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Theorem chpub 24845
Description: An upper bound on the second Chebyshev function. (Contributed by Mario Carneiro, 8-Apr-2016.)
Assertion
Ref Expression
chpub ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 1 ≤ 𝐴) → (ψ‘𝐴) ≤ ((θ‘𝐴) + ((√‘𝐴) · (log‘𝐴))))

Proof of Theorem chpub
Dummy variable 𝑝 is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 chpcl 24750 . . . . 5 (𝐴 ∈ ℝ → (ψ‘𝐴) ∈ ℝ)
21adantr 481 . . . 4 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 1 ≤ 𝐴) → (ψ‘𝐴) ∈ ℝ)
3 chtcl 24735 . . . . 5 (𝐴 ∈ ℝ → (θ‘𝐴) ∈ ℝ)
43adantr 481 . . . 4 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 1 ≤ 𝐴) → (θ‘𝐴) ∈ ℝ)
52, 4resubcld 10402 . . 3 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 1 ≤ 𝐴) → ((ψ‘𝐴) − (θ‘𝐴)) ∈ ℝ)
6 simpl 473 . . . . . 6 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 1 ≤ 𝐴) → 𝐴 ∈ ℝ)
7 0red 9985 . . . . . . . . 9 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 1 ≤ 𝐴) → 0 ∈ ℝ)
8 1red 9999 . . . . . . . . 9 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 1 ≤ 𝐴) → 1 ∈ ℝ)
9 0lt1 10494 . . . . . . . . . 10 0 < 1
109a1i 11 . . . . . . . . 9 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 1 ≤ 𝐴) → 0 < 1)
11 simpr 477 . . . . . . . . 9 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 1 ≤ 𝐴) → 1 ≤ 𝐴)
127, 8, 6, 10, 11ltletrd 10141 . . . . . . . 8 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 1 ≤ 𝐴) → 0 < 𝐴)
136, 12elrpd 11813 . . . . . . 7 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 1 ≤ 𝐴) → 𝐴 ∈ ℝ+)
1413rpge0d 11820 . . . . . 6 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 1 ≤ 𝐴) → 0 ≤ 𝐴)
156, 14resqrtcld 14090 . . . . 5 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 1 ≤ 𝐴) → (√‘𝐴) ∈ ℝ)
16 ppifi 24732 . . . . 5 ((√‘𝐴) ∈ ℝ → ((0[,](√‘𝐴)) ∩ ℙ) ∈ Fin)
1715, 16syl 17 . . . 4 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 1 ≤ 𝐴) → ((0[,](√‘𝐴)) ∩ ℙ) ∈ Fin)
1813adantr 481 . . . . 5 (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 1 ≤ 𝐴) ∧ 𝑝 ∈ ((0[,](√‘𝐴)) ∩ ℙ)) → 𝐴 ∈ ℝ+)
1918relogcld 24273 . . . 4 (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 1 ≤ 𝐴) ∧ 𝑝 ∈ ((0[,](√‘𝐴)) ∩ ℙ)) → (log‘𝐴) ∈ ℝ)
2017, 19fsumrecl 14398 . . 3 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 1 ≤ 𝐴) → Σ𝑝 ∈ ((0[,](√‘𝐴)) ∩ ℙ)(log‘𝐴) ∈ ℝ)
2113relogcld 24273 . . . 4 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 1 ≤ 𝐴) → (log‘𝐴) ∈ ℝ)
2215, 21remulcld 10014 . . 3 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 1 ≤ 𝐴) → ((√‘𝐴) · (log‘𝐴)) ∈ ℝ)
23 ppifi 24732 . . . . . . 7 (𝐴 ∈ ℝ → ((0[,]𝐴) ∩ ℙ) ∈ Fin)
2423adantr 481 . . . . . 6 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 1 ≤ 𝐴) → ((0[,]𝐴) ∩ ℙ) ∈ Fin)
25 inss2 3812 . . . . . . . . . . . 12 ((0[,]𝐴) ∩ ℙ) ⊆ ℙ
26 simpr 477 . . . . . . . . . . . 12 (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 1 ≤ 𝐴) ∧ 𝑝 ∈ ((0[,]𝐴) ∩ ℙ)) → 𝑝 ∈ ((0[,]𝐴) ∩ ℙ))
2725, 26sseldi 3581 . . . . . . . . . . 11 (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 1 ≤ 𝐴) ∧ 𝑝 ∈ ((0[,]𝐴) ∩ ℙ)) → 𝑝 ∈ ℙ)
28 prmnn 15312 . . . . . . . . . . 11 (𝑝 ∈ ℙ → 𝑝 ∈ ℕ)
2927, 28syl 17 . . . . . . . . . 10 (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 1 ≤ 𝐴) ∧ 𝑝 ∈ ((0[,]𝐴) ∩ ℙ)) → 𝑝 ∈ ℕ)
3029nnrpd 11814 . . . . . . . . 9 (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 1 ≤ 𝐴) ∧ 𝑝 ∈ ((0[,]𝐴) ∩ ℙ)) → 𝑝 ∈ ℝ+)
3130relogcld 24273 . . . . . . . 8 (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 1 ≤ 𝐴) ∧ 𝑝 ∈ ((0[,]𝐴) ∩ ℙ)) → (log‘𝑝) ∈ ℝ)
3221adantr 481 . . . . . . . . . 10 (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 1 ≤ 𝐴) ∧ 𝑝 ∈ ((0[,]𝐴) ∩ ℙ)) → (log‘𝐴) ∈ ℝ)
3329nnred 10979 . . . . . . . . . . 11 (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 1 ≤ 𝐴) ∧ 𝑝 ∈ ((0[,]𝐴) ∩ ℙ)) → 𝑝 ∈ ℝ)
34 prmuz2 15332 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑝 ∈ ℙ → 𝑝 ∈ (ℤ‘2))
3527, 34syl 17 . . . . . . . . . . . 12 (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 1 ≤ 𝐴) ∧ 𝑝 ∈ ((0[,]𝐴) ∩ ℙ)) → 𝑝 ∈ (ℤ‘2))
36 eluz2b2 11705 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑝 ∈ (ℤ‘2) ↔ (𝑝 ∈ ℕ ∧ 1 < 𝑝))
