MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  chto1ub Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem chto1ub 24909
Description: The θ function is upper bounded by a linear term. Corollary of chtub 24681. (Contributed by Mario Carneiro, 22-Sep-2014.)
Assertion
Ref Expression
chto1ub (𝑥 ∈ ℝ+ ↦ ((θ‘𝑥) / 𝑥)) ∈ 𝑂(1)

Proof of Theorem chto1ub
StepHypRef Expression
1 rpssre 11677 . . . 4 + ⊆ ℝ
21a1i 11 . . 3 (⊤ → ℝ+ ⊆ ℝ)
3 rpre 11673 . . . . . . 7 (𝑥 ∈ ℝ+𝑥 ∈ ℝ)
4 chtcl 24579 . . . . . . 7 (𝑥 ∈ ℝ → (θ‘𝑥) ∈ ℝ)
53, 4syl 17 . . . . . 6 (𝑥 ∈ ℝ+ → (θ‘𝑥) ∈ ℝ)
6 rerpdivcl 11695 . . . . . 6 (((θ‘𝑥) ∈ ℝ ∧ 𝑥 ∈ ℝ+) → ((θ‘𝑥) / 𝑥) ∈ ℝ)
75, 6mpancom 699 . . . . 5 (𝑥 ∈ ℝ+ → ((θ‘𝑥) / 𝑥) ∈ ℝ)
87recnd 9924 . . . 4 (𝑥 ∈ ℝ+ → ((θ‘𝑥) / 𝑥) ∈ ℂ)
98adantl 480 . . 3 ((⊤ ∧ 𝑥 ∈ ℝ+) → ((θ‘𝑥) / 𝑥) ∈ ℂ)
10 3re 10943 . . . 4 3 ∈ ℝ
1110a1i 11 . . 3 (⊤ → 3 ∈ ℝ)
12 2rp 11671 . . . . . 6 2 ∈ ℝ+
13 relogcl 24070 . . . . . 6 (2 ∈ ℝ+ → (log‘2) ∈ ℝ)
1412, 13ax-mp 5 . . . . 5 (log‘2) ∈ ℝ
15 2re 10939 . . . . 5 2 ∈ ℝ
1614, 15remulcli 9910 . . . 4 ((log‘2) · 2) ∈ ℝ
1716a1i 11 . . 3 (⊤ → ((log‘2) · 2) ∈ ℝ)
18 chtge0 24582 . . . . . . . . 9 (𝑥 ∈ ℝ → 0 ≤ (θ‘𝑥))
193, 18syl 17 . . . . . . . 8 (𝑥 ∈ ℝ+ → 0 ≤ (θ‘𝑥))
20 rpregt0 11680 . . . . . . . 8 (𝑥 ∈ ℝ+ → (𝑥 ∈ ℝ ∧ 0 < 𝑥))
21 divge0 10743 . . . . . . . 8 ((((θ‘𝑥) ∈ ℝ ∧ 0 ≤ (θ‘𝑥)) ∧ (𝑥 ∈ ℝ ∧ 0 < 𝑥)) → 0 ≤ ((θ‘𝑥) / 𝑥))
225, 19, 20, 21syl21anc 1316 . . . . . . 7 (𝑥 ∈ ℝ+ → 0 ≤ ((θ‘𝑥) / 𝑥))
237, 22absidd 13957 . . . . . 6 (𝑥 ∈ ℝ+ → (abs‘((θ‘𝑥) / 𝑥)) = ((θ‘𝑥) / 𝑥))
2423adantr 479 . . . . 5 ((𝑥 ∈ ℝ+ ∧ 3 ≤ 𝑥) → (abs‘((θ‘𝑥) / 𝑥)) = ((θ‘𝑥) / 𝑥))
257adantr 479 . . . . . 6 ((𝑥 ∈ ℝ+ ∧ 3 ≤ 𝑥) → ((θ‘𝑥) / 𝑥) ∈ ℝ)
2616a1i 11 . . . . . 6 ((𝑥 ∈ ℝ+ ∧ 3 ≤ 𝑥) → ((log‘2) · 2) ∈ ℝ)
275adantr 479 . . . . . . . . 9 ((𝑥 ∈ ℝ+ ∧ 3 ≤ 𝑥) → (θ‘𝑥) ∈ ℝ)
283adantr 479 . . . . . . . . . . . 12 ((𝑥 ∈ ℝ+ ∧ 3 ≤ 𝑥) → 𝑥 ∈ ℝ)
29 remulcl 9877 . . . . . . . . . . . 12 ((2 ∈ ℝ ∧ 𝑥 ∈ ℝ) → (2 · 𝑥) ∈ ℝ)
3015, 28, 29sylancr 693 . . . . . . . . . . 11 ((𝑥 ∈ ℝ+ ∧ 3 ≤ 𝑥) → (2 · 𝑥) ∈ ℝ)
