MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  chtppilimlem1 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem chtppilimlem1 25207
Description: Lemma for chtppilim 25209. (Contributed by Mario Carneiro, 22-Sep-2014.)
Hypotheses
Ref Expression
chtppilim.1 (𝜑𝐴 ∈ ℝ+)
chtppilim.2 (𝜑𝐴 < 1)
chtppilim.3 (𝜑𝑁 ∈ (2[,)+∞))
chtppilim.4 (𝜑 → ((𝑁𝑐𝐴) / (π𝑁)) < (1 − 𝐴))
Assertion
Ref Expression
chtppilimlem1 (𝜑 → ((𝐴↑2) · ((π𝑁) · (log‘𝑁))) < (θ‘𝑁))

Proof of Theorem chtppilimlem1
Dummy variable 𝑝 is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 chtppilim.1 . . . . . . 7 (𝜑𝐴 ∈ ℝ+)
21rpred 11910 . . . . . 6 (𝜑𝐴 ∈ ℝ)
32recnd 10106 . . . . 5 (𝜑𝐴 ∈ ℂ)
43sqvald 13045 . . . 4 (𝜑 → (𝐴↑2) = (𝐴 · 𝐴))
54oveq1d 6705 . . 3 (𝜑 → ((𝐴↑2) · ((π𝑁) · (log‘𝑁))) = ((𝐴 · 𝐴) · ((π𝑁) · (log‘𝑁))))
6 chtppilim.3 . . . . . . . . 9 (𝜑𝑁 ∈ (2[,)+∞))
7 2re 11128 . . . . . . . . . 10 2 ∈ ℝ
8 elicopnf 12307 . . . . . . . . . 10 (2 ∈ ℝ → (𝑁 ∈ (2[,)+∞) ↔ (𝑁 ∈ ℝ ∧ 2 ≤ 𝑁)))
97, 8ax-mp 5 . . . . . . . . 9 (𝑁 ∈ (2[,)+∞) ↔ (𝑁 ∈ ℝ ∧ 2 ≤ 𝑁))
106, 9sylib 208 . . . . . . . 8 (𝜑 → (𝑁 ∈ ℝ ∧ 2 ≤ 𝑁))
1110simpld 474 . . . . . . 7 (𝜑𝑁 ∈ ℝ)
12 ppicl 24902 . . . . . . 7 (𝑁 ∈ ℝ → (π𝑁) ∈ ℕ0)
1311, 12syl 17 . . . . . 6 (𝜑 → (π𝑁) ∈ ℕ0)
1413nn0red 11390 . . . . 5 (𝜑 → (π𝑁) ∈ ℝ)
1514recnd 10106 . . . 4 (𝜑 → (π𝑁) ∈ ℂ)
16 0red 10079 . . . . . . . 8 (𝜑 → 0 ∈ ℝ)
177a1i 11 . . . . . . . 8 (𝜑 → 2 ∈ ℝ)
18 2pos 11150 . . . . . . . . 9 0 < 2
1918a1i 11 . . . . . . . 8 (𝜑 → 0 < 2)
2010simprd 478 . . . . . . . 8 (𝜑 → 2 ≤ 𝑁)
2116, 17, 11, 19, 20ltletrd 10235 . . . . . . 7 (𝜑 → 0 < 𝑁)
2211, 21elrpd 11907 . . . . . 6 (𝜑𝑁 ∈ ℝ+)
2322relogcld 24414 . . . . 5 (𝜑 → (log‘𝑁) ∈ ℝ)
2423recnd 10106 . . . 4 (𝜑 → (log‘𝑁) ∈ ℂ)
253, 3, 15, 24mul4d 10286 . . 3 (𝜑 → ((𝐴 · 𝐴) · ((π𝑁) · (log‘𝑁))) = ((𝐴 · (π𝑁)) · (𝐴 · (log‘𝑁))))
265, 25eqtrd 2685 . 2 (𝜑 → ((𝐴↑2) · ((π𝑁) · (log‘𝑁))) = ((𝐴 · (π𝑁)) · (𝐴 · (log‘𝑁))))
272, 14remulcld 10108 . . . 4 (𝜑 → (𝐴 · (π𝑁)) ∈ ℝ)
282, 23remulcld 10108 . . . 4 (𝜑 → (𝐴 · (log‘𝑁)) ∈ ℝ)
2927, 28remulcld 10108 . . 3 (𝜑 → ((𝐴 · (π𝑁)) · (𝐴 · (log‘𝑁))) ∈ ℝ)
3022, 2rpcxpcld 24521 . . . . . . . 8 (𝜑 → (𝑁𝑐𝐴) ∈ ℝ+)
3130rpred 11910 . . . . . . 7 (𝜑 → (𝑁𝑐𝐴) ∈ ℝ)
32 ppicl 24902 . . . . . . 7 ((𝑁𝑐𝐴) ∈ ℝ → (π‘(𝑁𝑐𝐴)) ∈ ℕ0)
3331, 32syl 17 . . . . . 6 (𝜑 → (π‘(𝑁𝑐𝐴)) ∈ ℕ0)
3433nn0red 11390 . . . . 5 (𝜑 → (π‘(𝑁𝑐𝐴)) ∈ ℝ)