3736simprbi 480 . . . . . . . . . . . 12 (𝑝 ∈ (ℤ‘2) → 1 < 𝑝)
3835, 37syl 17 . . . . . . . . . . 11 (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 1 ≤ 𝐴) ∧ 𝑝 ∈ ((0[,]𝐴) ∩ ℙ)) → 1 < 𝑝)
3933, 38rplogcld 24279 . . . . . . . . . 10 (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 1 ≤ 𝐴) ∧ 𝑝 ∈ ((0[,]𝐴) ∩ ℙ)) → (log‘𝑝) ∈ ℝ+)
4032, 39rerpdivcld 11847 . . . . . . . . 9 (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 1 ≤ 𝐴) ∧ 𝑝 ∈ ((0[,]𝐴) ∩ ℙ)) → ((log‘𝐴) / (log‘𝑝)) ∈ ℝ)
41 reflcl 12537 . . . . . . . . 9 (((log‘𝐴) / (log‘𝑝)) ∈ ℝ → (⌊‘((log‘𝐴) / (log‘𝑝))) ∈ ℝ)
4240, 41syl 17 . . . . . . . 8 (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 1 ≤ 𝐴) ∧ 𝑝 ∈ ((0[,]𝐴) ∩ ℙ)) → (⌊‘((log‘𝐴) / (log‘𝑝))) ∈ ℝ)
4331, 42remulcld 10014 . . . . . . 7 (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 1 ≤ 𝐴) ∧ 𝑝 ∈ ((0[,]𝐴) ∩ ℙ)) → ((log‘𝑝) · (⌊‘((log‘𝐴) / (log‘𝑝)))) ∈ ℝ)
4443recnd 10012 . . . . . 6 (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 1 ≤ 𝐴) ∧ 𝑝 ∈ ((0[,]𝐴) ∩ ℙ)) → ((log‘𝑝) · (⌊‘((log‘𝐴) / (log‘𝑝)))) ∈ ℂ)
4531recnd 10012 . . . . . 6 (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 1 ≤ 𝐴) ∧ 𝑝 ∈ ((0[,]𝐴) ∩ ℙ)) → (log‘𝑝) ∈ ℂ)
4624, 44, 45fsumsub 14448 . . . . 5 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 1 ≤ 𝐴) → Σ𝑝 ∈ ((0[,]𝐴) ∩ ℙ)(((log‘𝑝) · (⌊‘((log‘𝐴) / (log‘𝑝)))) − (log‘𝑝)) = (Σ𝑝 ∈ ((0[,]𝐴) ∩ ℙ)((log‘𝑝) · (⌊‘((log‘𝐴) / (log‘𝑝)))) − Σ𝑝 ∈ ((0[,]𝐴) ∩ ℙ)(log‘𝑝)))
47 0le0 11054 . . . . . . . . 9 0 ≤ 0
4847a1i 11 . . . . . . . 8 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 1 ≤ 𝐴) → 0 ≤ 0)
498, 6, 6, 14, 11lemul2ad 10908 . . . . . . . . . 10 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 1 ≤ 𝐴) → (𝐴 · 1) ≤ (𝐴 · 𝐴))
506recnd 10012 . . . . . . . . . . . 12 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 1 ≤ 𝐴) → 𝐴 ∈ ℂ)
5150sqsqrtd 14112 . . . . . . . . . . 11 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 1 ≤ 𝐴) → ((√‘𝐴)↑2) = 𝐴)
5250mulid1d 10001 . . . . . . . . . . 11 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 1 ≤ 𝐴) → (𝐴 · 1) = 𝐴)
5351, 52eqtr4d 2658 . . . . . . . . . 10 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 1 ≤ 𝐴) → ((√‘𝐴)↑2) = (𝐴 · 1))
5450sqvald 12945 . . . . . . . . . 10 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 1 ≤ 𝐴) → (𝐴↑2) = (𝐴 · 𝐴))
5549, 53, 543brtr4d 4645 . . . . . . . . 9 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 1 ≤ 𝐴) → ((√‘𝐴)↑2) ≤ (𝐴↑2))
566, 14sqrtge0d 14093 . . . . . . . . . 10 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 1 ≤ 𝐴) → 0 ≤ (√‘𝐴))
5715, 6, 56, 14le2sqd 12984 . . . . . . . . 9 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 1 ≤ 𝐴) → ((√‘𝐴) ≤ 𝐴 ↔ ((√‘𝐴)↑2) ≤ (𝐴↑2)))
5855, 57mpbird 247 . . . . . . . 8 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 1 ≤ 𝐴) → (√‘𝐴) ≤ 𝐴)
59 iccss 12183 . . . . . . . 8 (((0 ∈ ℝ ∧ 𝐴 ∈ ℝ) ∧ (0 ≤ 0 ∧ (√‘𝐴) ≤ 𝐴)) → (0[,](√‘𝐴)) ⊆ (0[,]𝐴))
607, 6, 48, 58, 59syl22anc 1324 . . . . . . 7 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 1 ≤ 𝐴) → (0[,](√‘𝐴)) ⊆ (0[,]𝐴))
61 ssrin 3816 . . . . . . 7 ((0[,](√‘𝐴)) ⊆ (0[,]𝐴) → ((0[,](√‘𝐴)) ∩ ℙ) ⊆ ((0[,]𝐴) ∩ ℙ))
6260, 61syl 17 . . . . . 6 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 1 ≤ 𝐴) → ((0[,](√‘𝐴)) ∩ ℙ) ⊆ ((0[,]𝐴) ∩ ℙ))
6362sselda 3583 . . . . . . 7 (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 1 ≤ 𝐴) ∧ 𝑝 ∈ ((0[,](√‘𝐴)) ∩ ℙ)) → 𝑝 ∈ ((0[,]𝐴) ∩ ℙ))
6443, 31resubcld 10402 . . . . . . . 8 (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 1 ≤ 𝐴) ∧ 𝑝 ∈ ((0[,]𝐴) ∩ ℙ)) → (((log‘𝑝) · (⌊‘((log‘𝐴) / (log‘𝑝)))) − (log‘𝑝)) ∈ ℝ)
6564recnd 10012 . . . . . . 7 (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 1 ≤ 𝐴) ∧ 𝑝 ∈ ((0[,]𝐴) ∩ ℙ)) → (((log‘𝑝) · (⌊‘((log‘𝐴) / (log‘𝑝)))) − (log‘𝑝)) ∈ ℂ)
6663, 65syldan 487 . . . . . 6 (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 1 ≤ 𝐴) ∧ 𝑝 ∈ ((0[,](√‘𝐴)) ∩ ℙ)) → (((log‘𝑝) · (⌊‘((log‘𝐴) / (log‘𝑝)))) − (log‘𝑝)) ∈ ℂ)
67 eldifi 3710 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝑝 ∈ (((0[,]𝐴) ∩ ℙ) ∖ ((0[,](√‘𝐴)) ∩ ℙ)) → 𝑝 ∈ ((0[,]𝐴) ∩ ℙ))
