MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  chto1lb Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem chto1lb 24880
Description: The θ function is lower bounded by a linear term. Corollary of chebbnd1 24874. (Contributed by Mario Carneiro, 8-Apr-2016.)
Assertion
Ref Expression
chto1lb (𝑥 ∈ (2[,)+∞) ↦ (𝑥 / (θ‘𝑥))) ∈ 𝑂(1)

Proof of Theorem chto1lb
StepHypRef Expression
1 ovex 6551 . . . . . 6 (2[,)+∞) ∈ V
21a1i 11 . . . . 5 (⊤ → (2[,)+∞) ∈ V)
3 2re 10933 . . . . . . . . . . . 12 2 ∈ ℝ
4 elicopnf 12092 . . . . . . . . . . . 12 (2 ∈ ℝ → (𝑥 ∈ (2[,)+∞) ↔ (𝑥 ∈ ℝ ∧ 2 ≤ 𝑥)))
53, 4ax-mp 5 . . . . . . . . . . 11 (𝑥 ∈ (2[,)+∞) ↔ (𝑥 ∈ ℝ ∧ 2 ≤ 𝑥))
65biimpi 204 . . . . . . . . . 10 (𝑥 ∈ (2[,)+∞) → (𝑥 ∈ ℝ ∧ 2 ≤ 𝑥))
76simpld 473 . . . . . . . . 9 (𝑥 ∈ (2[,)+∞) → 𝑥 ∈ ℝ)
8 0red 9893 . . . . . . . . . 10 (𝑥 ∈ (2[,)+∞) → 0 ∈ ℝ)
93a1i 11 . . . . . . . . . 10 (𝑥 ∈ (2[,)+∞) → 2 ∈ ℝ)
10 2pos 10955 . . . . . . . . . . 11 0 < 2
1110a1i 11 . . . . . . . . . 10 (𝑥 ∈ (2[,)+∞) → 0 < 2)
126simprd 477 . . . . . . . . . 10 (𝑥 ∈ (2[,)+∞) → 2 ≤ 𝑥)
138, 9, 7, 11, 12ltletrd 10044 . . . . . . . . 9 (𝑥 ∈ (2[,)+∞) → 0 < 𝑥)
147, 13elrpd 11697 . . . . . . . 8 (𝑥 ∈ (2[,)+∞) → 𝑥 ∈ ℝ+)
15 ppinncl 24613 . . . . . . . . . . 11 ((𝑥 ∈ ℝ ∧ 2 ≤ 𝑥) → (π𝑥) ∈ ℕ)
1615nnrpd 11698 . . . . . . . . . 10 ((𝑥 ∈ ℝ ∧ 2 ≤ 𝑥) → (π𝑥) ∈ ℝ+)
176, 16syl 17 . . . . . . . . 9 (𝑥 ∈ (2[,)+∞) → (π𝑥) ∈ ℝ+)
18 1red 9907 . . . . . . . . . . 11 (𝑥 ∈ (2[,)+∞) → 1 ∈ ℝ)
19 1lt2 11037 . . . . . . . . . . . 12 1 < 2
2019a1i 11 . . . . . . . . . . 11 (𝑥 ∈ (2[,)+∞) → 1 < 2)
2118, 9, 7, 20, 12ltletrd 10044 . . . . . . . . . 10 (𝑥 ∈ (2[,)+∞) → 1 < 𝑥)
227, 21rplogcld 24092 . . . . . . . . 9 (𝑥 ∈ (2[,)+∞) → (log‘𝑥) ∈ ℝ+)
2317, 22rpmulcld 11716 . . . . . . . 8 (𝑥 ∈ (2[,)+∞) → ((π𝑥) · (log‘𝑥)) ∈ ℝ+)
2414, 23rpdivcld 11717 . . . . . . 7 (𝑥 ∈ (2[,)+∞) → (𝑥 / ((π𝑥) · (log‘𝑥))) ∈ ℝ+)
2524rpcnd 11702 . . . . . 6 (𝑥 ∈ (2[,)+∞) → (𝑥 / ((π𝑥) · (log‘𝑥))) ∈ ℂ)
2625adantl 480 . . . . 5 ((⊤ ∧ 𝑥 ∈ (2[,)+∞)) → (𝑥 / ((π𝑥) · (log‘𝑥))) ∈ ℂ)
27 chtrpcl 24614 . . . . . . . . 9 ((𝑥 ∈ ℝ ∧ 2 ≤ 𝑥) → (θ‘𝑥) ∈ ℝ+)
286, 27syl 17 . . . . . . . 8 (𝑥 ∈ (2[,)+∞) → (θ‘𝑥) ∈ ℝ+)
2923, 28rpdivcld 11717 . . . . . . 7 (𝑥 ∈ (2[,)+∞) → (((π𝑥) · (log‘𝑥)) / (θ‘𝑥)) ∈ ℝ+)