3514, 34resubcld 10496 . . . 4 (𝜑 → ((π𝑁) − (π‘(𝑁𝑐𝐴))) ∈ ℝ)
3635, 28remulcld 10108 . . 3 (𝜑 → (((π𝑁) − (π‘(𝑁𝑐𝐴))) · (𝐴 · (log‘𝑁))) ∈ ℝ)
37 chtcl 24880 . . . 4 (𝑁 ∈ ℝ → (θ‘𝑁) ∈ ℝ)
3811, 37syl 17 . . 3 (𝜑 → (θ‘𝑁) ∈ ℝ)
39 1red 10093 . . . . . . 7 (𝜑 → 1 ∈ ℝ)
40 1lt2 11232 . . . . . . . 8 1 < 2
4140a1i 11 . . . . . . 7 (𝜑 → 1 < 2)
4239, 17, 11, 41, 20ltletrd 10235 . . . . . 6 (𝜑 → 1 < 𝑁)
4311, 42rplogcld 24420 . . . . 5 (𝜑 → (log‘𝑁) ∈ ℝ+)
441, 43rpmulcld 11926 . . . 4 (𝜑 → (𝐴 · (log‘𝑁)) ∈ ℝ+)
4514, 31resubcld 10496 . . . . 5 (𝜑 → ((π𝑁) − (𝑁𝑐𝐴)) ∈ ℝ)
46 ppinncl 24945 . . . . . . . . . 10 ((𝑁 ∈ ℝ ∧ 2 ≤ 𝑁) → (π𝑁) ∈ ℕ)
4710, 46syl 17 . . . . . . . . 9 (𝜑 → (π𝑁) ∈ ℕ)
4831, 47nndivred 11107 . . . . . . . 8 (𝜑 → ((𝑁𝑐𝐴) / (π𝑁)) ∈ ℝ)
49 chtppilim.4 . . . . . . . 8 (𝜑 → ((𝑁𝑐𝐴) / (π𝑁)) < (1 − 𝐴))
5048, 39, 2, 49ltsub13d 10671 . . . . . . 7 (𝜑𝐴 < (1 − ((𝑁𝑐𝐴) / (π𝑁))))
5131recnd 10106 . . . . . . . . 9 (𝜑 → (𝑁𝑐𝐴) ∈ ℂ)
5247nnrpd 11908 . . . . . . . . . 10 (𝜑 → (π𝑁) ∈ ℝ+)
5352rpcnne0d 11919 . . . . . . . . 9 (𝜑 → ((π𝑁) ∈ ℂ ∧ (π𝑁) ≠ 0))
54 divsubdir 10759 . . . . . . . . 9 (((π𝑁) ∈ ℂ ∧ (𝑁𝑐𝐴) ∈ ℂ ∧ ((π𝑁) ∈ ℂ ∧ (π𝑁) ≠ 0)) → (((π𝑁) − (𝑁𝑐𝐴)) / (π𝑁)) = (((π𝑁) / (π𝑁)) − ((𝑁𝑐𝐴) / (π𝑁))))
5515, 51, 53, 54syl3anc 1366 . . . . . . . 8 (𝜑 → (((π𝑁) − (𝑁𝑐𝐴)) / (π𝑁)) = (((π𝑁) / (π𝑁)) − ((𝑁𝑐𝐴) / (π𝑁))))
56 divid 10752 . . . . . . . . . 10 (((π𝑁) ∈ ℂ ∧ (π𝑁) ≠ 0) → ((π𝑁) / (π𝑁)) = 1)
5753, 56syl 17 . . . . . . . . 9 (𝜑 → ((π𝑁) / (π𝑁)) = 1)
5857oveq1d 6705 . . . . . . . 8 (𝜑 → (((π𝑁) / (π𝑁)) − ((𝑁𝑐𝐴) / (π𝑁))) = (1 − ((𝑁𝑐𝐴) / (π𝑁))))
5955, 58eqtrd 2685 . . . . . . 7 (𝜑 → (((π𝑁) − (𝑁𝑐𝐴)) / (π𝑁)) = (1 − ((𝑁𝑐𝐴) / (π𝑁))))
6050, 59breqtrrd 4713 . . . . . 6 (𝜑𝐴 < (((π𝑁) − (𝑁𝑐𝐴)) / (π𝑁)))
612, 45, 52ltmuldivd 11957 . . . . . 6 (𝜑 → ((𝐴 · (π𝑁)) < ((π𝑁) − (𝑁𝑐𝐴)) ↔ 𝐴 < (((π𝑁) − (𝑁𝑐𝐴)) / (π𝑁))))
6260, 61mpbird 247 . . . . 5 (𝜑 → (𝐴 · (π𝑁)) < ((π𝑁) − (𝑁𝑐𝐴)))
63 ppiltx 24948 . . . . . . 7 ((𝑁𝑐𝐴) ∈ ℝ+ → (π‘(𝑁𝑐𝐴)) < (𝑁𝑐𝐴))
6430, 63syl 17 . . . . . 6 (𝜑 → (π‘(𝑁𝑐𝐴)) < (𝑁𝑐𝐴))
6534, 31, 14, 64ltsub2dd 10678 . . . . 5 (𝜑 → ((π𝑁) − (𝑁𝑐𝐴)) < ((π𝑁) − (π‘(𝑁𝑐𝐴))))
6627, 45, 35, 62, 65lttrd 10236 . . . 4 (𝜑 → (𝐴 · (π𝑁)) < ((π𝑁) − (π‘(𝑁𝑐𝐴))))
6727, 35, 44, 66ltmul1dd 11965 . . 3 (𝜑 → ((𝐴 · (π𝑁)) · (𝐴 · (log‘𝑁))) < (((π𝑁) − (π‘(𝑁𝑐𝐴))) · (𝐴 · (log‘𝑁))))
