Metamath Proof Explorer < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  chto1ub Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem chto1ub 25210
 Description: The θ function is upper bounded by a linear term. Corollary of chtub 24982. (Contributed by Mario Carneiro, 22-Sep-2014.)
Assertion
Ref Expression
chto1ub (𝑥 ∈ ℝ+ ↦ ((θ‘𝑥) / 𝑥)) ∈ 𝑂(1)

Proof of Theorem chto1ub
StepHypRef Expression
1 rpssre 11881 . . . 4 + ⊆ ℝ
21a1i 11 . . 3 (⊤ → ℝ+ ⊆ ℝ)
3 rpre 11877 . . . . . . 7 (𝑥 ∈ ℝ+𝑥 ∈ ℝ)
4 chtcl 24880 . . . . . . 7 (𝑥 ∈ ℝ → (θ‘𝑥) ∈ ℝ)
53, 4syl 17 . . . . . 6 (𝑥 ∈ ℝ+ → (θ‘𝑥) ∈ ℝ)
6 rerpdivcl 11899 . . . . . 6 (((θ‘𝑥) ∈ ℝ ∧ 𝑥 ∈ ℝ+) → ((θ‘𝑥) / 𝑥) ∈ ℝ)
75, 6mpancom 704 . . . . 5 (𝑥 ∈ ℝ+ → ((θ‘𝑥) / 𝑥) ∈ ℝ)
87recnd 10106 . . . 4 (𝑥 ∈ ℝ+ → ((θ‘𝑥) / 𝑥) ∈ ℂ)
98adantl 481 . . 3 ((⊤ ∧ 𝑥 ∈ ℝ+) → ((θ‘𝑥) / 𝑥) ∈ ℂ)
10 3re 11132 . . . 4 3 ∈ ℝ
1110a1i 11 . . 3 (⊤ → 3 ∈ ℝ)
12 2rp 11875 . . . . . 6 2 ∈ ℝ+
13 relogcl 24367 . . . . . 6 (2 ∈ ℝ+ → (log‘2) ∈ ℝ)
1412, 13ax-mp 5 . . . . 5 (log‘2) ∈ ℝ
15 2re 11128 . . . . 5 2 ∈ ℝ
1614, 15remulcli 10092 . . . 4 ((log‘2) · 2) ∈ ℝ
1716a1i 11 . . 3 (⊤ → ((log‘2) · 2) ∈ ℝ)
18 chtge0 24883 . . . . . . . . 9 (𝑥 ∈ ℝ → 0 ≤ (θ‘𝑥))
193, 18syl 17 . . . . . . . 8 (𝑥 ∈ ℝ+ → 0 ≤ (θ‘𝑥))
20 rpregt0 11884 . . . . . . . 8 (𝑥 ∈ ℝ+ → (𝑥 ∈ ℝ ∧ 0 < 𝑥))
21 divge0 10930 . . . . . . . 8 ((((θ‘𝑥) ∈ ℝ ∧ 0 ≤ (θ‘𝑥)) ∧ (𝑥 ∈ ℝ ∧ 0 < 𝑥)) → 0 ≤ ((θ‘𝑥) / 𝑥))
225, 19, 20, 21syl21anc 1365 . . . . . . 7 (𝑥 ∈ ℝ+ → 0 ≤ ((θ‘𝑥) / 𝑥))
237, 22absidd 14205 . . . . . 6 (𝑥 ∈ ℝ+ → (abs‘((θ‘𝑥) / 𝑥)) = ((θ‘𝑥) / 𝑥))
2423adantr 480 . . . . 5 ((𝑥 ∈ ℝ+ ∧ 3 ≤ 𝑥) → (abs‘((θ‘𝑥) / 𝑥)) = ((θ‘𝑥) / 𝑥))
257adantr 480 . . . . . 6 ((𝑥 ∈ ℝ+ ∧ 3 ≤ 𝑥) → ((θ‘𝑥) / 𝑥) ∈ ℝ)
2616a1i 11 . . . . . 6 ((𝑥 ∈ ℝ+ ∧ 3 ≤ 𝑥) → ((log‘2) · 2) ∈ ℝ)
275adantr 480 . . . . . . . . 9 ((𝑥 ∈ ℝ+ ∧ 3 ≤ 𝑥) → (θ‘𝑥) ∈ ℝ)
283adantr 480 . . . . . . . . . . . 12 ((𝑥 ∈ ℝ+ ∧ 3 ≤ 𝑥) → 𝑥 ∈ ℝ)
29 remulcl 10059 . . . . . . . . . . . 12 ((2 ∈ ℝ ∧ 𝑥 ∈ ℝ) → (2 · 𝑥) ∈ ℝ)
3015, 28, 29sylancr 696 . . . . . . . . . . 11 ((𝑥 ∈ ℝ+ ∧ 3 ≤ 𝑥) → (2 · 𝑥) ∈ ℝ)
