MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  chto1lb Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem chto1lb 25212
Description: The θ function is lower bounded by a linear term. Corollary of chebbnd1 25206. (Contributed by Mario Carneiro, 8-Apr-2016.)
Assertion
Ref Expression
chto1lb (𝑥 ∈ (2[,)+∞) ↦ (𝑥 / (θ‘𝑥))) ∈ 𝑂(1)

Proof of Theorem chto1lb
StepHypRef Expression
1 ovexd 6720 . . . . 5 (⊤ → (2[,)+∞) ∈ V)
2 2re 11128 . . . . . . . . . . . 12 2 ∈ ℝ
3 elicopnf 12307 . . . . . . . . . . . 12 (2 ∈ ℝ → (𝑥 ∈ (2[,)+∞) ↔ (𝑥 ∈ ℝ ∧ 2 ≤ 𝑥)))
42, 3ax-mp 5 . . . . . . . . . . 11 (𝑥 ∈ (2[,)+∞) ↔ (𝑥 ∈ ℝ ∧ 2 ≤ 𝑥))
54biimpi 206 . . . . . . . . . 10 (𝑥 ∈ (2[,)+∞) → (𝑥 ∈ ℝ ∧ 2 ≤ 𝑥))
65simpld 474 . . . . . . . . 9 (𝑥 ∈ (2[,)+∞) → 𝑥 ∈ ℝ)
7 0red 10079 . . . . . . . . . 10 (𝑥 ∈ (2[,)+∞) → 0 ∈ ℝ)
82a1i 11 . . . . . . . . . 10 (𝑥 ∈ (2[,)+∞) → 2 ∈ ℝ)
9 2pos 11150 . . . . . . . . . . 11 0 < 2
109a1i 11 . . . . . . . . . 10 (𝑥 ∈ (2[,)+∞) → 0 < 2)
115simprd 478 . . . . . . . . . 10 (𝑥 ∈ (2[,)+∞) → 2 ≤ 𝑥)
127, 8, 6, 10, 11ltletrd 10235 . . . . . . . . 9 (𝑥 ∈ (2[,)+∞) → 0 < 𝑥)
136, 12elrpd 11907 . . . . . . . 8 (𝑥 ∈ (2[,)+∞) → 𝑥 ∈ ℝ+)
14 ppinncl 24945 . . . . . . . . . . 11 ((𝑥 ∈ ℝ ∧ 2 ≤ 𝑥) → (π𝑥) ∈ ℕ)
1514nnrpd 11908 . . . . . . . . . 10 ((𝑥 ∈ ℝ ∧ 2 ≤ 𝑥) → (π𝑥) ∈ ℝ+)
165, 15syl 17 . . . . . . . . 9 (𝑥 ∈ (2[,)+∞) → (π𝑥) ∈ ℝ+)
17 1red 10093 . . . . . . . . . . 11 (𝑥 ∈ (2[,)+∞) → 1 ∈ ℝ)
18 1lt2 11232 . . . . . . . . . . . 12 1 < 2
1918a1i 11 . . . . . . . . . . 11 (𝑥 ∈ (2[,)+∞) → 1 < 2)
2017, 8, 6, 19, 11ltletrd 10235 . . . . . . . . . 10 (𝑥 ∈ (2[,)+∞) → 1 < 𝑥)
216, 20rplogcld 24420 . . . . . . . . 9 (𝑥 ∈ (2[,)+∞) → (log‘𝑥) ∈ ℝ+)
2216, 21rpmulcld 11926 . . . . . . . 8 (𝑥 ∈ (2[,)+∞) → ((π𝑥) · (log‘𝑥)) ∈ ℝ+)
2313, 22rpdivcld 11927 . . . . . . 7 (𝑥 ∈ (2[,)+∞) → (𝑥 / ((π𝑥) · (log‘𝑥))) ∈ ℝ+)
2423rpcnd 11912 . . . . . 6 (𝑥 ∈ (2[,)+∞) → (𝑥 / ((π𝑥) · (log‘𝑥))) ∈ ℂ)
2524adantl 481 . . . . 5 ((⊤ ∧ 𝑥 ∈ (2[,)+∞)) → (𝑥 / ((π𝑥) · (log‘𝑥))) ∈ ℂ)
26 chtrpcl 24946 . . . . . . . . 9 ((𝑥 ∈ ℝ ∧ 2 ≤ 𝑥) → (θ‘𝑥) ∈ ℝ+)
275, 26syl 17 . . . . . . . 8 (𝑥 ∈ (2[,)+∞) → (θ‘𝑥) ∈ ℝ+)
2822, 27rpdivcld 11927 . . . . . . 7 (𝑥 ∈ (2[,)+∞) → (((π𝑥) · (log‘𝑥)) / (θ‘𝑥)) ∈ ℝ+)