68 fzfid 12812 . . . . . 6 (𝜑 → (((⌊‘(𝑁𝑐𝐴)) + 1)...(⌊‘𝑁)) ∈ Fin)
69 inss1 3866 . . . . . 6 ((((⌊‘(𝑁𝑐𝐴)) + 1)...(⌊‘𝑁)) ∩ ℙ) ⊆ (((⌊‘(𝑁𝑐𝐴)) + 1)...(⌊‘𝑁))
70 ssfi 8221 . . . . . 6 (((((⌊‘(𝑁𝑐𝐴)) + 1)...(⌊‘𝑁)) ∈ Fin ∧ ((((⌊‘(𝑁𝑐𝐴)) + 1)...(⌊‘𝑁)) ∩ ℙ) ⊆ (((⌊‘(𝑁𝑐𝐴)) + 1)...(⌊‘𝑁))) → ((((⌊‘(𝑁𝑐𝐴)) + 1)...(⌊‘𝑁)) ∩ ℙ) ∈ Fin)
7168, 69, 70sylancl 695 . . . . 5 (𝜑 → ((((⌊‘(𝑁𝑐𝐴)) + 1)...(⌊‘𝑁)) ∩ ℙ) ∈ Fin)
72 inss2 3867 . . . . . . . 8 ((((⌊‘(𝑁𝑐𝐴)) + 1)...(⌊‘𝑁)) ∩ ℙ) ⊆ ℙ
73 simpr 476 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑝 ∈ ((((⌊‘(𝑁𝑐𝐴)) + 1)...(⌊‘𝑁)) ∩ ℙ)) → 𝑝 ∈ ((((⌊‘(𝑁𝑐𝐴)) + 1)...(⌊‘𝑁)) ∩ ℙ))
7472, 73sseldi 3634 . . . . . . 7 ((𝜑𝑝 ∈ ((((⌊‘(𝑁𝑐𝐴)) + 1)...(⌊‘𝑁)) ∩ ℙ)) → 𝑝 ∈ ℙ)
75 prmnn 15435 . . . . . . . 8 (𝑝 ∈ ℙ → 𝑝 ∈ ℕ)
7675nnrpd 11908 . . . . . . 7 (𝑝 ∈ ℙ → 𝑝 ∈ ℝ+)
7774, 76syl 17 . . . . . 6 ((𝜑𝑝 ∈ ((((⌊‘(𝑁𝑐𝐴)) + 1)...(⌊‘𝑁)) ∩ ℙ)) → 𝑝 ∈ ℝ+)
7877relogcld 24414 . . . . 5 ((𝜑𝑝 ∈ ((((⌊‘(𝑁𝑐𝐴)) + 1)...(⌊‘𝑁)) ∩ ℙ)) → (log‘𝑝) ∈ ℝ)
7971, 78fsumrecl 14509 . . . 4 (𝜑 → Σ𝑝 ∈ ((((⌊‘(𝑁𝑐𝐴)) + 1)...(⌊‘𝑁)) ∩ ℙ)(log‘𝑝) ∈ ℝ)
8028recnd 10106 . . . . . . 7 (𝜑 → (𝐴 · (log‘𝑁)) ∈ ℂ)
81 fsumconst 14566 . . . . . . 7 ((((((⌊‘(𝑁𝑐𝐴)) + 1)...(⌊‘𝑁)) ∩ ℙ) ∈ Fin ∧ (𝐴 · (log‘𝑁)) ∈ ℂ) → Σ𝑝 ∈ ((((⌊‘(𝑁𝑐𝐴)) + 1)...(⌊‘𝑁)) ∩ ℙ)(𝐴 · (log‘𝑁)) = ((#‘((((⌊‘(𝑁𝑐𝐴)) + 1)...(⌊‘𝑁)) ∩ ℙ)) · (𝐴 · (log‘𝑁))))
8271, 80, 81syl2anc 694 . . . . . 6 (𝜑 → Σ𝑝 ∈ ((((⌊‘(𝑁𝑐𝐴)) + 1)...(⌊‘𝑁)) ∩ ℙ)(𝐴 · (log‘𝑁)) = ((#‘((((⌊‘(𝑁𝑐𝐴)) + 1)...(⌊‘𝑁)) ∩ ℙ)) · (𝐴 · (log‘𝑁))))
83 ppifl 24931 . . . . . . . . . 10 (𝑁 ∈ ℝ → (π‘(⌊‘𝑁)) = (π𝑁))
8411, 83syl 17 . . . . . . . . 9 (𝜑 → (π‘(⌊‘𝑁)) = (π𝑁))
85 ppifl 24931 . . . . . . . . . 10 ((𝑁𝑐𝐴) ∈ ℝ → (π‘(⌊‘(𝑁𝑐𝐴))) = (π‘(𝑁𝑐𝐴)))
8631, 85syl 17 . . . . . . . . 9 (𝜑 → (π‘(⌊‘(𝑁𝑐𝐴))) = (π‘(𝑁𝑐𝐴)))
8784, 86oveq12d 6708 . . . . . . . 8 (𝜑 → ((π‘(⌊‘𝑁)) − (π‘(⌊‘(𝑁𝑐𝐴)))) = ((π𝑁) − (π‘(𝑁𝑐𝐴))))
8839, 11, 42ltled 10223 . . . . . . . . . . . 12 (𝜑 → 1 ≤ 𝑁)
89 chtppilim.2 . . . . . . . . . . . . 13 (𝜑𝐴 < 1)
90 1re 10077 . . . . . . . . . . . . . 14 1 ∈ ℝ
91 ltle 10164 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 1 ∈ ℝ) → (𝐴 < 1 → 𝐴 ≤ 1))
922, 90, 91sylancl 695 . . . . . . . . . . . . 13 (𝜑 → (𝐴 < 1 → 𝐴 ≤ 1))
9389, 92mpd 15 . . . . . . . . . . . 12 (𝜑𝐴 ≤ 1)
9411, 88, 2, 39, 93cxplead 24512 . . . . . . . . . . 11 (𝜑 → (𝑁𝑐𝐴) ≤ (𝑁𝑐1))
9511recnd 10106 . . . . . . . . . . . 12 (𝜑𝑁 ∈ ℂ)
