Mathbox for Thierry Arnoux < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  circlemethnat Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem circlemethnat 31028
 Description: The Hardy, Littlewood and Ramanujan Circle Method, Chapter 5.1 of [Nathanson] p. 123. This expresses 𝑅, the number of different ways a nonnegative integer 𝑁 can be represented as the sum of at most 𝑆 integers in the set 𝐴 as an integral of Vinogradov trigonometric sums. (Contributed by Thierry Arnoux, 13-Dec-2021.)
Hypotheses
Ref Expression
circlemethnat.r 𝑅 = (♯‘(𝐴(repr‘𝑆)𝑁))
circlemethnat.f 𝐹 = ((((𝟭‘ℕ)‘𝐴)vts𝑁)‘𝑥)
circlemethnat.n 𝑁 ∈ ℕ0
circlemethnat.a 𝐴 ⊆ ℕ
circlemethnat.s 𝑆 ∈ ℕ
Assertion
Ref Expression
circlemethnat 𝑅 = ∫(0(,)1)((𝐹𝑆) · (exp‘((i · (2 · π)) · (-𝑁 · 𝑥)))) d𝑥
Distinct variable groups:   𝑥,𝐴   𝑥,𝑁   𝑥,𝑆
Allowed substitution hints:   𝑅(𝑥)   𝐹(𝑥)

Proof of Theorem circlemethnat
Dummy variables 𝑎 𝑐 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 nnex 11218 . . . . . . . . . . . . . 14 ℕ ∈ V
2 circlemethnat.a . . . . . . . . . . . . . 14 𝐴 ⊆ ℕ
3 indf 30386 . . . . . . . . . . . . . 14 ((ℕ ∈ V ∧ 𝐴 ⊆ ℕ) → ((𝟭‘ℕ)‘𝐴):ℕ⟶{0, 1})
41, 2, 3mp2an 710 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝟭‘ℕ)‘𝐴):ℕ⟶{0, 1}
5 pr01ssre 29879 . . . . . . . . . . . . . 14 {0, 1} ⊆ ℝ
6 ax-resscn 10185 . . . . . . . . . . . . . 14 ℝ ⊆ ℂ
75, 6sstri 3753 . . . . . . . . . . . . 13 {0, 1} ⊆ ℂ
8 fss 6217 . . . . . . . . . . . . 13 ((((𝟭‘ℕ)‘𝐴):ℕ⟶{0, 1} ∧ {0, 1} ⊆ ℂ) → ((𝟭‘ℕ)‘𝐴):ℕ⟶ℂ)
94, 7, 8mp2an 710 . . . . . . . . . . . 12 ((𝟭‘ℕ)‘𝐴):ℕ⟶ℂ
10 cnex 10209 . . . . . . . . . . . . 13 ℂ ∈ V
1110, 1elmap 8052 . . . . . . . . . . . 12 (((𝟭‘ℕ)‘𝐴) ∈ (ℂ ↑𝑚 ℕ) ↔ ((𝟭‘ℕ)‘𝐴):ℕ⟶ℂ)
129, 11mpbir 221 . . . . . . . . . . 11 ((𝟭‘ℕ)‘𝐴) ∈ (ℂ ↑𝑚 ℕ)
1312elexi 3353 . . . . . . . . . 10 ((𝟭‘ℕ)‘𝐴) ∈ V
1413fvconst2 6633 . . . . . . . . 9 (𝑎 ∈ (0..^𝑆) → (((0..^𝑆) × {((𝟭‘ℕ)‘𝐴)})‘𝑎) = ((𝟭‘ℕ)‘𝐴))
1514adantl 473 . . . . . . . 8 (((⊤ ∧ 𝑐 ∈ (ℕ(repr‘𝑆)𝑁)) ∧ 𝑎 ∈ (0..^𝑆)) → (((0..^𝑆) × {((𝟭‘ℕ)‘𝐴)})‘𝑎) = ((𝟭‘ℕ)‘𝐴))
1615fveq1d 6354 . . . . . . 7 (((⊤ ∧ 𝑐 ∈ (ℕ(repr‘𝑆)𝑁)) ∧ 𝑎 ∈ (0..^𝑆)) → ((((0..^𝑆) × {((𝟭‘ℕ)‘𝐴)})‘𝑎)‘(𝑐𝑎)) = (((𝟭‘ℕ)‘𝐴)‘(𝑐𝑎)))