31 resubcl 10196 . . . . . . . . . . 11 (((2 · 𝑥) ∈ ℝ ∧ 3 ∈ ℝ) → ((2 · 𝑥) − 3) ∈ ℝ)
3230, 10, 31sylancl 692 . . . . . . . . . 10 ((𝑥 ∈ ℝ+ ∧ 3 ≤ 𝑥) → ((2 · 𝑥) − 3) ∈ ℝ)
33 remulcl 9877 . . . . . . . . . 10 (((log‘2) ∈ ℝ ∧ ((2 · 𝑥) − 3) ∈ ℝ) → ((log‘2) · ((2 · 𝑥) − 3)) ∈ ℝ)
3414, 32, 33sylancr 693 . . . . . . . . 9 ((𝑥 ∈ ℝ+ ∧ 3 ≤ 𝑥) → ((log‘2) · ((2 · 𝑥) − 3)) ∈ ℝ)
35 remulcl 9877 . . . . . . . . . 10 (((log‘2) ∈ ℝ ∧ (2 · 𝑥) ∈ ℝ) → ((log‘2) · (2 · 𝑥)) ∈ ℝ)
3614, 30, 35sylancr 693 . . . . . . . . 9 ((𝑥 ∈ ℝ+ ∧ 3 ≤ 𝑥) → ((log‘2) · (2 · 𝑥)) ∈ ℝ)
3715a1i 11 . . . . . . . . . . 11 ((𝑥 ∈ ℝ+ ∧ 3 ≤ 𝑥) → 2 ∈ ℝ)
3810a1i 11 . . . . . . . . . . 11 ((𝑥 ∈ ℝ+ ∧ 3 ≤ 𝑥) → 3 ∈ ℝ)
39 2lt3 11044 . . . . . . . . . . . 12 2 < 3
4039a1i 11 . . . . . . . . . . 11 ((𝑥 ∈ ℝ+ ∧ 3 ≤ 𝑥) → 2 < 3)
41 simpr 475 . . . . . . . . . . 11 ((𝑥 ∈ ℝ+ ∧ 3 ≤ 𝑥) → 3 ≤ 𝑥)
4237, 38, 28, 40, 41ltletrd 10048 . . . . . . . . . 10 ((𝑥 ∈ ℝ+ ∧ 3 ≤ 𝑥) → 2 < 𝑥)
43 chtub 24681 . . . . . . . . . 10 ((𝑥 ∈ ℝ ∧ 2 < 𝑥) → (θ‘𝑥) < ((log‘2) · ((2 · 𝑥) − 3)))
4428, 42, 43syl2anc 690 . . . . . . . . 9 ((𝑥 ∈ ℝ+ ∧ 3 ≤ 𝑥) → (θ‘𝑥) < ((log‘2) · ((2 · 𝑥) − 3)))
45 3pos 10963 . . . . . . . . . . . 12 0 < 3
4610, 45elrpii 11669 . . . . . . . . . . 11 3 ∈ ℝ+
47 ltsubrp 11700 . . . . . . . . . . 11 (((2 · 𝑥) ∈ ℝ ∧ 3 ∈ ℝ+) → ((2 · 𝑥) − 3) < (2 · 𝑥))
4830, 46, 47sylancl 692 . . . . . . . . . 10 ((𝑥 ∈ ℝ+ ∧ 3 ≤ 𝑥) → ((2 · 𝑥) − 3) < (2 · 𝑥))
49 1lt2 11043 . . . . . . . . . . . . . 14 1 < 2
50 rplogcl 24098 . . . . . . . . . . . . . 14 ((2 ∈ ℝ ∧ 1 < 2) → (log‘2) ∈ ℝ+)
5115, 49, 50mp2an 703 . . . . . . . . . . . . 13 (log‘2) ∈ ℝ+
52 elrp 11668 . . . . . . . . . . . . 13 ((log‘2) ∈ ℝ+ ↔ ((log‘2) ∈ ℝ ∧ 0 < (log‘2)))
5351, 52mpbi 218 . . . . . . . . . . . 12 ((log‘2) ∈ ℝ ∧ 0 < (log‘2))
5453a1i 11 . . . . . . . . . . 11 ((𝑥 ∈ ℝ+ ∧ 3 ≤ 𝑥) → ((log‘2) ∈ ℝ ∧ 0 < (log‘2)))
55 ltmul2 10725 . . . . . . . . . . 11 ((((2 · 𝑥) − 3) ∈ ℝ ∧ (2 · 𝑥) ∈ ℝ ∧ ((log‘2) ∈ ℝ ∧ 0 < (log‘2))) → (((2 · 𝑥) − 3) < (2 · 𝑥) ↔ ((log‘2) · ((2 · 𝑥) − 3)) < ((log‘2) · (2 · 𝑥))))
