MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  chtppilim Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem chtppilim 24881
Description: The θ function is asymptotic to π(𝑥)log(𝑥), so it is sufficient to prove θ(𝑥) / 𝑥𝑟 1 to establish the PNT. (Contributed by Mario Carneiro, 22-Sep-2014.)
Assertion
Ref Expression
chtppilim (𝑥 ∈ (2[,)+∞) ↦ ((θ‘𝑥) / ((π𝑥) · (log‘𝑥)))) ⇝𝑟 1

Proof of Theorem chtppilim
Dummy variables 𝑦 𝑧 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 halfre 11093 . . . . . . . . 9 (1 / 2) ∈ ℝ
2 1re 9895 . . . . . . . . . 10 1 ∈ ℝ
3 rpre 11671 . . . . . . . . . 10 (𝑦 ∈ ℝ+𝑦 ∈ ℝ)
4 resubcl 10196 . . . . . . . . . 10 ((1 ∈ ℝ ∧ 𝑦 ∈ ℝ) → (1 − 𝑦) ∈ ℝ)
52, 3, 4sylancr 693 . . . . . . . . 9 (𝑦 ∈ ℝ+ → (1 − 𝑦) ∈ ℝ)
6 ifcl 4079 . . . . . . . . 9 (((1 / 2) ∈ ℝ ∧ (1 − 𝑦) ∈ ℝ) → if((1 − 𝑦) ≤ (1 / 2), (1 / 2), (1 − 𝑦)) ∈ ℝ)
71, 5, 6sylancr 693 . . . . . . . 8 (𝑦 ∈ ℝ+ → if((1 − 𝑦) ≤ (1 / 2), (1 / 2), (1 − 𝑦)) ∈ ℝ)
8 0red 9897 . . . . . . . . 9 (𝑦 ∈ ℝ+ → 0 ∈ ℝ)
91a1i 11 . . . . . . . . 9 (𝑦 ∈ ℝ+ → (1 / 2) ∈ ℝ)
10 halfgt0 11095 . . . . . . . . . 10 0 < (1 / 2)
1110a1i 11 . . . . . . . . 9 (𝑦 ∈ ℝ+ → 0 < (1 / 2))
12 max2 11851 . . . . . . . . . 10 (((1 − 𝑦) ∈ ℝ ∧ (1 / 2) ∈ ℝ) → (1 / 2) ≤ if((1 − 𝑦) ≤ (1 / 2), (1 / 2), (1 − 𝑦)))
135, 1, 12sylancl 692 . . . . . . . . 9 (𝑦 ∈ ℝ+ → (1 / 2) ≤ if((1 − 𝑦) ≤ (1 / 2), (1 / 2), (1 − 𝑦)))
148, 9, 7, 11, 13ltletrd 10048 . . . . . . . 8 (𝑦 ∈ ℝ+ → 0 < if((1 − 𝑦) ≤ (1 / 2), (1 / 2), (1 − 𝑦)))
157, 14elrpd 11701 . . . . . . 7 (𝑦 ∈ ℝ+ → if((1 − 𝑦) ≤ (1 / 2), (1 / 2), (1 − 𝑦)) ∈ ℝ+)
1615rpsqrtcld 13944 . . . . . 6 (𝑦 ∈ ℝ+ → (√‘if((1 − 𝑦) ≤ (1 / 2), (1 / 2), (1 − 𝑦))) ∈ ℝ+)
17 halflt1 11097 . . . . . . . . 9 (1 / 2) < 1
18 ltsubrp 11698 . . . . . . . . . 10 ((1 ∈ ℝ ∧ 𝑦 ∈ ℝ+) → (1 − 𝑦) < 1)
192, 18mpan 701 . . . . . . . . 9 (𝑦 ∈ ℝ+ → (1 − 𝑦) < 1)
20 breq1 4580 . . . . . . . . . 10 ((1 / 2) = if((1 − 𝑦) ≤ (1 / 2), (1 / 2), (1 − 𝑦)) → ((1 / 2) < 1 ↔ if((1 − 𝑦) ≤ (1 / 2), (1 / 2), (1 − 𝑦)) < 1))
21 breq1 4580 . . . . . . . . . 10 ((1 − 𝑦) = if((1 − 𝑦) ≤ (1 / 2), (1 / 2), (1 − 𝑦)) → ((1 − 𝑦) < 1 ↔ if((1 − 𝑦) ≤ (1 / 2), (1 / 2), (1 − 𝑦)) < 1))
