Theorem chtppilimlem2 26052

Description: Lemma for chtppilim 26053. (Contributed by Mario Carneiro, 22-Sep-2014.)

Hypotheses

Ref	Expression
chtppilim.1	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℝ+)
chtppilim.2	⊢ (𝜑 → 𝐴 < 1)

Assertion

Ref	Expression
chtppilimlem2	⊢ (𝜑 → ∃𝑧 ∈ ℝ ∀𝑥 ∈ (2[,)+∞)(𝑧 ≤ 𝑥 → ((𝐴↑2) · ((π‘𝑥) · (log‘𝑥))) < (θ‘𝑥)))

Distinct variable groups:   𝑥,𝑧,𝐴   𝜑,𝑥,𝑧

Proof of Theorem chtppilimlem2

Step	Hyp	Ref	Expression
1		simpr 487	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (2[,)+∞)) → 𝑥 ∈ (2[,)+∞))
2		2re 11714	. . . . . . . . . 10 ⊢ 2 ∈ ℝ
3		elicopnf 12836	. . . . . . . . . 10 ⊢ (2 ∈ ℝ → (𝑥 ∈ (2[,)+∞) ↔ (𝑥 ∈ ℝ ∧ 2 ≤ 𝑥)))
4	2, 3	ax-mp 5	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑥 ∈ (2[,)+∞) ↔ (𝑥 ∈ ℝ ∧ 2 ≤ 𝑥))
5	1, 4	sylib 220	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (2[,)+∞)) → (𝑥 ∈ ℝ ∧ 2 ≤ 𝑥))
6	5	simpld 497	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (2[,)+∞)) → 𝑥 ∈ ℝ)
7		0red 10646	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (2[,)+∞)) → 0 ∈ ℝ)
8	2	a1i 11	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (2[,)+∞)) → 2 ∈ ℝ)
9		2pos 11743	. . . . . . . . 9 ⊢ 0 < 2
10	9	a1i 11	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (2[,)+∞)) → 0 < 2)
11	5	simprd 498	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (2[,)+∞)) → 2 ≤ 𝑥)
12	7, 8, 6, 10, 11	ltletrd 10802	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (2[,)+∞)) → 0 < 𝑥)
13	6, 12	elrpd 12431	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (2[,)+∞)) → 𝑥 ∈ ℝ+)
14		chtppilim.1	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℝ+)
15	14	rpred 12434	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℝ)
16	15	adantr 483	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (2[,)+∞)) → 𝐴 ∈ ℝ)
17	13, 16	rpcxpcld 25317	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (2[,)+∞)) → (𝑥↑𝑐𝐴) ∈ ℝ+)
18		ppinncl 25753	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑥 ∈ ℝ ∧ 2 ≤ 𝑥) → (π‘𝑥) ∈ ℕ)
19	5, 18	syl 17	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (2[,)+∞)) → (π‘𝑥) ∈ ℕ)
20	19	nnrpd 12432	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (2[,)+∞)) → (π‘𝑥) ∈ ℝ+)
21	17, 20	rpdivcld 12451	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (2[,)+∞)) → ((𝑥↑𝑐𝐴) / (π‘𝑥)) ∈ ℝ+)
22	21	ralrimiva 3184	. . 3 ⊢ (𝜑 → ∀𝑥 ∈ (2[,)+∞)((𝑥↑𝑐𝐴) / (π‘𝑥)) ∈ ℝ+)
23		chtppilim.2	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐴 < 1)
24		1re 10643	. . . . 5 ⊢ 1 ∈ ℝ
25		difrp 12430	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 1 ∈ ℝ) → (𝐴 < 1 ↔ (1 − 𝐴) ∈ ℝ+))
26	15, 24, 25	sylancl 588	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝐴 < 1 ↔ (1 − 𝐴) ∈ ℝ+))
27	23, 26	mpbid 234	. . 3 ⊢ (𝜑 → (1 − 𝐴) ∈ ℝ+)
28		ovexd 7193	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (2[,)+∞) ∈ V)
29	24	a1i 11	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (2[,)+∞)) → 1 ∈ ℝ)
30		1lt2 11811	. . . . . . . . . . 11 ⊢ 1 < 2
31	30	a1i 11	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (2[,)+∞)) → 1 < 2)
32	29, 8, 6, 31, 11	ltletrd 10802	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (2[,)+∞)) → 1 < 𝑥)
33	6, 32	rplogcld 25214	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (2[,)+∞)) → (log‘𝑥) ∈ ℝ+)
34	13, 33	rpdivcld 12451	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (2[,)+∞)) → (𝑥 / (log‘𝑥)) ∈ ℝ+)
35	34, 20	rpdivcld 12451	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (2[,)+∞)) → ((𝑥 / (log‘𝑥)) / (π‘𝑥)) ∈ ℝ+)
36	27	adantr 483	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (2[,)+∞)) → (1 − 𝐴) ∈ ℝ+)
37	36	rpred 12434	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (2[,)+∞)) → (1 − 𝐴) ∈ ℝ)
38	13, 37	rpcxpcld 25317	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (2[,)+∞)) → (𝑥↑𝑐(1 − 𝐴)) ∈ ℝ+)
39	33, 38	rpdivcld 12451	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (2[,)+∞)) → ((log‘𝑥) / (𝑥↑𝑐(1 − 𝐴))) ∈ ℝ+)
40		eqidd 2824	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (𝑥 ∈ (2[,)+∞) ↦ ((𝑥 / (log‘𝑥)) / (π‘𝑥))) = (𝑥 ∈ (2[,)+∞) ↦ ((𝑥 / (log‘𝑥)) / (π‘𝑥))))
41		eqidd 2824	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (𝑥 ∈ (2[,)+∞) ↦ ((log‘𝑥) / (𝑥↑𝑐(1 − 𝐴)))) = (𝑥 ∈ (2[,)+∞) ↦ ((log‘𝑥) / (𝑥↑𝑐(1 − 𝐴)))))
42	28, 35, 39, 40, 41	offval2 7428	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → ((𝑥 ∈ (2[,)+∞) ↦ ((𝑥 / (log‘𝑥)) / (π‘𝑥))) ∘f · (𝑥 ∈ (2[,)+∞) ↦ ((log‘𝑥) / (𝑥↑𝑐(1 − 𝐴))))) = (𝑥 ∈ (2[,)+∞) ↦ (((𝑥 / (log‘𝑥)) / (π‘𝑥)) · ((log‘𝑥) / (𝑥↑𝑐(1 − 𝐴))))))
43	34	rpcnd 12436	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (2[,)+∞)) → (𝑥 / (log‘𝑥)) ∈ ℂ)
44	39	rpcnd 12436	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (2[,)+∞)) → ((log‘𝑥) / (𝑥↑𝑐(1 − 𝐴))) ∈ ℂ)
45	20	rpcnne0d 12443	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (2[,)+∞)) → ((π‘𝑥) ∈ ℂ ∧ (π‘𝑥) ≠ 0))