3029rpcnd 11702 . . . . . 6 (𝑥 ∈ (2[,)+∞) → (((π𝑥) · (log‘𝑥)) / (θ‘𝑥)) ∈ ℂ)
3130adantl 480 . . . . 5 ((⊤ ∧ 𝑥 ∈ (2[,)+∞)) → (((π𝑥) · (log‘𝑥)) / (θ‘𝑥)) ∈ ℂ)
327recnd 9920 . . . . . . . . 9 (𝑥 ∈ (2[,)+∞) → 𝑥 ∈ ℂ)
3322rpcnd 11702 . . . . . . . . 9 (𝑥 ∈ (2[,)+∞) → (log‘𝑥) ∈ ℂ)
3417rpcnd 11702 . . . . . . . . 9 (𝑥 ∈ (2[,)+∞) → (π𝑥) ∈ ℂ)
3522rpne0d 11705 . . . . . . . . 9 (𝑥 ∈ (2[,)+∞) → (log‘𝑥) ≠ 0)
3617rpne0d 11705 . . . . . . . . 9 (𝑥 ∈ (2[,)+∞) → (π𝑥) ≠ 0)
3732, 33, 34, 35, 36divdiv1d 10677 . . . . . . . 8 (𝑥 ∈ (2[,)+∞) → ((𝑥 / (log‘𝑥)) / (π𝑥)) = (𝑥 / ((log‘𝑥) · (π𝑥))))
3833, 34mulcomd 9913 . . . . . . . . 9 (𝑥 ∈ (2[,)+∞) → ((log‘𝑥) · (π𝑥)) = ((π𝑥) · (log‘𝑥)))
3938oveq2d 6539 . . . . . . . 8 (𝑥 ∈ (2[,)+∞) → (𝑥 / ((log‘𝑥) · (π𝑥))) = (𝑥 / ((π𝑥) · (log‘𝑥))))
4037, 39eqtrd 2639 . . . . . . 7 (𝑥 ∈ (2[,)+∞) → ((𝑥 / (log‘𝑥)) / (π𝑥)) = (𝑥 / ((π𝑥) · (log‘𝑥))))
4140mpteq2ia 4658 . . . . . 6 (𝑥 ∈ (2[,)+∞) ↦ ((𝑥 / (log‘𝑥)) / (π𝑥))) = (𝑥 ∈ (2[,)+∞) ↦ (𝑥 / ((π𝑥) · (log‘𝑥))))
4241a1i 11 . . . . 5 (⊤ → (𝑥 ∈ (2[,)+∞) ↦ ((𝑥 / (log‘𝑥)) / (π𝑥))) = (𝑥 ∈ (2[,)+∞) ↦ (𝑥 / ((π𝑥) · (log‘𝑥)))))
4328rpcnd 11702 . . . . . . . 8 (𝑥 ∈ (2[,)+∞) → (θ‘𝑥) ∈ ℂ)
4423rpcnd 11702 . . . . . . . 8 (𝑥 ∈ (2[,)+∞) → ((π𝑥) · (log‘𝑥)) ∈ ℂ)
4528rpne0d 11705 . . . . . . . 8 (𝑥 ∈ (2[,)+∞) → (θ‘𝑥) ≠ 0)
4623rpne0d 11705 . . . . . . . 8 (𝑥 ∈ (2[,)+∞) → ((π𝑥) · (log‘𝑥)) ≠ 0)
4743, 44, 45, 46recdivd 10663 . . . . . . 7 (𝑥 ∈ (2[,)+∞) → (1 / ((θ‘𝑥) / ((π𝑥) · (log‘𝑥)))) = (((π𝑥) · (log‘𝑥)) / (θ‘𝑥)))
4847mpteq2ia 4658 . . . . . 6 (𝑥 ∈ (2[,)+∞) ↦ (1 / ((θ‘𝑥) / ((π𝑥) · (log‘𝑥))))) = (𝑥 ∈ (2[,)+∞) ↦ (((π𝑥) · (log‘𝑥)) / (θ‘𝑥)))
4948a1i 11 . . . . 5 (⊤ → (𝑥 ∈ (2[,)+∞) ↦ (1 / ((θ‘𝑥) / ((π𝑥) · (log‘𝑥))))) = (𝑥 ∈ (2[,)+∞) ↦ (((π𝑥) · (log‘𝑥)) / (θ‘𝑥))))
502, 26, 31, 42, 49offval2 6785 . . . 4 (⊤ → ((𝑥 ∈ (2[,)+∞) ↦ ((𝑥 / (log‘𝑥)) / (π𝑥))) ∘𝑓 · (𝑥 ∈ (2[,)+∞) ↦ (1 / ((θ‘𝑥) / ((π𝑥) · (log‘𝑥)))))) = (𝑥 ∈ (2[,)+∞) ↦ ((𝑥 / ((π𝑥) · (log‘𝑥))) · (((π𝑥) · (log‘𝑥)) / (θ‘𝑥)))))
5132, 44, 43, 46, 45dmdcan2d 10676 . . . . 5 (𝑥 ∈ (2[,)+∞) → ((𝑥 / ((π𝑥) · (log‘𝑥))) · (((π𝑥) · (log‘𝑥)) / (θ‘𝑥))) = (𝑥 / (θ‘𝑥)))
5251mpteq2ia 4658 . . . 4 (𝑥 ∈ (2[,)+∞) ↦ ((𝑥 / ((π𝑥) · (log‘𝑥))) · (((π𝑥) · (log‘𝑥)) / (θ‘𝑥)))) = (𝑥 ∈ (2[,)+∞) ↦ (𝑥 / (θ‘𝑥)))