31 resubcl 10383 . . . . . . . . . . 11 (((2 · 𝑥) ∈ ℝ ∧ 3 ∈ ℝ) → ((2 · 𝑥) − 3) ∈ ℝ)
3230, 10, 31sylancl 695 . . . . . . . . . 10 ((𝑥 ∈ ℝ+ ∧ 3 ≤ 𝑥) → ((2 · 𝑥) − 3) ∈ ℝ)
33 remulcl 10059 . . . . . . . . . 10 (((log‘2) ∈ ℝ ∧ ((2 · 𝑥) − 3) ∈ ℝ) → ((log‘2) · ((2 · 𝑥) − 3)) ∈ ℝ)
3414, 32, 33sylancr 696 . . . . . . . . 9 ((𝑥 ∈ ℝ+ ∧ 3 ≤ 𝑥) → ((log‘2) · ((2 · 𝑥) − 3)) ∈ ℝ)
35 remulcl 10059 . . . . . . . . . 10 (((log‘2) ∈ ℝ ∧ (2 · 𝑥) ∈ ℝ) → ((log‘2) · (2 · 𝑥)) ∈ ℝ)
3614, 30, 35sylancr 696 . . . . . . . . 9 ((𝑥 ∈ ℝ+ ∧ 3 ≤ 𝑥) → ((log‘2) · (2 · 𝑥)) ∈ ℝ)
3715a1i 11 . . . . . . . . . . 11 ((𝑥 ∈ ℝ+ ∧ 3 ≤ 𝑥) → 2 ∈ ℝ)
3810a1i 11 . . . . . . . . . . 11 ((𝑥 ∈ ℝ+ ∧ 3 ≤ 𝑥) → 3 ∈ ℝ)
39 2lt3 11233 . . . . . . . . . . . 12 2 < 3
4039a1i 11 . . . . . . . . . . 11 ((𝑥 ∈ ℝ+ ∧ 3 ≤ 𝑥) → 2 < 3)
41 simpr 476 . . . . . . . . . . 11 ((𝑥 ∈ ℝ+ ∧ 3 ≤ 𝑥) → 3 ≤ 𝑥)
4237, 38, 28, 40, 41ltletrd 10235 . . . . . . . . . 10 ((𝑥 ∈ ℝ+ ∧ 3 ≤ 𝑥) → 2 < 𝑥)
43 chtub 24982 . . . . . . . . . 10 ((𝑥 ∈ ℝ ∧ 2 < 𝑥) → (θ‘𝑥) < ((log‘2) · ((2 · 𝑥) − 3)))
4428, 42, 43syl2anc 694 . . . . . . . . 9 ((𝑥 ∈ ℝ+ ∧ 3 ≤ 𝑥) → (θ‘𝑥) < ((log‘2) · ((2 · 𝑥) − 3)))
45 3pos 11152 . . . . . . . . . . . 12 0 < 3
4610, 45elrpii 11873 . . . . . . . . . . 11 3 ∈ ℝ+
47 ltsubrp 11904 . . . . . . . . . . 11 (((2 · 𝑥) ∈ ℝ ∧ 3 ∈ ℝ+) → ((2 · 𝑥) − 3) < (2 · 𝑥))
4830, 46, 47sylancl 695 . . . . . . . . . 10 ((𝑥 ∈ ℝ+ ∧ 3 ≤ 𝑥) → ((2 · 𝑥) − 3) < (2 · 𝑥))
49 1lt2 11232 . . . . . . . . . . . . . 14 1 < 2
50 rplogcl 24395 . . . . . . . . . . . . . 14 ((2 ∈ ℝ ∧ 1 < 2) → (log‘2) ∈ ℝ+)
5115, 49, 50mp2an 708 . . . . . . . . . . . . 13 (log‘2) ∈ ℝ+
52 elrp 11872 . . . . . . . . . . . . 13 ((log‘2) ∈ ℝ+ ↔ ((log‘2) ∈ ℝ ∧ 0 < (log‘2)))
5351, 52mpbi 220 . . . . . . . . . . . 12 ((log‘2) ∈ ℝ ∧ 0 < (log‘2))
5453a1i 11 . . . . . . . . . . 11 ((𝑥 ∈ ℝ+ ∧ 3 ≤ 𝑥) → ((log‘2) ∈ ℝ ∧ 0 < (log‘2)))
55 ltmul2 10912 . . . . . . . . . . 11 ((((2 · 𝑥) − 3) ∈ ℝ ∧ (2 · 𝑥) ∈ ℝ ∧ ((log‘2) ∈ ℝ ∧ 0 < (log‘2))) → (((2 · 𝑥) − 3) < (2 · 𝑥) ↔ ((log‘2) · ((2 · 𝑥) − 3)) < ((log‘2) · (2 · 𝑥))))
