MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  cicrcl Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem cicrcl 16662
Description: Isomorphism implies the right side is an object. (Contributed by AV, 5-Apr-2020.)
Assertion
Ref Expression
cicrcl ((𝐶 ∈ Cat ∧ 𝑅( ≃𝑐𝐶)𝑆) → 𝑆 ∈ (Base‘𝐶))

Proof of Theorem cicrcl
StepHypRef Expression
1 cicfval 16656 . . . 4 (𝐶 ∈ Cat → ( ≃𝑐𝐶) = ((Iso‘𝐶) supp ∅))
21breqd 4813 . . 3 (𝐶 ∈ Cat → (𝑅( ≃𝑐𝐶)𝑆𝑅((Iso‘𝐶) supp ∅)𝑆))
3 isofn 16634 . . . . 5 (𝐶 ∈ Cat → (Iso‘𝐶) Fn ((Base‘𝐶) × (Base‘𝐶)))
4 fvex 6360 . . . . . 6 (Base‘𝐶) ∈ V
5 sqxpexg 7126 . . . . . 6 ((Base‘𝐶) ∈ V → ((Base‘𝐶) × (Base‘𝐶)) ∈ V)
64, 5mp1i 13 . . . . 5 (𝐶 ∈ Cat → ((Base‘𝐶) × (Base‘𝐶)) ∈ V)
7 0ex 4940 . . . . . 6 ∅ ∈ V
87a1i 11 . . . . 5 (𝐶 ∈ Cat → ∅ ∈ V)
9 df-br 4803 . . . . . 6 (𝑅((Iso‘𝐶) supp ∅)𝑆 ↔ ⟨𝑅, 𝑆⟩ ∈ ((Iso‘𝐶) supp ∅))
10 elsuppfn 7469 . . . . . 6 (((Iso‘𝐶) Fn ((Base‘𝐶) × (Base‘𝐶)) ∧ ((Base‘𝐶) × (Base‘𝐶)) ∈ V ∧ ∅ ∈ V) → (⟨𝑅, 𝑆⟩ ∈ ((Iso‘𝐶) supp ∅) ↔ (⟨𝑅, 𝑆⟩ ∈ ((Base‘𝐶) × (Base‘𝐶)) ∧ ((Iso‘𝐶)‘⟨𝑅, 𝑆⟩) ≠ ∅)))
119, 10syl5bb 272 . . . . 5 (((Iso‘𝐶) Fn ((Base‘𝐶) × (Base‘𝐶)) ∧ ((Base‘𝐶) × (Base‘𝐶)) ∈ V ∧ ∅ ∈ V) → (𝑅((Iso‘𝐶) supp ∅)𝑆 ↔ (⟨𝑅, 𝑆⟩ ∈ ((Base‘𝐶) × (Base‘𝐶)) ∧ ((Iso‘𝐶)‘⟨𝑅, 𝑆⟩) ≠ ∅)))
123, 6, 8, 11syl3anc 1477 . . . 4 (𝐶 ∈ Cat → (𝑅((Iso‘𝐶) supp ∅)𝑆 ↔ (⟨𝑅, 𝑆⟩ ∈ ((Base‘𝐶) × (Base‘𝐶)) ∧ ((Iso‘𝐶)‘⟨𝑅, 𝑆⟩) ≠ ∅)))
13 opelxp2 5306 . . . . 5 (⟨𝑅, 𝑆⟩ ∈ ((Base‘𝐶) × (Base‘𝐶)) → 𝑆 ∈ (Base‘𝐶))
1413adantr 472 . . . 4 ((⟨𝑅, 𝑆⟩ ∈ ((Base‘𝐶) × (Base‘𝐶)) ∧ ((Iso‘𝐶)‘⟨𝑅, 𝑆⟩) ≠ ∅) → 𝑆 ∈ (Base‘𝐶))
1512, 14syl6bi 243 . . 3 (𝐶 ∈ Cat → (𝑅((Iso‘𝐶) supp ∅)𝑆𝑆 ∈ (Base‘𝐶)))
162, 15sylbid 230 . 2 (𝐶 ∈ Cat → (𝑅( ≃𝑐𝐶)𝑆𝑆 ∈ (Base‘𝐶)))
1716imp 444 1 ((𝐶 ∈ Cat ∧ 𝑅( ≃𝑐𝐶)𝑆) → 𝑆 ∈ (Base‘𝐶))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wb 196  wa 383  w3a 1072  wcel 2137  wne 2930  Vcvv 3338  c0 4056  cop 4325   class class class wbr 4802   × cxp 5262   Fn wfn 6042  cfv 6047  (class class class)co 6811   supp csupp 7461  Basecbs 16057  Catccat 16524  Isociso 16605  𝑐 ccic 16654
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1869  ax-4 1884  ax-5 1986  ax-6 2052  ax-7 2088  ax-8 2139  ax-9 2146  ax-10 2166  ax-11 2181  ax-12 2194  ax-13 2389  ax-ext 2738  ax-rep 4921  ax-sep 4931  ax-nul 4939  ax-pow 4990  ax-pr 5053  ax-un 7112
This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 384  df-an 385  df-3an 1074  df-tru 1633  df-ex 1852  df-nf 1857  df-sb 2045  df-eu 2609  df-mo 2610  df-clab 2745  df-cleq 2751  df-clel 2754  df-nfc 2889  df-ne 2931  df-ral 3053  df-rex 3054  df-reu 3055  df-rab 3057  df-v 3340  df-sbc 3575  df-csb 3673  df-dif 3716  df-un 3718  df-in 3720  df-ss 3727  df-nul 4057  df-if 4229  df-pw 4302  df-sn 4320  df-pr 4322  df-op 4326  df-uni 4587  df-iun 4672  df-br 4803  df-opab 4863  df-mpt 4880  df-id 5172  df-xp 5270  df-rel 5271  df-cnv 5272  df-co 5273  df-dm 5274  df-rn 5275  df-res 5276  df-ima 5277  df-iota 6010  df-fun 6049  df-fn 6050  df-f 6051  df-f1 6052  df-fo 6053  df-f1o 6054  df-fv 6055  df-ov 6814  df-oprab 6815  df-mpt2 6816  df-1st 7331  df-2nd 7332  df-supp 7462  df-inv 16607  df-iso 16608  df-cic 16655
This theorem is referenced by:  cicsym  16663  cictr  16664  initoeu2  16865
  Copyright terms: Public domain W3C validator