1716prodeq2dv 14852 . . . . . 6 ((⊤ ∧ 𝑐 ∈ (ℕ(repr‘𝑆)𝑁)) → ∏𝑎 ∈ (0..^𝑆)((((0..^𝑆) × {((𝟭‘ℕ)‘𝐴)})‘𝑎)‘(𝑐𝑎)) = ∏𝑎 ∈ (0..^𝑆)(((𝟭‘ℕ)‘𝐴)‘(𝑐𝑎)))
1817sumeq2dv 14632 . . . . 5 (⊤ → Σ𝑐 ∈ (ℕ(repr‘𝑆)𝑁)∏𝑎 ∈ (0..^𝑆)((((0..^𝑆) × {((𝟭‘ℕ)‘𝐴)})‘𝑎)‘(𝑐𝑎)) = Σ𝑐 ∈ (ℕ(repr‘𝑆)𝑁)∏𝑎 ∈ (0..^𝑆)(((𝟭‘ℕ)‘𝐴)‘(𝑐𝑎)))
192a1i 11 . . . . . 6 (⊤ → 𝐴 ⊆ ℕ)
20 circlemethnat.n . . . . . . 7 𝑁 ∈ ℕ0
2120a1i 11 . . . . . 6 (⊤ → 𝑁 ∈ ℕ0)
22 circlemethnat.s . . . . . . . 8 𝑆 ∈ ℕ
2322a1i 11 . . . . . . 7 (⊤ → 𝑆 ∈ ℕ)
2423nnnn0d 11543 . . . . . 6 (⊤ → 𝑆 ∈ ℕ0)
2519, 21, 24hashrepr 31012 . . . . 5 (⊤ → (♯‘(𝐴(repr‘𝑆)𝑁)) = Σ𝑐 ∈ (ℕ(repr‘𝑆)𝑁)∏𝑎 ∈ (0..^𝑆)(((𝟭‘ℕ)‘𝐴)‘(𝑐𝑎)))
2618, 25eqtr4d 2797 . . . 4 (⊤ → Σ𝑐 ∈ (ℕ(repr‘𝑆)𝑁)∏𝑎 ∈ (0..^𝑆)((((0..^𝑆) × {((𝟭‘ℕ)‘𝐴)})‘𝑎)‘(𝑐𝑎)) = (♯‘(𝐴(repr‘𝑆)𝑁)))
27 circlemethnat.r . . . 4 𝑅 = (♯‘(𝐴(repr‘𝑆)𝑁))
2826, 27syl6reqr 2813 . . 3 (⊤ → 𝑅 = Σ𝑐 ∈ (ℕ(repr‘𝑆)𝑁)∏𝑎 ∈ (0..^𝑆)((((0..^𝑆) × {((𝟭‘ℕ)‘𝐴)})‘𝑎)‘(𝑐𝑎)))
2912fconst6 6256 . . . . 5 ((0..^𝑆) × {((𝟭‘ℕ)‘𝐴)}):(0..^𝑆)⟶(ℂ ↑𝑚 ℕ)
3029a1i 11 . . . 4 (⊤ → ((0..^𝑆) × {((𝟭‘ℕ)‘𝐴)}):(0..^𝑆)⟶(ℂ ↑𝑚 ℕ))
3121, 23, 30circlemeth 31027 . . 3 (⊤ → Σ𝑐 ∈ (ℕ(repr‘𝑆)𝑁)∏𝑎 ∈ (0..^𝑆)((((0..^𝑆) × {((𝟭‘ℕ)‘𝐴)})‘𝑎)‘(𝑐𝑎)) = ∫(0(,)1)(∏𝑎 ∈ (0..^𝑆)(((((0..^𝑆) × {((𝟭‘ℕ)‘𝐴)})‘𝑎)vts𝑁)‘𝑥) · (exp‘((i · (2 · π)) · (-𝑁 · 𝑥)))) d𝑥)
32 fzofi 12967 . . . . . . . 8 (0..^𝑆) ∈ Fin
3332a1i 11 . . . . . . 7 ((⊤ ∧ 𝑥 ∈ (0(,)1)) → (0..^𝑆) ∈ Fin)
34 circlemethnat.f . . . . . . . 8 𝐹 = ((((𝟭‘ℕ)‘𝐴)vts𝑁)‘𝑥)
3520a1i 11 . . . . . . . . 9 ((⊤ ∧ 𝑥 ∈ (0(,)1)) → 𝑁 ∈ ℕ0)
36 ioossre 12428 . . . . . . . . . . . 12 (0(,)1) ⊆ ℝ
3736, 6sstri 3753 . . . . . . . . . . 11 (0(,)1) ⊆ ℂ
3837a1i 11 . . . . . . . . . 10 (⊤ → (0(,)1) ⊆ ℂ)
3938sselda 3744 . . . . . . . . 9 ((⊤ ∧ 𝑥 ∈ (0(,)1)) → 𝑥 ∈ ℂ)
409a1i 11 . . . . . . . . 9 ((⊤ ∧ 𝑥 ∈ (0(,)1)) → ((𝟭‘ℕ)‘𝐴):ℕ⟶ℂ)
4135, 39, 40vtscl 31025 . . . . . . . 8 ((⊤ ∧ 𝑥 ∈ (0(,)1)) → ((((𝟭‘ℕ)‘𝐴)vts𝑁)‘𝑥) ∈ ℂ)
4234, 41syl5eqel 2843 . . . . . . 7 ((⊤ ∧ 𝑥 ∈ (0(,)1)) → 𝐹 ∈ ℂ)
43 fprodconst 14907 . . . . . . 7 (((0..^𝑆) ∈ Fin ∧ 𝐹 ∈ ℂ) → ∏𝑎 ∈ (0..^𝑆)𝐹 = (𝐹↑(♯‘(0..^𝑆))))
4433, 42, 43syl2anc 696 . . . . . 6 ((⊤ ∧ 𝑥 ∈ (0(,)1)) → ∏𝑎 ∈ (0..^𝑆)𝐹 = (𝐹↑(♯‘(0..^𝑆))))
