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Theorem circlemethhgt 30849
 Description: The circle method, where the Vinogradov sums are weighted using the Von Mangoldt function and smoothed using functions 𝐻 and 𝐾. Statement 7.49 of [Helfgott] p. 69. At this point there is no further constraint on the smoothing functions. (Contributed by Thierry Arnoux, 22-Dec-2021.)
Hypotheses
Ref Expression
circlemethhgt.h (𝜑𝐻:ℕ⟶ℝ)
circlemethhgt.k (𝜑𝐾:ℕ⟶ℝ)
circlemethhgt.n (𝜑𝑁 ∈ ℕ0)
Assertion
Ref Expression
circlemethhgt (𝜑 → Σ𝑛 ∈ (ℕ(repr‘3)𝑁)(((Λ‘(𝑛‘0)) · (𝐻‘(𝑛‘0))) · (((Λ‘(𝑛‘1)) · (𝐾‘(𝑛‘1))) · ((Λ‘(𝑛‘2)) · (𝐾‘(𝑛‘2))))) = ∫(0(,)1)(((((Λ ∘𝑓 · 𝐻)vts𝑁)‘𝑥) · ((((Λ ∘𝑓 · 𝐾)vts𝑁)‘𝑥)↑2)) · (exp‘((i · (2 · π)) · (-𝑁 · 𝑥)))) d𝑥)
Distinct variable groups:   𝑛,𝐻,𝑥   𝑛,𝐾,𝑥   𝑛,𝑁,𝑥   𝜑,𝑛,𝑥

Proof of Theorem circlemethhgt
Dummy variables 𝑎 𝑦 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 circlemethhgt.n . . 3 (𝜑𝑁 ∈ ℕ0)
2 3nn 11224 . . . 4 3 ∈ ℕ
32a1i 11 . . 3 (𝜑 → 3 ∈ ℕ)
4 s3len 13685 . . . . . 6 (#‘⟨“(Λ ∘𝑓 · 𝐻)(Λ ∘𝑓 · 𝐾)(Λ ∘𝑓 · 𝐾)”⟩) = 3
54eqcomi 2660 . . . . 5 3 = (#‘⟨“(Λ ∘𝑓 · 𝐻)(Λ ∘𝑓 · 𝐾)(Λ ∘𝑓 · 𝐾)”⟩)
65a1i 11 . . . 4 (𝜑 → 3 = (#‘⟨“(Λ ∘𝑓 · 𝐻)(Λ ∘𝑓 · 𝐾)(Λ ∘𝑓 · 𝐾)”⟩))
7 simprl 809 . . . . . . . . 9 ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ ℝ ∧ 𝑦 ∈ ℝ)) → 𝑥 ∈ ℝ)
8 simprr 811 . . . . . . . . 9 ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ ℝ ∧ 𝑦 ∈ ℝ)) → 𝑦 ∈ ℝ)
97, 8remulcld 10108 . . . . . . . 8 ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ ℝ ∧ 𝑦 ∈ ℝ)) → (𝑥 · 𝑦) ∈ ℝ)
109recnd 10106 . . . . . . 7 ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ ℝ ∧ 𝑦 ∈ ℝ)) → (𝑥 · 𝑦) ∈ ℂ)
11 vmaf 24890 . . . . . . . 8 Λ:ℕ⟶ℝ
1211a1i 11 . . . . . . 7 (𝜑 → Λ:ℕ⟶ℝ)
13 circlemethhgt.h . . . . . . 7 (𝜑𝐻:ℕ⟶ℝ)
14 nnex 11064 . . . . . . . 8 ℕ ∈ V
1514a1i 11 . . . . . . 7 (𝜑 → ℕ ∈ V)
16 inidm 3855 . . . . . . 7 (ℕ ∩ ℕ) = ℕ
1710, 12, 13, 15, 15, 16off 6954 . . . . . 6 (𝜑 → (Λ ∘𝑓 · 𝐻):ℕ⟶ℂ)
18 cnex 10055 . . . . . . 7 ℂ ∈ V
1918, 14elmap 7928 . . . . . 6 ((Λ ∘𝑓 · 𝐻) ∈ (ℂ ↑𝑚 ℕ) ↔ (Λ ∘𝑓 · 𝐻):ℕ⟶ℂ)
2017, 19sylibr 224 . . . . 5 (𝜑 → (Λ ∘𝑓 · 𝐻) ∈ (ℂ ↑𝑚 ℕ))
21 circlemethhgt.k . . . . . . 7 (𝜑𝐾:ℕ⟶ℝ)
2210, 12, 21, 15, 15, 16off 6954 . . . . . 6 (𝜑 → (Λ ∘𝑓 · 𝐾):ℕ⟶ℂ)
2318, 14elmap 7928 . . . . . 6 ((Λ ∘𝑓 · 𝐾) ∈ (ℂ ↑𝑚 ℕ) ↔ (Λ ∘𝑓 · 𝐾):ℕ⟶ℂ)
2422, 23sylibr 224 . . . . 5 (𝜑 → (Λ ∘𝑓 · 𝐾) ∈ (ℂ ↑𝑚 ℕ))
2520, 24, 24s3cld 13663 . . . 4 (𝜑 → ⟨“(Λ ∘𝑓 · 𝐻)(Λ ∘𝑓 · 𝐾)(Λ ∘𝑓 · 𝐾)”⟩ ∈ Word (ℂ ↑𝑚 ℕ))
266, 25wrdfd 30744 . . 3 (𝜑 → ⟨“(Λ ∘𝑓 · 𝐻)(Λ ∘𝑓 · 𝐾)(Λ ∘𝑓 · 𝐾)”⟩:(0..^3)⟶(ℂ ↑𝑚 ℕ))
271, 3, 26circlemeth 30846 . 2 (𝜑 → Σ𝑛 ∈ (ℕ(repr‘3)𝑁)∏𝑎 ∈ (0..^3)((⟨“(Λ ∘𝑓 · 𝐻)(Λ ∘𝑓 · 𝐾)(Λ ∘𝑓 · 𝐾)”⟩‘𝑎)‘(𝑛𝑎)) = ∫(0(,)1)(∏𝑎 ∈ (0..^3)(((⟨“(Λ ∘𝑓 · 𝐻)(Λ ∘𝑓 · 𝐾)(Λ ∘𝑓 · 𝐾)”⟩‘𝑎)vts𝑁)‘𝑥) · (exp‘((i · (2 · π)) · (-𝑁 · 𝑥)))) d𝑥)
28 fveq2 6229 . . . . . 6 (𝑎 = 0 → (⟨“(Λ ∘𝑓 · 𝐻)(Λ ∘𝑓 · 𝐾)(Λ ∘𝑓 · 𝐾)”⟩‘𝑎) = (⟨“(Λ ∘𝑓 · 𝐻)(Λ ∘𝑓 · 𝐾)(Λ ∘𝑓 · 𝐾)”⟩‘0))
29 fveq2 6229 . . . . . 6 (𝑎 = 0 → (𝑛𝑎) = (𝑛‘0))
