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Theorem chscllem2 29342
Description: Lemma for chscl 29345. (Contributed by Mario Carneiro, 19-May-2014.) (New usage is discouraged.)
Hypotheses
Ref Expression
chscl.1 (𝜑𝐴C )
chscl.2 (𝜑𝐵C )
chscl.3 (𝜑𝐵 ⊆ (⊥‘𝐴))
chscl.4 (𝜑𝐻:ℕ⟶(𝐴 + 𝐵))
chscl.5 (𝜑𝐻𝑣 𝑢)
chscl.6 𝐹 = (𝑛 ∈ ℕ ↦ ((proj𝐴)‘(𝐻𝑛)))
Assertion
Ref Expression
chscllem2 (𝜑𝐹 ∈ dom ⇝𝑣 )
Distinct variable groups:   𝑢,𝑛,𝐴   𝜑,𝑛   𝐵,𝑛,𝑢   𝑛,𝐻,𝑢
Allowed substitution hints:   𝜑(𝑢)   𝐹(𝑢,𝑛)

Proof of Theorem chscllem2
Dummy variables 𝑗 𝑥 𝑘 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 chscl.1 . . . . 5 (𝜑𝐴C )
2 chscl.2 . . . . 5 (𝜑𝐵C )
3 chscl.3 . . . . 5 (𝜑𝐵 ⊆ (⊥‘𝐴))
4 chscl.4 . . . . 5 (𝜑𝐻:ℕ⟶(𝐴 + 𝐵))
5 chscl.5 . . . . 5 (𝜑𝐻𝑣 𝑢)
6 chscl.6 . . . . 5 𝐹 = (𝑛 ∈ ℕ ↦ ((proj𝐴)‘(𝐻𝑛)))
71, 2, 3, 4, 5, 6chscllem1 29341 . . . 4 (𝜑𝐹:ℕ⟶𝐴)
8 chss 28933 . . . . 5 (𝐴C𝐴 ⊆ ℋ)
91, 8syl 17 . . . 4 (𝜑𝐴 ⊆ ℋ)
107, 9fssd 6521 . . 3 (𝜑𝐹:ℕ⟶ ℋ)
11 hlimcaui 28940 . . . . . . 7 (𝐻𝑣 𝑢𝐻 ∈ Cauchy)
125, 11syl 17 . . . . . 6 (𝜑𝐻 ∈ Cauchy)
13 hcaucvg 28890 . . . . . 6 ((𝐻 ∈ Cauchy ∧ 𝑥 ∈ ℝ+) → ∃𝑗 ∈ ℕ ∀𝑘 ∈ (ℤ𝑗)(norm‘((𝐻𝑗) − (𝐻𝑘))) < 𝑥)
1412, 13sylan 580 . . . . 5 ((𝜑𝑥 ∈ ℝ+) → ∃𝑗 ∈ ℕ ∀𝑘 ∈ (ℤ𝑗)(norm‘((𝐻𝑗) − (𝐻𝑘))) < 𝑥)
15 eluznn 12306 . . . . . . . . 9 ((𝑗 ∈ ℕ ∧ 𝑘 ∈ (ℤ𝑗)) → 𝑘 ∈ ℕ)
1615adantll 710 . . . . . . . 8 ((((𝜑𝑥 ∈ ℝ+) ∧ 𝑗 ∈ ℕ) ∧ 𝑘 ∈ (ℤ𝑗)) → 𝑘 ∈ ℕ)
17 chsh 28928 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 (𝐴C𝐴S )
181, 17syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 (𝜑𝐴S )
19 chsh 28928 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 (𝐵C𝐵S )
202, 19syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 (𝜑𝐵S )
21 shscl 29022 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ((𝐴S𝐵S ) → (𝐴 + 𝐵) ∈ S )
2218, 20, 21syl2anc 584 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 (𝜑 → (𝐴 + 𝐵) ∈ S )
23 shss 28914 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ((𝐴 + 𝐵) ∈ S → (𝐴 + 𝐵) ⊆ ℋ)
2422, 23syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (𝜑 → (𝐴 + 𝐵) ⊆ ℋ)
2524adantr 481 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ((𝜑𝑗 ∈ ℕ) → (𝐴 + 𝐵) ⊆ ℋ)
264ffvelrnda 6843 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ((𝜑𝑗 ∈ ℕ) → (𝐻𝑗) ∈ (𝐴 + 𝐵))
2725, 26sseldd 3965 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((𝜑𝑗 ∈ ℕ) → (𝐻𝑗) ∈ ℋ)
2827adantrr 713 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((𝜑 ∧ (𝑗 ∈ ℕ ∧ 𝑘 ∈ ℕ)) → (𝐻𝑗) ∈ ℋ)
294, 24fssd 6521 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (𝜑𝐻:ℕ⟶ ℋ)
3029adantr 481 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((𝜑 ∧ (𝑗 ∈ ℕ ∧ 𝑘 ∈ ℕ)) → 𝐻:ℕ⟶ ℋ)
31 simprr 769 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((𝜑 ∧ (𝑗 ∈ ℕ ∧ 𝑘 ∈ ℕ)) → 𝑘 ∈ ℕ)