6867, 45sylan2 491 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 1 ≤ 𝐴) ∧ 𝑝 ∈ (((0[,]𝐴) ∩ ℙ) ∖ ((0[,](√‘𝐴)) ∩ ℙ))) → (log‘𝑝) ∈ ℂ)
6968mulid2d 10002 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 1 ≤ 𝐴) ∧ 𝑝 ∈ (((0[,]𝐴) ∩ ℙ) ∖ ((0[,](√‘𝐴)) ∩ ℙ))) → (1 · (log‘𝑝)) = (log‘𝑝))
70 inss1 3811 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((0[,]𝐴) ∩ ℙ) ⊆ (0[,]𝐴)
7170, 26sseldi 3581 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 1 ≤ 𝐴) ∧ 𝑝 ∈ ((0[,]𝐴) ∩ ℙ)) → 𝑝 ∈ (0[,]𝐴))
72 0re 9984 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 0 ∈ ℝ
736adantr 481 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 1 ≤ 𝐴) ∧ 𝑝 ∈ ((0[,]𝐴) ∩ ℙ)) → 𝐴 ∈ ℝ)
74 elicc2 12180 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((0 ∈ ℝ ∧ 𝐴 ∈ ℝ) → (𝑝 ∈ (0[,]𝐴) ↔ (𝑝 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝑝𝑝𝐴)))
7572, 73, 74sylancr 694 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 1 ≤ 𝐴) ∧ 𝑝 ∈ ((0[,]𝐴) ∩ ℙ)) → (𝑝 ∈ (0[,]𝐴) ↔ (𝑝 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝑝𝑝𝐴)))
7671, 75mpbid 222 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 1 ≤ 𝐴) ∧ 𝑝 ∈ ((0[,]𝐴) ∩ ℙ)) → (𝑝 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝑝𝑝𝐴))
7776simp3d 1073 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 1 ≤ 𝐴) ∧ 𝑝 ∈ ((0[,]𝐴) ∩ ℙ)) → 𝑝𝐴)
7867, 77sylan2 491 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 1 ≤ 𝐴) ∧ 𝑝 ∈ (((0[,]𝐴) ∩ ℙ) ∖ ((0[,](√‘𝐴)) ∩ ℙ))) → 𝑝𝐴)
7967, 30sylan2 491 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 1 ≤ 𝐴) ∧ 𝑝 ∈ (((0[,]𝐴) ∩ ℙ) ∖ ((0[,](√‘𝐴)) ∩ ℙ))) → 𝑝 ∈ ℝ+)
8013adantr 481 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 1 ≤ 𝐴) ∧ 𝑝 ∈ (((0[,]𝐴) ∩ ℙ) ∖ ((0[,](√‘𝐴)) ∩ ℙ))) → 𝐴 ∈ ℝ+)
8179, 80logled 24277 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 1 ≤ 𝐴) ∧ 𝑝 ∈ (((0[,]𝐴) ∩ ℙ) ∖ ((0[,](√‘𝐴)) ∩ ℙ))) → (𝑝𝐴 ↔ (log‘𝑝) ≤ (log‘𝐴)))
8278, 81mpbid 222 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 1 ≤ 𝐴) ∧ 𝑝 ∈ (((0[,]𝐴) ∩ ℙ) ∖ ((0[,](√‘𝐴)) ∩ ℙ))) → (log‘𝑝) ≤ (log‘𝐴))
8369, 82eqbrtrd 4635 . . . . . . . . . . . 12 (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 1 ≤ 𝐴) ∧ 𝑝 ∈ (((0[,]𝐴) ∩ ℙ) ∖ ((0[,](√‘𝐴)) ∩ ℙ))) → (1 · (log‘𝑝)) ≤ (log‘𝐴))
84 1red 9999 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 1 ≤ 𝐴) ∧ 𝑝 ∈ (((0[,]𝐴) ∩ ℙ) ∖ ((0[,](√‘𝐴)) ∩ ℙ))) → 1 ∈ ℝ)
8521adantr 481 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 1 ≤ 𝐴) ∧ 𝑝 ∈ (((0[,]𝐴) ∩ ℙ) ∖ ((0[,](√‘𝐴)) ∩ ℙ))) → (log‘𝐴) ∈ ℝ)
8667, 39sylan2 491 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 1 ≤ 𝐴) ∧ 𝑝 ∈ (((0[,]𝐴) ∩ ℙ) ∖ ((0[,](√‘𝐴)) ∩ ℙ))) → (log‘𝑝) ∈ ℝ+)
8784, 85, 86lemuldivd 11865 . . . . . . . . . . . 12 (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 1 ≤ 𝐴) ∧ 𝑝 ∈ (((0[,]𝐴) ∩ ℙ) ∖ ((0[,](√‘𝐴)) ∩ ℙ))) → ((1 · (log‘𝑝)) ≤ (log‘𝐴) ↔ 1 ≤ ((log‘𝐴) / (log‘𝑝))))
8883, 87mpbid 222 . . . . . . . . . . 11 (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 1 ≤ 𝐴) ∧ 𝑝 ∈ (((0[,]𝐴) ∩ ℙ) ∖ ((0[,](√‘𝐴)) ∩ ℙ))) → 1 ≤ ((log‘𝐴) / (log‘𝑝)))
896adantr 481 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 1 ≤ 𝐴) ∧ 𝑝 ∈ (((0[,]𝐴) ∩ ℙ) ∖ ((0[,](√‘𝐴)) ∩ ℙ))) → 𝐴 ∈ ℝ)
9089recnd 10012 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 1 ≤ 𝐴) ∧ 𝑝 ∈ (((0[,]𝐴) ∩ ℙ) ∖ ((0[,](√‘𝐴)) ∩ ℙ))) → 𝐴 ∈ ℂ)
9190sqsqrtd 14112 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 1 ≤ 𝐴) ∧ 𝑝 ∈ (((0[,]𝐴) ∩ ℙ) ∖ ((0[,](√‘𝐴)) ∩ ℙ))) → ((√‘𝐴)↑2) = 𝐴)
92 eldifn 3711 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (𝑝 ∈ (((0[,]𝐴) ∩ ℙ) ∖ ((0[,](√‘𝐴)) ∩ ℙ)) → ¬ 𝑝 ∈ ((0[,](√‘𝐴)) ∩ ℙ))
9392adantl 482 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 1 ≤ 𝐴) ∧ 𝑝 ∈ (((0[,]𝐴) ∩ ℙ) ∖ ((0[,](√‘𝐴)) ∩ ℙ))) → ¬ 𝑝 ∈ ((0[,](√‘𝐴)) ∩ ℙ))
9467, 27sylan2 491 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 1 ≤ 𝐴) ∧ 𝑝 ∈ (((0[,]𝐴) ∩ ℙ) ∖ ((0[,](√‘𝐴)) ∩ ℙ))) → 𝑝 ∈ ℙ)
95 elin 3774 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 (𝑝 ∈ ((0[,](√‘𝐴)) ∩ ℙ) ↔ (𝑝 ∈ (0[,](√‘𝐴)) ∧ 𝑝 ∈ ℙ))
9695rbaib 946 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (𝑝 ∈ ℙ → (𝑝 ∈ ((0[,](√‘𝐴)) ∩ ℙ) ↔ 𝑝 ∈ (0[,](√‘𝐴))))
9794, 96syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 1 ≤ 𝐴) ∧ 𝑝 ∈ (((0[,]𝐴) ∩ ℙ) ∖ ((0[,](√‘𝐴)) ∩ ℙ))) → (𝑝 ∈ ((0[,](√‘𝐴)) ∩ ℙ) ↔ 𝑝 ∈ (0[,](√‘𝐴))))