4514adantl 473 . . . . . . . . . 10 (((⊤ ∧ 𝑥 ∈ (0(,)1)) ∧ 𝑎 ∈ (0..^𝑆)) → (((0..^𝑆) × {((𝟭‘ℕ)‘𝐴)})‘𝑎) = ((𝟭‘ℕ)‘𝐴))
4645oveq1d 6828 . . . . . . . . 9 (((⊤ ∧ 𝑥 ∈ (0(,)1)) ∧ 𝑎 ∈ (0..^𝑆)) → ((((0..^𝑆) × {((𝟭‘ℕ)‘𝐴)})‘𝑎)vts𝑁) = (((𝟭‘ℕ)‘𝐴)vts𝑁))
4746fveq1d 6354 . . . . . . . 8 (((⊤ ∧ 𝑥 ∈ (0(,)1)) ∧ 𝑎 ∈ (0..^𝑆)) → (((((0..^𝑆) × {((𝟭‘ℕ)‘𝐴)})‘𝑎)vts𝑁)‘𝑥) = ((((𝟭‘ℕ)‘𝐴)vts𝑁)‘𝑥))
4847, 34syl6reqr 2813 . . . . . . 7 (((⊤ ∧ 𝑥 ∈ (0(,)1)) ∧ 𝑎 ∈ (0..^𝑆)) → 𝐹 = (((((0..^𝑆) × {((𝟭‘ℕ)‘𝐴)})‘𝑎)vts𝑁)‘𝑥))
4948prodeq2dv 14852 . . . . . 6 ((⊤ ∧ 𝑥 ∈ (0(,)1)) → ∏𝑎 ∈ (0..^𝑆)𝐹 = ∏𝑎 ∈ (0..^𝑆)(((((0..^𝑆) × {((𝟭‘ℕ)‘𝐴)})‘𝑎)vts𝑁)‘𝑥))
5024adantr 472 . . . . . . . 8 ((⊤ ∧ 𝑥 ∈ (0(,)1)) → 𝑆 ∈ ℕ0)
51 hashfzo0 13409 . . . . . . . 8 (𝑆 ∈ ℕ0 → (♯‘(0..^𝑆)) = 𝑆)
5250, 51syl 17 . . . . . . 7 ((⊤ ∧ 𝑥 ∈ (0(,)1)) → (♯‘(0..^𝑆)) = 𝑆)
5352oveq2d 6829 . . . . . 6 ((⊤ ∧ 𝑥 ∈ (0(,)1)) → (𝐹↑(♯‘(0..^𝑆))) = (𝐹𝑆))
5444, 49, 533eqtr3d 2802 . . . . 5 ((⊤ ∧ 𝑥 ∈ (0(,)1)) → ∏𝑎 ∈ (0..^𝑆)(((((0..^𝑆) × {((𝟭‘ℕ)‘𝐴)})‘𝑎)vts𝑁)‘𝑥) = (𝐹𝑆))
5554oveq1d 6828 . . . 4 ((⊤ ∧ 𝑥 ∈ (0(,)1)) → (∏𝑎 ∈ (0..^𝑆)(((((0..^𝑆) × {((𝟭‘ℕ)‘𝐴)})‘𝑎)vts𝑁)‘𝑥) · (exp‘((i · (2 · π)) · (-𝑁 · 𝑥)))) = ((𝐹𝑆) · (exp‘((i · (2 · π)) · (-𝑁 · 𝑥)))))
5655itgeq2dv 23747 . . 3 (⊤ → ∫(0(,)1)(∏𝑎 ∈ (0..^𝑆)(((((0..^𝑆) × {((𝟭‘ℕ)‘𝐴)})‘𝑎)vts𝑁)‘𝑥) · (exp‘((i · (2 · π)) · (-𝑁 · 𝑥)))) d𝑥 = ∫(0(,)1)((𝐹𝑆) · (exp‘((i · (2 · π)) · (-𝑁 · 𝑥)))) d𝑥)
5728, 31, 563eqtrd 2798 . 2 (⊤ → 𝑅 = ∫(0(,)1)((𝐹𝑆) · (exp‘((i · (2 · π)) · (-𝑁 · 𝑥)))) d𝑥)
5857trud 1642 1 𝑅 = ∫(0(,)1)((𝐹𝑆) · (exp‘((i · (2 · π)) · (-𝑁 · 𝑥)))) d𝑥
 Colors of variables: wff setvar class Syntax hints:   ∧ wa 383   = wceq 1632  ⊤wtru 1633   ∈ wcel 2139  Vcvv 3340   ⊆ wss 3715  {csn 4321  {cpr 4323   × cxp 5264  ⟶wf 6045  ‘cfv 6049  (class class class)co 6813   ↑𝑚 cmap 8023  Fincfn 8121  ℂcc 10126  ℝcr 10127  0cc0 10128  1c1 10129  ici 10130   · cmul 10133  -cneg 10459  ℕcn 11212  2c2 11262  ℕ0cn0 11484  (,)cioo 12368  ..