3230, 31ffvelrnd 6844 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((𝜑 ∧ (𝑗 ∈ ℕ ∧ 𝑘 ∈ ℕ)) → (𝐻𝑘) ∈ ℋ)
33 hvsubcl 28721 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (((𝐻𝑗) ∈ ℋ ∧ (𝐻𝑘) ∈ ℋ) → ((𝐻𝑗) − (𝐻𝑘)) ∈ ℋ)
3428, 32, 33syl2anc 584 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((𝜑 ∧ (𝑗 ∈ ℕ ∧ 𝑘 ∈ ℕ)) → ((𝐻𝑗) − (𝐻𝑘)) ∈ ℋ)
359adantr 481 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ((𝜑𝑗 ∈ ℕ) → 𝐴 ⊆ ℋ)
367ffvelrnda 6843 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ((𝜑𝑗 ∈ ℕ) → (𝐹𝑗) ∈ 𝐴)
3735, 36sseldd 3965 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((𝜑𝑗 ∈ ℕ) → (𝐹𝑗) ∈ ℋ)
3837adantrr 713 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((𝜑 ∧ (𝑗 ∈ ℕ ∧ 𝑘 ∈ ℕ)) → (𝐹𝑗) ∈ ℋ)
399adantr 481 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((𝜑 ∧ (𝑗 ∈ ℕ ∧ 𝑘 ∈ ℕ)) → 𝐴 ⊆ ℋ)
407adantr 481 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ((𝜑 ∧ (𝑗 ∈ ℕ ∧ 𝑘 ∈ ℕ)) → 𝐹:ℕ⟶𝐴)
4140, 31ffvelrnd 6844 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((𝜑 ∧ (𝑗 ∈ ℕ ∧ 𝑘 ∈ ℕ)) → (𝐹𝑘) ∈ 𝐴)
4239, 41sseldd 3965 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((𝜑 ∧ (𝑗 ∈ ℕ ∧ 𝑘 ∈ ℕ)) → (𝐹𝑘) ∈ ℋ)
43 hvsubcl 28721 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (((𝐹𝑗) ∈ ℋ ∧ (𝐹𝑘) ∈ ℋ) → ((𝐹𝑗) − (𝐹𝑘)) ∈ ℋ)
4438, 42, 43syl2anc 584 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((𝜑 ∧ (𝑗 ∈ ℕ ∧ 𝑘 ∈ ℕ)) → ((𝐹𝑗) − (𝐹𝑘)) ∈ ℋ)
45 hvsubcl 28721 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((((𝐻𝑗) − (𝐻𝑘)) ∈ ℋ ∧ ((𝐹𝑗) − (𝐹𝑘)) ∈ ℋ) → (((𝐻𝑗) − (𝐻𝑘)) − ((𝐹𝑗) − (𝐹𝑘))) ∈ ℋ)
4634, 44, 45syl2anc 584 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝜑 ∧ (𝑗 ∈ ℕ ∧ 𝑘 ∈ ℕ)) → (((𝐻𝑗) − (𝐻𝑘)) − ((𝐹𝑗) − (𝐹𝑘))) ∈ ℋ)
47 normcl 28829 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((((𝐻𝑗) − (𝐻𝑘)) − ((𝐹𝑗) − (𝐹𝑘))) ∈ ℋ → (norm‘(((𝐻𝑗) − (𝐻𝑘)) − ((𝐹𝑗) − (𝐹𝑘)))) ∈ ℝ)
4846, 47syl 17 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝜑 ∧ (𝑗 ∈ ℕ ∧ 𝑘 ∈ ℕ)) → (norm‘(((𝐻𝑗) − (𝐻𝑘)) − ((𝐹𝑗) − (𝐹𝑘)))) ∈ ℝ)
4948sqge0d 13600 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝜑 ∧ (𝑗 ∈ ℕ ∧ 𝑘 ∈ ℕ)) → 0 ≤ ((norm‘(((𝐻𝑗) − (𝐻𝑘)) − ((𝐹𝑗) − (𝐹𝑘))))↑2))
50 normcl 28829 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (((𝐹𝑗) − (𝐹𝑘)) ∈ ℋ → (norm‘((𝐹𝑗) − (𝐹𝑘))) ∈ ℝ)
5144, 50syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝜑 ∧ (𝑗 ∈ ℕ ∧ 𝑘 ∈ ℕ)) → (norm‘((𝐹𝑗) − (𝐹𝑘))) ∈ ℝ)
5251resqcld 13599 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝜑 ∧ (𝑗 ∈ ℕ ∧ 𝑘 ∈ ℕ)) → ((norm‘((𝐹𝑗) − (𝐹𝑘)))↑2) ∈ ℝ)
5348resqcld 13599 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝜑 ∧ (𝑗 ∈ ℕ ∧ 𝑘 ∈ ℕ)) → ((norm‘(((𝐻𝑗) − (𝐻𝑘)) − ((𝐹𝑗) − (𝐹𝑘))))↑2) ∈ ℝ)
5452, 53addge01d 11216 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝜑 ∧ (𝑗 ∈ ℕ ∧ 𝑘 ∈ ℕ)) → (0 ≤ ((norm‘(((𝐻𝑗) − (𝐻𝑘)) − ((𝐹𝑗) − (𝐹𝑘))))↑2) ↔ ((norm‘((𝐹𝑗) − (𝐹𝑘)))↑2) ≤ (((norm‘((𝐹𝑗) − (𝐹𝑘)))↑2) + ((norm‘(((𝐻𝑗) − (𝐻𝑘)) − ((𝐹𝑗) − (𝐹𝑘))))↑2))))