2928rpcnd 11912 . . . . . 6 (𝑥 ∈ (2[,)+∞) → (((π𝑥) · (log‘𝑥)) / (θ‘𝑥)) ∈ ℂ)
3029adantl 481 . . . . 5 ((⊤ ∧ 𝑥 ∈ (2[,)+∞)) → (((π𝑥) · (log‘𝑥)) / (θ‘𝑥)) ∈ ℂ)
316recnd 10106 . . . . . . . . 9 (𝑥 ∈ (2[,)+∞) → 𝑥 ∈ ℂ)
3221rpcnd 11912 . . . . . . . . 9 (𝑥 ∈ (2[,)+∞) → (log‘𝑥) ∈ ℂ)
3316rpcnd 11912 . . . . . . . . 9 (𝑥 ∈ (2[,)+∞) → (π𝑥) ∈ ℂ)
3421rpne0d 11915 . . . . . . . . 9 (𝑥 ∈ (2[,)+∞) → (log‘𝑥) ≠ 0)
3516rpne0d 11915 . . . . . . . . 9 (𝑥 ∈ (2[,)+∞) → (π𝑥) ≠ 0)
3631, 32, 33, 34, 35divdiv1d 10870 . . . . . . . 8 (𝑥 ∈ (2[,)+∞) → ((𝑥 / (log‘𝑥)) / (π𝑥)) = (𝑥 / ((log‘𝑥) · (π𝑥))))
3732, 33mulcomd 10099 . . . . . . . . 9 (𝑥 ∈ (2[,)+∞) → ((log‘𝑥) · (π𝑥)) = ((π𝑥) · (log‘𝑥)))
3837oveq2d 6706 . . . . . . . 8 (𝑥 ∈ (2[,)+∞) → (𝑥 / ((log‘𝑥) · (π𝑥))) = (𝑥 / ((π𝑥) · (log‘𝑥))))
3936, 38eqtrd 2685 . . . . . . 7 (𝑥 ∈ (2[,)+∞) → ((𝑥 / (log‘𝑥)) / (π𝑥)) = (𝑥 / ((π𝑥) · (log‘𝑥))))
4039mpteq2ia 4773 . . . . . 6 (𝑥 ∈ (2[,)+∞) ↦ ((𝑥 / (log‘𝑥)) / (π𝑥))) = (𝑥 ∈ (2[,)+∞) ↦ (𝑥 / ((π𝑥) · (log‘𝑥))))
4140a1i 11 . . . . 5 (⊤ → (𝑥 ∈ (2[,)+∞) ↦ ((𝑥 / (log‘𝑥)) / (π𝑥))) = (𝑥 ∈ (2[,)+∞) ↦ (𝑥 / ((π𝑥) · (log‘𝑥)))))
4227rpcnd 11912 . . . . . . . 8 (𝑥 ∈ (2[,)+∞) → (θ‘𝑥) ∈ ℂ)
4322rpcnd 11912 . . . . . . . 8 (𝑥 ∈ (2[,)+∞) → ((π𝑥) · (log‘𝑥)) ∈ ℂ)
4427rpne0d 11915 . . . . . . . 8 (𝑥 ∈ (2[,)+∞) → (θ‘𝑥) ≠ 0)
4522rpne0d 11915 . . . . . . . 8 (𝑥 ∈ (2[,)+∞) → ((π𝑥) · (log‘𝑥)) ≠ 0)
4642, 43, 44, 45recdivd 10856 . . . . . . 7 (𝑥 ∈ (2[,)+∞) → (1 / ((θ‘𝑥) / ((π𝑥) · (log‘𝑥)))) = (((π𝑥) · (log‘𝑥)) / (θ‘𝑥)))
4746mpteq2ia 4773 . . . . . 6 (𝑥 ∈ (2[,)+∞) ↦ (1 / ((θ‘𝑥) / ((π𝑥) · (log‘𝑥))))) = (𝑥 ∈ (2[,)+∞) ↦ (((π𝑥) · (log‘𝑥)) / (θ‘𝑥)))
4847a1i 11 . . . . 5 (⊤ → (𝑥 ∈ (2[,)+∞) ↦ (1 / ((θ‘𝑥) / ((π𝑥) · (log‘𝑥))))) = (𝑥 ∈ (2[,)+∞) ↦ (((π𝑥) · (log‘𝑥)) / (θ‘𝑥))))
491, 25, 30, 41, 48offval2 6956 . . . 4 (⊤ → ((𝑥 ∈ (2[,)+∞) ↦ ((𝑥 / (log‘𝑥)) / (π𝑥))) ∘𝑓 · (𝑥 ∈ (2[,)+∞) ↦ (1 / ((θ‘𝑥) / ((π𝑥) · (log‘𝑥)))))) = (𝑥 ∈ (2[,)+∞) ↦ ((𝑥 / ((π𝑥) · (log‘𝑥))) · (((π𝑥) · (log‘𝑥)) / (θ‘𝑥)))))
5031, 43, 42, 45, 44dmdcan2d 10869 . . . . 5 (𝑥 ∈ (2[,)+∞) → ((𝑥 / ((π𝑥) · (log‘𝑥))) · (((π𝑥) · (log‘𝑥)) / (θ‘𝑥))) = (𝑥 / (θ‘𝑥)))
5150mpteq2ia 4773 . . . 4 (𝑥 ∈ (2[,)+∞) ↦ ((𝑥 / ((π𝑥) · (log‘𝑥))) · (((π𝑥) · (log‘𝑥)) / (θ‘𝑥)))) = (𝑥 ∈ (2[,)+∞) ↦ (𝑥 / (θ‘𝑥)))