5350, 52syl6eq 2655 . . 3 (⊤ → ((𝑥 ∈ (2[,)+∞) ↦ ((𝑥 / (log‘𝑥)) / (π𝑥))) ∘𝑓 · (𝑥 ∈ (2[,)+∞) ↦ (1 / ((θ‘𝑥) / ((π𝑥) · (log‘𝑥)))))) = (𝑥 ∈ (2[,)+∞) ↦ (𝑥 / (θ‘𝑥))))
54 chebbnd1 24874 . . . 4 (𝑥 ∈ (2[,)+∞) ↦ ((𝑥 / (log‘𝑥)) / (π𝑥))) ∈ 𝑂(1)
55 ax-1cn 9846 . . . . . . 7 1 ∈ ℂ
5655a1i 11 . . . . . 6 ((⊤ ∧ 𝑥 ∈ (2[,)+∞)) → 1 ∈ ℂ)
5728, 23rpdivcld 11717 . . . . . . . 8 (𝑥 ∈ (2[,)+∞) → ((θ‘𝑥) / ((π𝑥) · (log‘𝑥))) ∈ ℝ+)
5857adantl 480 . . . . . . 7 ((⊤ ∧ 𝑥 ∈ (2[,)+∞)) → ((θ‘𝑥) / ((π𝑥) · (log‘𝑥))) ∈ ℝ+)
5958rpcnd 11702 . . . . . 6 ((⊤ ∧ 𝑥 ∈ (2[,)+∞)) → ((θ‘𝑥) / ((π𝑥) · (log‘𝑥))) ∈ ℂ)
607ssriv 3567 . . . . . . . 8 (2[,)+∞) ⊆ ℝ
61 rlimconst 14065 . . . . . . . 8 (((2[,)+∞) ⊆ ℝ ∧ 1 ∈ ℂ) → (𝑥 ∈ (2[,)+∞) ↦ 1) ⇝𝑟 1)
6260, 55, 61mp2an 703 . . . . . . 7 (𝑥 ∈ (2[,)+∞) ↦ 1) ⇝𝑟 1
6362a1i 11 . . . . . 6 (⊤ → (𝑥 ∈ (2[,)+∞) ↦ 1) ⇝𝑟 1)
64 chtppilim 24877 . . . . . . 7 (𝑥 ∈ (2[,)+∞) ↦ ((θ‘𝑥) / ((π𝑥) · (log‘𝑥)))) ⇝𝑟 1
6564a1i 11 . . . . . 6 (⊤ → (𝑥 ∈ (2[,)+∞) ↦ ((θ‘𝑥) / ((π𝑥) · (log‘𝑥)))) ⇝𝑟 1)
66 ax-1ne0 9857 . . . . . . 7 1 ≠ 0
6766a1i 11 . . . . . 6 (⊤ → 1 ≠ 0)
6857rpne0d 11705 . . . . . . 7 (𝑥 ∈ (2[,)+∞) → ((θ‘𝑥) / ((π𝑥) · (log‘𝑥))) ≠ 0)
6968adantl 480 . . . . . 6 ((⊤ ∧ 𝑥 ∈ (2[,)+∞)) → ((θ‘𝑥) / ((π𝑥) · (log‘𝑥))) ≠ 0)
7056, 59, 63, 65, 67, 69rlimdiv 14166 . . . . 5 (⊤ → (𝑥 ∈ (2[,)+∞) ↦ (1 / ((θ‘𝑥) / ((π𝑥) · (log‘𝑥))))) ⇝𝑟 (1 / 1))
71 rlimo1 14137 . . . . 5 ((𝑥 ∈ (2[,)+∞) ↦ (1 / ((θ‘𝑥) / ((π𝑥) · (log‘𝑥))))) ⇝𝑟 (1 / 1) → (𝑥 ∈ (2[,)+∞) ↦ (1 / ((θ‘𝑥) / ((π𝑥) · (log‘𝑥))))) ∈ 𝑂(1))
7270, 71syl 17 . . . 4 (⊤ → (𝑥 ∈ (2[,)+∞) ↦ (1 / ((θ‘𝑥) / ((π𝑥) · (log‘𝑥))))) ∈ 𝑂(1))
73 o1mul 14135 . . . 4 (((𝑥 ∈ (2[,)+∞) ↦ ((𝑥 / (log‘𝑥)) / (π𝑥))) ∈ 𝑂(1) ∧ (𝑥 ∈ (2[,)+∞) ↦ (1 / ((θ‘𝑥) / ((π𝑥) · (log‘𝑥))))) ∈ 𝑂(1)) → ((𝑥 ∈ (2[,)+∞) ↦ ((𝑥 / (log‘𝑥)) / (π𝑥))) ∘𝑓 · (𝑥 ∈ (2[,)+∞) ↦ (1 / ((θ‘𝑥) / ((π𝑥) · (log‘𝑥)))))) ∈ 𝑂(1))
7454, 72, 73sylancr 693 . . 3 (⊤ → ((𝑥 ∈ (2[,)+∞) ↦ ((𝑥 / (log‘𝑥)) / (π𝑥))) ∘𝑓 · (𝑥 ∈ (2[,)+∞) ↦ (1 / ((θ‘𝑥) / ((π𝑥) · (log‘𝑥)))))) ∈ 𝑂(1))
7553, 74eqeltrrd 2684 . 2 (⊤ → (𝑥 ∈ (2[,)+∞) ↦ (𝑥 / (θ‘𝑥))) ∈ 𝑂(1))