5549, 54mpbid 233 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝜑 ∧ (𝑗 ∈ ℕ ∧ 𝑘 ∈ ℕ)) → ((norm‘((𝐹𝑗) − (𝐹𝑘)))↑2) ≤ (((norm‘((𝐹𝑗) − (𝐹𝑘)))↑2) + ((norm‘(((𝐻𝑗) − (𝐻𝑘)) − ((𝐹𝑗) − (𝐹𝑘))))↑2)))
5618adantr 481 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((𝜑 ∧ (𝑗 ∈ ℕ ∧ 𝑘 ∈ ℕ)) → 𝐴S )
5736adantrr 713 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((𝜑 ∧ (𝑗 ∈ ℕ ∧ 𝑘 ∈ ℕ)) → (𝐹𝑗) ∈ 𝐴)
58 shsubcl 28924 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((𝐴S ∧ (𝐹𝑗) ∈ 𝐴 ∧ (𝐹𝑘) ∈ 𝐴) → ((𝐹𝑗) − (𝐹𝑘)) ∈ 𝐴)
5956, 57, 41, 58syl3anc 1363 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝜑 ∧ (𝑗 ∈ ℕ ∧ 𝑘 ∈ ℕ)) → ((𝐹𝑗) − (𝐹𝑘)) ∈ 𝐴)
60 hvsubsub4 28764 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((((𝐻𝑗) ∈ ℋ ∧ (𝐻𝑘) ∈ ℋ) ∧ ((𝐹𝑗) ∈ ℋ ∧ (𝐹𝑘) ∈ ℋ)) → (((𝐻𝑗) − (𝐻𝑘)) − ((𝐹𝑗) − (𝐹𝑘))) = (((𝐻𝑗) − (𝐹𝑗)) − ((𝐻𝑘) − (𝐹𝑘))))
6128, 32, 38, 42, 60syl22anc 834 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((𝜑 ∧ (𝑗 ∈ ℕ ∧ 𝑘 ∈ ℕ)) → (((𝐻𝑗) − (𝐻𝑘)) − ((𝐹𝑗) − (𝐹𝑘))) = (((𝐻𝑗) − (𝐹𝑗)) − ((𝐻𝑘) − (𝐹𝑘))))
62 ocsh 28987 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (𝐴 ⊆ ℋ → (⊥‘𝐴) ∈ S )
6339, 62syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((𝜑 ∧ (𝑗 ∈ ℕ ∧ 𝑘 ∈ ℕ)) → (⊥‘𝐴) ∈ S )
64 2fveq3 6668 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 (𝑛 = 𝑗 → ((proj𝐴)‘(𝐻𝑛)) = ((proj𝐴)‘(𝐻𝑗)))
65 fvex 6676 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 ((proj𝐴)‘(𝐻𝑗)) ∈ V
6664, 6, 65fvmpt 6761 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 (𝑗 ∈ ℕ → (𝐹𝑗) = ((proj𝐴)‘(𝐻𝑗)))
6766eqcomd 2824 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 (𝑗 ∈ ℕ → ((proj𝐴)‘(𝐻𝑗)) = (𝐹𝑗))
6867adantl 482 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ((𝜑𝑗 ∈ ℕ) → ((proj𝐴)‘(𝐻𝑗)) = (𝐹𝑗))
691adantr 481 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ((𝜑𝑗 ∈ ℕ) → 𝐴C )
709, 62syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 (𝜑 → (⊥‘𝐴) ∈ S )
71 shless 29063 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 (((𝐵S ∧ (⊥‘𝐴) ∈ S𝐴S ) ∧ 𝐵 ⊆ (⊥‘𝐴)) → (𝐵 + 𝐴) ⊆ ((⊥‘𝐴) + 𝐴))
7220, 70, 18, 3, 71syl31anc 1365 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 (𝜑 → (𝐵 + 𝐴) ⊆ ((⊥‘𝐴) + 𝐴))
73 shscom 29023 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 ((𝐴S𝐵S ) → (𝐴 + 𝐵) = (𝐵 + 𝐴))
7418, 20, 73syl2anc 584 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 (𝜑 → (𝐴 + 𝐵) = (𝐵 + 𝐴))
75 shscom 29023 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 ((𝐴S ∧ (⊥‘𝐴) ∈ S ) → (𝐴 + (⊥‘𝐴)) = ((⊥‘𝐴) + 𝐴))
7618, 70, 75syl2anc 584 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 (𝜑 → (𝐴 + (⊥‘𝐴)) = ((⊥‘𝐴) + 𝐴))