5249, 51syl6eq 2701 . . 3 (⊤ → ((𝑥 ∈ (2[,)+∞) ↦ ((𝑥 / (log‘𝑥)) / (π𝑥))) ∘𝑓 · (𝑥 ∈ (2[,)+∞) ↦ (1 / ((θ‘𝑥) / ((π𝑥) · (log‘𝑥)))))) = (𝑥 ∈ (2[,)+∞) ↦ (𝑥 / (θ‘𝑥))))
53 chebbnd1 25206 . . . 4 (𝑥 ∈ (2[,)+∞) ↦ ((𝑥 / (log‘𝑥)) / (π𝑥))) ∈ 𝑂(1)
54 ax-1cn 10032 . . . . . . 7 1 ∈ ℂ
5554a1i 11 . . . . . 6 ((⊤ ∧ 𝑥 ∈ (2[,)+∞)) → 1 ∈ ℂ)
5627, 22rpdivcld 11927 . . . . . . . 8 (𝑥 ∈ (2[,)+∞) → ((θ‘𝑥) / ((π𝑥) · (log‘𝑥))) ∈ ℝ+)
5756adantl 481 . . . . . . 7 ((⊤ ∧ 𝑥 ∈ (2[,)+∞)) → ((θ‘𝑥) / ((π𝑥) · (log‘𝑥))) ∈ ℝ+)
5857rpcnd 11912 . . . . . 6 ((⊤ ∧ 𝑥 ∈ (2[,)+∞)) → ((θ‘𝑥) / ((π𝑥) · (log‘𝑥))) ∈ ℂ)
596ssriv 3640 . . . . . . . 8 (2[,)+∞) ⊆ ℝ
60 rlimconst 14319 . . . . . . . 8 (((2[,)+∞) ⊆ ℝ ∧ 1 ∈ ℂ) → (𝑥 ∈ (2[,)+∞) ↦ 1) ⇝𝑟 1)
6159, 54, 60mp2an 708 . . . . . . 7 (𝑥 ∈ (2[,)+∞) ↦ 1) ⇝𝑟 1
6261a1i 11 . . . . . 6 (⊤ → (𝑥 ∈ (2[,)+∞) ↦ 1) ⇝𝑟 1)
63 chtppilim 25209 . . . . . . 7 (𝑥 ∈ (2[,)+∞) ↦ ((θ‘𝑥) / ((π𝑥) · (log‘𝑥)))) ⇝𝑟 1
6463a1i 11 . . . . . 6 (⊤ → (𝑥 ∈ (2[,)+∞) ↦ ((θ‘𝑥) / ((π𝑥) · (log‘𝑥)))) ⇝𝑟 1)
65 ax-1ne0 10043 . . . . . . 7 1 ≠ 0
6665a1i 11 . . . . . 6 (⊤ → 1 ≠ 0)
6756rpne0d 11915 . . . . . . 7 (𝑥 ∈ (2[,)+∞) → ((θ‘𝑥) / ((π𝑥) · (log‘𝑥))) ≠ 0)
6867adantl 481 . . . . . 6 ((⊤ ∧ 𝑥 ∈ (2[,)+∞)) → ((θ‘𝑥) / ((π𝑥) · (log‘𝑥))) ≠ 0)
6955, 58, 62, 64, 66, 68rlimdiv 14420 . . . . 5 (⊤ → (𝑥 ∈ (2[,)+∞) ↦ (1 / ((θ‘𝑥) / ((π𝑥) · (log‘𝑥))))) ⇝𝑟 (1 / 1))
70 rlimo1 14391 . . . . 5 ((𝑥 ∈ (2[,)+∞) ↦ (1 / ((θ‘𝑥) / ((π𝑥) · (log‘𝑥))))) ⇝𝑟 (1 / 1) → (𝑥 ∈ (2[,)+∞) ↦ (1 / ((θ‘𝑥) / ((π𝑥) · (log‘𝑥))))) ∈ 𝑂(1))
7169, 70syl 17 . . . 4 (⊤ → (𝑥 ∈ (2[,)+∞) ↦ (1 / ((θ‘𝑥) / ((π𝑥) · (log‘𝑥))))) ∈ 𝑂(1))
72 o1mul 14389 . . . 4 (((𝑥 ∈ (2[,)+∞) ↦ ((𝑥 / (log‘𝑥)) / (π𝑥))) ∈ 𝑂(1) ∧ (𝑥 ∈ (2[,)+∞) ↦ (1 / ((θ‘𝑥) / ((π𝑥) · (log‘𝑥))))) ∈ 𝑂(1)) → ((𝑥 ∈ (2[,)+∞) ↦ ((𝑥 / (log‘𝑥)) / (π𝑥))) ∘𝑓 · (𝑥 ∈ (2[,)+∞) ↦ (1 / ((θ‘𝑥) / ((π𝑥) · (log‘𝑥)))))) ∈ 𝑂(1))
7353, 71, 72sylancr 696 . . 3 (⊤ → ((𝑥 ∈ (2[,)+∞) ↦ ((𝑥 / (log‘𝑥)) / (π𝑥))) ∘𝑓 · (𝑥 ∈ (2[,)+∞) ↦ (1 / ((θ‘𝑥) / ((π𝑥) · (log‘𝑥)))))) ∈ 𝑂(1))
7452, 73eqeltrrd 2731 . 2 (⊤ → (𝑥 ∈ (2[,)+∞) ↦ (𝑥 / (θ‘𝑥))) ∈ 𝑂(1))