98 0red 9985 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 1 ≤ 𝐴) ∧ 𝑝 ∈ (((0[,]𝐴) ∩ ℙ) ∖ ((0[,](√‘𝐴)) ∩ ℙ))) → 0 ∈ ℝ)
9915adantr 481 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 1 ≤ 𝐴) ∧ 𝑝 ∈ (((0[,]𝐴) ∩ ℙ) ∖ ((0[,](√‘𝐴)) ∩ ℙ))) → (√‘𝐴) ∈ ℝ)
10067, 29sylan2 491 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 1 ≤ 𝐴) ∧ 𝑝 ∈ (((0[,]𝐴) ∩ ℙ) ∖ ((0[,](√‘𝐴)) ∩ ℙ))) → 𝑝 ∈ ℕ)
101100nnred 10979 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 1 ≤ 𝐴) ∧ 𝑝 ∈ (((0[,]𝐴) ∩ ℙ) ∖ ((0[,](√‘𝐴)) ∩ ℙ))) → 𝑝 ∈ ℝ)
10279rpge0d 11820 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 1 ≤ 𝐴) ∧ 𝑝 ∈ (((0[,]𝐴) ∩ ℙ) ∖ ((0[,](√‘𝐴)) ∩ ℙ))) → 0 ≤ 𝑝)
103 elicc2 12180 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ((0 ∈ ℝ ∧ (√‘𝐴) ∈ ℝ) → (𝑝 ∈ (0[,](√‘𝐴)) ↔ (𝑝 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝑝𝑝 ≤ (√‘𝐴))))
104 df-3an 1038 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ((𝑝 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝑝𝑝 ≤ (√‘𝐴)) ↔ ((𝑝 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝑝) ∧ 𝑝 ≤ (√‘𝐴)))
105103, 104syl6bb 276 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ((0 ∈ ℝ ∧ (√‘𝐴) ∈ ℝ) → (𝑝 ∈ (0[,](√‘𝐴)) ↔ ((𝑝 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝑝) ∧ 𝑝 ≤ (√‘𝐴))))
106105baibd 947 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (((0 ∈ ℝ ∧ (√‘𝐴) ∈ ℝ) ∧ (𝑝 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝑝)) → (𝑝 ∈ (0[,](√‘𝐴)) ↔ 𝑝 ≤ (√‘𝐴)))
10798, 99, 101, 102, 106syl22anc 1324 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 1 ≤ 𝐴) ∧ 𝑝 ∈ (((0[,]𝐴) ∩ ℙ) ∖ ((0[,](√‘𝐴)) ∩ ℙ))) → (𝑝 ∈ (0[,](√‘𝐴)) ↔ 𝑝 ≤ (√‘𝐴)))
10897, 107bitrd 268 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 1 ≤ 𝐴) ∧ 𝑝 ∈ (((0[,]𝐴) ∩ ℙ) ∖ ((0[,](√‘𝐴)) ∩ ℙ))) → (𝑝 ∈ ((0[,](√‘𝐴)) ∩ ℙ) ↔ 𝑝 ≤ (√‘𝐴)))
10993, 108mtbid 314 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 1 ≤ 𝐴) ∧ 𝑝 ∈ (((0[,]𝐴) ∩ ℙ) ∖ ((0[,](√‘𝐴)) ∩ ℙ))) → ¬ 𝑝 ≤ (√‘𝐴))
11099, 101ltnled 10128 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 1 ≤ 𝐴) ∧ 𝑝 ∈ (((0[,]𝐴) ∩ ℙ) ∖ ((0[,](√‘𝐴)) ∩ ℙ))) → ((√‘𝐴) < 𝑝 ↔ ¬ 𝑝 ≤ (√‘𝐴)))
111109, 110mpbird 247 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 1 ≤ 𝐴) ∧ 𝑝 ∈ (((0[,]𝐴) ∩ ℙ) ∖ ((0[,](√‘𝐴)) ∩ ℙ))) → (√‘𝐴) < 𝑝)
11256adantr 481 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 1 ≤ 𝐴) ∧ 𝑝 ∈ (((0[,]𝐴) ∩ ℙ) ∖ ((0[,](√‘𝐴)) ∩ ℙ))) → 0 ≤ (√‘𝐴))
11399, 101, 112, 102lt2sqd 12983 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 1 ≤ 𝐴) ∧ 𝑝 ∈ (((0[,]𝐴) ∩ ℙ) ∖ ((0[,](√‘𝐴)) ∩ ℙ))) → ((√‘𝐴) < 𝑝 ↔ ((√‘𝐴)↑2) < (𝑝↑2)))
114111, 113mpbid 222 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 1 ≤ 𝐴) ∧ 𝑝 ∈ (((0[,]𝐴) ∩ ℙ) ∖ ((0[,](√‘𝐴)) ∩ ℙ))) → ((√‘𝐴)↑2) < (𝑝↑2))
11591, 114eqbrtrrd 4637 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 1 ≤ 𝐴) ∧ 𝑝 ∈ (((0[,]𝐴) ∩ ℙ) ∖ ((0[,](√‘𝐴)) ∩ ℙ))) → 𝐴 < (𝑝↑2))
116100nnsqcld 12969 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 1 ≤ 𝐴) ∧ 𝑝 ∈ (((0[,]𝐴) ∩ ℙ) ∖ ((0[,](√‘𝐴)) ∩ ℙ))) → (𝑝↑2) ∈ ℕ)
117116nnrpd 11814 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 1 ≤ 𝐴) ∧ 𝑝 ∈ (((0[,]𝐴) ∩ ℙ) ∖ ((0[,](√‘𝐴)) ∩ ℙ))) → (𝑝↑2) ∈ ℝ+)
118 logltb 24250 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝐴 ∈ ℝ+ ∧ (𝑝↑2) ∈ ℝ+) → (𝐴 < (𝑝↑2) ↔ (log‘𝐴) < (log‘(𝑝↑2))))
11980, 117, 118syl2anc 692 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 1 ≤ 𝐴) ∧ 𝑝 ∈ (((0[,]𝐴) ∩ ℙ) ∖ ((0[,](√‘𝐴)) ∩ ℙ))) → (𝐴 < (𝑝↑2) ↔ (log‘𝐴) < (log‘(𝑝↑2))))
120115, 119mpbid 222 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 1 ≤ 𝐴) ∧ 𝑝 ∈ (((0[,]𝐴) ∩ ℙ) ∖ ((0[,](√‘𝐴)) ∩ ℙ))) → (log‘𝐴) < (log‘(𝑝↑2)))
121 2z 11353 . . . . . . . . . . . . . . 15 2 ∈ ℤ
122 relogexp 24246 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝑝 ∈ ℝ+ ∧ 2 ∈ ℤ) → (log‘(𝑝↑2)) = (2 · (log‘𝑝)))
12379, 121, 122sylancl 693 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 1 ≤ 𝐴) ∧ 𝑝 ∈ (((0[,]𝐴) ∩ ℙ) ∖ ((0[,](√‘𝐴)) ∩ ℙ))) → (log‘(𝑝↑2)) = (2 · (log‘𝑝)))
124120, 123breqtrd 4639 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 1 ≤ 𝐴) ∧ 𝑝 ∈ (((0[,]𝐴) ∩ ℙ) ∖ ((0[,](√‘𝐴)) ∩ ℙ))) → (log‘𝐴) < (2 · (log‘𝑝)))