9695cxp1d 24497 . . . . . . . . . . 11 (𝜑 → (𝑁𝑐1) = 𝑁)
9794, 96breqtrd 4711 . . . . . . . . . 10 (𝜑 → (𝑁𝑐𝐴) ≤ 𝑁)
98 flword2 12654 . . . . . . . . . 10 (((𝑁𝑐𝐴) ∈ ℝ ∧ 𝑁 ∈ ℝ ∧ (𝑁𝑐𝐴) ≤ 𝑁) → (⌊‘𝑁) ∈ (ℤ‘(⌊‘(𝑁𝑐𝐴))))
9931, 11, 97, 98syl3anc 1366 . . . . . . . . 9 (𝜑 → (⌊‘𝑁) ∈ (ℤ‘(⌊‘(𝑁𝑐𝐴))))
100 ppidif 24934 . . . . . . . . 9 ((⌊‘𝑁) ∈ (ℤ‘(⌊‘(𝑁𝑐𝐴))) → ((π‘(⌊‘𝑁)) − (π‘(⌊‘(𝑁𝑐𝐴)))) = (#‘((((⌊‘(𝑁𝑐𝐴)) + 1)...(⌊‘𝑁)) ∩ ℙ)))
10199, 100syl 17 . . . . . . . 8 (𝜑 → ((π‘(⌊‘𝑁)) − (π‘(⌊‘(𝑁𝑐𝐴)))) = (#‘((((⌊‘(𝑁𝑐𝐴)) + 1)...(⌊‘𝑁)) ∩ ℙ)))
10287, 101eqtr3d 2687 . . . . . . 7 (𝜑 → ((π𝑁) − (π‘(𝑁𝑐𝐴))) = (#‘((((⌊‘(𝑁𝑐𝐴)) + 1)...(⌊‘𝑁)) ∩ ℙ)))
103102oveq1d 6705 . . . . . 6 (𝜑 → (((π𝑁) − (π‘(𝑁𝑐𝐴))) · (𝐴 · (log‘𝑁))) = ((#‘((((⌊‘(𝑁𝑐𝐴)) + 1)...(⌊‘𝑁)) ∩ ℙ)) · (𝐴 · (log‘𝑁))))
10482, 103eqtr4d 2688 . . . . 5 (𝜑 → Σ𝑝 ∈ ((((⌊‘(𝑁𝑐𝐴)) + 1)...(⌊‘𝑁)) ∩ ℙ)(𝐴 · (log‘𝑁)) = (((π𝑁) − (π‘(𝑁𝑐𝐴))) · (𝐴 · (log‘𝑁))))
10528adantr 480 . . . . . 6 ((𝜑𝑝 ∈ ((((⌊‘(𝑁𝑐𝐴)) + 1)...(⌊‘𝑁)) ∩ ℙ)) → (𝐴 · (log‘𝑁)) ∈ ℝ)
10631adantr 480 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑝 ∈ ((((⌊‘(𝑁𝑐𝐴)) + 1)...(⌊‘𝑁)) ∩ ℙ)) → (𝑁𝑐𝐴) ∈ ℝ)
107 reflcl 12637 . . . . . . . . . . 11 ((𝑁𝑐𝐴) ∈ ℝ → (⌊‘(𝑁𝑐𝐴)) ∈ ℝ)
108 peano2re 10247 . . . . . . . . . . 11 ((⌊‘(𝑁𝑐𝐴)) ∈ ℝ → ((⌊‘(𝑁𝑐𝐴)) + 1) ∈ ℝ)
10931, 107, 1083syl 18 . . . . . . . . . 10 (𝜑 → ((⌊‘(𝑁𝑐𝐴)) + 1) ∈ ℝ)
110109adantr 480 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑝 ∈ ((((⌊‘(𝑁𝑐𝐴)) + 1)...(⌊‘𝑁)) ∩ ℙ)) → ((⌊‘(𝑁𝑐𝐴)) + 1) ∈ ℝ)
11177rpred 11910 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑝 ∈ ((((⌊‘(𝑁𝑐𝐴)) + 1)...(⌊‘𝑁)) ∩ ℙ)) → 𝑝 ∈ ℝ)
112 fllep1 12642 . . . . . . . . . . 11 ((𝑁𝑐𝐴) ∈ ℝ → (𝑁𝑐𝐴) ≤ ((⌊‘(𝑁𝑐𝐴)) + 1))
11331, 112syl 17 . . . . . . . . . 10 (𝜑 → (𝑁𝑐𝐴) ≤ ((⌊‘(𝑁𝑐𝐴)) + 1))
114113adantr 480 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑝 ∈ ((((⌊‘(𝑁𝑐𝐴)) + 1)...(⌊‘𝑁)) ∩ ℙ)) → (𝑁𝑐𝐴) ≤ ((⌊‘(𝑁𝑐𝐴)) + 1))
11569, 73sseldi 3634 . . . . . . . . . 10 ((𝜑𝑝 ∈ ((((⌊‘(𝑁𝑐𝐴)) + 1)...(⌊‘𝑁)) ∩ ℙ)) → 𝑝 ∈ (((⌊‘(𝑁𝑐𝐴)) + 1)...(⌊‘𝑁)))
116 elfzle1 12382 . . . . . . . . . 10 (𝑝 ∈ (((⌊‘(𝑁𝑐𝐴)) + 1)...(⌊‘𝑁)) → ((⌊‘(𝑁𝑐𝐴)) + 1) ≤ 𝑝)
117115, 116syl 17 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑝 ∈ ((((⌊‘(𝑁𝑐𝐴)) + 1)...(⌊‘𝑁)) ∩ ℙ)) → ((⌊‘(𝑁𝑐𝐴)) + 1) ≤ 𝑝)
118106, 110, 111, 114, 117letrd 10232 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑝 ∈ ((((⌊‘(𝑁𝑐𝐴)) + 1)...(⌊‘𝑁)) ∩ ℙ)) → (𝑁𝑐𝐴) ≤ 𝑝)