46		div23 11319	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝑥 / (log‘𝑥)) ∈ ℂ ∧ ((log‘𝑥) / (𝑥↑𝑐(1 − 𝐴))) ∈ ℂ ∧ ((π‘𝑥) ∈ ℂ ∧ (π‘𝑥) ≠ 0)) → (((𝑥 / (log‘𝑥)) · ((log‘𝑥) / (𝑥↑𝑐(1 − 𝐴)))) / (π‘𝑥)) = (((𝑥 / (log‘𝑥)) / (π‘𝑥)) · ((log‘𝑥) / (𝑥↑𝑐(1 − 𝐴)))))
47	43, 44, 45, 46	syl3anc 1367	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (2[,)+∞)) → (((𝑥 / (log‘𝑥)) · ((log‘𝑥) / (𝑥↑𝑐(1 − 𝐴)))) / (π‘𝑥)) = (((𝑥 / (log‘𝑥)) / (π‘𝑥)) · ((log‘𝑥) / (𝑥↑𝑐(1 − 𝐴)))))
48	33	rpcnne0d 12443	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (2[,)+∞)) → ((log‘𝑥) ∈ ℂ ∧ (log‘𝑥) ≠ 0))
49	38	rpcnne0d 12443	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (2[,)+∞)) → ((𝑥↑𝑐(1 − 𝐴)) ∈ ℂ ∧ (𝑥↑𝑐(1 − 𝐴)) ≠ 0))
50	6	recnd 10671	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (2[,)+∞)) → 𝑥 ∈ ℂ)
51		dmdcan 11352	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((((log‘𝑥) ∈ ℂ ∧ (log‘𝑥) ≠ 0) ∧ ((𝑥↑𝑐(1 − 𝐴)) ∈ ℂ ∧ (𝑥↑𝑐(1 − 𝐴)) ≠ 0) ∧ 𝑥 ∈ ℂ) → (((log‘𝑥) / (𝑥↑𝑐(1 − 𝐴))) · (𝑥 / (log‘𝑥))) = (𝑥 / (𝑥↑𝑐(1 − 𝐴))))
52	48, 49, 50, 51	syl3anc 1367	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (2[,)+∞)) → (((log‘𝑥) / (𝑥↑𝑐(1 − 𝐴))) · (𝑥 / (log‘𝑥))) = (𝑥 / (𝑥↑𝑐(1 − 𝐴))))
53	43, 44	mulcomd 10664	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (2[,)+∞)) → ((𝑥 / (log‘𝑥)) · ((log‘𝑥) / (𝑥↑𝑐(1 − 𝐴)))) = (((log‘𝑥) / (𝑥↑𝑐(1 − 𝐴))) · (𝑥 / (log‘𝑥))))
54	13	rpcnne0d 12443	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (2[,)+∞)) → (𝑥 ∈ ℂ ∧ 𝑥 ≠ 0))
55		ax-1cn 10597	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ 1 ∈ ℂ
56	55	a1i 11	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (2[,)+∞)) → 1 ∈ ℂ)
57	36	rpcnd 12436	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (2[,)+∞)) → (1 − 𝐴) ∈ ℂ)
58		cxpsub 25267	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((𝑥 ∈ ℂ ∧ 𝑥 ≠ 0) ∧ 1 ∈ ℂ ∧ (1 − 𝐴) ∈ ℂ) → (𝑥↑𝑐(1 − (1 − 𝐴))) = ((𝑥↑𝑐1) / (𝑥↑𝑐(1 − 𝐴))))
59	54, 56, 57, 58	syl3anc 1367	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (2[,)+∞)) → (𝑥↑𝑐(1 − (1 − 𝐴))) = ((𝑥↑𝑐1) / (𝑥↑𝑐(1 − 𝐴))))
60	16	recnd 10671	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (2[,)+∞)) → 𝐴 ∈ ℂ)
61		nncan 10917	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((1 ∈ ℂ ∧ 𝐴 ∈ ℂ) → (1 − (1 − 𝐴)) = 𝐴)
62	55, 60, 61	sylancr 589	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (2[,)+∞)) → (1 − (1 − 𝐴)) = 𝐴)
63	62	oveq2d 7174	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (2[,)+∞)) → (𝑥↑𝑐(1 − (1 − 𝐴))) = (𝑥↑𝑐𝐴))