125 2re 11034 . . . . . . . . . . . . . . 15 2 ∈ ℝ
126125a1i 11 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 1 ≤ 𝐴) ∧ 𝑝 ∈ (((0[,]𝐴) ∩ ℙ) ∖ ((0[,](√‘𝐴)) ∩ ℙ))) → 2 ∈ ℝ)
12785, 126, 86ltdivmul2d 11868 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 1 ≤ 𝐴) ∧ 𝑝 ∈ (((0[,]𝐴) ∩ ℙ) ∖ ((0[,](√‘𝐴)) ∩ ℙ))) → (((log‘𝐴) / (log‘𝑝)) < 2 ↔ (log‘𝐴) < (2 · (log‘𝑝))))
128124, 127mpbird 247 . . . . . . . . . . . 12 (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 1 ≤ 𝐴) ∧ 𝑝 ∈ (((0[,]𝐴) ∩ ℙ) ∖ ((0[,](√‘𝐴)) ∩ ℙ))) → ((log‘𝐴) / (log‘𝑝)) < 2)
129 df-2 11023 . . . . . . . . . . . 12 2 = (1 + 1)
130128, 129syl6breq 4654 . . . . . . . . . . 11 (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 1 ≤ 𝐴) ∧ 𝑝 ∈ (((0[,]𝐴) ∩ ℙ) ∖ ((0[,](√‘𝐴)) ∩ ℙ))) → ((log‘𝐴) / (log‘𝑝)) < (1 + 1))
13167, 40sylan2 491 . . . . . . . . . . . 12 (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 1 ≤ 𝐴) ∧ 𝑝 ∈ (((0[,]𝐴) ∩ ℙ) ∖ ((0[,](√‘𝐴)) ∩ ℙ))) → ((log‘𝐴) / (log‘𝑝)) ∈ ℝ)
132 1z 11351 . . . . . . . . . . . 12 1 ∈ ℤ
133 flbi 12557 . . . . . . . . . . . 12 ((((log‘𝐴) / (log‘𝑝)) ∈ ℝ ∧ 1 ∈ ℤ) → ((⌊‘((log‘𝐴) / (log‘𝑝))) = 1 ↔ (1 ≤ ((log‘𝐴) / (log‘𝑝)) ∧ ((log‘𝐴) / (log‘𝑝)) < (1 + 1))))
134131, 132, 133sylancl 693 . . . . . . . . . . 11 (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 1 ≤ 𝐴) ∧ 𝑝 ∈ (((0[,]𝐴) ∩ ℙ) ∖ ((0[,](√‘𝐴)) ∩ ℙ))) → ((⌊‘((log‘𝐴) / (log‘𝑝))) = 1 ↔ (1 ≤ ((log‘𝐴) / (log‘𝑝)) ∧ ((log‘𝐴) / (log‘𝑝)) < (1 + 1))))
13588, 130, 134mpbir2and 956 . . . . . . . . . 10 (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 1 ≤ 𝐴) ∧ 𝑝 ∈ (((0[,]𝐴) ∩ ℙ) ∖ ((0[,](√‘𝐴)) ∩ ℙ))) → (⌊‘((log‘𝐴) / (log‘𝑝))) = 1)
136135oveq2d 6620 . . . . . . . . 9 (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 1 ≤ 𝐴) ∧ 𝑝 ∈ (((0[,]𝐴) ∩ ℙ) ∖ ((0[,](√‘𝐴)) ∩ ℙ))) → ((log‘𝑝) · (⌊‘((log‘𝐴) / (log‘𝑝)))) = ((log‘𝑝) · 1))
13768mulid1d 10001 . . . . . . . . 9 (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 1 ≤ 𝐴) ∧ 𝑝 ∈ (((0[,]𝐴) ∩ ℙ) ∖ ((0[,](√‘𝐴)) ∩ ℙ))) → ((log‘𝑝) · 1) = (log‘𝑝))
138136, 137eqtrd 2655 . . . . . . . 8 (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 1 ≤ 𝐴) ∧ 𝑝 ∈ (((0[,]𝐴) ∩ ℙ) ∖ ((0[,](√‘𝐴)) ∩ ℙ))) → ((log‘𝑝) · (⌊‘((log‘𝐴) / (log‘𝑝)))) = (log‘𝑝))
139138oveq1d 6619 . . . . . . 7 (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 1 ≤ 𝐴) ∧ 𝑝 ∈ (((0[,]𝐴) ∩ ℙ) ∖ ((0[,](√‘𝐴)) ∩ ℙ))) → (((log‘𝑝) · (⌊‘((log‘𝐴) / (log‘𝑝)))) − (log‘𝑝)) = ((log‘𝑝) − (log‘𝑝)))
14068subidd 10324 . . . . . . 7 (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 1 ≤ 𝐴) ∧ 𝑝 ∈ (((0[,]𝐴) ∩ ℙ) ∖ ((0[,](√‘𝐴)) ∩ ℙ))) → ((log‘𝑝) − (log‘𝑝)) = 0)
141139, 140eqtrd 2655 . . . . . 6 (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 1 ≤ 𝐴) ∧ 𝑝 ∈ (((0[,]𝐴) ∩ ℙ) ∖ ((0[,](√‘𝐴)) ∩ ℙ))) → (((log‘𝑝) · (⌊‘((log‘𝐴) / (log‘𝑝)))) − (log‘𝑝)) = 0)
14262, 66, 141, 24fsumss 14389 . . . . 5 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 1 ≤ 𝐴) → Σ𝑝 ∈ ((0[,](√‘𝐴)) ∩ ℙ)(((log‘𝑝) · (⌊‘((log‘𝐴) / (log‘𝑝)))) − (log‘𝑝)) = Σ𝑝 ∈ ((0[,]𝐴) ∩ ℙ)(((log‘𝑝) · (⌊‘((log‘𝐴) / (log‘𝑝)))) − (log‘𝑝)))
143 chpval2 24843 . . . . . . 7 (𝐴 ∈ ℝ → (ψ‘𝐴) = Σ𝑝 ∈ ((0[,]𝐴) ∩ ℙ)((log‘𝑝) · (⌊‘((log‘𝐴) / (log‘𝑝)))))
144143adantr 481 . . . . . 6 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 1 ≤ 𝐴) → (ψ‘𝐴) = Σ𝑝 ∈ ((0[,]𝐴) ∩ ℙ)((log‘𝑝) · (⌊‘((log‘𝐴) / (log‘𝑝)))))
145 chtval 24736 . . . . . . 7 (𝐴 ∈ ℝ → (θ‘𝐴) = Σ𝑝 ∈ ((0[,]𝐴) ∩ ℙ)(log‘𝑝))
146145adantr 481 . . . . . 6 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 1 ≤ 𝐴) → (θ‘𝐴) = Σ𝑝 ∈ ((0[,]𝐴) ∩ ℙ)(log‘𝑝))
147144, 146oveq12d 6622 . . . . 5 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 1 ≤ 𝐴) → ((ψ‘𝐴) − (θ‘𝐴)) = (Σ𝑝 ∈ ((0[,]𝐴) ∩ ℙ)((log‘𝑝) · (⌊‘((log‘𝐴) / (log‘𝑝)))) − Σ𝑝 ∈ ((0[,]𝐴) ∩ ℙ)(log‘𝑝)))
14846, 142, 1473eqtr4rd 2666 . . . 4 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 1 ≤ 𝐴) → ((ψ‘𝐴) − (θ‘𝐴)) = Σ𝑝 ∈ ((0[,](√‘𝐴)) ∩ ℙ)(((log‘𝑝) · (⌊‘((log‘𝐴) / (log‘𝑝)))) − (log‘𝑝)))
14963, 64syldan 487 . . . . 5 (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 1 ≤ 𝐴) ∧ 𝑝 ∈ ((0[,](√‘𝐴)) ∩ ℙ)) → (((log‘𝑝) · (⌊‘((log‘𝐴) / (log‘𝑝)))) − (log‘𝑝)) ∈ ℝ)