7574trud 1533 1 (𝑥 ∈ (2[,)+∞) ↦ (𝑥 / (θ‘𝑥))) ∈ 𝑂(1)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wb 196  wa 383   = wceq 1523  wtru 1524  wcel 2030  wne 2823  Vcvv 3231  wss 3607   class class class wbr 4685  cmpt 4762  cfv 5926  (class class class)co 6690  𝑓 cof 6937  cc 9972  cr 9973  0cc0 9974  1c1 9975   · cmul 9979  +∞cpnf 10109   < clt 10112  cle 10113   / cdiv 10722  2c2 11108  +crp 11870  [,)cico 12215  𝑟 crli 14260  𝑂(1)co1 14261  logclog 24346  θccht 24862  πcppi 24865
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1762  ax-4 1777  ax-5 1879  ax-6 1945  ax-7 1981  ax-8 2032  ax-9 2039  ax-10 2059  ax-11 2074  ax-12 2087  ax-13 2282  ax-ext 2631  ax-rep 4804  ax-sep 4814  ax-nul 4822  ax-pow 4873  ax-pr 4936  ax-un 6991  ax-inf2 8576  ax-cnex 10030  ax-resscn 10031  ax-1cn 10032  ax-icn 10033  ax-addcl 10034  ax-addrcl 10035  ax-mulcl 10036  ax-mulrcl 10037  ax-mulcom 10038  ax-addass 10039  ax-mulass 10040  ax-distr 10041  ax-i2m1 10042  ax-1ne0 10043  ax-1rid 10044  ax-rnegex 10045  ax-rrecex 10046  ax-cnre 10047  ax-pre-lttri 10048  ax-pre-lttrn 10049  ax-pre-ltadd 10050  ax-pre-mulgt0 10051  ax-pre-sup 10052  ax-addf 10053  ax-mulf 10054
This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 384  df-an 385  df-3or 1055  df-3an 1056  df-tru 1526  df-fal 1529  df-ex 1745  df-nf 1750  df-sb 1938  df-eu 2502  df-mo 2503  df-clab 2638  df-cleq 2644  df-clel 2647  df-nfc 2782  df-ne 2824  df-nel 2927  df-ral 2946  df-rex 2947  df-reu 2948  df-rmo 2949  df-rab 2950  df-v 3233  df-sbc 3469  df-csb 3567  df-dif 3610  df-un 3612  df-in 3614  df-ss 3621  df-pss 3623  df-nul 3949  df-if 4120  df-pw 4193  df-sn 4211  df-pr 4213  df-tp 4215  df-op 4217  df-uni 4469  df-int 4508  df-iun 4554  df-iin 4555  df-br 4686  df-opab 4746  df-mpt 4763  df-tr 4786  df-id 5053  df-eprel 5058  df-po 5064  df-so 5065  df-fr 5102  df-se 5103  df-we 5104  df-xp 5149  df-rel 5150  df-cnv 5151  df-co 5152  df-dm 5153  df-rn 5154  df-res 5155  df-ima 5156  df-pred 5718  df-ord 5764  df-on 5765  df-lim 5766  df-suc 5767  df-iota 5889  df-fun 5928  df-fn 5929  df-f 5930  df-f1 5931  df-fo 5932  df-f1o 5933  df-fv 5934  df-isom 5935  df-riota 6651  df-ov 6693  df-oprab 6694  df-mpt2 6695  df-of 6939  df-om 7108  df-1st 7210  df-2nd 7211  df-supp 7341  df-wrecs 7452  df-recs 7513  df-rdg 7551  df-1o 7605  df-2o 7606  df-oadd 7609  df-er 7787  df-map 7901  df-pm 