64	59, 63	eqtr3d 2860	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (2[,)+∞)) → ((𝑥↑𝑐1) / (𝑥↑𝑐(1 − 𝐴))) = (𝑥↑𝑐𝐴))
65	50	cxp1d 25291	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (2[,)+∞)) → (𝑥↑𝑐1) = 𝑥)
66	65	oveq1d 7173	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (2[,)+∞)) → ((𝑥↑𝑐1) / (𝑥↑𝑐(1 − 𝐴))) = (𝑥 / (𝑥↑𝑐(1 − 𝐴))))
67	64, 66	eqtr3d 2860	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (2[,)+∞)) → (𝑥↑𝑐𝐴) = (𝑥 / (𝑥↑𝑐(1 − 𝐴))))
68	52, 53, 67	3eqtr4d 2868	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (2[,)+∞)) → ((𝑥 / (log‘𝑥)) · ((log‘𝑥) / (𝑥↑𝑐(1 − 𝐴)))) = (𝑥↑𝑐𝐴))
69	68	oveq1d 7173	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (2[,)+∞)) → (((𝑥 / (log‘𝑥)) · ((log‘𝑥) / (𝑥↑𝑐(1 − 𝐴)))) / (π‘𝑥)) = ((𝑥↑𝑐𝐴) / (π‘𝑥)))
70	47, 69	eqtr3d 2860	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (2[,)+∞)) → (((𝑥 / (log‘𝑥)) / (π‘𝑥)) · ((log‘𝑥) / (𝑥↑𝑐(1 − 𝐴)))) = ((𝑥↑𝑐𝐴) / (π‘𝑥)))
71	70	mpteq2dva 5163	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (𝑥 ∈ (2[,)+∞) ↦ (((𝑥 / (log‘𝑥)) / (π‘𝑥)) · ((log‘𝑥) / (𝑥↑𝑐(1 − 𝐴))))) = (𝑥 ∈ (2[,)+∞) ↦ ((𝑥↑𝑐𝐴) / (π‘𝑥))))
72	42, 71	eqtrd 2858	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ((𝑥 ∈ (2[,)+∞) ↦ ((𝑥 / (log‘𝑥)) / (π‘𝑥))) ∘f · (𝑥 ∈ (2[,)+∞) ↦ ((log‘𝑥) / (𝑥↑𝑐(1 − 𝐴))))) = (𝑥 ∈ (2[,)+∞) ↦ ((𝑥↑𝑐𝐴) / (π‘𝑥))))
73		chebbnd1 26050	. . . . 5 ⊢ (𝑥 ∈ (2[,)+∞) ↦ ((𝑥 / (log‘𝑥)) / (π‘𝑥))) ∈ 𝑂(1)
74	13	ex 415	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → (𝑥 ∈ (2[,)+∞) → 𝑥 ∈ ℝ+))
75	74	ssrdv 3975	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (2[,)+∞) ⊆ ℝ+)
76		cxploglim 25557	. . . . . . 7 ⊢ ((1 − 𝐴) ∈ ℝ+ → (𝑥 ∈ ℝ+ ↦ ((log‘𝑥) / (𝑥↑𝑐(1 − 𝐴)))) ⇝𝑟 0)
77	27, 76	syl 17	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (𝑥 ∈ ℝ+ ↦ ((log‘𝑥) / (𝑥↑𝑐(1 − 𝐴)))) ⇝𝑟 0)
78	75, 77	rlimres2 14920	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (𝑥 ∈ (2[,)+∞) ↦ ((log‘𝑥) / (𝑥↑𝑐(1 − 𝐴)))) ⇝𝑟 0)
79		o1rlimmul 14977	. . . . 5 ⊢ (((𝑥 ∈ (2[,)+∞) ↦ ((𝑥 / (log‘𝑥)) / (π‘𝑥))) ∈ 𝑂(1) ∧ (𝑥 ∈ (2[,)+∞) ↦ ((log‘𝑥) / (𝑥↑𝑐(1 − 𝐴)))) ⇝𝑟 0) → ((𝑥 ∈ (2[,)+∞) ↦ ((𝑥 / (log‘𝑥)) / (π‘𝑥))) ∘f · (𝑥 ∈ (2[,)+∞) ↦ ((log‘𝑥) / (𝑥↑𝑐(1 − 𝐴))))) ⇝𝑟 0)
80	73, 78, 79	sylancr 589	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ((𝑥 ∈ (2[,)+∞) ↦ ((𝑥 / (log‘𝑥)) / (π‘𝑥))) ∘f · (𝑥 ∈ (2[,)+∞) ↦ ((log‘𝑥) / (𝑥↑𝑐(1 − 𝐴))))) ⇝𝑟 0)
81	72, 80	eqbrtrrd 5092	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝑥 ∈ (2[,)+∞) ↦ ((𝑥↑𝑐𝐴) / (π‘𝑥))) ⇝𝑟 0)