15063, 43syldan 487 . . . . . 6 (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 1 ≤ 𝐴) ∧ 𝑝 ∈ ((0[,](√‘𝐴)) ∩ ℙ)) → ((log‘𝑝) · (⌊‘((log‘𝐴) / (log‘𝑝)))) ∈ ℝ)
15163, 39syldan 487 . . . . . . . 8 (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 1 ≤ 𝐴) ∧ 𝑝 ∈ ((0[,](√‘𝐴)) ∩ ℙ)) → (log‘𝑝) ∈ ℝ+)
152151rpge0d 11820 . . . . . . 7 (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 1 ≤ 𝐴) ∧ 𝑝 ∈ ((0[,](√‘𝐴)) ∩ ℙ)) → 0 ≤ (log‘𝑝))
153 inss2 3812 . . . . . . . . . . . 12 ((0[,](√‘𝐴)) ∩ ℙ) ⊆ ℙ
154 simpr 477 . . . . . . . . . . . 12 (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 1 ≤ 𝐴) ∧ 𝑝 ∈ ((0[,](√‘𝐴)) ∩ ℙ)) → 𝑝 ∈ ((0[,](√‘𝐴)) ∩ ℙ))
155153, 154sseldi 3581 . . . . . . . . . . 11 (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 1 ≤ 𝐴) ∧ 𝑝 ∈ ((0[,](√‘𝐴)) ∩ ℙ)) → 𝑝 ∈ ℙ)
156155, 28syl 17 . . . . . . . . . 10 (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 1 ≤ 𝐴) ∧ 𝑝 ∈ ((0[,](√‘𝐴)) ∩ ℙ)) → 𝑝 ∈ ℕ)
157156nnrpd 11814 . . . . . . . . 9 (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 1 ≤ 𝐴) ∧ 𝑝 ∈ ((0[,](√‘𝐴)) ∩ ℙ)) → 𝑝 ∈ ℝ+)
158157relogcld 24273 . . . . . . . 8 (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 1 ≤ 𝐴) ∧ 𝑝 ∈ ((0[,](√‘𝐴)) ∩ ℙ)) → (log‘𝑝) ∈ ℝ)
159150, 158subge02d 10563 . . . . . . 7 (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 1 ≤ 𝐴) ∧ 𝑝 ∈ ((0[,](√‘𝐴)) ∩ ℙ)) → (0 ≤ (log‘𝑝) ↔ (((log‘𝑝) · (⌊‘((log‘𝐴) / (log‘𝑝)))) − (log‘𝑝)) ≤ ((log‘𝑝) · (⌊‘((log‘𝐴) / (log‘𝑝))))))
160152, 159mpbid 222 . . . . . 6 (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 1 ≤ 𝐴) ∧ 𝑝 ∈ ((0[,](√‘𝐴)) ∩ ℙ)) → (((log‘𝑝) · (⌊‘((log‘𝐴) / (log‘𝑝)))) − (log‘𝑝)) ≤ ((log‘𝑝) · (⌊‘((log‘𝐴) / (log‘𝑝)))))
16163, 40syldan 487 . . . . . . . 8 (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 1 ≤ 𝐴) ∧ 𝑝 ∈ ((0[,](√‘𝐴)) ∩ ℙ)) → ((log‘𝐴) / (log‘𝑝)) ∈ ℝ)
162 flle 12540 . . . . . . . 8 (((log‘𝐴) / (log‘𝑝)) ∈ ℝ → (⌊‘((log‘𝐴) / (log‘𝑝))) ≤ ((log‘𝐴) / (log‘𝑝)))
163161, 162syl 17 . . . . . . 7 (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 1 ≤ 𝐴) ∧ 𝑝 ∈ ((0[,](√‘𝐴)) ∩ ℙ)) → (⌊‘((log‘𝐴) / (log‘𝑝))) ≤ ((log‘𝐴) / (log‘𝑝)))
16463, 42syldan 487 . . . . . . . 8 (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 1 ≤ 𝐴) ∧ 𝑝 ∈ ((0[,](√‘𝐴)) ∩ ℙ)) → (⌊‘((log‘𝐴) / (log‘𝑝))) ∈ ℝ)
165164, 19, 151lemuldiv2d 11866 . . . . . . 7 (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 1 ≤ 𝐴) ∧ 𝑝 ∈ ((0[,](√‘𝐴)) ∩ ℙ)) → (((log‘𝑝) · (⌊‘((log‘𝐴) / (log‘𝑝)))) ≤ (log‘𝐴) ↔ (⌊‘((log‘𝐴) / (log‘𝑝))) ≤ ((log‘𝐴) / (log‘𝑝))))
166163, 165mpbird 247 . . . . . 6 (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 1 ≤ 𝐴) ∧ 𝑝 ∈ ((0[,](√‘𝐴)) ∩ ℙ)) → ((log‘𝑝) · (⌊‘((log‘𝐴) / (log‘𝑝)))) ≤ (log‘𝐴))
167149, 150, 19, 160, 166letrd 10138 . . . . 5 (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 1 ≤ 𝐴) ∧ 𝑝 ∈ ((0[,](√‘𝐴)) ∩ ℙ)) → (((log‘𝑝) · (⌊‘((log‘𝐴) / (log‘𝑝)))) − (log‘𝑝)) ≤ (log‘𝐴))
16817, 149, 19, 167fsumle 14458 . . . 4 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 1 ≤ 𝐴) → Σ𝑝 ∈ ((0[,](√‘𝐴)) ∩ ℙ)(((log‘𝑝) · (⌊‘((log‘𝐴) / (log‘𝑝)))) − (log‘𝑝)) ≤ Σ𝑝 ∈ ((0[,](√‘𝐴)) ∩ ℙ)(log‘𝐴))
169148, 168eqbrtrd 4635 . . 3 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 1 ≤ 𝐴) → ((ψ‘𝐴) − (θ‘𝐴)) ≤ Σ𝑝 ∈ ((0[,](√‘𝐴)) ∩ ℙ)(log‘𝐴))
17021recnd 10012 . . . . 5 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 1 ≤ 𝐴) → (log‘𝐴) ∈ ℂ)
171 fsumconst 14450 . . . . 5 ((((0[,](√‘𝐴)) ∩ ℙ) ∈ Fin ∧ (log‘𝐴) ∈ ℂ) → Σ𝑝 ∈ ((0[,](√‘𝐴)) ∩ ℙ)(log‘𝐴) = ((#‘((0[,](√‘𝐴)) ∩ ℙ)) · (log‘𝐴)))
17217, 170, 171syl2anc 692 . . . 4 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 1 ≤ 𝐴) → Σ𝑝 ∈ ((0[,](√‘𝐴)) ∩ ℙ)(log‘𝐴) = ((#‘((0[,](√‘𝐴)) ∩ ℙ)) · (log‘𝐴)))
173 hashcl 13087 . . . . . . 7 (((0[,](√‘𝐴)) ∩ ℙ) ∈ Fin → (#‘((0[,](√‘𝐴)) ∩ ℙ)) ∈ ℕ0)
17417, 173syl 17 . . . . . 6 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 1 ≤ 𝐴) → (#‘((0[,](√‘𝐴)) ∩ ℙ)) ∈ ℕ0)
175174nn0red 11296 . . . . 5 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 1 ≤ 𝐴) → (#‘((0[,](√‘𝐴)) ∩ ℙ)) ∈ ℝ)
176 logge0 24255 . . . . 5 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 1 ≤ 𝐴) → 0 ≤ (log‘𝐴))
177 reflcl 12537 . . . . . . 7 ((√‘𝐴) ∈ ℝ → (⌊‘(√‘𝐴)) ∈ ℝ)