2220, 21ifboth 4073 . . . . . . . . 9 (((1 / 2) < 1 ∧ (1 − 𝑦) < 1) → if((1 − 𝑦) ≤ (1 / 2), (1 / 2), (1 − 𝑦)) < 1)
2317, 19, 22sylancr 693 . . . . . . . 8 (𝑦 ∈ ℝ+ → if((1 − 𝑦) ≤ (1 / 2), (1 / 2), (1 − 𝑦)) < 1)
2415rpge0d 11708 . . . . . . . . 9 (𝑦 ∈ ℝ+ → 0 ≤ if((1 − 𝑦) ≤ (1 / 2), (1 / 2), (1 − 𝑦)))
252a1i 11 . . . . . . . . 9 (𝑦 ∈ ℝ+ → 1 ∈ ℝ)
26 0le1 10400 . . . . . . . . . 10 0 ≤ 1
2726a1i 11 . . . . . . . . 9 (𝑦 ∈ ℝ+ → 0 ≤ 1)
287, 24, 25, 27sqrtltd 13960 . . . . . . . 8 (𝑦 ∈ ℝ+ → (if((1 − 𝑦) ≤ (1 / 2), (1 / 2), (1 − 𝑦)) < 1 ↔ (√‘if((1 − 𝑦) ≤ (1 / 2), (1 / 2), (1 − 𝑦))) < (√‘1)))
2923, 28mpbid 220 . . . . . . 7 (𝑦 ∈ ℝ+ → (√‘if((1 − 𝑦) ≤ (1 / 2), (1 / 2), (1 − 𝑦))) < (√‘1))
30 sqrt1 13806 . . . . . . 7 (√‘1) = 1
3129, 30syl6breq 4618 . . . . . 6 (𝑦 ∈ ℝ+ → (√‘if((1 − 𝑦) ≤ (1 / 2), (1 / 2), (1 − 𝑦))) < 1)
3216, 31chtppilimlem2 24880 . . . . 5 (𝑦 ∈ ℝ+ → ∃𝑧 ∈ ℝ ∀𝑥 ∈ (2[,)+∞)(𝑧𝑥 → (((√‘if((1 − 𝑦) ≤ (1 / 2), (1 / 2), (1 − 𝑦)))↑2) · ((π𝑥) · (log‘𝑥))) < (θ‘𝑥)))
335adantr 479 . . . . . . . . . . 11 ((𝑦 ∈ ℝ+𝑥 ∈ (2[,)+∞)) → (1 − 𝑦) ∈ ℝ)
34 max1 11849 . . . . . . . . . . 11 (((1 − 𝑦) ∈ ℝ ∧ (1 / 2) ∈ ℝ) → (1 − 𝑦) ≤ if((1 − 𝑦) ≤ (1 / 2), (1 / 2), (1 − 𝑦)))
3533, 1, 34sylancl 692 . . . . . . . . . 10 ((𝑦 ∈ ℝ+𝑥 ∈ (2[,)+∞)) → (1 − 𝑦) ≤ if((1 − 𝑦) ≤ (1 / 2), (1 / 2), (1 − 𝑦)))
367adantr 479 . . . . . . . . . . 11 ((𝑦 ∈ ℝ+𝑥 ∈ (2[,)+∞)) → if((1 − 𝑦) ≤ (1 / 2), (1 / 2), (1 − 𝑦)) ∈ ℝ)
37 2re 10937 . . . . . . . . . . . . . . . 16 2 ∈ ℝ
38 elicopnf 12096 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (2 ∈ ℝ → (𝑥 ∈ (2[,)+∞) ↔ (𝑥 ∈ ℝ ∧ 2 ≤ 𝑥)))
3937, 38ax-mp 5 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝑥 ∈ (2[,)+∞) ↔ (𝑥 ∈ ℝ ∧ 2 ≤ 𝑥))
4039simplbi 474 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑥 ∈ (2[,)+∞) → 𝑥 ∈ ℝ)
41 chtcl 24552 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑥 ∈ ℝ → (θ‘𝑥) ∈ ℝ)
4240, 41syl 17 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑥 ∈ (2[,)+∞) → (θ‘𝑥) ∈ ℝ)
43 ppinncl 24617 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝑥 ∈ ℝ ∧ 2 ≤ 𝑥) → (π𝑥) ∈ ℕ)