82	22, 27, 81	rlimi 14872	. 2 ⊢ (𝜑 → ∃𝑧 ∈ ℝ ∀𝑥 ∈ (2[,)+∞)(𝑧 ≤ 𝑥 → (abs‘(((𝑥↑𝑐𝐴) / (π‘𝑥)) − 0)) < (1 − 𝐴)))
83	21	rpcnd 12436	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (2[,)+∞)) → ((𝑥↑𝑐𝐴) / (π‘𝑥)) ∈ ℂ)
84	83	subid1d 10988	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (2[,)+∞)) → (((𝑥↑𝑐𝐴) / (π‘𝑥)) − 0) = ((𝑥↑𝑐𝐴) / (π‘𝑥)))
85	84	fveq2d 6676	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (2[,)+∞)) → (abs‘(((𝑥↑𝑐𝐴) / (π‘𝑥)) − 0)) = (abs‘((𝑥↑𝑐𝐴) / (π‘𝑥))))
86	21	rpred 12434	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (2[,)+∞)) → ((𝑥↑𝑐𝐴) / (π‘𝑥)) ∈ ℝ)
87	21	rpge0d 12438	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (2[,)+∞)) → 0 ≤ ((𝑥↑𝑐𝐴) / (π‘𝑥)))
88	86, 87	absidd 14784	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (2[,)+∞)) → (abs‘((𝑥↑𝑐𝐴) / (π‘𝑥))) = ((𝑥↑𝑐𝐴) / (π‘𝑥)))
89	85, 88	eqtrd 2858	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (2[,)+∞)) → (abs‘(((𝑥↑𝑐𝐴) / (π‘𝑥)) − 0)) = ((𝑥↑𝑐𝐴) / (π‘𝑥)))
90	89	breq1d 5078	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (2[,)+∞)) → ((abs‘(((𝑥↑𝑐𝐴) / (π‘𝑥)) − 0)) < (1 − 𝐴) ↔ ((𝑥↑𝑐𝐴) / (π‘𝑥)) < (1 − 𝐴)))
91	14	adantr 483	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ (2[,)+∞) ∧ ((𝑥↑𝑐𝐴) / (π‘𝑥)) < (1 − 𝐴))) → 𝐴 ∈ ℝ+)
92	23	adantr 483	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ (2[,)+∞) ∧ ((𝑥↑𝑐𝐴) / (π‘𝑥)) < (1 − 𝐴))) → 𝐴 < 1)
93		simprl 769	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ (2[,)+∞) ∧ ((𝑥↑𝑐𝐴) / (π‘𝑥)) < (1 − 𝐴))) → 𝑥 ∈ (2[,)+∞))
94		simprr 771	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ (2[,)+∞) ∧ ((𝑥↑𝑐𝐴) / (π‘𝑥)) < (1 − 𝐴))) → ((𝑥↑𝑐𝐴) / (π‘𝑥)) < (1 − 𝐴))
95	91, 92, 93, 94	chtppilimlem1 26051	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ (2[,)+∞) ∧ ((𝑥↑𝑐𝐴) / (π‘𝑥)) < (1 − 𝐴))) → ((𝐴↑2) · ((π‘𝑥) · (log‘𝑥))) < (θ‘𝑥))
96	95	expr 459	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (2[,)+∞)) → (((𝑥↑𝑐𝐴) / (π‘𝑥)) < (1 − 𝐴) → ((𝐴↑2) · ((π‘𝑥) · (log‘𝑥))) < (θ‘𝑥)))
97	90, 96	sylbid 242	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (2[,)+∞)) → ((abs‘(((𝑥↑𝑐𝐴) / (π‘𝑥)) − 0)) < (1 − 𝐴) → ((𝐴↑2) · ((π‘𝑥) · (log‘𝑥))) < (θ‘𝑥)))
98	97	imim2d 57	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (2[,)+∞)) → ((𝑧 ≤ 𝑥 → (abs‘(((𝑥↑𝑐𝐴) / (π‘𝑥)) − 0)) < (1 − 𝐴)) → (𝑧 ≤ 𝑥 → ((𝐴↑2) · ((π‘𝑥) · (log‘𝑥))) < (θ‘𝑥))))
99	98	ralimdva 3179	. . 3 ⊢ (𝜑 → (∀𝑥 ∈ (2[,)+∞)(𝑧 ≤ 𝑥 → (abs‘(((𝑥↑𝑐𝐴) / (π‘𝑥)) − 0)) < (1 − 𝐴)) → ∀𝑥 ∈ (2[,)+∞)(𝑧 ≤ 𝑥 → ((𝐴↑2) · ((π‘𝑥) · (log‘𝑥))) < (θ‘𝑥))))