5632, 30, 54, 55syl3anc 1366 . . . . . . . . . 10 ((𝑥 ∈ ℝ+ ∧ 3 ≤ 𝑥) → (((2 · 𝑥) − 3) < (2 · 𝑥) ↔ ((log‘2) · ((2 · 𝑥) − 3)) < ((log‘2) · (2 · 𝑥))))
5748, 56mpbid 222 . . . . . . . . 9 ((𝑥 ∈ ℝ+ ∧ 3 ≤ 𝑥) → ((log‘2) · ((2 · 𝑥) − 3)) < ((log‘2) · (2 · 𝑥)))
5827, 34, 36, 44, 57lttrd 10236 . . . . . . . 8 ((𝑥 ∈ ℝ+ ∧ 3 ≤ 𝑥) → (θ‘𝑥) < ((log‘2) · (2 · 𝑥)))
5914recni 10090 . . . . . . . . . 10 (log‘2) ∈ ℂ
6059a1i 11 . . . . . . . . 9 ((𝑥 ∈ ℝ+ ∧ 3 ≤ 𝑥) → (log‘2) ∈ ℂ)
61 2cnd 11131 . . . . . . . . 9 ((𝑥 ∈ ℝ+ ∧ 3 ≤ 𝑥) → 2 ∈ ℂ)
623recnd 10106 . . . . . . . . . 10 (𝑥 ∈ ℝ+𝑥 ∈ ℂ)
6362adantr 480 . . . . . . . . 9 ((𝑥 ∈ ℝ+ ∧ 3 ≤ 𝑥) → 𝑥 ∈ ℂ)
6460, 61, 63mulassd 10101 . . . . . . . 8 ((𝑥 ∈ ℝ+ ∧ 3 ≤ 𝑥) → (((log‘2) · 2) · 𝑥) = ((log‘2) · (2 · 𝑥)))
6558, 64breqtrrd 4713 . . . . . . 7 ((𝑥 ∈ ℝ+ ∧ 3 ≤ 𝑥) → (θ‘𝑥) < (((log‘2) · 2) · 𝑥))
6620adantr 480 . . . . . . . 8 ((𝑥 ∈ ℝ+ ∧ 3 ≤ 𝑥) → (𝑥 ∈ ℝ ∧ 0 < 𝑥))
67 ltdivmul2 10938 . . . . . . . 8 (((θ‘𝑥) ∈ ℝ ∧ ((log‘2) · 2) ∈ ℝ ∧ (𝑥 ∈ ℝ ∧ 0 < 𝑥)) → (((θ‘𝑥) / 𝑥) < ((log‘2) · 2) ↔ (θ‘𝑥) < (((log‘2) · 2) · 𝑥)))
6827, 26, 66, 67syl3anc 1366 . . . . . . 7 ((𝑥 ∈ ℝ+ ∧ 3 ≤ 𝑥) → (((θ‘𝑥) / 𝑥) < ((log‘2) · 2) ↔ (θ‘𝑥) < (((log‘2) · 2) · 𝑥)))
6965, 68mpbird 247 . . . . . 6 ((𝑥 ∈ ℝ+ ∧ 3 ≤ 𝑥) → ((θ‘𝑥) / 𝑥) < ((log‘2) · 2))
7025, 26, 69ltled 10223 . . . . 5 ((𝑥 ∈ ℝ+ ∧ 3 ≤ 𝑥) → ((θ‘𝑥) / 𝑥) ≤ ((log‘2) · 2))
7124, 70eqbrtrd 4707 . . . 4 ((𝑥 ∈ ℝ+ ∧ 3 ≤ 𝑥) → (abs‘((θ‘𝑥) / 𝑥)) ≤ ((log‘2) · 2))
7271adantl 481 . . 3 ((⊤ ∧ (𝑥 ∈ ℝ+ ∧ 3 ≤ 𝑥)) → (abs‘((θ‘𝑥) / 𝑥)) ≤ ((log‘2) · 2))
732, 9, 11, 17, 72elo1d 14311 . 2 (⊤ → (𝑥 ∈ ℝ+ ↦ ((θ‘𝑥) / 𝑥)) ∈ 𝑂(1))
7473trud 1533 1 (𝑥 ∈ ℝ+ ↦ ((θ‘𝑥) / 𝑥)) ∈ 𝑂(1)
 Colors of variables: wff setvar class Syntax hints:   ↔ wb 196   ∧ wa 383   = wceq 1523  ⊤wtru 1524   ∈ wcel 2030   ⊆ wss 3607   class class class wbr 4685   ↦ cmpt 4762  ‘cfv 5926  (class class class)co 6690  ℂcc 9972  ℝcr 9973  0cc0 9974  1c1 9975   · cmul 9979   < clt 10112   ≤ cle 10113   − cmin 10304   / cdiv 10722  2c2 11108  3c3 11109  ℝ+crp 11870  abscabs 14018  𝑂(1)co1 14261  logclog 24346  θccht 24862 