11922rpne0d 11915 . . . . . . . . . . 11 (𝜑𝑁 ≠ 0)
12095, 119, 3cxpefd 24503 . . . . . . . . . 10 (𝜑 → (𝑁𝑐𝐴) = (exp‘(𝐴 · (log‘𝑁))))
121120eqcomd 2657 . . . . . . . . 9 (𝜑 → (exp‘(𝐴 · (log‘𝑁))) = (𝑁𝑐𝐴))
122121adantr 480 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑝 ∈ ((((⌊‘(𝑁𝑐𝐴)) + 1)...(⌊‘𝑁)) ∩ ℙ)) → (exp‘(𝐴 · (log‘𝑁))) = (𝑁𝑐𝐴))
12377reeflogd 24415 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑝 ∈ ((((⌊‘(𝑁𝑐𝐴)) + 1)...(⌊‘𝑁)) ∩ ℙ)) → (exp‘(log‘𝑝)) = 𝑝)
124118, 122, 1233brtr4d 4717 . . . . . . 7 ((𝜑𝑝 ∈ ((((⌊‘(𝑁𝑐𝐴)) + 1)...(⌊‘𝑁)) ∩ ℙ)) → (exp‘(𝐴 · (log‘𝑁))) ≤ (exp‘(log‘𝑝)))
125 efle 14892 . . . . . . . 8 (((𝐴 · (log‘𝑁)) ∈ ℝ ∧ (log‘𝑝) ∈ ℝ) → ((𝐴 · (log‘𝑁)) ≤ (log‘𝑝) ↔ (exp‘(𝐴 · (log‘𝑁))) ≤ (exp‘(log‘𝑝))))
126105, 78, 125syl2anc 694 . . . . . . 7 ((𝜑𝑝 ∈ ((((⌊‘(𝑁𝑐𝐴)) + 1)...(⌊‘𝑁)) ∩ ℙ)) → ((𝐴 · (log‘𝑁)) ≤ (log‘𝑝) ↔ (exp‘(𝐴 · (log‘𝑁))) ≤ (exp‘(log‘𝑝))))
127124, 126mpbird 247 . . . . . 6 ((𝜑𝑝 ∈ ((((⌊‘(𝑁𝑐𝐴)) + 1)...(⌊‘𝑁)) ∩ ℙ)) → (𝐴 · (log‘𝑁)) ≤ (log‘𝑝))
12871, 105, 78, 127fsumle 14575 . . . . 5 (𝜑 → Σ𝑝 ∈ ((((⌊‘(𝑁𝑐𝐴)) + 1)...(⌊‘𝑁)) ∩ ℙ)(𝐴 · (log‘𝑁)) ≤ Σ𝑝 ∈ ((((⌊‘(𝑁𝑐𝐴)) + 1)...(⌊‘𝑁)) ∩ ℙ)(log‘𝑝))
129104, 128eqbrtrrd 4709 . . . 4 (𝜑 → (((π𝑁) − (π‘(𝑁𝑐𝐴))) · (𝐴 · (log‘𝑁))) ≤ Σ𝑝 ∈ ((((⌊‘(𝑁𝑐𝐴)) + 1)...(⌊‘𝑁)) ∩ ℙ)(log‘𝑝))
130 fzfid 12812 . . . . . . 7 (𝜑 → (1...(⌊‘𝑁)) ∈ Fin)
131 inss1 3866 . . . . . . 7 ((1...(⌊‘𝑁)) ∩ ℙ) ⊆ (1...(⌊‘𝑁))
132 ssfi 8221 . . . . . . 7 (((1...(⌊‘𝑁)) ∈ Fin ∧ ((1...(⌊‘𝑁)) ∩ ℙ) ⊆ (1...(⌊‘𝑁))) → ((1...(⌊‘𝑁)) ∩ ℙ) ∈ Fin)
133130, 131, 132sylancl 695 . . . . . 6 (𝜑 → ((1...(⌊‘𝑁)) ∩ ℙ) ∈ Fin)
134 inss2 3867 . . . . . . . . . . . . 13 ((1...(⌊‘𝑁)) ∩ ℙ) ⊆ ℙ
135 simpr 476 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝜑𝑝 ∈ ((1...(⌊‘𝑁)) ∩ ℙ)) → 𝑝 ∈ ((1...(⌊‘𝑁)) ∩ ℙ))
136134, 135sseldi 3634 . . . . . . . . . . . 12 ((𝜑𝑝 ∈ ((1...(⌊‘𝑁)) ∩ ℙ)) → 𝑝 ∈ ℙ)
137 prmuz2 15455 . . . . . . . . . . . 12 (𝑝 ∈ ℙ → 𝑝 ∈ (ℤ‘2))
138136, 137syl 17 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑𝑝 ∈ ((1...(⌊‘𝑁)) ∩ ℙ)) → 𝑝 ∈ (ℤ‘2))
139 eluz2b2 11799 . . . . . . . . . . 11 (𝑝 ∈ (ℤ‘2) ↔ (𝑝 ∈ ℕ ∧ 1 < 𝑝))
140138, 139sylib 208 . . . . . . . . . 10 ((𝜑𝑝 ∈ ((1...(⌊‘𝑁)) ∩ ℙ)) → (𝑝 ∈ ℕ ∧ 1 < 𝑝))
141140simpld 474 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑝 ∈ ((1...(⌊‘𝑁)) ∩ ℙ)) → 𝑝 ∈ ℕ)