7772, 74, 763sstr4d 4011 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 (𝜑 → (𝐴 + 𝐵) ⊆ (𝐴 + (⊥‘𝐴)))
7877adantr 481 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 ((𝜑𝑗 ∈ ℕ) → (𝐴 + 𝐵) ⊆ (𝐴 + (⊥‘𝐴)))
7978, 26sseldd 3965 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ((𝜑𝑗 ∈ ℕ) → (𝐻𝑗) ∈ (𝐴 + (⊥‘𝐴)))
80 pjpreeq 29102 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ((𝐴C ∧ (𝐻𝑗) ∈ (𝐴 + (⊥‘𝐴))) → (((proj𝐴)‘(𝐻𝑗)) = (𝐹𝑗) ↔ ((𝐹𝑗) ∈ 𝐴 ∧ ∃𝑥 ∈ (⊥‘𝐴)(𝐻𝑗) = ((𝐹𝑗) + 𝑥))))
8169, 79, 80syl2anc 584 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ((𝜑𝑗 ∈ ℕ) → (((proj𝐴)‘(𝐻𝑗)) = (𝐹𝑗) ↔ ((𝐹𝑗) ∈ 𝐴 ∧ ∃𝑥 ∈ (⊥‘𝐴)(𝐻𝑗) = ((𝐹𝑗) + 𝑥))))
8268, 81mpbid 233 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ((𝜑𝑗 ∈ ℕ) → ((𝐹𝑗) ∈ 𝐴 ∧ ∃𝑥 ∈ (⊥‘𝐴)(𝐻𝑗) = ((𝐹𝑗) + 𝑥)))
8382simprd 496 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ((𝜑𝑗 ∈ ℕ) → ∃𝑥 ∈ (⊥‘𝐴)(𝐻𝑗) = ((𝐹𝑗) + 𝑥))
8427adantr 481 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 (((𝜑𝑗 ∈ ℕ) ∧ 𝑥 ∈ (⊥‘𝐴)) → (𝐻𝑗) ∈ ℋ)
8537adantr 481 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 (((𝜑𝑗 ∈ ℕ) ∧ 𝑥 ∈ (⊥‘𝐴)) → (𝐹𝑗) ∈ ℋ)
86 shss 28914 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 ((⊥‘𝐴) ∈ S → (⊥‘𝐴) ⊆ ℋ)
8770, 86syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 (𝜑 → (⊥‘𝐴) ⊆ ℋ)
8887adantr 481 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 ((𝜑𝑗 ∈ ℕ) → (⊥‘𝐴) ⊆ ℋ)
8988sselda 3964 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 (((𝜑𝑗 ∈ ℕ) ∧ 𝑥 ∈ (⊥‘𝐴)) → 𝑥 ∈ ℋ)
90 hvsubadd 28781 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 (((𝐻𝑗) ∈ ℋ ∧ (𝐹𝑗) ∈ ℋ ∧ 𝑥 ∈ ℋ) → (((𝐻𝑗) − (𝐹𝑗)) = 𝑥 ↔ ((𝐹𝑗) + 𝑥) = (𝐻𝑗)))
9184, 85, 89, 90syl3anc 1363 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 (((𝜑𝑗 ∈ ℕ) ∧ 𝑥 ∈ (⊥‘𝐴)) → (((𝐻𝑗) − (𝐹𝑗)) = 𝑥 ↔ ((𝐹𝑗) + 𝑥) = (𝐻𝑗)))
92 eqcom 2825 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 (𝑥 = ((𝐻𝑗) − (𝐹𝑗)) ↔ ((𝐻𝑗) − (𝐹𝑗)) = 𝑥)
93 eqcom 2825 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ((𝐻𝑗) = ((𝐹𝑗) + 𝑥) ↔ ((𝐹𝑗) + 𝑥) = (𝐻𝑗))
9491, 92, 933bitr4g 315 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 (((𝜑𝑗 ∈ ℕ) ∧ 𝑥 ∈ (⊥‘𝐴)) → (𝑥 = ((𝐻𝑗) − (𝐹𝑗)) ↔ (𝐻𝑗) = ((𝐹𝑗) + 𝑥)))
9594rexbidva 3293 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ((𝜑𝑗 ∈ ℕ) → (∃𝑥 ∈ (⊥‘𝐴)𝑥 = ((𝐻𝑗) − (𝐹𝑗)) ↔ ∃𝑥 ∈ (⊥‘𝐴)(𝐻𝑗) = ((𝐹𝑗) + 𝑥)))
9683, 95mpbird 258 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ((𝜑𝑗 ∈ ℕ) → ∃𝑥 ∈ (⊥‘𝐴)𝑥 = ((𝐻𝑗) − (𝐹𝑗)))
97 risset 3264 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (((𝐻𝑗) − (𝐹𝑗)) ∈ (⊥‘𝐴) ↔ ∃𝑥 ∈ (⊥‘𝐴)𝑥 = ((𝐻𝑗) − (𝐹𝑗)))
9896, 97sylibr 235 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((𝜑𝑗 ∈ ℕ) → ((𝐻𝑗) − (𝐹𝑗)) ∈ (⊥‘𝐴))
9998adantrr 713 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((𝜑 ∧ (𝑗 ∈ ℕ ∧ 𝑘 ∈ ℕ)) → ((𝐻𝑗) − (𝐹𝑗)) ∈ (⊥‘𝐴))