4439, 43sylbi 205 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝑥 ∈ (2[,)+∞) → (π𝑥) ∈ ℕ)
4544nnrpd 11702 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑥 ∈ (2[,)+∞) → (π𝑥) ∈ ℝ+)
462a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝑥 ∈ (2[,)+∞) → 1 ∈ ℝ)
4737a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝑥 ∈ (2[,)+∞) → 2 ∈ ℝ)
48 1lt2 11041 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 1 < 2
4948a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝑥 ∈ (2[,)+∞) → 1 < 2)
5039simprbi 478 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝑥 ∈ (2[,)+∞) → 2 ≤ 𝑥)
5146, 47, 40, 49, 50ltletrd 10048 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝑥 ∈ (2[,)+∞) → 1 < 𝑥)
5240, 51rplogcld 24096 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑥 ∈ (2[,)+∞) → (log‘𝑥) ∈ ℝ+)
5345, 52rpmulcld 11720 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑥 ∈ (2[,)+∞) → ((π𝑥) · (log‘𝑥)) ∈ ℝ+)
5442, 53rerpdivcld 11735 . . . . . . . . . . . 12 (𝑥 ∈ (2[,)+∞) → ((θ‘𝑥) / ((π𝑥) · (log‘𝑥))) ∈ ℝ)
5554adantl 480 . . . . . . . . . . 11 ((𝑦 ∈ ℝ+𝑥 ∈ (2[,)+∞)) → ((θ‘𝑥) / ((π𝑥) · (log‘𝑥))) ∈ ℝ)
56 lelttr 9979 . . . . . . . . . . 11 (((1 − 𝑦) ∈ ℝ ∧ if((1 − 𝑦) ≤ (1 / 2), (1 / 2), (1 − 𝑦)) ∈ ℝ ∧ ((θ‘𝑥) / ((π𝑥) · (log‘𝑥))) ∈ ℝ) → (((1 − 𝑦) ≤ if((1 − 𝑦) ≤ (1 / 2), (1 / 2), (1 − 𝑦)) ∧ if((1 − 𝑦) ≤ (1 / 2), (1 / 2), (1 − 𝑦)) < ((θ‘𝑥) / ((π𝑥) · (log‘𝑥)))) → (1 − 𝑦) < ((θ‘𝑥) / ((π𝑥) · (log‘𝑥)))))
5733, 36, 55, 56syl3anc 1317 . . . . . . . . . 10 ((𝑦 ∈ ℝ+𝑥 ∈ (2[,)+∞)) → (((1 − 𝑦) ≤ if((1 − 𝑦) ≤ (1 / 2), (1 / 2), (1 − 𝑦)) ∧ if((1 − 𝑦) ≤ (1 / 2), (1 / 2), (1 − 𝑦)) < ((θ‘𝑥) / ((π𝑥) · (log‘𝑥)))) → (1 − 𝑦) < ((θ‘𝑥) / ((π𝑥) · (log‘𝑥)))))
5835, 57mpand 706 . . . . . . . . 9 ((𝑦 ∈ ℝ+𝑥 ∈ (2[,)+∞)) → (if((1 − 𝑦) ≤ (1 / 2), (1 / 2), (1 − 𝑦)) < ((θ‘𝑥) / ((π𝑥) · (log‘𝑥))) → (1 − 𝑦) < ((θ‘𝑥) / ((π𝑥) · (log‘𝑥)))))
597recnd 9924 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑦 ∈ ℝ+ → if((1 − 𝑦) ≤ (1 / 2), (1 / 2), (1 − 𝑦)) ∈ ℂ)
