Mat 𝑃)))
22	5	eqcomi 2830	. . . . 5 ⊢ (𝑁 Mat 𝑃) = 𝑌
23	22	fveq2i 6667	. . . 4 ⊢ (Base‘(𝑁 Mat 𝑃)) = (Base‘𝑌)
24		chpmatval2.h	. . . . 5 ⊢ 𝐻 = (Base‘𝐺)
25		chpmatval2.g	. . . . . 6 ⊢ 𝐺 = (SymGrp‘𝑁)
26	25	fveq2i 6667	. . . . 5 ⊢ (Base‘𝐺) = (Base‘(SymGrp‘𝑁))
27	24, 26	eqtri 2844	. . . 4 ⊢ 𝐻 = (Base‘(SymGrp‘𝑁))
28		chpmatval2.z	. . . 4 ⊢ 𝑍 = (ℤRHom‘𝑃)
29		chpmatval2.s	. . . 4 ⊢ 𝑆 = (pmSgn‘𝑁)
30		chpmatval2.rm	. . . 4 ⊢ × = (.r‘𝑃)
31		chpmatval2.u	. . . 4 ⊢ 𝑈 = (mulGrp‘𝑃)
32	6, 5, 23, 27, 28, 29, 30, 31	mdetleib 21190	. . 3 ⊢ (((𝑋 · 1 ) − (𝑇‘𝑀)) ∈ (Base‘(𝑁 Mat 𝑃)) → ((𝑁 maDet 𝑃)‘((𝑋 · 1 ) − (𝑇‘𝑀))) = (𝑃 Σg (𝑝 ∈ 𝐻 ↦ (((𝑍 ∘ 𝑆)‘𝑝) × (𝑈 Σg (𝑥 ∈ 𝑁 ↦ ((𝑝‘𝑥)((𝑋 · 1 ) − (𝑇‘𝑀))𝑥)))))))
33	21, 32	syl 17	. 2 ⊢ ((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑀 ∈ 𝐵) → ((𝑁 maDet 𝑃)‘((𝑋 · 1 ) − (𝑇‘𝑀))) = (𝑃 Σg (𝑝 ∈ 𝐻 ↦ (((𝑍 ∘ 𝑆)‘𝑝) × (𝑈 Σg (𝑥 ∈ 𝑁 ↦ ((𝑝‘𝑥)((𝑋 · 1 ) − (𝑇‘𝑀))𝑥)))))))
34	12, 33	eqtrd 2856	1 ⊢ ((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑀 ∈ 𝐵) → (𝐶‘𝑀) = (𝑃 Σg (𝑝 ∈ 𝐻 ↦ (((𝑍 ∘ 𝑆)‘𝑝) × (𝑈 Σg (𝑥 ∈ 𝑁 ↦ ((𝑝‘𝑥)((𝑋 · 1 ) − (𝑇‘𝑀))𝑥)))))))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ w3a 1083   = wceq 1533   ∈ wcel 2110   ↦ cmpt 5138   ∘ ccom 5553  ‘cfv 6349  (class class class)co 7150  Fincfn 8503  Basecbs 16477  ._rcmulr 16560   ·_𝑠 cvsca 16563   Σ_g cgsu 16708  -_gcsg 18099  SymGrpcsymg 18489  pmSgncpsgn 18611  mulGrpcmgp 19233  1_rcur 19245  Ringcrg 19291  var₁cv1 20338  Poly₁cpl1 20339  ℤRHomczrh 20641   Mat cmat 21010   maDet cmdat 21187   matToPolyMat cmat2pmat 21306   CharPlyMat cchpmat 21428

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1792  ax-4 1806  ax-5 1907  ax-6 1966  ax-7 2011  ax-8 2112  ax-9 2120  ax-10 2141  ax-11 2157  ax-12 2173  ax-ext 2793  ax-rep 5182  ax-sep 5195  ax-nul 5202  ax-pow 5258  ax-pr 5321  ax-un 7455  ax-cnex 10587  ax-resscn 10588  ax-1cn 10589  ax-icn 10590  ax-addcl 10591  ax-addrcl 10592  ax-mulcl 10593  ax-mulrcl 10594  ax-mulcom 10595  ax-addass 10596  ax-mulass 10597  ax-distr 10598  ax-i2m1 10599  ax-1ne0 10600  ax-1rid 10601  ax-rnegex 10602  ax-rrecex 10603  ax-cnre 10604  ax-pre-lttri 10605  ax-pre-lttrn 10606  ax-pre-ltadd 10607  ax-pre-mulgt0 10608