7675trud 1483 1 (𝑥 ∈ (2[,)+∞) ↦ (𝑥 / (θ‘𝑥))) ∈ 𝑂(1)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wb 194  wa 382   = wceq 1474  wtru 1475  wcel 1975  wne 2775  Vcvv 3168  wss 3535   class class class wbr 4573  cmpt 4633  cfv 5786  (class class class)co 6523  𝑓 cof 6766  cc 9786  cr 9787  0cc0 9788  1c1 9789   · cmul 9793  +∞cpnf 9923   < clt 9926  cle 9927   / cdiv 10529  2c2 10913  +crp 11660  [,)cico 12000  𝑟 crli 14006  𝑂(1)co1 14007  logclog 24018  θccht 24530  πcppi 24533
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1711  ax-4 1726  ax-5 1825  ax-6 1873  ax-7 1920  ax-8 1977  ax-9 1984  ax-10 2004  ax-11 2019  ax-12 2031  ax-13 2228  ax-ext 2585  ax-rep 4689  ax-sep 4699  ax-nul 4708  ax-pow 4760  ax-pr 4824  ax-un 6820  ax-inf2 8394  ax-cnex 9844  ax-resscn 9845  ax-1cn 9846  ax-icn 9847  ax-addcl 9848  ax-addrcl 9849  ax-mulcl 9850  ax-mulrcl 9851  ax-mulcom 9852  ax-addass 9853  ax-mulass 9854  ax-distr 9855  ax-i2m1 9856  ax-1ne0 9857  ax-1rid 9858  ax-rnegex 9859  ax-rrecex 9860  ax-cnre 9861  ax-pre-lttri 9862  ax-pre-lttrn 9863  ax-pre-ltadd 9864  ax-pre-mulgt0 9865  ax-pre-sup 9866  ax-addf 9867  ax-mulf 9868
This theorem depends on definitions:  df-bi 195  df-or 383  df-an 384  df-3or 1031  df-3an 1032  df-tru 1477  df-fal 1480  df-ex 1695  df-nf 1700  df-sb 1866  df-eu 2457  df-mo 2458  df-clab 2592  df-cleq 2598  df-clel 2601  df-nfc 2735  df-ne 2777  df-nel 2778  df-ral 2896  df-rex 2897  df-reu 2898  df-rmo 2899  df-rab 2900  df-v 3170  df-sbc 3398  df-csb 3495  df-dif 3538  df-un 3540  df-in 3542  df-ss 3549  df-pss 3551  df-nul 3870  df-if 4032  df-pw 4105  df-sn 4121  df-pr 4123  df-tp 4125  df-op 4127  df-uni 4363  df-int 4401  df-iun 4447  df-iin 4448  df-br 4574  df-opab 4634  df-mpt 4635  df-tr 4671  df-eprel 4935  df-id 4939  df-po 4945  df-so 4946  df-fr 4983  df-se 4984  df-we 4985  df-xp 5030  df-rel 5031  df-cnv 5032  df-co 5033  df-dm 5034  df-rn 5035  df-res 5036  df-ima 5037  df-pred 5579  df-ord 5625  df-on 5626  df-lim 5627  df-suc 5628  df-iota 5750  df-fun 5788  df-fn 5789  df-f 5790  df-f1 5791  df-fo 5792  df-f1o 5793  df-fv 5794  df-isom 5795  df-riota 6485  df-ov 6526  df-oprab 6527  df-mpt2 6528  df-of 6768  df-om 6931  df-1st 7032  df-2nd 7033  df-supp 7156  df-wrecs 7267  df-recs 7328  df-rdg 7366  df-1o 7420  df-2o 7421  df-oadd 7424  df-er 7602  