6059sqsqrtd 13972 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑦 ∈ ℝ+ → ((√‘if((1 − 𝑦) ≤ (1 / 2), (1 / 2), (1 − 𝑦)))↑2) = if((1 − 𝑦) ≤ (1 / 2), (1 / 2), (1 − 𝑦)))
6160adantr 479 . . . . . . . . . . . 12 ((𝑦 ∈ ℝ+𝑥 ∈ (2[,)+∞)) → ((√‘if((1 − 𝑦) ≤ (1 / 2), (1 / 2), (1 − 𝑦)))↑2) = if((1 − 𝑦) ≤ (1 / 2), (1 / 2), (1 − 𝑦)))
6261oveq1d 6542 . . . . . . . . . . 11 ((𝑦 ∈ ℝ+𝑥 ∈ (2[,)+∞)) → (((√‘if((1 − 𝑦) ≤ (1 / 2), (1 / 2), (1 − 𝑦)))↑2) · ((π𝑥) · (log‘𝑥))) = (if((1 − 𝑦) ≤ (1 / 2), (1 / 2), (1 − 𝑦)) · ((π𝑥) · (log‘𝑥))))
6362breq1d 4587 . . . . . . . . . 10 ((𝑦 ∈ ℝ+𝑥 ∈ (2[,)+∞)) → ((((√‘if((1 − 𝑦) ≤ (1 / 2), (1 / 2), (1 − 𝑦)))↑2) · ((π𝑥) · (log‘𝑥))) < (θ‘𝑥) ↔ (if((1 − 𝑦) ≤ (1 / 2), (1 / 2), (1 − 𝑦)) · ((π𝑥) · (log‘𝑥))) < (θ‘𝑥)))
6442adantl 480 . . . . . . . . . . 11 ((𝑦 ∈ ℝ+𝑥 ∈ (2[,)+∞)) → (θ‘𝑥) ∈ ℝ)
6553rpregt0d 11710 . . . . . . . . . . . 12 (𝑥 ∈ (2[,)+∞) → (((π𝑥) · (log‘𝑥)) ∈ ℝ ∧ 0 < ((π𝑥) · (log‘𝑥))))
6665adantl 480 . . . . . . . . . . 11 ((𝑦 ∈ ℝ+𝑥 ∈ (2[,)+∞)) → (((π𝑥) · (log‘𝑥)) ∈ ℝ ∧ 0 < ((π𝑥) · (log‘𝑥))))
67 ltmuldiv 10745 . . . . . . . . . . 11 ((if((1 − 𝑦) ≤ (1 / 2), (1 / 2), (1 − 𝑦)) ∈ ℝ ∧ (θ‘𝑥) ∈ ℝ ∧ (((π𝑥) · (log‘𝑥)) ∈ ℝ ∧ 0 < ((π𝑥) · (log‘𝑥)))) → ((if((1 − 𝑦) ≤ (1 / 2), (1 / 2), (1 − 𝑦)) · ((π𝑥) · (log‘𝑥))) < (θ‘𝑥) ↔ if((1 − 𝑦) ≤ (1 / 2), (1 / 2), (1 − 𝑦)) < ((θ‘𝑥) / ((π𝑥) · (log‘𝑥)))))
6836, 64, 66, 67syl3anc 1317 . . . . . . . . . 10 ((𝑦 ∈ ℝ+𝑥 ∈ (2[,)+∞)) → ((if((1 − 𝑦) ≤ (1 / 2), (1 / 2), (1 − 𝑦)) · ((π𝑥) · (log‘𝑥))) < (θ‘𝑥) ↔ if((1 − 𝑦) ≤ (1 / 2), (1 / 2), (1 − 𝑦)) < ((θ‘𝑥) / ((π𝑥) · (log‘𝑥)))))
6963, 68bitrd 266 . . . . . . . . 9 ((𝑦 ∈ ℝ+𝑥 ∈ (2[,)+∞)) → ((((√‘if((1 − 𝑦) ≤ (1 / 2), (1 / 2), (1 − 𝑦)))↑2) · ((π𝑥) · (log‘𝑥))) < (θ‘𝑥) ↔ if((1 − 𝑦) ≤ (1 / 2), (1 / 2), (1 − 𝑦)) < ((θ‘𝑥) / ((π𝑥) · (log‘𝑥)))))
70 0red 9897 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (𝑥 ∈ (2[,)+∞) → 0 ∈ ℝ)
71 2pos 10959 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 0 < 2
7271a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (𝑥 ∈ (2[,)+∞) → 0 < 2)
7370, 47, 40, 72, 50ltletrd 10048 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝑥 ∈ (2[,)+∞) → 0 < 𝑥)