3028, 29fveq12d 6235 . . . . 5 (𝑎 = 0 → ((⟨“(Λ ∘𝑓 · 𝐻)(Λ ∘𝑓 · 𝐾)(Λ ∘𝑓 · 𝐾)”⟩‘𝑎)‘(𝑛𝑎)) = ((⟨“(Λ ∘𝑓 · 𝐻)(Λ ∘𝑓 · 𝐾)(Λ ∘𝑓 · 𝐾)”⟩‘0)‘(𝑛‘0)))
31 fveq2 6229 . . . . . 6 (𝑎 = 1 → (⟨“(Λ ∘𝑓 · 𝐻)(Λ ∘𝑓 · 𝐾)(Λ ∘𝑓 · 𝐾)”⟩‘𝑎) = (⟨“(Λ ∘𝑓 · 𝐻)(Λ ∘𝑓 · 𝐾)(Λ ∘𝑓 · 𝐾)”⟩‘1))
32 fveq2 6229 . . . . . 6 (𝑎 = 1 → (𝑛𝑎) = (𝑛‘1))
3331, 32fveq12d 6235 . . . . 5 (𝑎 = 1 → ((⟨“(Λ ∘𝑓 · 𝐻)(Λ ∘𝑓 · 𝐾)(Λ ∘𝑓 · 𝐾)”⟩‘𝑎)‘(𝑛𝑎)) = ((⟨“(Λ ∘𝑓 · 𝐻)(Λ ∘𝑓 · 𝐾)(Λ ∘𝑓 · 𝐾)”⟩‘1)‘(𝑛‘1)))
34 fveq2 6229 . . . . . 6 (𝑎 = 2 → (⟨“(Λ ∘𝑓 · 𝐻)(Λ ∘𝑓 · 𝐾)(Λ ∘𝑓 · 𝐾)”⟩‘𝑎) = (⟨“(Λ ∘𝑓 · 𝐻)(Λ ∘𝑓 · 𝐾)(Λ ∘𝑓 · 𝐾)”⟩‘2))
35 fveq2 6229 . . . . . 6 (𝑎 = 2 → (𝑛𝑎) = (𝑛‘2))
3634, 35fveq12d 6235 . . . . 5 (𝑎 = 2 → ((⟨“(Λ ∘𝑓 · 𝐻)(Λ ∘𝑓 · 𝐾)(Λ ∘𝑓 · 𝐾)”⟩‘𝑎)‘(𝑛𝑎)) = ((⟨“(Λ ∘𝑓 · 𝐻)(Λ ∘𝑓 · 𝐾)(Λ ∘𝑓 · 𝐾)”⟩‘2)‘(𝑛‘2)))
3726adantr 480 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑛 ∈ (ℕ(repr‘3)𝑁)) → ⟨“(Λ ∘𝑓 · 𝐻)(Λ ∘𝑓 · 𝐾)(Λ ∘𝑓 · 𝐾)”⟩:(0..^3)⟶(ℂ ↑𝑚 ℕ))
3837ffvelrnda 6399 . . . . . . 7 (((𝜑𝑛 ∈ (ℕ(repr‘3)𝑁)) ∧ 𝑎 ∈ (0..^3)) → (⟨“(Λ ∘𝑓 · 𝐻)(Λ ∘𝑓 · 𝐾)(Λ ∘𝑓 · 𝐾)”⟩‘𝑎) ∈ (ℂ ↑𝑚 ℕ))
39 elmapi 7921 . . . . . . 7 ((⟨“(Λ ∘𝑓 · 𝐻)(Λ ∘𝑓 · 𝐾)(Λ ∘𝑓 · 𝐾)”⟩‘𝑎) ∈ (ℂ ↑𝑚 ℕ) → (⟨“(Λ ∘𝑓 · 𝐻)(Λ ∘𝑓 · 𝐾)(Λ ∘𝑓 · 𝐾)”⟩‘𝑎):ℕ⟶ℂ)
4038, 39syl 17 . . . . . 6 (((𝜑𝑛 ∈ (ℕ(repr‘3)𝑁)) ∧ 𝑎 ∈ (0..^3)) → (⟨“(Λ ∘𝑓 · 𝐻)(Λ ∘𝑓 · 𝐾)(Λ ∘𝑓 · 𝐾)”⟩‘𝑎):ℕ⟶ℂ)
41 ssid 3657 . . . . . . . . 9 ℕ ⊆ ℕ
4241a1i 11 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑛 ∈ (ℕ(repr‘3)𝑁)) → ℕ ⊆ ℕ)
431nn0zd 11518 . . . . . . . . 9 (𝜑𝑁 ∈ ℤ)
4443adantr 480 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑛 ∈ (ℕ(repr‘3)𝑁)) → 𝑁 ∈ ℤ)
45 3nn0 11348 . . . . . . . . 9 3 ∈ ℕ0
4645a1i 11 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑛 ∈ (ℕ(repr‘3)𝑁)) → 3 ∈ ℕ0)
47 simpr 476 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑛 ∈ (ℕ(repr‘3)𝑁)) → 𝑛 ∈ (ℕ(repr‘3)𝑁))
4842, 44, 46, 47reprf 30818 . . . . . . 7 ((𝜑𝑛 ∈ (ℕ(repr‘3)𝑁)) → 𝑛:(0..^3)⟶ℕ)
4948ffvelrnda 6399 . . . . . 6 (((𝜑𝑛 ∈ (ℕ(repr‘3)𝑁)) ∧ 𝑎 ∈ (0..^3)) → (𝑛𝑎) ∈ ℕ)
5040, 49ffvelrnd 6400 . . . . 5 (((𝜑𝑛 ∈ (ℕ(repr‘3)𝑁)) ∧ 𝑎 ∈ (0..^3)) → ((⟨“(Λ ∘𝑓 · 𝐻)(Λ ∘𝑓 · 𝐾)(Λ ∘𝑓 · 𝐾)”⟩‘𝑎)‘(𝑛𝑎)) ∈ ℂ)
5130, 33, 36, 50prodfzo03 30809 . . . 4 ((𝜑𝑛 ∈ (ℕ(repr‘3)𝑁)) → ∏𝑎 ∈ (0..^3)((⟨“(Λ ∘𝑓 · 𝐻)(Λ ∘𝑓 · 𝐾)(Λ ∘𝑓 · 𝐾)”⟩‘𝑎)‘(𝑛𝑎)) = (((⟨“(Λ ∘𝑓 · 𝐻)(Λ ∘𝑓 · 𝐾)(Λ ∘𝑓 · 𝐾)”⟩‘0)‘(𝑛‘0)) · (((⟨“(Λ ∘𝑓 · 𝐻)(Λ ∘𝑓 · 𝐾)(Λ ∘𝑓 · 𝐾)”⟩‘1)‘(𝑛‘1)) · ((⟨“(Λ ∘𝑓 · 𝐻)(Λ ∘𝑓 · 𝐾)(Λ ∘𝑓 · 𝐾)”⟩‘2)‘(𝑛‘2)))))
52 ovex 6718 . . . . . . . 8 (Λ ∘𝑓 · 𝐻) ∈ V
53 s3fv0 13682 . . . . . . . 8 ((Λ ∘𝑓 · 𝐻) ∈ V → (⟨“(Λ ∘𝑓 · 𝐻)(Λ ∘𝑓 · 𝐾)(Λ ∘𝑓 · 𝐾)”⟩‘0) = (Λ ∘𝑓 · 𝐻))
5452, 53mp1i 13 . . . . . . 7 ((𝜑𝑛 ∈ (ℕ(repr‘3)𝑁)) → (⟨“(Λ ∘𝑓 · 𝐻)(Λ ∘𝑓 · 𝐾)(Λ ∘𝑓 · 𝐾)”⟩‘0) = (Λ ∘𝑓 · 𝐻))
5554fveq1d 6231 . . . . . 6 ((𝜑𝑛 ∈ (ℕ(repr‘3)𝑁)) → ((⟨“(Λ ∘𝑓 · 𝐻)(Λ ∘𝑓 · 𝐾)(Λ ∘𝑓 · 𝐾)”⟩‘0)‘(𝑛‘0)) = ((Λ ∘𝑓 · 𝐻)‘(𝑛‘0)))
56 simpl 472 . . . . . . 7 ((𝜑𝑛 ∈ (ℕ(repr‘3)𝑁)) → 𝜑)
57 c0ex 10072 . . . . . . . . . . 11 0 ∈ V
5857tpid1 4335 . . . . . . . . . 10 0 ∈ {0, 1, 2}
59 fzo0to3tp 12594 . . . . . . . . . 10 (0..^3) = {0, 1, 2}
6058, 59eleqtrri 2729 . . . . . . . . 9 0 ∈ (0..^3)