^cfzo 12659  ↑cexp 13054  ♯chash 13311  Σcsu 14615  ∏cprod 14834  expce 14991  πcpi 14996  ∫citg 23586  𝟭cind 30381  reprcrepr 30995  vtscvts 31022 This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1871  ax-4 1886  ax-5 1988  ax-6 2054  ax-7 2090  ax-8 2141  ax-9 2148  ax-10 2168  ax-11 2183  ax-12 2196  ax-13 2391  ax-ext 2740  ax-rep 4923  ax-sep 4933  ax-nul 4941  ax-pow 4992  ax-pr 5055  ax-un 7114  ax-inf2 8711  ax-cc 9449  ax-cnex 10184  ax-resscn 10185  ax-1cn 10186  ax-icn 10187  ax-addcl 10188  ax-addrcl 10189  ax-mulcl 10190  ax-mulrcl 10191  ax-mulcom 10192  ax-addass 10193  ax-mulass 10194  ax-distr 10195  ax-i2m1 10196  ax-1ne0 10197  ax-1rid 10198  ax-rnegex 10199  ax-rrecex 10200  ax-cnre 10201  ax-pre-lttri 10202  ax-pre-lttrn 10203  ax-pre-ltadd 10204  ax-pre-mulgt0 10205  ax-pre-sup 10206  ax-addf 10207  ax-mulf 10208 This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 384  df-an 385  df-3or 1073  df-3an 1074  df-tru 1635  df-fal 1638  df-ex 1854  df-nf 1859  df-sb 2047  df-eu 2611  df-mo 2612  df-clab 2747  df-cleq 2753  df-clel 2756  df-nfc 2891  df-ne 2933  df-nel 3036  df-ral 3055  df-rex 3056  df-reu 3057  df-rmo 3058  df-rab 3059  df-v 3342  df-sbc 3577  df-csb 3675  df-dif 3718  df-un 3720  df-in 3722  df-ss 3729  df-pss 3731  df-nul 4059  df-if 4231  df-pw 4304  df-sn 4322  df-pr 4324  df-tp 4326  df-op 4328  df-uni 4589  df-int 4628  df-iun 4674  df-iin 4675  df-disj 4773  df-br 4805  df-opab 4865  df-mpt 4882  df-tr 4905  df-id 5174  df-eprel 5179  df-po 5187  df-so 5188  df-fr 5225  df-se 5226  df-we 5227  df-xp 5272  df-rel 5273  df-cnv 5274  df-co 5275  df-dm 5276  df-rn 5277  df-res 5278  df-ima 5279  df-pred 5841  df-ord 5887  df-on 5888  df-lim 5889  df-suc 5890  df-iota 6012  df-fun 6051  df-fn 6052  df-f 6053  df-f1 6054  df-fo 6055  df-f1o 6056  df-fv 6057  df-isom 6058  df-riota 6774  df-ov 6816  df-oprab 6817  df-mpt2 6818  df-of 7062  df-ofr 7063  df-om 7231  df-1st 7333  df-2nd 7334  df-supp 7464  df-wrecs 7576  df-recs 7637  df-rdg 7675  df-1o 7729  df-2o 7730  df-oadd 7733  df-omul 7734  df-er 7911  df-map 8025  df-pm 8026  df-ixp 8075  df-en 8122  df-dom 8123  df-sdom 8124  df-fin 8125  df-fsupp 8441  df-fi 8482  df-sup 8513  df-inf 8514  df-oi 