100 eleq1w 2892 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 (𝑗 = 𝑘 → (𝑗 ∈ ℕ ↔ 𝑘 ∈ ℕ))
101100anbi2d 628 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (𝑗 = 𝑘 → ((𝜑𝑗 ∈ ℕ) ↔ (𝜑𝑘 ∈ ℕ)))
102 fveq2 6663 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 (𝑗 = 𝑘 → (𝐻𝑗) = (𝐻𝑘))
103 fveq2 6663 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 (𝑗 = 𝑘 → (𝐹𝑗) = (𝐹𝑘))
104102, 103oveq12d 7163 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 (𝑗 = 𝑘 → ((𝐻𝑗) − (𝐹𝑗)) = ((𝐻𝑘) − (𝐹𝑘)))
105104eleq1d 2894 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (𝑗 = 𝑘 → (((𝐻𝑗) − (𝐹𝑗)) ∈ (⊥‘𝐴) ↔ ((𝐻𝑘) − (𝐹𝑘)) ∈ (⊥‘𝐴)))
106101, 105imbi12d 346 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (𝑗 = 𝑘 → (((𝜑𝑗 ∈ ℕ) → ((𝐻𝑗) − (𝐹𝑗)) ∈ (⊥‘𝐴)) ↔ ((𝜑𝑘 ∈ ℕ) → ((𝐻𝑘) − (𝐹𝑘)) ∈ (⊥‘𝐴))))
107106, 98chvarvv 1996 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((𝜑𝑘 ∈ ℕ) → ((𝐻𝑘) − (𝐹𝑘)) ∈ (⊥‘𝐴))
108107adantrl 712 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((𝜑 ∧ (𝑗 ∈ ℕ ∧ 𝑘 ∈ ℕ)) → ((𝐻𝑘) − (𝐹𝑘)) ∈ (⊥‘𝐴))
109 shsubcl 28924 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (((⊥‘𝐴) ∈ S ∧ ((𝐻𝑗) − (𝐹𝑗)) ∈ (⊥‘𝐴) ∧ ((𝐻𝑘) − (𝐹𝑘)) ∈ (⊥‘𝐴)) → (((𝐻𝑗) − (𝐹𝑗)) − ((𝐻𝑘) − (𝐹𝑘))) ∈ (⊥‘𝐴))
11063, 99, 108, 109syl3anc 1363 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((𝜑 ∧ (𝑗 ∈ ℕ ∧ 𝑘 ∈ ℕ)) → (((𝐻𝑗) − (𝐹𝑗)) − ((𝐻𝑘) − (𝐹𝑘))) ∈ (⊥‘𝐴))
11161, 110eqeltrd 2910 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝜑 ∧ (𝑗 ∈ ℕ ∧ 𝑘 ∈ ℕ)) → (((𝐻𝑗) − (𝐻𝑘)) − ((𝐹𝑗) − (𝐹𝑘))) ∈ (⊥‘𝐴))
112 shocorth 28996 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝐴S → ((((𝐹𝑗) − (𝐹𝑘)) ∈ 𝐴 ∧ (((𝐻𝑗) − (𝐻𝑘)) − ((𝐹𝑗) − (𝐹𝑘))) ∈ (⊥‘𝐴)) → (((𝐹𝑗) − (𝐹𝑘)) ·ih (((𝐻𝑗) − (𝐻𝑘)) − ((𝐹𝑗) − (𝐹𝑘)))) = 0))
11356, 112syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝜑 ∧ (𝑗 ∈ ℕ ∧ 𝑘 ∈ ℕ)) → ((((𝐹𝑗) − (𝐹𝑘)) ∈ 𝐴 ∧ (((𝐻𝑗) − (𝐻𝑘)) − ((𝐹𝑗) − (𝐹𝑘))) ∈ (⊥‘𝐴)) → (((𝐹𝑗) − (𝐹𝑘)) ·ih (((𝐻𝑗) − (𝐻𝑘)) − ((𝐹𝑗) − (𝐹𝑘)))) = 0))
11459, 111, 113mp2and 695 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝜑 ∧ (𝑗 ∈ ℕ ∧ 𝑘 ∈ ℕ)) → (((𝐹𝑗) − (𝐹𝑘)) ·ih (((𝐻𝑗) − (𝐻𝑘)) − ((𝐹𝑗) − (𝐹𝑘)))) = 0)
115 normpyth 28849 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((((𝐹𝑗) − (𝐹𝑘)) ∈ ℋ ∧ (((𝐻𝑗) − (𝐻𝑘)) − ((𝐹𝑗) − (𝐹𝑘))) ∈ ℋ) → ((((𝐹𝑗) − (𝐹𝑘)) ·ih (((𝐻𝑗) − (𝐻𝑘)) − ((𝐹𝑗) − (𝐹𝑘)))) = 0 → ((norm‘(((𝐹𝑗) − (𝐹𝑘)) + (((𝐻𝑗) − (𝐻𝑘)) − ((𝐹𝑗) − (𝐹𝑘)))))↑2) = (((norm‘((𝐹𝑗) − (𝐹𝑘)))↑2) + ((norm‘(((𝐻𝑗) − (𝐻𝑘)) − ((𝐹𝑗) − (𝐹𝑘))))↑2))))
11644, 46, 115syl2anc 584 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝜑 ∧ (𝑗 ∈ ℕ ∧ 𝑘 ∈ ℕ)) → ((((𝐹𝑗) − (𝐹𝑘)) ·ih (((𝐻𝑗) − (𝐻𝑘)) − ((𝐹𝑗) − (𝐹𝑘)))) = 0 → ((norm‘(((𝐹𝑗) − (𝐹𝑘)) + (((𝐻𝑗) − (𝐻𝑘)) − ((𝐹𝑗) − (𝐹𝑘)))))↑2) = (((norm‘((𝐹𝑗) − (𝐹𝑘)))↑2) + ((norm‘(((𝐻𝑗) − (𝐻𝑘)) − ((𝐹𝑗) − (𝐹𝑘))))↑2))))