142141nnred 11073 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑝 ∈ ((1...(⌊‘𝑁)) ∩ ℙ)) → 𝑝 ∈ ℝ)
143140simprd 478 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑝 ∈ ((1...(⌊‘𝑁)) ∩ ℙ)) → 1 < 𝑝)
144142, 143rplogcld 24420 . . . . . . 7 ((𝜑𝑝 ∈ ((1...(⌊‘𝑁)) ∩ ℙ)) → (log‘𝑝) ∈ ℝ+)
145144rpred 11910 . . . . . 6 ((𝜑𝑝 ∈ ((1...(⌊‘𝑁)) ∩ ℙ)) → (log‘𝑝) ∈ ℝ)
146144rpge0d 11914 . . . . . 6 ((𝜑𝑝 ∈ ((1...(⌊‘𝑁)) ∩ ℙ)) → 0 ≤ (log‘𝑝))
14730rpge0d 11914 . . . . . . . . . 10 (𝜑 → 0 ≤ (𝑁𝑐𝐴))
148 flge0nn0 12661 . . . . . . . . . 10 (((𝑁𝑐𝐴) ∈ ℝ ∧ 0 ≤ (𝑁𝑐𝐴)) → (⌊‘(𝑁𝑐𝐴)) ∈ ℕ0)
14931, 147, 148syl2anc 694 . . . . . . . . 9 (𝜑 → (⌊‘(𝑁𝑐𝐴)) ∈ ℕ0)
150 nn0p1nn 11370 . . . . . . . . 9 ((⌊‘(𝑁𝑐𝐴)) ∈ ℕ0 → ((⌊‘(𝑁𝑐𝐴)) + 1) ∈ ℕ)
151149, 150syl 17 . . . . . . . 8 (𝜑 → ((⌊‘(𝑁𝑐𝐴)) + 1) ∈ ℕ)
152 nnuz 11761 . . . . . . . 8 ℕ = (ℤ‘1)
153151, 152syl6eleq 2740 . . . . . . 7 (𝜑 → ((⌊‘(𝑁𝑐𝐴)) + 1) ∈ (ℤ‘1))
154 fzss1 12418 . . . . . . 7 (((⌊‘(𝑁𝑐𝐴)) + 1) ∈ (ℤ‘1) → (((⌊‘(𝑁𝑐𝐴)) + 1)...(⌊‘𝑁)) ⊆ (1...(⌊‘𝑁)))
155 ssrin 3871 . . . . . . 7 ((((⌊‘(𝑁𝑐𝐴)) + 1)...(⌊‘𝑁)) ⊆ (1...(⌊‘𝑁)) → ((((⌊‘(𝑁𝑐𝐴)) + 1)...(⌊‘𝑁)) ∩ ℙ) ⊆ ((1...(⌊‘𝑁)) ∩ ℙ))
156153, 154, 1553syl 18 . . . . . 6 (𝜑 → ((((⌊‘(𝑁𝑐𝐴)) + 1)...(⌊‘𝑁)) ∩ ℙ) ⊆ ((1...(⌊‘𝑁)) ∩ ℙ))
157133, 145, 146, 156fsumless 14572 . . . . 5 (𝜑 → Σ𝑝 ∈ ((((⌊‘(𝑁𝑐𝐴)) + 1)...(⌊‘𝑁)) ∩ ℙ)(log‘𝑝) ≤ Σ𝑝 ∈ ((1...(⌊‘𝑁)) ∩ ℙ)(log‘𝑝))
158 chtval 24881 . . . . . . 7 (𝑁 ∈ ℝ → (θ‘𝑁) = Σ𝑝 ∈ ((0[,]𝑁) ∩ ℙ)(log‘𝑝))
15911, 158syl 17 . . . . . 6 (𝜑 → (θ‘𝑁) = Σ𝑝 ∈ ((0[,]𝑁) ∩ ℙ)(log‘𝑝))
160 2eluzge1 11772 . . . . . . . 8 2 ∈ (ℤ‘1)
161 ppisval2 24876 . . . . . . . 8 ((𝑁 ∈ ℝ ∧ 2 ∈ (ℤ‘1)) → ((0[,]𝑁) ∩ ℙ) = ((1...(⌊‘𝑁)) ∩ ℙ))
16211, 160, 161sylancl 695 . . . . . . 7 (𝜑 → ((0[,]𝑁) ∩ ℙ) = ((1...(⌊‘𝑁)) ∩ ℙ))
163162sumeq1d 14475 . . . . . 6 (𝜑 → Σ𝑝 ∈ ((0[,]𝑁) ∩ ℙ)(log‘𝑝) = Σ𝑝 ∈ ((1...(⌊‘𝑁)) ∩ ℙ)(log‘𝑝))
164159, 163eqtrd 2685 . . . . 5 (𝜑 → (θ‘𝑁) = Σ𝑝 ∈ ((1...(⌊‘𝑁)) ∩ ℙ)(log‘𝑝))
165157, 164breqtrrd 4713 . . . 4 (𝜑 → Σ𝑝 ∈ ((((⌊‘(𝑁𝑐𝐴)) + 1)...(⌊‘𝑁)) ∩ ℙ)(log‘𝑝) ≤ (θ‘𝑁))
16636, 79, 38, 129, 165letrd 10232 . . 3 (𝜑 → (((π𝑁) − (π‘(𝑁𝑐𝐴))) · (𝐴 · (log‘𝑁))) ≤ (θ‘𝑁))
16729, 36, 38, 67, 166ltletrd 10235 . 2 (𝜑 → ((𝐴 · (π𝑁)) · (𝐴 · (log‘𝑁))) < (θ‘𝑁))