6160a1i 11 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑛 ∈ (ℕ(repr‘3)𝑁)) → 0 ∈ (0..^3))
6248, 61ffvelrnd 6400 . . . . . . 7 ((𝜑𝑛 ∈ (ℕ(repr‘3)𝑁)) → (𝑛‘0) ∈ ℕ)
63 ffn 6083 . . . . . . . . . 10 (Λ:ℕ⟶ℝ → Λ Fn ℕ)
6411, 63ax-mp 5 . . . . . . . . 9 Λ Fn ℕ
6564a1i 11 . . . . . . . 8 (𝜑 → Λ Fn ℕ)
6613ffnd 6084 . . . . . . . 8 (𝜑𝐻 Fn ℕ)
67 eqidd 2652 . . . . . . . 8 ((𝜑 ∧ (𝑛‘0) ∈ ℕ) → (Λ‘(𝑛‘0)) = (Λ‘(𝑛‘0)))
68 eqidd 2652 . . . . . . . 8 ((𝜑 ∧ (𝑛‘0) ∈ ℕ) → (𝐻‘(𝑛‘0)) = (𝐻‘(𝑛‘0)))
6965, 66, 15, 15, 16, 67, 68ofval 6948 . . . . . . 7 ((𝜑 ∧ (𝑛‘0) ∈ ℕ) → ((Λ ∘𝑓 · 𝐻)‘(𝑛‘0)) = ((Λ‘(𝑛‘0)) · (𝐻‘(𝑛‘0))))
7056, 62, 69syl2anc 694 . . . . . 6 ((𝜑𝑛 ∈ (ℕ(repr‘3)𝑁)) → ((Λ ∘𝑓 · 𝐻)‘(𝑛‘0)) = ((Λ‘(𝑛‘0)) · (𝐻‘(𝑛‘0))))
7155, 70eqtrd 2685 . . . . 5 ((𝜑𝑛 ∈ (ℕ(repr‘3)𝑁)) → ((⟨“(Λ ∘𝑓 · 𝐻)(Λ ∘𝑓 · 𝐾)(Λ ∘𝑓 · 𝐾)”⟩‘0)‘(𝑛‘0)) = ((Λ‘(𝑛‘0)) · (𝐻‘(𝑛‘0))))
72 ovex 6718 . . . . . . . . 9 (Λ ∘𝑓 · 𝐾) ∈ V
73 s3fv1 13683 . . . . . . . . 9 ((Λ ∘𝑓 · 𝐾) ∈ V → (⟨“(Λ ∘𝑓 · 𝐻)(Λ ∘𝑓 · 𝐾)(Λ ∘𝑓 · 𝐾)”⟩‘1) = (Λ ∘𝑓 · 𝐾))
7472, 73mp1i 13 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑛 ∈ (ℕ(repr‘3)𝑁)) → (⟨“(Λ ∘𝑓 · 𝐻)(Λ ∘𝑓 · 𝐾)(Λ ∘𝑓 · 𝐾)”⟩‘1) = (Λ ∘𝑓 · 𝐾))
7574fveq1d 6231 . . . . . . 7 ((𝜑𝑛 ∈ (ℕ(repr‘3)𝑁)) → ((⟨“(Λ ∘𝑓 · 𝐻)(Λ ∘𝑓 · 𝐾)(Λ ∘𝑓 · 𝐾)”⟩‘1)‘(𝑛‘1)) = ((Λ ∘𝑓 · 𝐾)‘(𝑛‘1)))
76 1ex 10073 . . . . . . . . . . . 12 1 ∈ V
7776tpid2 4336 . . . . . . . . . . 11 1 ∈ {0, 1, 2}
7877, 59eleqtrri 2729 . . . . . . . . . 10 1 ∈ (0..^3)
7978a1i 11 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑛 ∈ (ℕ(repr‘3)𝑁)) → 1 ∈ (0..^3))
8048, 79ffvelrnd 6400 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑛 ∈ (ℕ(repr‘3)𝑁)) → (𝑛‘1) ∈ ℕ)
8121ffnd 6084 . . . . . . . . 9 (𝜑𝐾 Fn ℕ)
82 eqidd 2652 . . . . . . . . 9 ((𝜑 ∧ (𝑛‘1) ∈ ℕ) → (Λ‘(𝑛‘1)) = (Λ‘(𝑛‘1)))
83 eqidd 2652 . . . . . . . . 9 ((𝜑 ∧ (𝑛‘1) ∈ ℕ) → (𝐾‘(𝑛‘1)) = (𝐾‘(𝑛‘1)))
8465, 81, 15, 15, 16, 82, 83ofval 6948 . . . . . . . 8 ((𝜑 ∧ (𝑛‘1) ∈ ℕ) → ((Λ ∘𝑓 · 𝐾)‘(𝑛‘1)) = ((Λ‘(𝑛‘1)) · (𝐾‘(𝑛‘1))))
8556, 80, 84syl2anc 694 . . . . . . 7 ((𝜑𝑛 ∈ (ℕ(repr‘3)𝑁)) → ((Λ ∘𝑓 · 𝐾)‘(𝑛‘1)) = ((Λ‘(𝑛‘1)) · (𝐾‘(𝑛‘1))))
8675, 85eqtrd 2685 . . . . . 6 ((𝜑𝑛 ∈ (ℕ(repr‘3)𝑁)) → ((⟨“(Λ ∘𝑓 · 𝐻)(Λ ∘𝑓 · 𝐾)(Λ ∘𝑓 · 𝐾)”⟩‘1)‘(𝑛‘1)) = ((Λ‘(𝑛‘1)) · (𝐾‘(𝑛‘1))))
87 s3fv2 13684 . . . . . . . . 9 ((Λ ∘𝑓 · 𝐾) ∈ V → (⟨“(Λ ∘𝑓 · 𝐻)(Λ ∘𝑓 · 𝐾)(Λ ∘𝑓 · 𝐾)”⟩‘2) = (Λ ∘𝑓 · 𝐾))
8872, 87mp1i 13 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑛 ∈ (ℕ(repr‘3)𝑁)) → (⟨“(Λ ∘𝑓 · 𝐻)(Λ ∘𝑓 · 𝐾)(Λ ∘𝑓 · 𝐾)”⟩‘2) = (Λ ∘𝑓 · 𝐾))
8988fveq1d 6231 . . . . . . 7 ((𝜑𝑛 ∈ (ℕ(repr‘3)𝑁)) → ((⟨“(Λ ∘𝑓 · 𝐻)(Λ ∘𝑓 · 𝐾)(Λ ∘𝑓 · 𝐾)”⟩‘2)‘(𝑛‘2)) = ((Λ ∘𝑓 · 𝐾)‘(𝑛‘2)))
90 2ex 11130 . . . . . . . . . . . 12 2 ∈ V
9190tpid3 4338 . . . . . . . . . . 11 2 ∈ {0, 1, 2}
9291, 59eleqtrri 2729 . . . . . . . . . 10 2 ∈ (0..^3)
9392a1i 11 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑛 ∈ (ℕ(repr‘3)𝑁)) → 2 ∈ (0..^3))
9448, 93ffvelrnd 6400 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑛 ∈ (ℕ(repr‘3)𝑁)) → (𝑛‘2) ∈ ℕ)