117114, 116mpd 15 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝜑 ∧ (𝑗 ∈ ℕ ∧ 𝑘 ∈ ℕ)) → ((norm‘(((𝐹𝑗) − (𝐹𝑘)) + (((𝐻𝑗) − (𝐻𝑘)) − ((𝐹𝑗) − (𝐹𝑘)))))↑2) = (((norm‘((𝐹𝑗) − (𝐹𝑘)))↑2) + ((norm‘(((𝐻𝑗) − (𝐻𝑘)) − ((𝐹𝑗) − (𝐹𝑘))))↑2)))
118 hvpncan3 28746 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((((𝐹𝑗) − (𝐹𝑘)) ∈ ℋ ∧ ((𝐻𝑗) − (𝐻𝑘)) ∈ ℋ) → (((𝐹𝑗) − (𝐹𝑘)) + (((𝐻𝑗) − (𝐻𝑘)) − ((𝐹𝑗) − (𝐹𝑘)))) = ((𝐻𝑗) − (𝐻𝑘)))
11944, 34, 118syl2anc 584 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝜑 ∧ (𝑗 ∈ ℕ ∧ 𝑘 ∈ ℕ)) → (((𝐹𝑗) − (𝐹𝑘)) + (((𝐻𝑗) − (𝐻𝑘)) − ((𝐹𝑗) − (𝐹𝑘)))) = ((𝐻𝑗) − (𝐻𝑘)))
120119fveq2d 6667 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝜑 ∧ (𝑗 ∈ ℕ ∧ 𝑘 ∈ ℕ)) → (norm‘(((𝐹𝑗) − (𝐹𝑘)) + (((𝐻𝑗) − (𝐻𝑘)) − ((𝐹𝑗) − (𝐹𝑘))))) = (norm‘((𝐻𝑗) − (𝐻𝑘))))
121120oveq1d 7160 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝜑 ∧ (𝑗 ∈ ℕ ∧ 𝑘 ∈ ℕ)) → ((norm‘(((𝐹𝑗) − (𝐹𝑘)) + (((𝐻𝑗) − (𝐻𝑘)) − ((𝐹𝑗) − (𝐹𝑘)))))↑2) = ((norm‘((𝐻𝑗) − (𝐻𝑘)))↑2))
122117, 121eqtr3d 2855 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝜑 ∧ (𝑗 ∈ ℕ ∧ 𝑘 ∈ ℕ)) → (((norm‘((𝐹𝑗) − (𝐹𝑘)))↑2) + ((norm‘(((𝐻𝑗) − (𝐻𝑘)) − ((𝐹𝑗) − (𝐹𝑘))))↑2)) = ((norm‘((𝐻𝑗) − (𝐻𝑘)))↑2))
12355, 122breqtrd 5083 . . . . . . . . . . . 12 ((𝜑 ∧ (𝑗 ∈ ℕ ∧ 𝑘 ∈ ℕ)) → ((norm‘((𝐹𝑗) − (𝐹𝑘)))↑2) ≤ ((norm‘((𝐻𝑗) − (𝐻𝑘)))↑2))
124 normcl 28829 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝐻𝑗) − (𝐻𝑘)) ∈ ℋ → (norm‘((𝐻𝑗) − (𝐻𝑘))) ∈ ℝ)
12534, 124syl 17 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝜑 ∧ (𝑗 ∈ ℕ ∧ 𝑘 ∈ ℕ)) → (norm‘((𝐻𝑗) − (𝐻𝑘))) ∈ ℝ)
126 normge0 28830 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝐹𝑗) − (𝐹𝑘)) ∈ ℋ → 0 ≤ (norm‘((𝐹𝑗) − (𝐹𝑘))))
12744, 126syl 17 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝜑 ∧ (𝑗 ∈ ℕ ∧ 𝑘 ∈ ℕ)) → 0 ≤ (norm‘((𝐹𝑗) − (𝐹𝑘))))
128 normge0 28830 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝐻𝑗) − (𝐻𝑘)) ∈ ℋ → 0 ≤ (norm‘((𝐻𝑗) − (𝐻𝑘))))
12934, 128syl 17 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝜑 ∧ (𝑗 ∈ ℕ ∧ 𝑘 ∈ ℕ)) → 0 ≤ (norm‘((𝐻𝑗) − (𝐻𝑘))))
13051, 125, 127, 129le2sqd 13608 . . . . . . . . . . . 12 ((𝜑 ∧ (𝑗 ∈ ℕ ∧ 𝑘 ∈ ℕ)) → ((norm‘((𝐹𝑗) − (𝐹𝑘))) ≤ (norm‘((𝐻𝑗) − (𝐻𝑘))) ↔ ((norm‘((𝐹𝑗) − (𝐹𝑘)))↑2) ≤ ((norm‘((𝐻𝑗) − (𝐻𝑘)))↑2)))
131123, 130mpbird 258 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑 ∧ (𝑗 ∈ ℕ ∧ 𝑘 ∈ ℕ)) → (norm‘((𝐹𝑗) − (𝐹𝑘))) ≤ (norm‘((𝐻𝑗) − (𝐻𝑘))))
132131adantlr 711 . . . . . . . . . 10 (((𝜑𝑥 ∈ ℝ+) ∧ (𝑗 ∈ ℕ ∧ 𝑘 ∈ ℕ)) → (norm‘((𝐹𝑗) − (𝐹𝑘))) ≤ (norm‘((𝐻𝑗) − (𝐻𝑘))))
13351adantlr 711 . . . . . . . . . . 11 (((𝜑𝑥 ∈ ℝ+) ∧ (𝑗 ∈ ℕ ∧ 𝑘 ∈ ℕ)) → (norm‘((𝐹𝑗) − (𝐹𝑘))) ∈ ℝ)
134125adantlr 711 . . . . . . . . . . 11 (((𝜑𝑥 ∈ ℝ+) ∧ (𝑗 ∈ ℕ ∧ 𝑘 ∈ ℕ)) → (norm‘((𝐻𝑗) − (𝐻𝑘))) ∈ ℝ)
135 rpre 12385 . . . . . . . . . . . 12 (𝑥 ∈ ℝ+𝑥 ∈ ℝ)
136135ad2antlr 723 . . . . . . . . . . 11 (((𝜑𝑥 ∈ ℝ+) ∧ (𝑗 ∈ ℕ ∧ 𝑘 ∈ ℕ)) → 𝑥 ∈ ℝ)