100	99	reximdv 3275	. 2 ⊢ (𝜑 → (∃𝑧 ∈ ℝ ∀𝑥 ∈ (2[,)+∞)(𝑧 ≤ 𝑥 → (abs‘(((𝑥↑𝑐𝐴) / (π‘𝑥)) − 0)) < (1 − 𝐴)) → ∃𝑧 ∈ ℝ ∀𝑥 ∈ (2[,)+∞)(𝑧 ≤ 𝑥 → ((𝐴↑2) · ((π‘𝑥) · (log‘𝑥))) < (θ‘𝑥))))
101	82, 100	mpd 15	1 ⊢ (𝜑 → ∃𝑧 ∈ ℝ ∀𝑥 ∈ (2[,)+∞)(𝑧 ≤ 𝑥 → ((𝐴↑2) · ((π‘𝑥) · (log‘𝑥))) < (θ‘𝑥)))

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 208   ∧ wa 398   = wceq 1537   ∈ wcel 2114   ≠ wne 3018  ∀wral 3140  ∃wrex 3141  Vcvv 3496   class class class wbr 5068   ↦ cmpt 5148  ‘cfv 6357  (class class class)co 7158   ∘_f cof 7409  ℂcc 10537  ℝcr 10538  0cc0 10539  1c1 10540   · cmul 10544  +∞cpnf 10674   < clt 10677   ≤ cle 10678   − cmin 10872   / cdiv 11299  ℕcn 11640  2c2 11695  ℝ⁺crp 12392  [,)cico 12743  ↑cexp 13432  abscabs 14595   ⇝_𝑟 crli 14844  𝑂(1)co1 14845  logclog 25140  ↑_𝑐ccxp 25141  θccht 25670  πcppi 25673

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1796  ax-4 1810  ax-5 1911  ax-6 1970  ax-7 2015  ax-8 2116  ax-9 2124  ax-10 2145  ax-11 2161  ax-12 2177  ax-ext 2795  ax-rep 5192  ax-sep 5205  ax-nul 5212  ax-pow 5268  ax-pr 5332  ax-un 7463  ax-inf2 9106  ax-cnex 10595  ax-resscn 10596  ax-1cn 10597  ax-icn 10598  ax-addcl 10599  ax-addrcl 10600  ax-mulcl 10601  ax-mulrcl 10602  ax-mulcom 10603  ax-addass 10604  ax-mulass 10605  ax-distr 10606  ax-i2m1 10607  ax-1ne0 10608  ax-1rid 10609  ax-rnegex 10610  ax-rrecex 10611  ax-cnre 10612  ax-pre-lttri 10613  ax-pre-lttrn 10614  ax-pre-ltadd 10615  ax-pre-mulgt0 10616  ax-pre-sup 10617  ax-addf 10618  ax-mulf 10619

This theorem depends on definitions:  df-bi 209  df-an 399  df-or 844  df-3or 1084  df-3an 1085  df-tru 1540  df-fal 1550  df-ex 1781  df-nf 1785  df-sb 2070  df-mo 2622  df-eu 2654  df-clab 2802  df-cleq 2816  df-clel 2895  df-nfc 2965  df-ne 3019  df-nel 3126  df-ral 3145  df-rex 3146  df-reu 3147  df-rmo 3148  df-rab 3149  df-v 3498  df-sbc 3775  df-csb 3886  df-dif 3941  df-un 3943  df-in 3945  df-ss 3954  df-pss 3956  df-nul 4294  df-if 4470  df-pw 4543  df-sn 4570  df-pr 4572  df-tp 4574  df-op 4576  df-uni 4841  df-int 4879  df-iun 4923  df-iin 4924  df-br 5069  df-opab 5131  df-mpt 5149  df-tr 5175  df-id 5462  df-eprel 5467  df-po 5476  df-so 5477  df-fr 5516  df-se 5517  df-we 5518  df-xp 5563  df-rel 5564  df-cnv 5565  df-co 5566  df-dm 5567  df-rn 5568  df-res 5569  df-ima 5570  df-pred 6150  df-ord 6196  df-on 6197  df-lim 6198  df-suc 6199  df-iota 6316  df-fun 6359  df-fn 6360  df-f 6361  df-f1 6362  df-fo 6363  