5632, 30, 54, 55syl3anc 1317 . . . . . . . . . 10 ((𝑥 ∈ ℝ+ ∧ 3 ≤ 𝑥) → (((2 · 𝑥) − 3) < (2 · 𝑥) ↔ ((log‘2) · ((2 · 𝑥) − 3)) < ((log‘2) · (2 · 𝑥))))
5748, 56mpbid 220 . . . . . . . . 9 ((𝑥 ∈ ℝ+ ∧ 3 ≤ 𝑥) → ((log‘2) · ((2 · 𝑥) − 3)) < ((log‘2) · (2 · 𝑥)))
5827, 34, 36, 44, 57lttrd 10049 . . . . . . . 8 ((𝑥 ∈ ℝ+ ∧ 3 ≤ 𝑥) → (θ‘𝑥) < ((log‘2) · (2 · 𝑥)))
5914recni 9908 . . . . . . . . . 10 (log‘2) ∈ ℂ
6059a1i 11 . . . . . . . . 9 ((𝑥 ∈ ℝ+ ∧ 3 ≤ 𝑥) → (log‘2) ∈ ℂ)
61 2cnd 10942 . . . . . . . . 9 ((𝑥 ∈ ℝ+ ∧ 3 ≤ 𝑥) → 2 ∈ ℂ)
623recnd 9924 . . . . . . . . . 10 (𝑥 ∈ ℝ+𝑥 ∈ ℂ)
6362adantr 479 . . . . . . . . 9 ((𝑥 ∈ ℝ+ ∧ 3 ≤ 𝑥) → 𝑥 ∈ ℂ)
6460, 61, 63mulassd 9919 . . . . . . . 8 ((𝑥 ∈ ℝ+ ∧ 3 ≤ 𝑥) → (((log‘2) · 2) · 𝑥) = ((log‘2) · (2 · 𝑥)))
6558, 64breqtrrd 4605 . . . . . . 7 ((𝑥 ∈ ℝ+ ∧ 3 ≤ 𝑥) → (θ‘𝑥) < (((log‘2) · 2) · 𝑥))
6620adantr 479 . . . . . . . 8 ((𝑥 ∈ ℝ+ ∧ 3 ≤ 𝑥) → (𝑥 ∈ ℝ ∧ 0 < 𝑥))
67 ltdivmul2 10751 . . . . . . . 8 (((θ‘𝑥) ∈ ℝ ∧ ((log‘2) · 2) ∈ ℝ ∧ (𝑥 ∈ ℝ ∧ 0 < 𝑥)) → (((θ‘𝑥) / 𝑥) < ((log‘2) · 2) ↔ (θ‘𝑥) < (((log‘2) · 2) · 𝑥)))
6827, 26, 66, 67syl3anc 1317 . . . . . . 7 ((𝑥 ∈ ℝ+ ∧ 3 ≤ 𝑥) → (((θ‘𝑥) / 𝑥) < ((log‘2) · 2) ↔ (θ‘𝑥) < (((log‘2) · 2) · 𝑥)))
6965, 68mpbird 245 . . . . . 6 ((𝑥 ∈ ℝ+ ∧ 3 ≤ 𝑥) → ((θ‘𝑥) / 𝑥) < ((log‘2) · 2))
7025, 26, 69ltled 10036 . . . . 5 ((𝑥 ∈ ℝ+ ∧ 3 ≤ 𝑥) → ((θ‘𝑥) / 𝑥) ≤ ((log‘2) · 2))
7124, 70eqbrtrd 4599 . . . 4 ((𝑥 ∈ ℝ+ ∧ 3 ≤ 𝑥) → (abs‘((θ‘𝑥) / 𝑥)) ≤ ((log‘2) · 2))
7271adantl 480 . . 3 ((⊤ ∧ (𝑥 ∈ ℝ+ ∧ 3 ≤ 𝑥)) → (abs‘((θ‘𝑥) / 𝑥)) ≤ ((log‘2) · 2))
732, 9, 11, 17, 72elo1d 14063 . 2 (⊤ → (𝑥 ∈ ℝ+ ↦ ((θ‘𝑥) / 𝑥)) ∈ 𝑂(1))
7473trud 1483 1 (𝑥 ∈ ℝ+ ↦ ((θ‘𝑥) / 𝑥)) ∈ 𝑂(1)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wb 194  wa 382   = wceq 1474  wtru 1475  wcel 1976  wss 3539   class class class wbr 4577  cmpt 4637  cfv 5789  (class class class)co 6526  cc 9790  cr 9791  0cc0 9792  1c1 9793   · cmul 9797   < clt 9930  cle 9931  cmin 10117   / cdiv 10535  2c2 10919  3c3 10920  +crp 11666  abscabs 13770  𝑂(1)co1 14013  logclog 24049  θccht 24561