137 lelttr 10719 . . . . . . . . . . 11 (((norm‘((𝐹𝑗) − (𝐹𝑘))) ∈ ℝ ∧ (norm‘((𝐻𝑗) − (𝐻𝑘))) ∈ ℝ ∧ 𝑥 ∈ ℝ) → (((norm‘((𝐹𝑗) − (𝐹𝑘))) ≤ (norm‘((𝐻𝑗) − (𝐻𝑘))) ∧ (norm‘((𝐻𝑗) − (𝐻𝑘))) < 𝑥) → (norm‘((𝐹𝑗) − (𝐹𝑘))) < 𝑥))
138133, 134, 136, 137syl3anc 1363 . . . . . . . . . 10 (((𝜑𝑥 ∈ ℝ+) ∧ (𝑗 ∈ ℕ ∧ 𝑘 ∈ ℕ)) → (((norm‘((𝐹𝑗) − (𝐹𝑘))) ≤ (norm‘((𝐻𝑗) − (𝐻𝑘))) ∧ (norm‘((𝐻𝑗) − (𝐻𝑘))) < 𝑥) → (norm‘((𝐹𝑗) − (𝐹𝑘))) < 𝑥))
139132, 138mpand 691 . . . . . . . . 9 (((𝜑𝑥 ∈ ℝ+) ∧ (𝑗 ∈ ℕ ∧ 𝑘 ∈ ℕ)) → ((norm‘((𝐻𝑗) − (𝐻𝑘))) < 𝑥 → (norm‘((𝐹𝑗) − (𝐹𝑘))) < 𝑥))
140139anassrs 468 . . . . . . . 8 ((((𝜑𝑥 ∈ ℝ+) ∧ 𝑗 ∈ ℕ) ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → ((norm‘((𝐻𝑗) − (𝐻𝑘))) < 𝑥 → (norm‘((𝐹𝑗) − (𝐹𝑘))) < 𝑥))
14116, 140syldan 591 . . . . . . 7 ((((𝜑𝑥 ∈ ℝ+) ∧ 𝑗 ∈ ℕ) ∧ 𝑘 ∈ (ℤ𝑗)) → ((norm‘((𝐻𝑗) − (𝐻𝑘))) < 𝑥 → (norm‘((𝐹𝑗) − (𝐹𝑘))) < 𝑥))
142141ralimdva 3174 . . . . . 6 (((𝜑𝑥 ∈ ℝ+) ∧ 𝑗 ∈ ℕ) → (∀𝑘 ∈ (ℤ𝑗)(norm‘((𝐻𝑗) − (𝐻𝑘))) < 𝑥 → ∀𝑘 ∈ (ℤ𝑗)(norm‘((𝐹𝑗) − (𝐹𝑘))) < 𝑥))
143142reximdva 3271 . . . . 5 ((𝜑𝑥 ∈ ℝ+) → (∃𝑗 ∈ ℕ ∀𝑘 ∈ (ℤ𝑗)(norm‘((𝐻𝑗) − (𝐻𝑘))) < 𝑥 → ∃𝑗 ∈ ℕ ∀𝑘 ∈ (ℤ𝑗)(norm‘((𝐹𝑗) − (𝐹𝑘))) < 𝑥))
14414, 143mpd 15 . . . 4 ((𝜑𝑥 ∈ ℝ+) → ∃𝑗 ∈ ℕ ∀𝑘 ∈ (ℤ𝑗)(norm‘((𝐹𝑗) − (𝐹𝑘))) < 𝑥)
145144ralrimiva 3179 . . 3 (𝜑 → ∀𝑥 ∈ ℝ+𝑗 ∈ ℕ ∀𝑘 ∈ (ℤ𝑗)(norm‘((𝐹𝑗) − (𝐹𝑘))) < 𝑥)
146 hcau 28888 . . 3 (𝐹 ∈ Cauchy ↔ (𝐹:ℕ⟶ ℋ ∧ ∀𝑥 ∈ ℝ+𝑗 ∈ ℕ ∀𝑘 ∈ (ℤ𝑗)(norm‘((𝐹𝑗) − (𝐹𝑘))) < 𝑥))
14710, 145, 146sylanbrc 583 . 2 (𝜑𝐹 ∈ Cauchy)
148 ax-hcompl 28906 . 2 (𝐹 ∈ Cauchy → ∃𝑥 ∈ ℋ 𝐹𝑣 𝑥)
149 hlimf 28941 . . . . 5 𝑣 :dom ⇝𝑣 ⟶ ℋ
150 ffn 6507 . . . . 5 ( ⇝𝑣 :dom ⇝𝑣 ⟶ ℋ → ⇝𝑣 Fn dom ⇝𝑣 )
151149, 150ax-mp 5 . . . 4 𝑣 Fn dom ⇝𝑣
152 fnbr 6452 . . . 4 (( ⇝𝑣 Fn dom ⇝𝑣𝐹𝑣 𝑥) → 𝐹 ∈ dom ⇝𝑣 )
153151, 152mpan 686 . . 3 (𝐹𝑣 𝑥𝐹 ∈ dom ⇝𝑣 )
154153rexlimivw 3279 . 2 (∃𝑥 ∈ ℋ 𝐹𝑣 𝑥𝐹 ∈ dom ⇝𝑣 )
155147, 148, 1543syl 18 1 (𝜑𝐹 ∈ dom ⇝𝑣 )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wb 207  wa 396   = wceq 1528  wcel 2105  wral 3135  wrex 3136  wss 3933   class class class wbr 5057  cmpt 5137  dom cdm 5548   Fn wfn 6343  wf 6344  cfv 6348  (class class class)co 7145  cr 10524  0cc0 10525   + caddc 10528   < clt 10663  cle 10664  cn 11626  2c2 11680  cuz 12231  +crp 12377  cexp 13417  chba 28623   + cva 28624   ·ih csp 28626  normcno 28627   cmv 28629  Cauchyccauold 28630  𝑣 chli 28631   S csh 28632   C cch 28633  cort 28634   + cph 28635  projcpjh 28641
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1787  ax-4 1801  ax-5 1902  ax-6 1961  ax-7 2006  ax-8 2107  ax-9 2115  ax-10 2136  ax-11 2151  ax-12 2167  ax-ext 2790  ax-rep 5181  ax-sep 5194  ax-nul 5201  ax-pow 5257  ax-pr 5320  ax-un 7450  ax-cnex 10581  ax-resscn 10582  ax-1cn 10583  ax-icn 10584  ax-addcl 10585  ax-addrcl 10586  ax-mulcl 10587  ax-mulrcl 10588  ax-mulcom 10589  ax-addass 