95 eqidd 2652 . . . . . . . . 9 ((𝜑 ∧ (𝑛‘2) ∈ ℕ) → (Λ‘(𝑛‘2)) = (Λ‘(𝑛‘2)))
96 eqidd 2652 . . . . . . . . 9 ((𝜑 ∧ (𝑛‘2) ∈ ℕ) → (𝐾‘(𝑛‘2)) = (𝐾‘(𝑛‘2)))
9765, 81, 15, 15, 16, 95, 96ofval 6948 . . . . . . . 8 ((𝜑 ∧ (𝑛‘2) ∈ ℕ) → ((Λ ∘𝑓 · 𝐾)‘(𝑛‘2)) = ((Λ‘(𝑛‘2)) · (𝐾‘(𝑛‘2))))
9856, 94, 97syl2anc 694 . . . . . . 7 ((𝜑𝑛 ∈ (ℕ(repr‘3)𝑁)) → ((Λ ∘𝑓 · 𝐾)‘(𝑛‘2)) = ((Λ‘(𝑛‘2)) · (𝐾‘(𝑛‘2))))
9989, 98eqtrd 2685 . . . . . 6 ((𝜑𝑛 ∈ (ℕ(repr‘3)𝑁)) → ((⟨“(Λ ∘𝑓 · 𝐻)(Λ ∘𝑓 · 𝐾)(Λ ∘𝑓 · 𝐾)”⟩‘2)‘(𝑛‘2)) = ((Λ‘(𝑛‘2)) · (𝐾‘(𝑛‘2))))
10086, 99oveq12d 6708 . . . . 5 ((𝜑𝑛 ∈ (ℕ(repr‘3)𝑁)) → (((⟨“(Λ ∘𝑓 · 𝐻)(Λ ∘𝑓 · 𝐾)(Λ ∘𝑓 · 𝐾)”⟩‘1)‘(𝑛‘1)) · ((⟨“(Λ ∘𝑓 · 𝐻)(Λ ∘𝑓 · 𝐾)(Λ ∘𝑓 · 𝐾)”⟩‘2)‘(𝑛‘2))) = (((Λ‘(𝑛‘1)) · (𝐾‘(𝑛‘1))) · ((Λ‘(𝑛‘2)) · (𝐾‘(𝑛‘2)))))
10171, 100oveq12d 6708 . . . 4 ((𝜑𝑛 ∈ (ℕ(repr‘3)𝑁)) → (((⟨“(Λ ∘𝑓 · 𝐻)(Λ ∘𝑓 · 𝐾)(Λ ∘𝑓 · 𝐾)”⟩‘0)‘(𝑛‘0)) · (((⟨“(Λ ∘𝑓 · 𝐻)(Λ ∘𝑓 · 𝐾)(Λ ∘𝑓 · 𝐾)”⟩‘1)‘(𝑛‘1)) · ((⟨“(Λ ∘𝑓 · 𝐻)(Λ ∘𝑓 · 𝐾)(Λ ∘𝑓 · 𝐾)”⟩‘2)‘(𝑛‘2)))) = (((Λ‘(𝑛‘0)) · (𝐻‘(𝑛‘0))) · (((Λ‘(𝑛‘1)) · (𝐾‘(𝑛‘1))) · ((Λ‘(𝑛‘2)) · (𝐾‘(𝑛‘2))))))
10251, 101eqtrd 2685 . . 3 ((𝜑𝑛 ∈ (ℕ(repr‘3)𝑁)) → ∏𝑎 ∈ (0..^3)((⟨“(Λ ∘𝑓 · 𝐻)(Λ ∘𝑓 · 𝐾)(Λ ∘𝑓 · 𝐾)”⟩‘𝑎)‘(𝑛𝑎)) = (((Λ‘(𝑛‘0)) · (𝐻‘(𝑛‘0))) · (((Λ‘(𝑛‘1)) · (𝐾‘(𝑛‘1))) · ((Λ‘(𝑛‘2)) · (𝐾‘(𝑛‘2))))))
103102sumeq2dv 14477 . 2 (𝜑 → Σ𝑛 ∈ (ℕ(repr‘3)𝑁)∏𝑎 ∈ (0..^3)((⟨“(Λ ∘𝑓 · 𝐻)(Λ ∘𝑓 · 𝐾)(Λ ∘𝑓 · 𝐾)”⟩‘𝑎)‘(𝑛𝑎)) = Σ𝑛 ∈ (ℕ(repr‘3)𝑁)(((Λ‘(𝑛‘0)) · (𝐻‘(𝑛‘0))) · (((Λ‘(𝑛‘1)) · (𝐾‘(𝑛‘1))) · ((Λ‘(𝑛‘2)) · (𝐾‘(𝑛‘2))))))
104 nfv 1883 . . . . . 6 𝑎(𝜑𝑥 ∈ (0(,)1))
105 nfcv 2793 . . . . . 6 𝑎(((Λ ∘𝑓 · 𝐻)vts𝑁)‘𝑥)
106 fzofi 12813 . . . . . . 7 (1..^3) ∈ Fin
107106a1i 11 . . . . . 6 ((𝜑𝑥 ∈ (0(,)1)) → (1..^3) ∈ Fin)
10857a1i 11 . . . . . 6 ((𝜑𝑥 ∈ (0(,)1)) → 0 ∈ V)
109 eqid 2651 . . . . . . . . 9 0 = 0
110109orci 404 . . . . . . . 8 (0 = 0 ∨ 0 = 3)
111 0elfz 12475 . . . . . . . . 9 (3 ∈ ℕ0 → 0 ∈ (0...3))
112 elfznelfzob 12614 . . . . . . . . 9 (0 ∈ (0...3) → (¬ 0 ∈ (1..^3) ↔ (0 = 0 ∨ 0 = 3)))
11345, 111, 112mp2b 10 . . . . . . . 8 (¬ 0 ∈ (1..^3) ↔ (0 = 0 ∨ 0 = 3))
114110, 113mpbir 221 . . . . . . 7 ¬ 0 ∈ (1..^3)
115114a1i 11 . . . . . 6 ((𝜑𝑥 ∈ (0(,)1)) → ¬ 0 ∈ (1..^3))
1161ad2antrr 762 . . . . . . 7 (((𝜑𝑥 ∈ (0(,)1)) ∧ 𝑎 ∈ (1..^3)) → 𝑁 ∈ ℕ0)
117 ioossre 12273 . . . . . . . . . . 11 (0(,)1) ⊆ ℝ
118 ax-resscn 10031 . . . . . . . . . . 11 ℝ ⊆ ℂ
119117, 118sstri 3645 . . . . . . . . . 10 (0(,)1) ⊆ ℂ
120119a1i 11 . . . . . . . . 9 (𝜑 → (0(,)1) ⊆ ℂ)
121120sselda 3636 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑥 ∈ (0(,)1)) → 𝑥 ∈ ℂ)
122121adantr 480 . . . . . . 7 (((𝜑𝑥 ∈ (0(,)1)) ∧ 𝑎 ∈ (1..^3)) → 𝑥 ∈ ℂ)
12326ad2antrr 762 . . . . . . . . 9 (((𝜑𝑥 ∈ (0(,)1)) ∧ 𝑎 ∈ (1..^3)) → ⟨“(Λ ∘𝑓 · 𝐻)(Λ ∘𝑓 · 𝐾)(Λ ∘𝑓 · 𝐾)”⟩:(0..^3)⟶(ℂ ↑𝑚 ℕ))
124 fzo0ss1 12537 . . . . . . . . . . 11 (1..^3) ⊆ (0..^3)
125124a1i 11 . . . . . . . . . 10 ((𝜑𝑥 ∈ (0(,)1)) → (1..^3) ⊆ (0..^3))
126125sselda 3636 . . . . . . . . 9 (((𝜑𝑥 ∈ (0(,)1)) ∧ 𝑎 ∈ (1..^3)) → 𝑎 ∈ (0..^3))
127123, 126ffvelrnd 6400 . . . . . . . 8 (((𝜑𝑥 ∈ (0(,)1)) ∧ 𝑎 ∈ (1..^3)) → (⟨“(Λ ∘𝑓 · 𝐻)(Λ ∘𝑓 · 𝐾)(Λ ∘𝑓 · 𝐾)”⟩‘𝑎) ∈ (ℂ ↑𝑚 ℕ))