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1712  ax-4 1727  ax-5 1826  ax-6 1874  ax-7 1921  ax-8 1978  ax-9 1985  ax-10 2005  ax-11 2020  ax-12 2033  ax-13 2233  ax-ext 2589  ax-rep 4693  ax-sep 4703  ax-nul 4711  ax-pow 4763  ax-pr 4827  ax-un 6824  ax-inf2 8398  ax-cnex 9848  ax-resscn 9849  ax-1cn 9850  ax-icn 9851  ax-addcl 9852  ax-addrcl 9853  ax-mulcl 9854  ax-mulrcl 9855  ax-mulcom 9856  ax-addass 9857  ax-mulass 9858  ax-distr 9859  ax-i2m1 9860  ax-1ne0 9861  ax-1rid 9862  ax-rnegex 9863  ax-rrecex 9864  ax-cnre 9865  ax-pre-lttri 9866  ax-pre-lttrn 9867  ax-pre-ltadd 9868  ax-pre-mulgt0 9869  ax-pre-sup 9870  ax-addf 9871  ax-mulf 9872
This theorem depends on definitions:  df-bi 195  df-or 383  df-an 384  df-3or 1031  df-3an 1032  df-tru 1477  df-fal 1480  df-ex 1695  df-nf 1700  df-sb 1867  df-eu 2461  df-mo 2462  df-clab 2596  df-cleq 2602  df-clel 2605  df-nfc 2739  df-ne 2781  df-nel 2782  df-ral 2900  df-rex 2901  df-reu 2902  df-rmo 2903  df-rab 2904  df-v 3174  df-sbc 3402  df-csb 3499  df-dif 3542  df-un 3544  df-in 3546  df-ss 3553  df-pss 3555  df-nul 3874  df-if 4036  df-pw 4109  df-sn 4125  df-pr 4127  df-tp 4129  df-op 4131  df-uni 4367  df-int 4405  df-iun 4451  df-iin 4452  df-br 4578  df-opab 4638  df-mpt 4639  df-tr 4675  df-eprel 4938  df-id 4942  df-po 4948  df-so 4949  df-fr 4986  df-se 4987  df-we 4988  df-xp 5033  df-rel 5034  df-cnv 5035  df-co 5036  df-dm 5037  df-rn 5038  df-res 5039  df-ima 5040  df-pred 5582  df-ord 5628  df-on 5629  df-lim 5630  df-suc 5631  df-iota 5753  df-fun 5791  df-fn 5792  df-f 5793  df-f1 5794  df-fo 5795  df-f1o 5796  df-fv 5797  df-isom 5798  df-riota 6488  df-ov 6529  df-oprab 6530  df-mpt2 6531  df-of 6772  df-om 6935  df-1st 7036  df-2nd 7037  df-supp 7160  df-wrecs 7271  df-recs 7332  df-rdg 7370  df-1o 7424  df-2o 7425  df-oadd 7428  df-er 7606  df-map 7723  df-pm 7724  df-ixp 7772  df-en 7819  df-dom 7820  df-sdom 7821  df-fin 7822  df-fsupp 8136  df-fi 8177  df-sup 8208  df-inf 8209  df-oi 8275  df-card 