7440, 73elrpd 11701 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝑥 ∈ (2[,)+∞) → 𝑥 ∈ ℝ+)
75 chtleppi 24652 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝑥 ∈ ℝ+ → (θ‘𝑥) ≤ ((π𝑥) · (log‘𝑥)))
7674, 75syl 17 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝑥 ∈ (2[,)+∞) → (θ‘𝑥) ≤ ((π𝑥) · (log‘𝑥)))
7753rpcnd 11706 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝑥 ∈ (2[,)+∞) → ((π𝑥) · (log‘𝑥)) ∈ ℂ)
7877mulid1d 9913 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝑥 ∈ (2[,)+∞) → (((π𝑥) · (log‘𝑥)) · 1) = ((π𝑥) · (log‘𝑥)))
7976, 78breqtrrd 4605 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑥 ∈ (2[,)+∞) → (θ‘𝑥) ≤ (((π𝑥) · (log‘𝑥)) · 1))
8042, 46, 53ledivmuld 11757 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑥 ∈ (2[,)+∞) → (((θ‘𝑥) / ((π𝑥) · (log‘𝑥))) ≤ 1 ↔ (θ‘𝑥) ≤ (((π𝑥) · (log‘𝑥)) · 1)))
8179, 80mpbird 245 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑥 ∈ (2[,)+∞) → ((θ‘𝑥) / ((π𝑥) · (log‘𝑥))) ≤ 1)
8254, 46, 81abssuble0d 13965 . . . . . . . . . . . 12 (𝑥 ∈ (2[,)+∞) → (abs‘(((θ‘𝑥) / ((π𝑥) · (log‘𝑥))) − 1)) = (1 − ((θ‘𝑥) / ((π𝑥) · (log‘𝑥)))))
8382breq1d 4587 . . . . . . . . . . 11 (𝑥 ∈ (2[,)+∞) → ((abs‘(((θ‘𝑥) / ((π𝑥) · (log‘𝑥))) − 1)) < 𝑦 ↔ (1 − ((θ‘𝑥) / ((π𝑥) · (log‘𝑥)))) < 𝑦))
8483adantl 480 . . . . . . . . . 10 ((𝑦 ∈ ℝ+𝑥 ∈ (2[,)+∞)) → ((abs‘(((θ‘𝑥) / ((π𝑥) · (log‘𝑥))) − 1)) < 𝑦 ↔ (1 − ((θ‘𝑥) / ((π𝑥) · (log‘𝑥)))) < 𝑦))
852a1i 11 . . . . . . . . . . 11 ((𝑦 ∈ ℝ+𝑥 ∈ (2[,)+∞)) → 1 ∈ ℝ)
863adantr 479 . . . . . . . . . . 11 ((𝑦 ∈ ℝ+𝑥 ∈ (2[,)+∞)) → 𝑦 ∈ ℝ)
87 ltsub23 10357 . . . . . . . . . . 11 ((1 ∈ ℝ ∧ ((θ‘𝑥) / ((π𝑥) · (log‘𝑥))) ∈ ℝ ∧ 𝑦 ∈ ℝ) → ((1 − ((θ‘𝑥) / ((π𝑥) · (log‘𝑥)))) < 𝑦 ↔ (1 − 𝑦) < ((θ‘𝑥) / ((π𝑥) · (log‘𝑥)))))
8885, 55, 86, 87syl3anc 1317 . . . . . . . . . 10 ((𝑦 ∈ ℝ+𝑥 ∈ (2[,)+∞)) → ((1 − ((θ‘𝑥) / ((π𝑥) · (log‘𝑥)))) < 𝑦 ↔ (1 − 𝑦) < ((θ‘𝑥) / ((π𝑥) · (log‘𝑥)))))
8984, 88bitrd 266 . . . . . . . . 9 ((𝑦 ∈ ℝ+𝑥 ∈ (2[,)+∞)) → ((abs‘(((θ‘𝑥) / ((π𝑥) · (log‘𝑥))) − 1)) < 𝑦 ↔ (1 − 𝑦) < ((θ‘𝑥) / ((π𝑥) · (log‘𝑥)))))