16826, 167eqbrtrd 4707 1 (𝜑 → ((𝐴↑2) · ((π𝑁) · (log‘𝑁))) < (θ‘𝑁))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wb 196  wa 383   = wceq 1523  wcel 2030  wne 2823  cin 3606  wss 3607   class class class wbr 4685  cfv 5926  (class class class)co 6690  Fincfn 7997  cc 9972  cr 9973  0cc0 9974  1c1 9975   + caddc 9977   · cmul 9979  +∞cpnf 10109   < clt 10112  cle 10113  cmin 10304   / cdiv 10722  cn 11058  2c2 11108  0cn0 11330  cuz 11725  +crp 11870  [,)cico 12215  [,]cicc 12216  ...cfz 12364  cfl 12631  cexp 12900  #chash 13157  Σcsu 14460  expce 14836  cprime 15432  logclog 24346  𝑐ccxp 24347  θccht 24862  πcppi 24865
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1762  ax-4 1777  ax-5 1879  ax-6 1945  ax-7 1981  ax-8 2032  ax-9 2039  ax-10 2059  ax-11 2074  ax-12 2087  ax-13 2282  ax-ext 2631  ax-rep 4804  ax-sep 4814  ax-nul 4822  ax-pow 4873  ax-pr 4936  ax-un 6991  ax-inf2 8576  ax-cnex 10030  ax-resscn 10031  ax-1cn 10032  ax-icn 10033  ax-addcl 10034  ax-addrcl 10035  ax-mulcl 10036  ax-mulrcl 10037  ax-mulcom 10038  ax-addass 10039  ax-mulass 10040  ax-distr 10041  ax-i2m1 10042  ax-1ne0 10043  ax-1rid 10044  ax-rnegex 10045  ax-rrecex 10046  ax-cnre 10047  ax-pre-lttri 10048  ax-pre-lttrn 10049  ax-pre-ltadd 10050  ax-pre-mulgt0 10051  ax-pre-sup 10052  ax-addf 10053  ax-mulf 10054
This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 384  df-an 385  df-3or 1055  df-3an 1056  df-tru 1526  df-fal 1529  df-ex 1745  df-nf 1750  df-sb 1938  df-eu 2502  df-mo 2503  df-clab 2638  df-cleq 2644  df-clel 2647  df-nfc 2782  df-ne 2824  df-nel 2927  df-ral 2946  df-rex 2947  df-reu 2948  df-rmo 2949  df-rab 2950  df-v 3233  df-sbc 3469  df-csb 3567  df-dif 3610  df-un 3612  df-in 3614  df-ss 3621  df-pss 3623  df-nul 3949  df-if 4120  df-pw 4193  df-sn 4211  df-pr 4213  df-tp 4215  df-op 4217  df-uni 4469  df-int 4508  df-iun 4554  df-iin 4555  df-br 4686  df-opab 4746  df-mpt 4763  df-tr 4786  df-id 5053  df-eprel 5058  df-po 5064  df-so 5065  df-fr 5102  df-se 5103  df-we 5104  df-xp 5149  df-rel 5150  df-cnv 5151  df-co 5152  df-dm 5153  df-rn 5154  df-res 5155  df-ima 5156  df-pred 5718  df-ord 5764  df-on 5765  df-lim 5766  df-suc 5767  df-iota 5889  df-fun 5928  df-fn 5929  df-f 5930  df-f1 5931  df-fo 5932  df-f1o 5933  df-fv 5934  df-isom 5935  df-riota 6651  df-ov 6693  df-oprab 6694  df-mpt2 6695  df-of 6939  df-om 7108  df-1st 7210  