8580  df-card 8955  df-acn 8958  df-cda 9182  df-pnf 10268  df-mnf 10269  df-xr 10270  df-ltxr 10271  df-le 10272  df-sub 10460  df-neg 10461  df-div 10877  df-nn 11213  df-2 11271  df-3 11272  df-4 11273  df-5 11274  df-6 11275  df-7 11276  df-8 11277  df-9 11278  df-n0 11485  df-z 11570  df-dec 11686  df-uz 11880  df-q 11982  df-rp 12026  df-xneg 12139  df-xadd 12140  df-xmul 12141  df-ioo 12372  df-ioc 12373  df-ico 12374  df-icc 12375  df-fz 12520  df-fzo 12660  df-fl 12787  df-mod 12863  df-seq 12996  df-exp 13055  df-fac 13255  df-bc 13284  df-hash 13312  df-shft 14006  df-cj 14038  df-re 14039  df-im 14040  df-sqrt 14174  df-abs 14175  df-limsup 14401  df-clim 14418  df-rlim 14419  df-sum 14616  df-prod 14835  df-ef 14997  df-sin 14999  df-cos 15000  df-pi 15002  df-struct 16061  df-ndx 16062  df-slot 16063  df-base 16065  df-sets 16066  df-ress 16067  df-plusg 16156  df-mulr 16157  df-starv 16158  df-sca 16159  df-vsca 16160  df-ip 16161  df-tset 16162  df-ple 16163  df-ds 16166  df-unif 16167  df-hom 16168  df-cco 16169  df-rest 16285  df-topn 16286  df-0g 16304  df-gsum 16305  df-topgen 16306  df-pt 16307  df-prds 16310  df-xrs 16364  df-qtop 16369  df-imas 16370  df-xps 16372  df-mre 16448  df-mrc 16449  df-acs 16451  df-mgm 17443  df-sgrp 17485  df-mnd 17496  df-submnd 17537  df-mulg 17742  df-cntz 17950  df-cmn 18395  df-psmet 19940  df-xmet 19941  df-met 19942  df-bl 19943  df-mopn 19944  df-fbas 19945  df-fg 19946  df-cnfld 19949  df-top 20901  df-topon 20918  df-topsp 20939  df-bases 20952  df-cld 21025  df-ntr 21026  df-cls 21027  df-nei 21104  df-lp 21142  df-perf 21143  df-cn 21233  df-cnp 21234  df-haus 21321  df-cmp 21392  df-tx 21567  df-hmeo 21760  df-fil 21851  df-fm 21943  df-flim 21944  df-flf 21945  df-xms 22326  df-ms 22327  df-tms 22328  df-cncf 22882  df-ovol 23433  df-vol 23434  df-mbf 23587  df-itg1 23588  df-itg2 23589  df-ibl 23590  df-itg 23591  df-0p 23636  df-limc 23829  df-dv 23830  df-ind 30382  df-repr 30996  df-vts 31023 This theorem is referenced by: (None)
 Copyright terms: Public domain W3C validator