9058, 69, 893imtr4d 281 . . . . . . . 8 ((𝑦 ∈ ℝ+𝑥 ∈ (2[,)+∞)) → ((((√‘if((1 − 𝑦) ≤ (1 / 2), (1 / 2), (1 − 𝑦)))↑2) · ((π𝑥) · (log‘𝑥))) < (θ‘𝑥) → (abs‘(((θ‘𝑥) / ((π𝑥) · (log‘𝑥))) − 1)) < 𝑦))
9190imim2d 54 . . . . . . 7 ((𝑦 ∈ ℝ+𝑥 ∈ (2[,)+∞)) → ((𝑧𝑥 → (((√‘if((1 − 𝑦) ≤ (1 / 2), (1 / 2), (1 − 𝑦)))↑2) · ((π𝑥) · (log‘𝑥))) < (θ‘𝑥)) → (𝑧𝑥 → (abs‘(((θ‘𝑥) / ((π𝑥) · (log‘𝑥))) − 1)) < 𝑦)))
9291ralimdva 2944 . . . . . 6 (𝑦 ∈ ℝ+ → (∀𝑥 ∈ (2[,)+∞)(𝑧𝑥 → (((√‘if((1 − 𝑦) ≤ (1 / 2), (1 / 2), (1 − 𝑦)))↑2) · ((π𝑥) · (log‘𝑥))) < (θ‘𝑥)) → ∀𝑥 ∈ (2[,)+∞)(𝑧𝑥 → (abs‘(((θ‘𝑥) / ((π𝑥) · (log‘𝑥))) − 1)) < 𝑦)))
9392reximdv 2998 . . . . 5 (𝑦 ∈ ℝ+ → (∃𝑧 ∈ ℝ ∀𝑥 ∈ (2[,)+∞)(𝑧𝑥 → (((√‘if((1 − 𝑦) ≤ (1 / 2), (1 / 2), (1 − 𝑦)))↑2) · ((π𝑥) · (log‘𝑥))) < (θ‘𝑥)) → ∃𝑧 ∈ ℝ ∀𝑥 ∈ (2[,)+∞)(𝑧𝑥 → (abs‘(((θ‘𝑥) / ((π𝑥) · (log‘𝑥))) − 1)) < 𝑦)))
9432, 93mpd 15 . . . 4 (𝑦 ∈ ℝ+ → ∃𝑧 ∈ ℝ ∀𝑥 ∈ (2[,)+∞)(𝑧𝑥 → (abs‘(((θ‘𝑥) / ((π𝑥) · (log‘𝑥))) − 1)) < 𝑦))
9594rgen 2905 . . 3 𝑦 ∈ ℝ+𝑧 ∈ ℝ ∀𝑥 ∈ (2[,)+∞)(𝑧𝑥 → (abs‘(((θ‘𝑥) / ((π𝑥) · (log‘𝑥))) − 1)) < 𝑦)
9654recnd 9924 . . . . . 6 (𝑥 ∈ (2[,)+∞) → ((θ‘𝑥) / ((π𝑥) · (log‘𝑥))) ∈ ℂ)
9796adantl 480 . . . . 5 ((⊤ ∧ 𝑥 ∈ (2[,)+∞)) → ((θ‘𝑥) / ((π𝑥) · (log‘𝑥))) ∈ ℂ)
9897ralrimiva 2948 . . . 4 (⊤ → ∀𝑥 ∈ (2[,)+∞)((θ‘𝑥) / ((π𝑥) · (log‘𝑥))) ∈ ℂ)
9940ssriv 3571 . . . . 5 (2[,)+∞) ⊆ ℝ
10099a1i 11 . . . 4 (⊤ → (2[,)+∞) ⊆ ℝ)
101 1cnd 9912 . . . 4 (⊤ → 1 ∈ ℂ)
10298, 100, 101rlim2 14021 . . 3 (⊤ → ((𝑥 ∈ (2[,)+∞) ↦ ((θ‘𝑥) / ((π𝑥) · (log‘𝑥)))) ⇝𝑟 1 ↔ ∀𝑦 ∈ ℝ+𝑧 ∈ ℝ ∀𝑥 ∈ (2[,)+∞)(𝑧𝑥 → (abs‘(((θ‘𝑥) / ((π𝑥) · (log‘𝑥))) − 1)) < 𝑦)))
10395, 102mpbiri 246 . 2 (⊤ → (𝑥 ∈ (2[,)+∞) ↦ ((θ‘𝑥) / ((π𝑥) · (log‘𝑥)))) ⇝𝑟 1)
104103trud 1483 1 (𝑥 ∈ (2[,)+∞) ↦ ((θ‘𝑥) / ((π𝑥) · (log‘𝑥)))) ⇝𝑟 1
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wb 194  wa 382   = wceq 1474  wtru 1475  wcel 1976  wral 2895  wrex 2896  wss 3539  ifcif 4035   class class class wbr 4577  cmpt 4637  cfv 5790  (class class class)co 6527  cc 9790  cr 9791  0cc0 9792  1c1 9793   · cmul 9797  +∞cpnf 9927   < clt 9930  cle 9931  cmin 10117   / cdiv 10533  cn 10867  2c2 10917  +crp 11664  [,)cico 12004  cexp 12677  csqrt 13767  abscabs 13768  𝑟 crli 14010  logclog 24022  θccht 24534  πcppi 24537