This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1762  ax-4 1777  ax-5 1879  ax-6 1945  ax-7 1981  ax-8 2032  ax-9 2039  ax-10 2059  ax-11 2074  ax-12 2087  ax-13 2282  ax-ext 2631  ax-rep 4804  ax-sep 4814  ax-nul 4822  ax-pow 4873  ax-pr 4936  ax-un 6991  ax-inf2 8576  ax-cnex 10030  ax-resscn 10031  ax-1cn 10032  ax-icn 10033  ax-addcl 10034  ax-addrcl 10035  ax-mulcl 10036  ax-mulrcl 10037  ax-mulcom 10038  ax-addass 10039  ax-mulass 10040  ax-distr 10041  ax-i2m1 10042  ax-1ne0 10043  ax-1rid 10044  ax-rnegex 10045  ax-rrecex 10046  ax-cnre 10047  ax-pre-lttri 10048  ax-pre-lttrn 10049  ax-pre-ltadd 10050  ax-pre-mulgt0 10051  ax-pre-sup 10052  ax-addf 10053  ax-mulf 10054 This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 384  df-an 385  df-3or 1055  df-3an 1056  df-tru 1526  df-fal 1529  df-ex 1745  df-nf 1750  df-sb 1938  df-eu 2502  df-mo 2503  df-clab 2638  df-cleq 2644  df-clel 2647  df-nfc 2782  df-ne 2824  df-nel 2927  df-ral 2946  df-rex 2947  df-reu 2948  df-rmo 2949  df-rab 2950  df-v 3233  df-sbc 3469  df-csb 3567  df-dif 3610  df-un 3612  df-in 3614  df-ss 3621  df-pss 3623  df-nul 3949  df-if 4120  df-pw 4193  df-sn 4211  df-pr 4213  df-tp 4215  df-op 4217  df-uni 4469  df-int 4508  df-iun 4554  df-iin 4555  df-br 4686  df-opab 4746  df-mpt 4763  df-tr 4786  df-id 5053  df-eprel 5058  df-po 5064  df-so 5065  df-fr 5102  df-se 5103  df-we 5104  df-xp 5149  df-rel 5150  df-cnv 5151  df-co 5152  df-dm 5153  df-rn 5154  df-res 5155  df-ima 5156  df-pred 5718  df-ord 5764  df-on 5765  df-lim 5766  df-suc 5767  df-iota 5889  df-fun 5928  df-fn 5929  df-f 5930  df-f1 5931  df-fo 5932  df-f1o 5933  df-fv 5934  df-isom 5935  df-riota 6651  df-ov 6693  df-oprab 6694  df-mpt2 6695  df-of 6939  df-om 7108  df-1st 7210  df-2nd 7211  df-supp 7341  df-wrecs 7452  df-recs 7513  df-rdg 7551  df-1o 7605  df-2o 7606  df-oadd 7609  df-er 7787  df-map 7901  df-pm 7902  df-ixp 7951  df-en 7998  df-dom 7999  df-sdom 8000  df-fin 8001  df-fsupp 8317  df-fi 8358  df-sup 8389  df-inf 8390  df-oi 