7902  df-ixp 7951  df-en 7998  df-dom 7999  df-sdom 8000  df-fin 8001  df-fsupp 8317  df-fi 8358  df-sup 8389  df-inf 8390  df-oi 8456  df-card 8803  df-cda 9028  df-pnf 10114  df-mnf 10115  df-xr 10116  df-ltxr 10117  df-le 10118  df-sub 10306  df-neg 10307  df-div 10723  df-nn 11059  df-2 11117  df-3 11118  df-4 11119  df-5 11120  df-6 11121  df-7 11122  df-8 11123  df-9 11124  df-n0 11331  df-xnn0 11402  df-z 11416  df-dec 11532  df-uz 11726  df-q 11827  df-rp 11871  df-xneg 11984  df-xadd 11985  df-xmul 11986  df-ioo 12217  df-ioc 12218  df-ico 12219  df-icc 12220  df-fz 12365  df-fzo 12505  df-fl 12633  df-mod 12709  df-seq 12842  df-exp 12901  df-fac 13101  df-bc 13130  df-hash 13158  df-shft 13851  df-cj 13883  df-re 13884  df-im 13885  df-sqrt 14019  df-abs 14020  df-limsup 14246  df-clim 14263  df-rlim 14264  df-o1 14265  df-lo1 14266  df-sum 14461  df-ef 14842  df-e 14843  df-sin 14844  df-cos 14845  df-pi 14847  df-dvds 15028  df-gcd 15264  df-prm 15433  df-pc 15589  df-struct 15906  df-ndx 15907  df-slot 15908  df-base 15910  df-sets 15911  df-ress 15912  df-plusg 16001  df-mulr 16002  df-starv 16003  df-sca 16004  df-vsca 16005  df-ip 16006  df-tset 16007  df-ple 16008  df-ds 16011  df-unif 16012  df-hom 16013  df-cco 16014  df-rest 16130  df-topn 16131  df-0g 16149  df-gsum 16150  df-topgen 16151  df-pt 16152  df-prds 16155  df-xrs 16209  df-qtop 16214  df-imas 16215  df-xps 16217  df-mre 16293  df-mrc 16294  df-acs 16296  df-mgm 17289  df-sgrp 17331  df-mnd 17342  df-submnd 17383  df-mulg 17588  df-cntz 17796  df-cmn 18241  df-psmet 19786  df-xmet 19787  df-met 19788  df-bl 19789  df-mopn 19790  df-fbas 19791  df-fg 19792  df-cnfld 19795  df-top 20747  df-topon 20764  df-topsp 20785  df-bases 20798  df-cld 20871  df-ntr 20872  df-cls 20873  df-nei 20950  df-lp 20988  df-perf 20989  df-cn 21079  df-cnp 21080  df-haus 21167  df-tx 21413  df-hmeo 21606  df-fil 21697  df-fm 21789  df-flim 21790  df-flf 21791  df-xms 22172  df-ms 22173  df-tms 22174  df-cncf 22728  df-limc 23675  df-dv 23676  df-log 24348  df-cxp 24349  df-cht 24868  df-ppi 24871
This theorem is referenced by:  chpchtlim  25213
  Copyright terms: Public domain W3C validator