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1712  ax-4 1727  ax-5 1826  ax-6 1874  ax-7 1921  ax-8 1978  ax-9 1985  ax-10 2005  ax-11 2020  ax-12 2033  ax-13 2233  ax-ext 2589  ax-rep 4693  ax-sep 4703  ax-nul 4712  ax-pow 4764  ax-pr 4828  ax-un 6824  ax-inf2 8398  ax-cnex 9848  ax-resscn 9849  ax-1cn 9850  ax-icn 9851  ax-addcl 9852  ax-addrcl 9853  ax-mulcl 9854  ax-mulrcl 9855  ax-mulcom 9856  ax-addass 9857  ax-mulass 9858  ax-distr 9859  ax-i2m1 9860  ax-1ne0 9861  ax-1rid 9862  ax-rnegex 9863  ax-rrecex 9864  ax-cnre 9865  ax-pre-lttri 9866  ax-pre-lttrn 9867  ax-pre-ltadd 9868  ax-pre-mulgt0 9869  ax-pre-sup 9870  ax-addf 9871  ax-mulf 9872
This theorem depends on definitions:  df-bi 195  df-or 383  df-an 384  df-3or 1031  df-3an 1032  df-tru 1477  df-fal 1480  df-ex 1695  df-nf 1700  df-sb 1867  df-eu 2461  df-mo 2462  df-clab 2596  df-cleq 2602  df-clel 2605  df-nfc 2739  df-ne 2781  df-nel 2782  df-ral 2900  df-rex 2901  df-reu 2902  df-rmo 2903  df-rab 2904  df-v 3174  df-sbc 3402  df-csb 3499  df-dif 3542  df-un 3544  df-in 3546  df-ss 3553  df-pss 3555  df-nul 3874  df-if 4036  df-pw 4109  df-sn 4125  df-pr 4127  df-tp 4129  df-op 4131  df-uni 4367  df-int 4405  df-iun 4451  df-iin 4452  df-br 4578  df-opab 4638  df-mpt 4639  df-tr 4675  df-eprel 4939  df-id 4943  df-po 4949  df-so 4950  df-fr 4987  df-se 4988  df-we 4989  df-xp 5034  df-rel 5035  df-cnv 5036  df-co 5037  df-dm 5038  df-rn 5039  df-res 5040  df-ima 5041  df-pred 5583  df-ord 5629  df-on 5630  df-lim 5631  df-suc 5632  df-iota 5754  df-fun 5792  df-fn 5793  df-f 5794  df-f1 5795  df-fo 5796  df-f1o 5797  df-fv 5798  df-isom 5799  df-riota 6489  df-ov 6530  df-oprab 6531  df-mpt2 6532  df-of 6772  df-om 6935  df-1st 7036  df-2nd 7037  df-supp 7160  df-wrecs 7271  df-recs 7332  df-rdg 7370  df-1o 7424  df-2o 7425  df-oadd 7428  df-er 7606  df-map 7723  df-pm 7724  df-ixp 7772  df-en 7819  df-dom 7820  df-sdom 7821  df-fin 7822  df-fsupp 8136  df-fi 8177  df-sup 8208  df-inf 8209  df-oi 8275  df-card 