8456  df-card 8803  df-cda 9028  df-pnf 10114  df-mnf 10115  df-xr 10116  df-ltxr 10117  df-le 10118  df-sub 10306  df-neg 10307  df-div 10723  df-nn 11059  df-2 11117  df-3 11118  df-4 11119  df-5 11120  df-6 11121  df-7 11122  df-8 11123  df-9 11124  df-n0 11331  df-z 11416  df-dec 11532  df-uz 11726  df-q 11827  df-rp 11871  df-xneg 11984  df-xadd 11985  df-xmul 11986  df-ioo 12217  df-ioc 12218  df-ico 12219  df-icc 12220  df-fz 12365  df-fzo 12505  df-fl 12633  df-mod 12709  df-seq 12842  df-exp 12901  df-fac 13101  df-bc 13130  df-hash 13158  df-shft 13851  df-cj 13883  df-re 13884  df-im 13885  df-sqrt 14019  df-abs 14020  df-limsup 14246  df-clim 14263  df-rlim 14264  df-o1 14265  df-lo1 14266  df-sum 14461  df-ef 14842  df-sin 14844  df-cos 14845  df-pi 14847  df-dvds 15028  df-gcd 15264  df-prm 15433  df-pc 15589  df-struct 15906  df-ndx 15907  df-slot 15908  df-base 15910  df-sets 15911  df-ress 15912  df-plusg 16001  df-mulr 16002  df-starv 16003  df-sca 16004  df-vsca 16005  df-ip 16006  df-tset 16007  df-ple 16008  df-ds 16011  df-unif 16012  df-hom 16013  df-cco 16014  df-rest 16130  df-topn 16131  df-0g 16149  df-gsum 16150  df-topgen 16151  df-pt 16152  df-prds 16155  df-xrs 16209  df-qtop 16214  df-imas 16215  df-xps 16217  df-mre 16293  df-mrc 16294  df-acs 16296  df-mgm 17289  df-sgrp 17331  df-mnd 17342  df-submnd 17383  df-mulg 17588  df-cntz 17796  df-cmn 18241  df-psmet 19786  df-xmet 19787  df-met 19788  df-bl 19789  df-mopn 19790  df-fbas 19791  df-fg 19792  df-cnfld 19795  df-top 20747  df-topon 20764  df-topsp 20785  df-bases 20798  df-cld 20871  df-ntr 20872  df-cls 20873  df-nei 20950  df-lp 20988  df-perf 20989  df-cn 21079  df-cnp 21080  df-haus 21167  df-tx 21413  df-hmeo 21606  df-fil 21697  df-fm 21789  df-flim 21790  df-flf 21791  df-xms 22172  df-ms 22173  df-tms 22174  df-cncf 22728  df-limc 23675  df-dv 23676  df-log 24348  df-cht 24868 This theorem is referenced by:  chebbnd2  25211  chpo1ub  25214
 Copyright terms: Public domain W3C validator