128127, 39syl 17 . . . . . . 7 (((𝜑𝑥 ∈ (0(,)1)) ∧ 𝑎 ∈ (1..^3)) → (⟨“(Λ ∘𝑓 · 𝐻)(Λ ∘𝑓 · 𝐾)(Λ ∘𝑓 · 𝐾)”⟩‘𝑎):ℕ⟶ℂ)
129116, 122, 128vtscl 30844 . . . . . 6 (((𝜑𝑥 ∈ (0(,)1)) ∧ 𝑎 ∈ (1..^3)) → (((⟨“(Λ ∘𝑓 · 𝐻)(Λ ∘𝑓 · 𝐾)(Λ ∘𝑓 · 𝐾)”⟩‘𝑎)vts𝑁)‘𝑥) ∈ ℂ)
13052, 53ax-mp 5 . . . . . . . . 9 (⟨“(Λ ∘𝑓 · 𝐻)(Λ ∘𝑓 · 𝐾)(Λ ∘𝑓 · 𝐾)”⟩‘0) = (Λ ∘𝑓 · 𝐻)
13128, 130syl6eq 2701 . . . . . . . 8 (𝑎 = 0 → (⟨“(Λ ∘𝑓 · 𝐻)(Λ ∘𝑓 · 𝐾)(Λ ∘𝑓 · 𝐾)”⟩‘𝑎) = (Λ ∘𝑓 · 𝐻))
132131oveq1d 6705 . . . . . . 7 (𝑎 = 0 → ((⟨“(Λ ∘𝑓 · 𝐻)(Λ ∘𝑓 · 𝐾)(Λ ∘𝑓 · 𝐾)”⟩‘𝑎)vts𝑁) = ((Λ ∘𝑓 · 𝐻)vts𝑁))
133132fveq1d 6231 . . . . . 6 (𝑎 = 0 → (((⟨“(Λ ∘𝑓 · 𝐻)(Λ ∘𝑓 · 𝐾)(Λ ∘𝑓 · 𝐾)”⟩‘𝑎)vts𝑁)‘𝑥) = (((Λ ∘𝑓 · 𝐻)vts𝑁)‘𝑥))
1341adantr 480 . . . . . . 7 ((𝜑𝑥 ∈ (0(,)1)) → 𝑁 ∈ ℕ0)
13517adantr 480 . . . . . . 7 ((𝜑𝑥 ∈ (0(,)1)) → (Λ ∘𝑓 · 𝐻):ℕ⟶ℂ)
136134, 121, 135vtscl 30844 . . . . . 6 ((𝜑𝑥 ∈ (0(,)1)) → (((Λ ∘𝑓 · 𝐻)vts𝑁)‘𝑥) ∈ ℂ)
137104, 105, 107, 108, 115, 129, 133, 136fprodsplitsn 14764 . . . . 5 ((𝜑𝑥 ∈ (0(,)1)) → ∏𝑎 ∈ ((1..^3) ∪ {0})(((⟨“(Λ ∘𝑓 · 𝐻)(Λ ∘𝑓 · 𝐾)(Λ ∘𝑓 · 𝐾)”⟩‘𝑎)vts𝑁)‘𝑥) = (∏𝑎 ∈ (1..^3)(((⟨“(Λ ∘𝑓 · 𝐻)(Λ ∘𝑓 · 𝐾)(Λ ∘𝑓 · 𝐾)”⟩‘𝑎)vts𝑁)‘𝑥) · (((Λ ∘𝑓 · 𝐻)vts𝑁)‘𝑥)))
138 uncom 3790 . . . . . . . 8 ((1..^3) ∪ {0}) = ({0} ∪ (1..^3))
139 fzo0sn0fzo1 12597 . . . . . . . . 9 (3 ∈ ℕ → (0..^3) = ({0} ∪ (1..^3)))
1402, 139ax-mp 5 . . . . . . . 8 (0..^3) = ({0} ∪ (1..^3))
141138, 140eqtr4i 2676 . . . . . . 7 ((1..^3) ∪ {0}) = (0..^3)
142141a1i 11 . . . . . 6 ((𝜑𝑥 ∈ (0(,)1)) → ((1..^3) ∪ {0}) = (0..^3))
143142prodeq1d 14695 . . . . 5 ((𝜑𝑥 ∈ (0(,)1)) → ∏𝑎 ∈ ((1..^3) ∪ {0})(((⟨“(Λ ∘𝑓 · 𝐻)(Λ ∘𝑓 · 𝐾)(Λ ∘𝑓 · 𝐾)”⟩‘𝑎)vts𝑁)‘𝑥) = ∏𝑎 ∈ (0..^3)(((⟨“(Λ ∘𝑓 · 𝐻)(Λ ∘𝑓 · 𝐾)(Λ ∘𝑓 · 𝐾)”⟩‘𝑎)vts𝑁)‘𝑥))
144 fzo13pr 12592 . . . . . . . . . . . . . . 15 (1..^3) = {1, 2}
145144eleq2i 2722 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑎 ∈ (1..^3) ↔ 𝑎 ∈ {1, 2})
146 vex 3234 . . . . . . . . . . . . . . 15 𝑎 ∈ V
147146elpr 4231 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑎 ∈ {1, 2} ↔ (𝑎 = 1 ∨ 𝑎 = 2))
148145, 147bitri 264 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑎 ∈ (1..^3) ↔ (𝑎 = 1 ∨ 𝑎 = 2))
14931adantl 481 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝜑𝑎 = 1) → (⟨“(Λ ∘𝑓 · 𝐻)(Λ ∘𝑓 · 𝐾)(Λ ∘𝑓 · 𝐾)”⟩‘𝑎) = (⟨“(Λ ∘𝑓 · 𝐻)(Λ ∘𝑓 · 𝐾)(Λ ∘𝑓 · 𝐾)”⟩‘1))
15072, 73mp1i 13 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝜑𝑎 = 1) → (⟨“(Λ ∘𝑓 · 𝐻)(Λ ∘𝑓 · 𝐾)(Λ ∘𝑓 · 𝐾)”⟩‘1) = (Λ ∘𝑓 · 𝐾))
151149, 150eqtrd 2685 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝜑𝑎 = 1) → (⟨“(Λ ∘𝑓 · 𝐻)(Λ ∘𝑓 · 𝐾)(Λ ∘𝑓 · 𝐾)”⟩‘𝑎) = (Λ ∘𝑓 · 𝐾))
15234adantl 481 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝜑𝑎 = 2) → (⟨“(Λ ∘𝑓 · 𝐻)(Λ ∘𝑓 · 𝐾)(Λ ∘𝑓 · 𝐾)”⟩‘𝑎) = (⟨“(Λ ∘𝑓 · 𝐻)(Λ ∘𝑓 · 𝐾)(Λ ∘𝑓 · 𝐾)”⟩‘2))
15372, 87mp1i 13 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝜑𝑎 = 2) → (⟨“(Λ ∘𝑓 · 𝐻)(Λ ∘𝑓 · 𝐾)(Λ ∘𝑓 · 𝐾)”⟩‘2) = (Λ ∘𝑓 · 𝐾))
154152, 153eqtrd 2685 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝜑𝑎 = 2) → (⟨“(Λ ∘𝑓 · 𝐻)(Λ ∘𝑓 · 𝐾)(Λ ∘𝑓 · 𝐾)”⟩‘𝑎) = (Λ ∘𝑓 · 𝐾))