10590  ax-mulass 10591  ax-distr 10592  ax-i2m1 10593  ax-1ne0 10594  ax-1rid 10595  ax-rnegex 10596  ax-rrecex 10597  ax-cnre 10598  ax-pre-lttri 10599  ax-pre-lttrn 10600  ax-pre-ltadd 10601  ax-pre-mulgt0 10602  ax-pre-sup 10603  ax-addf 10604  ax-mulf 10605  ax-hilex 28703  ax-hfvadd 28704  ax-hvcom 28705  ax-hvass 28706  ax-hv0cl 28707  ax-hvaddid 28708  ax-hfvmul 28709  ax-hvmulid 28710  ax-hvmulass 28711  ax-hvdistr1 28712  ax-hvdistr2 28713  ax-hvmul0 28714  ax-hfi 28783  ax-his1 28786  ax-his2 28787  ax-his3 28788  ax-his4 28789  ax-hcompl 28906
This theorem depends on definitions:  df-bi 208  df-an 397  df-or 842  df-3or 1080  df-3an 1081  df-tru 1531  df-ex 1772  df-nf 1776  df-sb 2061  df-mo 2615  df-eu 2647  df-clab 2797  df-cleq 2811  df-clel 2890  df-nfc 2960  df-ne 3014  df-nel 3121  df-ral 3140  df-rex 3141  df-reu 3142  df-rmo 3143  df-rab 3144  df-v 3494  df-sbc 3770  df-csb 3881  df-dif 3936  df-un 3938  df-in 3940  df-ss 3949  df-pss 3951  df-nul 4289  df-if 4464  df-pw 4537  df-sn 4558  df-pr 4560  df-tp 4562  df-op 4564  df-uni 4831  df-iun 4912  df-br 5058  df-opab 5120  df-mpt 5138  df-tr 5164  df-id 5453  df-eprel 5458  df-po 5467  df-so 5468  df-fr 5507  df-we 5509  df-xp 5554  df-rel 5555  df-cnv 5556  df-co 5557  df-dm 5558  df-rn 5559  df-res 5560  df-ima 5561  df-pred 6141  df-ord 6187  df-on 6188  df-lim 6189  df-suc 6190  df-iota 6307  df-fun 6350  df-fn 6351  df-f 6352  df-f1 6353  df-fo 6354  df-f1o 6355  df-fv 6356  df-riota 7103  df-ov 7148  df-oprab 7149  df-mpo 7150  df-om 7570  df-1st 7678  df-2nd 7679  df-wrecs 7936  df-recs 7997  df-rdg 8035  df-er 8278  df-map 8397  df-pm 8398  df-en 8498  df-dom 8499  df-sdom 8500  df-sup 8894  df-inf 8895  df-pnf 10665  df-mnf 10666  df-xr 10667  df-ltxr 10668  df-le 10669  df-sub 10860  df-neg 10861  df-div 11286  df-nn 11627  df-2 11688  df-3 11689  df-4 11690  df-n0 11886  df-z 11970  df-uz 12232  df-q 12337  df-rp 12378  df-xneg 12495  df-xadd 12496  df-xmul 12497  df-icc 12733  df-seq 13358  df-exp 13418  df-cj 14446  df-re 14447  df-im 14448  df-sqrt 14582  df-abs 14583  df-topgen 16705  df-psmet 20465  df-xmet 20466  df-met 20467  df-bl 20468  df-mopn 20469  df-top 21430  df-topon 21447  df-bases 21482  df-lm 21765  df-haus 21851  df-cau 23786  df-grpo 28197  df-gid 28198  df-ginv 28199  df-gdiv 28200  df-ablo 28249  df-vc 28263  df-nv 28296  df-va 28299  df-ba 28300  df-sm 28301  df-0v 28302  df-vs 28303  df-nmcv 28304  df-ims 28305  df-hnorm 28672  df-hvsub 28675  df-hlim 28676  df-hcau 28677  df-sh 28911  df-ch 28925  df-oc 28956  df-ch0 28957  df-shs 29012  df-pjh 29099
This theorem is referenced by:  chscllem4  29344
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