df-f1o 6364  df-fv 6365  df-isom 6366  df-riota 7116  df-ov 7161  df-oprab 7162  df-mpo 7163  df-of 7411  df-om 7583  df-1st 7691  df-2nd 7692  df-supp 7833  df-wrecs 7949  df-recs 8010  df-rdg 8048  df-1o 8104  df-2o 8105  df-oadd 8108  df-er 8291  df-map 8410  df-pm 8411  df-ixp 8464  df-en 8512  df-dom 8513  df-sdom 8514  df-fin 8515  df-fsupp 8836  df-fi 8877  df-sup 8908  df-inf 8909  df-oi 8976  df-dju 9332  df-card 9370  df-pnf 10679  df-mnf 10680  df-xr 10681  df-ltxr 10682  df-le 10683  df-sub 10874  df-neg 10875  df-div 11300  df-nn 11641  df-2 11703  df-3 11704  df-4 11705  df-5 11706  df-6 11707  df-7 11708  df-8 11709  df-9 11710  df-n0 11901  df-xnn0 11971  df-z 11985  df-dec 12102  df-uz 12247  df-q 12352  df-rp 12393  df-xneg 12510  df-xadd 12511  df-xmul 12512  df-ioo 12745  df-ioc 12746  df-ico 12747  df-icc 12748  df-fz 12896  df-fzo 13037  df-fl 13165  df-mod 13241  df-seq 13373  df-exp 13433  df-fac 13637  df-bc 13666  df-hash 13694  df-shft 14428  df-cj 14460  df-re 14461  df-im 14462  df-sqrt 14596  df-abs 14597  df-limsup 14830  df-clim 14847  df-rlim 14848  df-o1 14849  df-lo1 14850  df-sum 15045  df-ef 15423  df-e 15424  df-sin 15425  df-cos 15426  df-pi 15428  df-dvds 15610  df-gcd 15846  df-prm 16018  df-pc 16176  df-struct 16487  df-ndx 16488  df-slot 16489  df-base 16491  df-sets 16492  df-ress 16493  df-plusg 16580  df-mulr 16581  df-starv 16582  df-sca 16583  df-vsca 16584  df-ip 16585  df-tset 16586  df-ple 16587  df-ds 16589  df-unif 16590  df-hom 16591  df-cco 16592  df-rest 16698  df-topn 16699  df-0g 16717  df-gsum 16718  df-topgen 16719  df-pt 16720  df-prds 16723  df-xrs 16777  df-qtop 16782  df-imas 16783  df-xps 16785  df-mre 16859  df-mrc 16860  df-acs 16862  df-mgm 17854  df-sgrp 17903  df-mnd 17914  df-submnd 17959  df-mulg 18227  df-cntz 18449  df-cmn 18910  df-psmet 20539  df-xmet 20540  df-met 20541  df-bl 20542  df-mopn 20543  df-fbas 20544  df-fg 20545  df-cnfld 20548  df-top 21504  df-topon 21521  df-topsp 21543  df-bases 21556  df-cld 21629  df-ntr 21630  df-cls 21631  df-nei 21708  df-lp 21746  df-perf 21747  df-cn 21837  df-cnp 21838  df-haus 21925  df-tx 22172  df-hmeo 22365  df-fil 22456  df-fm 22548  df-flim 22549  df-flf 22550  df-xms 22932  df-ms 22933  df-tms 22934  df-cncf 23488  df-limc 24466  df-dv 24467  df-log 25142  df-cxp 25143  df-cht 25676  df-ppi 25679

This theorem is referenced by:  chtppilim  26053