155151, 154jaodan 843 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝜑 ∧ (𝑎 = 1 ∨ 𝑎 = 2)) → (⟨“(Λ ∘𝑓 · 𝐻)(Λ ∘𝑓 · 𝐾)(Λ ∘𝑓 · 𝐾)”⟩‘𝑎) = (Λ ∘𝑓 · 𝐾))
156148, 155sylan2b 491 . . . . . . . . . . . 12 ((𝜑𝑎 ∈ (1..^3)) → (⟨“(Λ ∘𝑓 · 𝐻)(Λ ∘𝑓 · 𝐾)(Λ ∘𝑓 · 𝐾)”⟩‘𝑎) = (Λ ∘𝑓 · 𝐾))
157156adantlr 751 . . . . . . . . . . 11 (((𝜑𝑥 ∈ (0(,)1)) ∧ 𝑎 ∈ (1..^3)) → (⟨“(Λ ∘𝑓 · 𝐻)(Λ ∘𝑓 · 𝐾)(Λ ∘𝑓 · 𝐾)”⟩‘𝑎) = (Λ ∘𝑓 · 𝐾))
158157oveq1d 6705 . . . . . . . . . 10 (((𝜑𝑥 ∈ (0(,)1)) ∧ 𝑎 ∈ (1..^3)) → ((⟨“(Λ ∘𝑓 · 𝐻)(Λ ∘𝑓 · 𝐾)(Λ ∘𝑓 · 𝐾)”⟩‘𝑎)vts𝑁) = ((Λ ∘𝑓 · 𝐾)vts𝑁))
159158fveq1d 6231 . . . . . . . . 9 (((𝜑𝑥 ∈ (0(,)1)) ∧ 𝑎 ∈ (1..^3)) → (((⟨“(Λ ∘𝑓 · 𝐻)(Λ ∘𝑓 · 𝐾)(Λ ∘𝑓 · 𝐾)”⟩‘𝑎)vts𝑁)‘𝑥) = (((Λ ∘𝑓 · 𝐾)vts𝑁)‘𝑥))
160159prodeq2dv 14697 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑥 ∈ (0(,)1)) → ∏𝑎 ∈ (1..^3)(((⟨“(Λ ∘𝑓 · 𝐻)(Λ ∘𝑓 · 𝐾)(Λ ∘𝑓 · 𝐾)”⟩‘𝑎)vts𝑁)‘𝑥) = ∏𝑎 ∈ (1..^3)(((Λ ∘𝑓 · 𝐾)vts𝑁)‘𝑥))
16122adantr 480 . . . . . . . . . 10 ((𝜑𝑥 ∈ (0(,)1)) → (Λ ∘𝑓 · 𝐾):ℕ⟶ℂ)
162134, 121, 161vtscl 30844 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑥 ∈ (0(,)1)) → (((Λ ∘𝑓 · 𝐾)vts𝑁)‘𝑥) ∈ ℂ)
163 fprodconst 14752 . . . . . . . . 9 (((1..^3) ∈ Fin ∧ (((Λ ∘𝑓 · 𝐾)vts𝑁)‘𝑥) ∈ ℂ) → ∏𝑎 ∈ (1..^3)(((Λ ∘𝑓 · 𝐾)vts𝑁)‘𝑥) = ((((Λ ∘𝑓 · 𝐾)vts𝑁)‘𝑥)↑(#‘(1..^3))))
164107, 162, 163syl2anc 694 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑥 ∈ (0(,)1)) → ∏𝑎 ∈ (1..^3)(((Λ ∘𝑓 · 𝐾)vts𝑁)‘𝑥) = ((((Λ ∘𝑓 · 𝐾)vts𝑁)‘𝑥)↑(#‘(1..^3))))
165 nnuz 11761 . . . . . . . . . . . . 13 ℕ = (ℤ‘1)
1662, 165eleqtri 2728 . . . . . . . . . . . 12 3 ∈ (ℤ‘1)
167 hashfzo 13254 . . . . . . . . . . . 12 (3 ∈ (ℤ‘1) → (#‘(1..^3)) = (3 − 1))
168166, 167ax-mp 5 . . . . . . . . . . 11 (#‘(1..^3)) = (3 − 1)
169 3m1e2 11175 . . . . . . . . . . 11 (3 − 1) = 2
170168, 169eqtri 2673 . . . . . . . . . 10 (#‘(1..^3)) = 2
171170a1i 11 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑥 ∈ (0(,)1)) → (#‘(1..^3)) = 2)
172171oveq2d 6706 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑥 ∈ (0(,)1)) → ((((Λ ∘𝑓 · 𝐾)vts𝑁)‘𝑥)↑(#‘(1..^3))) = ((((Λ ∘𝑓 · 𝐾)vts𝑁)‘𝑥)↑2))
173160, 164, 1723eqtrd 2689 . . . . . . 7 ((𝜑𝑥 ∈ (0(,)1)) → ∏𝑎 ∈ (1..^3)(((⟨“(Λ ∘𝑓 · 𝐻)(Λ ∘𝑓 · 𝐾)(Λ ∘𝑓 · 𝐾)”⟩‘𝑎)vts𝑁)‘𝑥) = ((((Λ ∘𝑓 · 𝐾)vts𝑁)‘𝑥)↑2))
174173oveq1d 6705 . . . . . 6 ((𝜑𝑥 ∈ (0(,)1)) → (∏𝑎 ∈ (1..^3)(((⟨“(Λ ∘𝑓 · 𝐻)(Λ ∘𝑓 · 𝐾)(Λ ∘𝑓 · 𝐾)”⟩‘𝑎)vts𝑁)‘𝑥) · (((Λ ∘𝑓 · 𝐻)vts𝑁)‘𝑥)) = (((((Λ ∘𝑓 · 𝐾)vts𝑁)‘𝑥)↑2) · (((Λ ∘𝑓 · 𝐻)vts𝑁)‘𝑥)))
175162sqcld 13046 . . . . . . 7 ((𝜑𝑥 ∈ (0(,)1)) → ((((Λ ∘𝑓 · 𝐾)vts𝑁)‘𝑥)↑2) ∈ ℂ)
176136, 175mulcomd 10099 . . . . . 6 ((𝜑𝑥 ∈ (0(,)1)) → ((((Λ ∘𝑓 · 𝐻)vts𝑁)‘𝑥) · ((((Λ ∘𝑓 · 𝐾)vts𝑁)‘𝑥)↑2)) = (((((Λ ∘𝑓 · 𝐾)vts𝑁)‘𝑥)↑2) · (((Λ ∘𝑓 · 𝐻)vts𝑁)‘𝑥)))
177174, 176eqtr4d 2688 . . . . 5 ((𝜑𝑥 ∈ (0(,)1)) → (∏𝑎 ∈ (1..^3)(((⟨“(Λ ∘𝑓 · 𝐻)(Λ ∘𝑓 · 𝐾)(Λ ∘𝑓 · 𝐾)”⟩‘𝑎)vts𝑁)‘𝑥) · (((Λ ∘𝑓 · 𝐻)vts𝑁)‘𝑥)) = ((((Λ ∘𝑓 · 𝐻)vts𝑁)‘𝑥) · ((((Λ ∘𝑓 · 𝐾)vts𝑁)‘𝑥)↑2)))
178137, 143, 1773eqtr3d 2693 . . . 4 ((𝜑𝑥 ∈ (0(,)1)) → ∏𝑎 ∈ (0..^3)(((⟨“(Λ ∘𝑓 · 𝐻)(Λ ∘𝑓 · 𝐾)(Λ ∘𝑓 · 𝐾)”⟩‘𝑎)vts𝑁)‘𝑥) = ((((Λ ∘𝑓 · 𝐻)vts𝑁)‘𝑥) · ((((Λ ∘𝑓 · 𝐾)vts𝑁)‘𝑥)↑2)))