8625  df-cda 8850  df-pnf 9932  df-mnf 9933  df-xr 9934  df-ltxr 9935  df-le 9936  df-sub 10119  df-neg 10120  df-div 10536  df-nn 10870  df-2 10928  df-3 10929  df-4 10930  df-5 10931  df-6 10932  df-7 10933  df-8 10934  df-9 10935  df-n0 11142  df-z 11213  df-dec 11328  df-uz 11522  df-q 11623  df-rp 11667  df-xneg 11780  df-xadd 11781  df-xmul 11782  df-ioo 12008  df-ioc 12009  df-ico 12010  df-icc 12011  df-fz 12155  df-fzo 12292  df-fl 12412  df-mod 12488  df-seq 12621  df-exp 12680  df-fac 12880  df-bc 12909  df-hash 12937  df-shft 13603  df-cj 13635  df-re 13636  df-im 13637  df-sqrt 13771  df-abs 13772  df-limsup 13998  df-clim 14015  df-rlim 14016  df-o1 14017  df-lo1 14018  df-sum 14213  df-ef 14585  df-sin 14587  df-cos 14588  df-pi 14590  df-dvds 14770  df-gcd 15003  df-prm 15172  df-pc 15328  df-struct 15645  df-ndx 15646  df-slot 15647  df-base 15648  df-sets 15649  df-ress 15650  df-plusg 15729  df-mulr 15730  df-starv 15731  df-sca 15732  df-vsca 15733  df-ip 15734  df-tset 15735  df-ple 15736  df-ds 15739  df-unif 15740  df-hom 15741  df-cco 15742  df-rest 15854  df-topn 15855  df-0g 15873  df-gsum 15874  df-topgen 15875  df-pt 15876  df-prds 15879  df-xrs 15933  df-qtop 15938  df-imas 15939  df-xps 15941  df-mre 16017  df-mrc 16018  df-acs 16020  df-mgm 17013  df-sgrp 17055  df-mnd 17066  df-submnd 17107  df-mulg 17312  df-cntz 17521  df-cmn 17966  df-psmet 19507  df-xmet 19508  df-met 19509  df-bl 19510  df-mopn 19511  df-fbas 19512  df-fg 19513  df-cnfld 19516  df-top 20468  df-bases 20469  df-topon 20470  df-topsp 20471  df-cld 20580  df-ntr 20581  df-cls 20582  df-nei 20659  df-lp 20697  df-perf 20698  df-cn 20788  df-cnp 20789  df-haus 20876  df-tx 21122  df-hmeo 21315  df-fil 21407  df-fm 21499  df-flim 21500  df-flf 21501  df-xms 21882  df-ms 21883  df-tms 21884  df-cncf 22436  df-limc 23380  df-dv 23381  df-log 24051  df-cht 24567
This theorem is referenced by:  chebbnd2  24910  chpo1ub  24913
  Copyright terms: Public domain W3C validator