17815, 177syl 17 . . . . . 6 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 1 ≤ 𝐴) → (⌊‘(√‘𝐴)) ∈ ℝ)
179 fzfid 12712 . . . . . . . . 9 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 1 ≤ 𝐴) → (1...(⌊‘(√‘𝐴))) ∈ Fin)
180 ppisval 24730 . . . . . . . . . . 11 ((√‘𝐴) ∈ ℝ → ((0[,](√‘𝐴)) ∩ ℙ) = ((2...(⌊‘(√‘𝐴))) ∩ ℙ))
18115, 180syl 17 . . . . . . . . . 10 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 1 ≤ 𝐴) → ((0[,](√‘𝐴)) ∩ ℙ) = ((2...(⌊‘(√‘𝐴))) ∩ ℙ))
182 inss1 3811 . . . . . . . . . . 11 ((2...(⌊‘(√‘𝐴))) ∩ ℙ) ⊆ (2...(⌊‘(√‘𝐴)))
183 2eluzge1 11678 . . . . . . . . . . . 12 2 ∈ (ℤ‘1)
184 fzss1 12322 . . . . . . . . . . . 12 (2 ∈ (ℤ‘1) → (2...(⌊‘(√‘𝐴))) ⊆ (1...(⌊‘(√‘𝐴))))
185183, 184mp1i 13 . . . . . . . . . . 11 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 1 ≤ 𝐴) → (2...(⌊‘(√‘𝐴))) ⊆ (1...(⌊‘(√‘𝐴))))
186182, 185syl5ss 3594 . . . . . . . . . 10 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 1 ≤ 𝐴) → ((2...(⌊‘(√‘𝐴))) ∩ ℙ) ⊆ (1...(⌊‘(√‘𝐴))))
187181, 186eqsstrd 3618 . . . . . . . . 9 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 1 ≤ 𝐴) → ((0[,](√‘𝐴)) ∩ ℙ) ⊆ (1...(⌊‘(√‘𝐴))))
188 ssdomg 7945 . . . . . . . . 9 ((1...(⌊‘(√‘𝐴))) ∈ Fin → (((0[,](√‘𝐴)) ∩ ℙ) ⊆ (1...(⌊‘(√‘𝐴))) → ((0[,](√‘𝐴)) ∩ ℙ) ≼ (1...(⌊‘(√‘𝐴)))))
189179, 187, 188sylc 65 . . . . . . . 8 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 1 ≤ 𝐴) → ((0[,](√‘𝐴)) ∩ ℙ) ≼ (1...(⌊‘(√‘𝐴))))
190 hashdom 13108 . . . . . . . . 9 ((((0[,](√‘𝐴)) ∩ ℙ) ∈ Fin ∧ (1...(⌊‘(√‘𝐴))) ∈ Fin) → ((#‘((0[,](√‘𝐴)) ∩ ℙ)) ≤ (#‘(1...(⌊‘(√‘𝐴)))) ↔ ((0[,](√‘𝐴)) ∩ ℙ) ≼ (1...(⌊‘(√‘𝐴)))))
19117, 179, 190syl2anc 692 . . . . . . . 8 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 1 ≤ 𝐴) → ((#‘((0[,](√‘𝐴)) ∩ ℙ)) ≤ (#‘(1...(⌊‘(√‘𝐴)))) ↔ ((0[,](√‘𝐴)) ∩ ℙ) ≼ (1...(⌊‘(√‘𝐴)))))
192189, 191mpbird 247 . . . . . . 7 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 1 ≤ 𝐴) → (#‘((0[,](√‘𝐴)) ∩ ℙ)) ≤ (#‘(1...(⌊‘(√‘𝐴)))))
193 flge0nn0 12561 . . . . . . . . 9 (((√‘𝐴) ∈ ℝ ∧ 0 ≤ (√‘𝐴)) → (⌊‘(√‘𝐴)) ∈ ℕ0)
19415, 56, 193syl2anc 692 . . . . . . . 8 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 1 ≤ 𝐴) → (⌊‘(√‘𝐴)) ∈ ℕ0)
195 hashfz1 13074 . . . . . . . 8 ((⌊‘(√‘𝐴)) ∈ ℕ0 → (#‘(1...(⌊‘(√‘𝐴)))) = (⌊‘(√‘𝐴)))
196194, 195syl 17 . . . . . . 7 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 1 ≤ 𝐴) → (#‘(1...(⌊‘(√‘𝐴)))) = (⌊‘(√‘𝐴)))
197192, 196breqtrd 4639 . . . . . 6 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 1 ≤ 𝐴) → (#‘((0[,](√‘𝐴)) ∩ ℙ)) ≤ (⌊‘(√‘𝐴)))
198 flle 12540 . . . . . . 7 ((√‘𝐴) ∈ ℝ → (⌊‘(√‘𝐴)) ≤ (√‘𝐴))
19915, 198syl 17 . . . . . 6 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 1 ≤ 𝐴) → (⌊‘(√‘𝐴)) ≤ (√‘𝐴))
200175, 178, 15, 197, 199letrd 10138 . . . . 5 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 1 ≤ 𝐴) → (#‘((0[,](√‘𝐴)) ∩ ℙ)) ≤ (√‘𝐴))
201175, 15, 21, 176, 200lemul1ad 10907 . . . 4 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 1 ≤ 𝐴) → ((#‘((0[,](√‘𝐴)) ∩ ℙ)) · (log‘𝐴)) ≤ ((√‘𝐴) · (log‘𝐴)))
202172, 201eqbrtrd 4635 . . 3 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 1 ≤ 𝐴) → Σ𝑝 ∈ ((0[,](√‘𝐴)) ∩ ℙ)(log‘𝐴) ≤ ((√‘𝐴) · (log‘𝐴)))
2035, 20, 22, 169, 202letrd 10138 . 2 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 1 ≤ 𝐴) → ((ψ‘𝐴) − (θ‘𝐴)) ≤ ((√‘𝐴) · (log‘𝐴)))
2042, 4, 22lesubadd2d 10570 . 2 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 1 ≤ 𝐴) → (((ψ‘𝐴) − (θ‘𝐴)) ≤ ((√‘𝐴) · (log‘𝐴)) ↔ (ψ‘𝐴) ≤ ((θ‘𝐴) + ((√‘𝐴) · (log‘𝐴)))))
205203, 204mpbid 222 1 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 1 ≤ 𝐴) → (ψ‘𝐴) ≤ ((θ‘𝐴) + ((√‘𝐴) · (log‘𝐴))))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  ¬ wn 3  wi 4  wb 196  wa 384  w3a 1036   = wceq 1480  wcel 1987  cdif 3552  cin 3554  wss 3555   class class class wbr 4613  cfv 5847  (class class class)co 6604  cdom 7897  Fincfn 7899  cc 9878  cr 9879  0cc0 9880  1c1 9881   + caddc 9883   · cmul 9885   < clt 10018  cle 10019  cmin 10210   / cdiv 10628  cn 10964  2c2 11014  0cn0 11236  cz 11321  cuz 11631  +crp 11776  [,]cicc 12120  ...cfz 12268  cfl 12531  cexp 12800  #chash 13057  csqrt 13907  Σcsu 14350  cprime 15309  logclog 24205  θccht 24717  ψcchp 24719
