MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  cic Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem cic 16383
Description: Objects 𝑋 and 𝑌 in a category are isomorphic provided that there is an isomorphism 𝑓:𝑋𝑌, see definition 3.15 of [Adamek] p. 29. (Contributed by AV, 4-Apr-2020.)
Hypotheses
Ref Expression
cic.i 𝐼 = (Iso‘𝐶)
cic.b 𝐵 = (Base‘𝐶)
cic.c (𝜑𝐶 ∈ Cat)
cic.x (𝜑𝑋𝐵)
cic.y (𝜑𝑌𝐵)
Assertion
Ref Expression
cic (𝜑 → (𝑋( ≃𝑐𝐶)𝑌 ↔ ∃𝑓 𝑓 ∈ (𝑋𝐼𝑌)))
Distinct variable groups:   𝑓,𝐼   𝑓,𝑋   𝑓,𝑌
Allowed substitution hints:   𝜑(𝑓)   𝐵(𝑓)   𝐶(𝑓)

Proof of Theorem cic
StepHypRef Expression
1 cic.i . . 3 𝐼 = (Iso‘𝐶)
2 cic.b . . 3 𝐵 = (Base‘𝐶)
3 cic.c . . 3 (𝜑𝐶 ∈ Cat)
4 cic.x . . 3 (𝜑𝑋𝐵)
5 cic.y . . 3 (𝜑𝑌𝐵)
61, 2, 3, 4, 5brcic 16382 . 2 (𝜑 → (𝑋( ≃𝑐𝐶)𝑌 ↔ (𝑋𝐼𝑌) ≠ ∅))
7 n0 3909 . 2 ((𝑋𝐼𝑌) ≠ ∅ ↔ ∃𝑓 𝑓 ∈ (𝑋𝐼𝑌))
86, 7syl6bb 276 1 (𝜑 → (𝑋( ≃𝑐𝐶)𝑌 ↔ ∃𝑓 𝑓 ∈ (𝑋𝐼𝑌)))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wb 196   = wceq 1480  wex 1701  wcel 1987  wne 2790  c0 3893   class class class wbr 4615  cfv 5849  (class class class)co 6607  Basecbs 15784  Catccat 16249  Isociso 16330  𝑐 ccic 16379
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1719  ax-4 1734  ax-5 1836  ax-6 1885  ax-7 1932  ax-8 1989  ax-9 1996  ax-10 2016  ax-11 2031  ax-12 2044  ax-13 2245  ax-ext 2601  ax-rep 4733  ax-sep 4743  ax-nul 4751  ax-pow 4805  ax-pr 4869  ax-un 6905
This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 385  df-an 386  df-3an 1038  df-tru 1483  df-ex 1702  df-nf 1707  df-sb 1878  df-eu 2473  df-mo 2474  df-clab 2608  df-cleq 2614  df-clel 2617  df-nfc 2750  df-ne 2791  df-ral 2912  df-rex 2913  df-reu 2914  df-rab 2916  df-v 3188  df-sbc 3419  df-csb 3516  df-dif 3559  df-un 3561  df-in 3563  df-ss 3570  df-nul 3894  df-if 4061  df-pw 4134  df-sn 4151  df-pr 4153  df-op 4157  df-uni 4405  df-iun 4489  df-br 4616  df-opab 4676  df-mpt 4677  df-id 4991  df-xp 5082  df-rel 5083  df-cnv 5084  df-co 5085  df-dm 5086  df-rn 5087  df-res 5088  df-ima 5089  df-iota 5812  df-fun 5851  df-fn 5852  df-f 5853  df-f1 5854  df-fo 5855  df-f1o 5856  df-fv 5857  df-ov 6610  df-oprab 6611  df-mpt2 6612  df-1st 7116  df-2nd 7117  df-supp 7244  df-inv 16332  df-iso 16333  df-cic 16380
This theorem is referenced by:  brcici  16384  cicsym  16388  cictr  16389  initoeu1w  16586  initoeu2  16590  termoeu1w  16593  nzerooringczr  41376
  Copyright terms: Public domain W3C validator