df-map 7719  df-pm 7720  df-ixp 7768  df-en 7815  df-dom 7816  df-sdom 7817  df-fin 7818  df-fsupp 8132  df-fi 8173  df-sup 8204  df-inf 8205  df-oi 8271  df-card 8621  df-cda 8846  df-pnf 9928  df-mnf 9929  df-xr 9930  df-ltxr 9931  df-le 9932  df-sub 10115  df-neg 10116  df-div 10530  df-nn 10864  df-2 10922  df-3 10923  df-4 10924  df-5 10925  df-6 10926  df-7 10927  df-8 10928  df-9 10929  df-n0 11136  df-z 11207  df-dec 11322  df-uz 11516  df-q 11617  df-rp 11661  df-xneg 11774  df-xadd 11775  df-xmul 11776  df-ioo 12002  df-ioc 12003  df-ico 12004  df-icc 12005  df-fz 12149  df-fzo 12286  df-fl 12406  df-mod 12482  df-seq 12615  df-exp 12674  df-fac 12874  df-bc 12903  df-hash 12931  df-shft 13597  df-cj 13629  df-re 13630  df-im 13631  df-sqrt 13765  df-abs 13766  df-limsup 13992  df-clim 14009  df-rlim 14010  df-o1 14011  df-lo1 14012  df-sum 14207  df-ef 14579  df-e 14580  df-sin 14581  df-cos 14582  df-pi 14584  df-dvds 14764  df-gcd 14997  df-prm 15166  df-pc 15322  df-struct 15639  df-ndx 15640  df-slot 15641  df-base 15642  df-sets 15643  df-ress 15644  df-plusg 15723  df-mulr 15724  df-starv 15725  df-sca 15726  df-vsca 15727  df-ip 15728  df-tset 15729  df-ple 15730  df-ds 15733  df-unif 15734  df-hom 15735  df-cco 15736  df-rest 15848  df-topn 15849  df-0g 15867  df-gsum 15868  df-topgen 15869  df-pt 15870  df-prds 15873  df-xrs 15927  df-qtop 15932  df-imas 15933  df-xps 15935  df-mre 16011  df-mrc 16012  df-acs 16014  df-mgm 17007  df-sgrp 17049  df-mnd 17060  df-submnd 17101  df-mulg 17306  df-cntz 17515  df-cmn 17960  df-psmet 19501  df-xmet 19502  df-met 19503  df-bl 19504  df-mopn 19505  df-fbas 19506  df-fg 19507  df-cnfld 19510  df-top 20459  df-bases 20460  df-topon 20461  df-topsp 20462  df-cld 20571  df-ntr 20572  df-cls 20573  df-nei 20650  df-lp 20688  df-perf 20689  df-cn 20779  df-cnp 20780  df-haus 20867  df-tx 21113  df-hmeo 21306  df-fil 21398  df-fm 21490  df-flim 21491  df-flf 21492  df-xms 21872  df-ms 21873  df-tms 21874  df-cncf 22416  df-limc 23349  df-dv 23350  df-log 24020  df-cxp 24021  df-cht 24536  df-ppi 24539
This theorem is referenced by:  chpchtlim  24881
  Copyright terms: Public domain W3C validator