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1719  ax-4 1734  ax-5 1836  ax-6 1885  ax-7 1932  ax-8 1989  ax-9 1996  ax-10 2016  ax-11 2031  ax-12 2044  ax-13 2245  ax-ext 2601  ax-rep 4731  ax-sep 4741  ax-nul 4749  ax-pow 4803  ax-pr 4867  ax-un 6902  ax-inf2 8482  ax-cnex 9936  ax-resscn 9937  ax-1cn 9938  ax-icn 9939  ax-addcl 9940  ax-addrcl 9941  ax-mulcl 9942  ax-mulrcl 9943  ax-mulcom 9944  ax-addass 9945  ax-mulass 9946  ax-distr 9947  ax-i2m1 9948  ax-1ne0 9949  ax-1rid 9950  ax-rnegex 9951  ax-rrecex 9952  ax-cnre 9953  ax-pre-lttri 9954  ax-pre-lttrn 9955  ax-pre-ltadd 9956  ax-pre-mulgt0 9957  ax-pre-sup 9958  ax-addf 9959  ax-mulf 9960
This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 385  df-an 386  df-3or 1037  df-3an 1038  df-tru 1483  df-fal 1486  df-ex 1702  df-nf 1707  df-sb 1878  df-eu 2473  df-mo 2474  df-clab 2608  df-cleq 2614  df-clel 2617  df-nfc 2750  df-ne 2791  df-nel 2894  df-ral 2912  df-rex 2913  df-reu 2914  df-rmo 2915  df-rab 2916  df-v 3188  df-sbc 3418  df-csb 3515  df-dif 3558  df-un 3560  df-in 3562  df-ss 3569  df-pss 3571  df-nul 3892  df-if 4059  df-pw 4132  df-sn 4149  df-pr 4151  df-tp 4153  df-op 4155  df-uni 4403  df-int 4441  df-iun 4487  df-iin 4488  df-br 4614  df-opab 4674  df-mpt 4675  df-tr 4713  df-eprel 4985  df-id 4989  df-po 4995  df-so 4996  df-fr 5033  df-se 5034  df-we 5035  df-xp 5080  df-rel 5081  df-cnv 5082  df-co 5083  df-dm 5084  df-rn 5085  df-res 5086  df-ima 5087  df-pred 5639  df-ord 5685  df-on 5686  df-lim 5687  df-suc 5688  df-iota 5810  df-fun 5849  df-fn 5850  df-f 5851  df-f1 5852  df-fo 5853  df-f1o 5854  df-fv 5855  df-isom 5856  df-riota 6565  df-ov 6607  df-oprab 6608  df-mpt2 6609  df-of 6850  df-om 7013  df-1st 7113  df-2nd 7114  df-supp 7241  df-wrecs 7352  df-recs 7413  df-rdg 7451  df-1o 7505  df-2o 7506  df-oadd 7509  df-er 7687  df-map 7804  df-pm 7805  df-ixp 7853  df-en 7900  df-dom 7901  df-sdom 7902  df-fin 7903  df-fsupp 8220  df-fi 8261  df-sup 8292  df-inf 8293  df-oi 8359  df-card 8709  df-cda 8934  df-pnf 10020  df-mnf 10021  df-xr 10022  df-ltxr 10023  df-le 10024  df-sub 10212  df-neg 10213  df-div 10629  df-nn 10965  df-2 11023  df-3 11024  df-4 11025  df-5 11026  df-6 11027  df-7 11028  df-8 11029  df-9 11030  df-n0 11237  df-xnn0 11308  df-z 11322  df-dec 11438  df-uz 11632  df-q 11733  df-rp 11777  df-xneg 11890  df-xadd 11891  df-xmul 11892  df-ioo 12121  df-ioc 12122  df-ico 12123  df-icc 12124  df-fz 12269  df-fzo 12407  df-fl 12533  df-mod 12609  df-seq 12742  df-exp 12801  df-fac 13001  df-bc 13030  df-hash 13058  df-shft 13741  df-cj 13773  df-re 13774  df-im 13775  df-sqrt 13909  df-abs 13910  df-limsup 14136  df-clim 14153  df-rlim 14154  df-sum 14351  df-ef 14723  df-sin 14725  df-cos 14726  df-pi 14728  df-dvds 14908  df-gcd 15141  df-prm 15310  df-pc 15466  df-struct 15783  df-ndx 15784  df-slot 15785  df-base 15786  df-sets 15787  df-ress 15788  df-plusg 15875  df-mulr 15876  df-starv 15877  df-sca 15878  df-vsca 15879  df-ip 15880  df-tset 15881  df-ple 15882  df-ds 15885  df-unif 15886  df-hom 15887  df-cco 15888  df-rest 16004  df-topn 16005  df-0g 16023  df-gsum 16024  df-topgen 16025  df-pt 16026  df-prds 16029  df-xrs 16083  df-qtop 16088  df-imas 16089  df-xps 16091  df-mre 16167  df-mrc 16168  df-acs 16170  df-mgm 17163  df-sgrp 17205  df-mnd 17216  df-submnd 17257  df-mulg 17462  df-cntz 17671  df-cmn 18116  df-psmet 19657  df-xmet 19658  df-met 19659  df-bl 19660  df-mopn 19661  df-fbas 19662  df-fg 19663  df-cnfld 19666  df-top 20621  df-bases 20622  df-topon 20623  df-topsp 20624  df-cld 20733  df-ntr 20734  df-cls 20735  df-nei 20812  df-lp 20850  df-perf 20851  df-cn 20941  df-cnp 20942  df-haus 21029  df-tx 21275  df-hmeo 21468  df-fil 21560  df-fm 21652  df-flim 21653  df-flf 21654  df-xms 22035  df-ms 22036  df-tms 22037  df-cncf 22589  df-limc 23536  df-dv 23537  df-log 24207  df-cht 24723  df-vma 24724  df-chp 24725
This theorem is referenced by:  chpchtlim  25068
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