179178oveq1d 6705 . . 3 ((𝜑𝑥 ∈ (0(,)1)) → (∏𝑎 ∈ (0..^3)(((⟨“(Λ ∘𝑓 · 𝐻)(Λ ∘𝑓 · 𝐾)(Λ ∘𝑓 · 𝐾)”⟩‘𝑎)vts𝑁)‘𝑥) · (exp‘((i · (2 · π)) · (-𝑁 · 𝑥)))) = (((((Λ ∘𝑓 · 𝐻)vts𝑁)‘𝑥) · ((((Λ ∘𝑓 · 𝐾)vts𝑁)‘𝑥)↑2)) · (exp‘((i · (2 · π)) · (-𝑁 · 𝑥)))))
180179itgeq2dv 23593 . 2 (𝜑 → ∫(0(,)1)(∏𝑎 ∈ (0..^3)(((⟨“(Λ ∘𝑓 · 𝐻)(Λ ∘𝑓 · 𝐾)(Λ ∘𝑓 · 𝐾)”⟩‘𝑎)vts𝑁)‘𝑥) · (exp‘((i · (2 · π)) · (-𝑁 · 𝑥)))) d𝑥 = ∫(0(,)1)(((((Λ ∘𝑓 · 𝐻)vts𝑁)‘𝑥) · ((((Λ ∘𝑓 · 𝐾)vts𝑁)‘𝑥)↑2)) · (exp‘((i · (2 · π)) · (-𝑁 · 𝑥)))) d𝑥)
18127, 103, 1803eqtr3d 2693 1 (𝜑 → Σ𝑛 ∈ (ℕ(repr‘3)𝑁)(((Λ‘(𝑛‘0)) · (𝐻‘(𝑛‘0))) · (((Λ‘(𝑛‘1)) · (𝐾‘(𝑛‘1))) · ((Λ‘(𝑛‘2)) · (𝐾‘(𝑛‘2))))) = ∫(0(,)1)(((((Λ ∘𝑓 · 𝐻)vts𝑁)‘𝑥) · ((((Λ ∘𝑓 · 𝐾)vts𝑁)‘𝑥)↑2)) · (exp‘((i · (2 · π)) · (-𝑁 · 𝑥)))) d𝑥)
 Colors of variables: wff setvar class Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ↔ wb 196   ∨ wo 382   ∧ wa 383   = wceq 1523   ∈ wcel 2030  Vcvv 3231   ∪ cun 3605   ⊆ wss 3607  {csn 4210  {cpr 4212  {ctp 4214   Fn wfn 5921  ⟶wf 5922  ‘cfv 5926  (class class class)co 6690   ∘𝑓 cof 6937   ↑𝑚 cmap 7899  Fincfn 7997  ℂcc 9972  ℝcr 9973  0cc0 9974  1c1 9975  ici 9976   · cmul 9979   − cmin 10304  -cneg 10305  ℕcn 11058  2c2 11108  3c3 11109  ℕ0cn0 11330  ℤcz 11415  ℤ≥cuz 11725  (,)cioo 12213  ...cfz 12364  ..^cfzo 12504  ↑cexp 12900  #chash 13157  ⟨“cs3 13633  Σcsu 14460  ∏cprod 14679  expce 14836  πcpi 14841  ∫citg 23432  Λcvma 24863  reprcrepr 30814  vtscvts 30841 This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1762  ax-4 1777  ax-5 1879  ax-6 1945  ax-7 1981  ax-8 2032  ax-9 2039  ax-10 2059  ax-11 2074  ax-12 2087  ax-13 2282  ax-ext 2631  ax-rep 4804  ax-sep 4814  ax-nul 4822  ax-pow 4873  ax-pr 4936  ax-un 6991  ax-inf2 8576  ax-cc 9295  ax-cnex 10030  ax-resscn 10031  ax-1cn 10032  ax-icn 10033  ax-addcl 10034  ax-addrcl 10035  ax-mulcl 10036  ax-mulrcl 10037  ax-mulcom 10038  ax-addass 10039  ax-mulass 10040  ax-distr 10041  ax-i2m1 10042  ax-1ne0 10043  ax-1rid 10044  ax-rnegex 10045  ax-rrecex 10046  ax-cnre 10047  ax-pre-lttri 10048  ax-pre-lttrn 10049  ax-pre-ltadd 10050  ax-pre-mulgt0 10051  ax-pre-sup 10052  ax-addf 10053  ax-mulf 10054 This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 384  df-an 385  df-3or 1055  df-3an 1056  df-tru 1526  df-fal 1529  df-ex 1745  df-nf 1750  df-sb 1938  df-eu 2502  df-mo 2503  df-clab 2638  df-cleq 2644  df-clel 2647  df-nfc 2782  df-ne 2824  df-nel 2927  df-ral 2946  df-rex 2947  df-reu 2948  df-rmo 2949  df-rab 2950  df-v 3233  df-sbc 3469  df-csb 3567  df-dif 3610  df-un 3612  df-in 3614  df-ss 3621  df-pss 3623  df-nul 3949  df-if 4120  df-pw 4193  df-sn 4211  df-pr 4213  df-tp 4215  df-op 4217  df-uni 4469  df-int 4508  df-iun 4554  df-iin 4555  df-disj 4653  df-br 4686  df-opab 4746  df-mpt 4763  df-tr 4786  df-id 5053  df-eprel 5058  df-po 5064  df-so 5065  df-fr 5102  df-se 5103  df-we 5104  df-xp 5149  