Theorem cht1 24691

Description: The Chebyshev function at 1. (Contributed by Mario Carneiro, 22-Sep-2014.)

Assertion

Ref	Expression
cht1	⊢ (θ‘1) = 0

Proof of Theorem cht1

Step	Hyp	Ref	Expression
1		1re 9918	. . 3 ⊢ 1 ∈ ℝ
2		chtval 24636	. . 3 ⊢ (1 ∈ ℝ → (θ‘1) = Σ𝑝 ∈ ((0[,]1) ∩ ℙ)(log‘𝑝))
3	1, 2	ax-mp 5	. 2 ⊢ (θ‘1) = Σ𝑝 ∈ ((0[,]1) ∩ ℙ)(log‘𝑝)
4		ppisval 24630	. . . . 5 ⊢ (1 ∈ ℝ → ((0[,]1) ∩ ℙ) = ((2...(⌊‘1)) ∩ ℙ))
5	1, 4	ax-mp 5	. . . 4 ⊢ ((0[,]1) ∩ ℙ) = ((2...(⌊‘1)) ∩ ℙ)
6		1z 11284	. . . . . . . 8 ⊢ 1 ∈ ℤ
7		flid 12471	. . . . . . . 8 ⊢ (1 ∈ ℤ → (⌊‘1) = 1)
8	6, 7	ax-mp 5	. . . . . . 7 ⊢ (⌊‘1) = 1
9	8	oveq2i 6560	. . . . . 6 ⊢ (2...(⌊‘1)) = (2...1)
10		1lt2 11071	. . . . . . 7 ⊢ 1 < 2
11		2z 11286	. . . . . . . 8 ⊢ 2 ∈ ℤ
12		fzn 12228	. . . . . . . 8 ⊢ ((2 ∈ ℤ ∧ 1 ∈ ℤ) → (1 < 2 ↔ (2...1) = ∅))
13	11, 6, 12	mp2an 704	. . . . . . 7 ⊢ (1 < 2 ↔ (2...1) = ∅)
14	10, 13	mpbi 219	. . . . . 6 ⊢ (2...1) = ∅
15	9, 14	eqtri 2632	. . . . 5 ⊢ (2...(⌊‘1)) = ∅
16	15	ineq1i 3772	. . . 4 ⊢ ((2...(⌊‘1)) ∩ ℙ) = (∅ ∩ ℙ)
17		0in 3921	. . . 4 ⊢ (∅ ∩ ℙ) = ∅
18	5, 16, 17	3eqtri 2636	. . 3 ⊢ ((0[,]1) ∩ ℙ) = ∅
19	18	sumeq1i 14276	. 2 ⊢ Σ𝑝 ∈ ((0[,]1) ∩ ℙ)(log‘𝑝) = Σ𝑝 ∈ ∅ (log‘𝑝)
20		sum0 14299	. 2 ⊢ Σ𝑝 ∈ ∅ (log‘𝑝) = 0
21	3, 19, 20	3eqtri 2636	1 ⊢ (θ‘1) = 0

Syntax hints:   ↔ wb 195   = wceq 1475   ∈ wcel 1977   ∩ cin 3539  ∅c0 3874   class class class wbr 4583  ‘cfv 5804  (class class class)co 6549  ℝcr 9814  0cc0 9815  1c1 9816   < clt 9953  2c2 10947  ℤcz 11254  [,]cicc 12049  ...cfz 12197  ⌊cfl 12453  Σcsu 14264  ℙcprime 15223  logclog 24105  θccht 24617

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1713  ax-4 1728  ax-5 1827  ax-6 1875  ax-7 1922  ax-8 1979  ax-9 1986  ax-10 2006  ax-11 2021  ax-12 2034  ax-13 2234  ax-ext 2590  ax-rep 4699  ax-sep 4709  ax-nul 4717  ax-pow 4769  ax-pr 4833  ax-un 6847  ax-inf2 8421  ax-cnex 9871  ax-resscn 9872  ax-1cn 9873  ax-icn 9874  ax-addcl 9875  ax-addrcl 9876  ax-mulcl 9877  ax-mulrcl 9878  ax-mulcom 9879  ax-addass 9880  ax-mulass 9881  ax-distr 9882  ax-i2m1 9883  ax-1ne0 9884  ax-1rid 9885  ax-rnegex 9886  ax-rrecex 9887  ax-cnre 9888  ax-pre-lttri 9889  ax-pre-lttrn 9890  ax-pre-ltadd 9891  ax-pre-mulgt0 9892  ax-pre-sup 9893

This theorem depends on definitions:  df-bi 196  df-or 384  df-an 385  df-3or 1032  df-3an 1033  df-tru 1478  df-ex 1696  df-nf 1701  df-sb 1868  df-eu 2462  df-mo 2463  df-clab 2597  df-cleq 2603  df-clel 2606  df-nfc 2740  df-ne 2782  df-nel 2783  df-ral 2901  df-rex 2902  df-reu 2903  df-rmo 2904  df-rab 2905  df-v 3175  df-sbc 3403  df-csb 3500  df-dif 3543  df-un 3545  df-in 3547  df-ss 3554  df-pss 3556  df-nul 3875  df-if 4037  df-pw 4110  df-sn 4126  df-pr 4128  df-tp 4130  df-op 4132  df-uni 4373  df-int 4411  df-iun 4457  df-br 4584  df-opab 4644  df-mpt 4645  df-tr 4681  df-eprel 4949  df-id 4953  df-po 4959  df-so 4960  df-fr 4997  df-se 4998  df-we 4999  df-xp 5044  df-rel 5045  df-cnv 5046  df-co 5047  df-dm 5048  df-rn 5049  df-res 5050  df-ima 5051  df-pred 5597  df-ord 5643  df-on 5644  df-lim 5645  df-suc 5646  df-iota 5768  df-fun 5806  df-fn 5807  df-f 5808  df-f1 5809  df-fo 5810  df-f1o 5811  df-fv 5812  df-isom 5813  df-riota 6511  df-ov 6552  df-oprab 6553  df-mpt2 6554  df-om 6958  df-1st 7059  df-2nd 7060  df-wrecs 7294  df-recs 7355  df-rdg 7393  df-1o 7447  df-2o 7448  df-oadd 7451  df-er 7629  df-en 7842  df-dom 7843  df-sdom 7844  df-fin 7845  df-sup 8231  df-inf 8232  df-oi 8298  df-card 8648  df-pnf 9955  df-mnf 9956  df-xr 9957  df-ltxr 9958  df-le 9959  df-sub 10147  df-neg 10148  df-div 10564  df-nn 10898  df-2 10956  df-3 10957  df-n0 11170  df-z 11255  df-uz 11564  df-rp 11709  df-icc 12053  df-fz 12198  df-fzo 12335  df-fl 12455  df-seq 12664  df-exp 12723  df-hash 12980  df-cj 13687  df-re 13688  df-im 13689  df-sqrt 13823  df-abs 13824  df-clim 14067  df-sum 14265  df-dvds 14822  df-prm 15224  df-cht 24623

This theorem is referenced by:  cht2  24698