8625  df-cda 8850  df-pnf 9932  df-mnf 9933  df-xr 9934  df-ltxr 9935  df-le 9936  df-sub 10119  df-neg 10120  df-div 10534  df-nn 10868  df-2 10926  df-3 10927  df-4 10928  df-5 10929  df-6 10930  df-7 10931  df-8 10932  df-9 10933  df-n0 11140  df-z 11211  df-dec 11326  df-uz 11520  df-q 11621  df-rp 11665  df-xneg 11778  df-xadd 11779  df-xmul 11780  df-ioo 12006  df-ioc 12007  df-ico 12008  df-icc 12009  df-fz 12153  df-fzo 12290  df-fl 12410  df-mod 12486  df-seq 12619  df-exp 12678  df-fac 12878  df-bc 12907  df-hash 12935  df-shft 13601  df-cj 13633  df-re 13634  df-im 13635  df-sqrt 13769  df-abs 13770  df-limsup 13996  df-clim 14013  df-rlim 14014  df-o1 14015  df-lo1 14016  df-sum 14211  df-ef 14583  df-e 14584  df-sin 14585  df-cos 14586  df-pi 14588  df-dvds 14768  df-gcd 15001  df-prm 15170  df-pc 15326  df-struct 15643  df-ndx 15644  df-slot 15645  df-base 15646  df-sets 15647  df-ress 15648  df-plusg 15727  df-mulr 15728  df-starv 15729  df-sca 15730  df-vsca 15731  df-ip 15732  df-tset 15733  df-ple 15734  df-ds 15737  df-unif 15738  df-hom 15739  df-cco 15740  df-rest 15852  df-topn 15853  df-0g 15871  df-gsum 15872  df-topgen 15873  df-pt 15874  df-prds 15877  df-xrs 15931  df-qtop 15936  df-imas 15937  df-xps 15939  df-mre 16015  df-mrc 16016  df-acs 16018  df-mgm 17011  df-sgrp 17053  df-mnd 17064  df-submnd 17105  df-mulg 17310  df-cntz 17519  df-cmn 17964  df-psmet 19505  df-xmet 19506  df-met 19507  df-bl 19508  df-mopn 19509  df-fbas 19510  df-fg 19511  df-cnfld 19514  df-top 20463  df-bases 20464  df-topon 20465  df-topsp 20466  df-cld 20575  df-ntr 20576  df-cls 20577  df-nei 20654  df-lp 20692  df-perf 20693  df-cn 20783  df-cnp 20784  df-haus 20871  df-tx 21117  df-hmeo 21310  df-fil 21402  df-fm 21494  df-flim 21495  df-flf 21496  df-xms 21876  df-ms 21877  df-tms 21878  df-cncf 22420  df-limc 23353  df-dv 23354  df-log 24024  df-cxp 24025  df-cht 24540  df-ppi 24543
This theorem is referenced by:  chebbnd2  24883  chto1lb  24884  pnt  25020
  Copyright terms: Public domain W3C validator