df-2nd 7211  df-supp 7341  df-wrecs 7452  df-recs 7513  df-rdg 7551  df-1o 7605  df-2o 7606  df-oadd 7609  df-er 7787  df-map 7901  df-pm 7902  df-ixp 7951  df-en 7998  df-dom 7999  df-sdom 8000  df-fin 8001  df-fsupp 8317  df-fi 8358  df-sup 8389  df-inf 8390  df-oi 8456  df-card 8803  df-cda 9028  df-pnf 10114  df-mnf 10115  df-xr 10116  df-ltxr 10117  df-le 10118  df-sub 10306  df-neg 10307  df-div 10723  df-nn 11059  df-2 11117  df-3 11118  df-4 11119  df-5 11120  df-6 11121  df-7 11122  df-8 11123  df-9 11124  df-n0 11331  df-xnn0 11402  df-z 11416  df-dec 11532  df-uz 11726  df-q 11827  df-rp 11871  df-xneg 11984  df-xadd 11985  df-xmul 11986  df-ioo 12217  df-ioc 12218  df-ico 12219  df-icc 12220  df-fz 12365  df-fzo 12505  df-fl 12633  df-mod 12709  df-seq 12842  df-exp 12901  df-fac 13101  df-bc 13130  df-hash 13158  df-shft 13851  df-cj 13883  df-re 13884  df-im 13885  df-sqrt 14019  df-abs 14020  df-limsup 14246  df-clim 14263  df-rlim 14264  df-sum 14461  df-ef 14842  df-sin 14844  df-cos 14845  df-pi 14847  df-dvds 15028  df-prm 15433  df-struct 15906  df-ndx 15907  df-slot 15908  df-base 15910  df-sets 15911  df-ress 15912  df-plusg 16001  df-mulr 16002  df-starv 16003  df-sca 16004  df-vsca 16005  df-ip 16006  df-tset 16007  df-ple 16008  df-ds 16011  df-unif 16012  df-hom 16013  df-cco 16014  df-rest 16130  df-topn 16131  df-0g 16149  df-gsum 16150  df-topgen 16151  df-pt 16152  df-prds 16155  df-xrs 16209  df-qtop 16214  df-imas 16215  df-xps 16217  df-mre 16293  df-mrc 16294  df-acs 16296  df-mgm 17289  df-sgrp 17331  df-mnd 17342  df-submnd 17383  df-mulg 17588  df-cntz 17796  df-cmn 18241  df-psmet 19786  df-xmet 19787  df-met 19788  df-bl 19789  df-mopn 19790  df-fbas 19791  df-fg 19792  df-cnfld 19795  df-top 20747  df-topon 20764  df-topsp 20785  df-bases 20798  df-cld 20871  df-ntr 20872  df-cls 20873  df-nei 20950  df-lp 20988  df-perf 20989  df-cn 21079  df-cnp 21080  df-haus 21167  df-tx 21413  df-hmeo 21606  df-fil 21697  df-fm 21789  df-flim 21790  df-flf 21791  df-xms 22172  df-ms 22173  df-tms 22174  df-cncf 22728  df-limc 23675  df-dv 23676  df-log 24348  df-cxp 24349  df-cht 24868  df-ppi 24871
This theorem is referenced by:  chtppilimlem2  25208
  Copyright terms: Public domain W3C validator