This theorem depends on definitions:  df-bi 209  df-an 399  df-or 844  df-3or 1084  df-3an 1085  df-tru 1536  df-ex 1777  df-nf 1781  df-sb 2066  df-mo 2618  df-eu 2650  df-clab 2800  df-cleq 2814  df-clel 2893  df-nfc 2963  df-ne 3017  df-nel 3124  df-ral 3143  df-rex 3144  df-reu 3145  df-rmo 3146  df-rab 3147  df-v 3496  df-sbc 3772  df-csb 3883  df-dif 3938  df-un 3940  df-in 3942  df-ss 3951  df-pss 3953  df-nul 4291  df-if 4467  df-pw 4540  df-sn 4561  df-pr 4563  df-tp 4565  df-op 4567  df-ot 4569  df-uni 4832  df-int 4869  df-iun 4913  df-iin 4914  df-br 5059  df-opab 5121  df-mpt 5139  df-tr 5165  df-id 5454  df-eprel 5459  df-po 5468  df-so 5469  df-fr 5508  df-se 5509  df-we 5510  df-xp 5555  df-rel 5556  df-cnv 5557  df-co 5558  df-dm 5559  df-rn 5560  df-res 5561  df-ima 5562  df-pred 6142  df-ord 6188  df-on 6189  df-lim 6190  df-suc 6191  df-iota 6308  df-fun 6351  df-fn 6352  df-f 6353  df-f1 6354  df-fo 6355  df-f1o 6356  df-fv 6357  df-isom 6358  df-riota 7108  df-ov 7153  df-oprab 7154  df-mpo 7155  df-of 7403  df-ofr 7404  df-om 7575  df-1st 7683  df-2nd 7684  df-supp 7825  df-wrecs 7941  df-recs 8002  df-rdg 8040  df-1o 8096  df-2o 8097  df-oadd 8100  df-er 8283  df-map 8402  df-pm 8403  df-ixp 8456  df-en 8504  df-dom 8505  df-sdom 8506  df-fin 8507  df-fsupp 8828  df-sup 8900  df-oi 8968  df-card 9362  df-pnf 10671  df-mnf 10672  df-xr 10673  df-ltxr 10674  df-le 10675  df-sub 10866  df-neg 10867  df-nn 11633  df-2 11694  df-3 11695  df-4 11696  df-5 11697  df-6 11698  df-7 11699  df-8 11700  df-9 11701  df-n0 11892  df-z 11976  df-dec 12093  df-uz 12238  df-fz 12887  df-fzo 13028  df-seq 13364  df-hash 13685  df-struct 16479  df-ndx 16480  df-slot 16481  df-base 16483  df-sets 16484  df-ress 16485  df-plusg 16572  df-mulr 16573  df-sca 16575  df-vsca 16576  df-ip 16577  df-tset 16578  df-ple 16579  df-ds 16581  df-hom 16583  df-cco 16584  df-0g 16709  df-gsum 16710  df-prds 16715  df-pws 16717  df-mre 16851  df-mrc 16852  df-acs 16854  df-mgm 17846  df-sgrp 17895  df-mnd 17906  df-mhm 17950  df-submnd 17951  df-grp 18100  df-minusg 18101  df-sbg 18102  df-mulg 18219  df-subg 18270  df-ghm 18350  df-cntz 18441  df-cmn 18902  df-abl 18903  df-mgp 19234  df-ur 19246  df-ring 19293  df-subrg 19527  df-lmod 19630  df-lss 19698  df-sra 19938  df-rgmod 19939  df-ascl 20081  df-psr 20130  df-mvr 20131  df-mpl 20132  df-opsr 20134  df-psr1 20342  df-vr1 20343  df-ply1 20344  df-dsmm 20870  df-frlm 20885  df-mamu 20989  df-mat 21011  df-mdet 21188  df-mat2pmat 21309  df-chpmat 21429

This theorem is referenced by: (None)