df-rel 5150  df-cnv 5151  df-co 5152  df-dm 5153  df-rn 5154  df-res 5155  df-ima 5156  df-pred 5718  df-ord 5764  df-on 5765  df-lim 5766  df-suc 5767  df-iota 5889  df-fun 5928  df-fn 5929  df-f 5930  df-f1 5931  df-fo 5932  df-f1o 5933  df-fv 5934  df-isom 5935  df-riota 6651  df-ov 6693  df-oprab 6694  df-mpt2 6695  df-of 6939  df-ofr 6940  df-om 7108  df-1st 7210  df-2nd 7211  df-supp 7341  df-wrecs 7452  df-recs 7513  df-rdg 7551  df-1o 7605  df-2o 7606  df-oadd 7609  df-omul 7610  df-er 7787  df-map 7901  df-pm 7902  df-ixp 7951  df-en 7998  df-dom 7999  df-sdom 8000  df-fin 8001  df-fsupp 8317  df-fi 8358  df-sup 8389  df-inf 8390  df-oi 8456  df-card 8803  df-acn 8806  df-cda 9028  df-pnf 10114  df-mnf 10115  df-xr 10116  df-ltxr 10117  df-le 10118  df-sub 10306  df-neg 10307  df-div 10723  df-nn 11059  df-2 11117  df-3 11118  df-4 11119  df-5 11120  df-6 11121  df-7 11122  df-8 11123  df-9 11124  df-n0 11331  df-z 11416  df-dec 11532  df-uz 11726  df-q 11827  df-rp 11871  df-xneg 11984  df-xadd 11985  df-xmul 11986  df-ioo 12217  df-ioc 12218  df-ico 12219  df-icc 12220  df-fz 12365  df-fzo 12505  df-fl 12633  df-mod 12709  df-seq 12842  df-exp 12901  df-fac 13101  df-bc 13130  df-hash 13158  df-word 13331  df-concat 13333  df-s1 13334  df-s2 13639  df-s3 13640  df-shft 13851  df-cj 13883  df-re 13884  df-im 13885  df-sqrt 14019  df-abs 14020  df-limsup 14246  df-clim 14263  df-rlim 14264  df-sum 14461  df-prod 14680  df-ef 14842  df-sin 14844  df-cos 14845  df-pi 14847  df-dvds 15028  df-gcd 15264  df-prm 15433  df-pc 15589  df-struct 15906  df-ndx 15907  df-slot 15908  df-base 15910  df-sets 15911  df-ress 15912  df-plusg 16001  df-mulr 16002  df-starv 16003  df-sca 16004  df-vsca 16005  df-ip 16006  df-tset 16007  df-ple 16008  df-ds 16011  df-unif 16012  df-hom 16013  df-cco 16014  df-rest 16130  df-topn 16131  df-0g 16149  df-gsum 16150  df-topgen 16151  df-pt 16152  df-prds 16155  df-xrs 16209  df-qtop 16214  df-imas 16215  df-xps 16217  df-mre 16293  df-mrc 16294  df-acs 16296  df-mgm 17289  df-sgrp 17331  df-mnd 17342  df-submnd 17383  df-mulg 17588  df-cntz 17796  df-cmn 18241  df-psmet 19786  df-xmet 19787  df-met 19788  df-bl 19789  df-mopn 19790  df-fbas 19791  df-fg 19792  df-cnfld 19795  df-top 20747  df-topon 20764  df-topsp 20785  df-bases 20798  df-cld 20871  df-ntr 20872  df-cls 20873  df-nei 20950  df-lp 20988  df-perf 20989  df-cn 21079  df-cnp 21080  df-haus 21167  df-cmp 21238  df-tx 21413  df-hmeo 21606  df-fil 21697  df-fm 21789  df-flim 21790  df-flf 21791  df-xms 22172  df-ms 22173  df-tms 22174  df-cncf 22728  df-ovol 23279  df-vol 23280  df-mbf 23433  df-itg1 23434  df-itg2 23435  df-ibl 23436  df-itg 23437  df-0p 23482  df-limc 23675  df-dv 23676  df-log 24348  df-vma 24869  df-repr 30815  df-vts 30842 This theorem is referenced by:  tgoldbachgtde  30866
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