MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  cjcj Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem cjcj 13924
Description: The conjugate of the conjugate is the original complex number. Proposition 10-3.4(e) of [Gleason] p. 133. (Contributed by NM, 29-Jul-1999.) (Proof shortened by Mario Carneiro, 14-Jul-2014.)
Assertion
Ref Expression
cjcj (𝐴 ∈ ℂ → (∗‘(∗‘𝐴)) = 𝐴)

Proof of Theorem cjcj
StepHypRef Expression
1 cjcl 13889 . . . . 5 (𝐴 ∈ ℂ → (∗‘𝐴) ∈ ℂ)
2 recj 13908 . . . . 5 ((∗‘𝐴) ∈ ℂ → (ℜ‘(∗‘(∗‘𝐴))) = (ℜ‘(∗‘𝐴)))
31, 2syl 17 . . . 4 (𝐴 ∈ ℂ → (ℜ‘(∗‘(∗‘𝐴))) = (ℜ‘(∗‘𝐴)))
4 recj 13908 . . . 4 (𝐴 ∈ ℂ → (ℜ‘(∗‘𝐴)) = (ℜ‘𝐴))
53, 4eqtrd 2685 . . 3 (𝐴 ∈ ℂ → (ℜ‘(∗‘(∗‘𝐴))) = (ℜ‘𝐴))
6 imcj 13916 . . . . . 6 ((∗‘𝐴) ∈ ℂ → (ℑ‘(∗‘(∗‘𝐴))) = -(ℑ‘(∗‘𝐴)))
71, 6syl 17 . . . . 5 (𝐴 ∈ ℂ → (ℑ‘(∗‘(∗‘𝐴))) = -(ℑ‘(∗‘𝐴)))
8 imcj 13916 . . . . . . 7 (𝐴 ∈ ℂ → (ℑ‘(∗‘𝐴)) = -(ℑ‘𝐴))
98negeqd 10313 . . . . . 6 (𝐴 ∈ ℂ → -(ℑ‘(∗‘𝐴)) = --(ℑ‘𝐴))
10 imcl 13895 . . . . . . . 8 (𝐴 ∈ ℂ → (ℑ‘𝐴) ∈ ℝ)
1110recnd 10106 . . . . . . 7 (𝐴 ∈ ℂ → (ℑ‘𝐴) ∈ ℂ)
1211negnegd 10421 . . . . . 6 (𝐴 ∈ ℂ → --(ℑ‘𝐴) = (ℑ‘𝐴))
139, 12eqtrd 2685 . . . . 5 (𝐴 ∈ ℂ → -(ℑ‘(∗‘𝐴)) = (ℑ‘𝐴))
147, 13eqtrd 2685 . . . 4 (𝐴 ∈ ℂ → (ℑ‘(∗‘(∗‘𝐴))) = (ℑ‘𝐴))
1514oveq2d 6706 . . 3 (𝐴 ∈ ℂ → (i · (ℑ‘(∗‘(∗‘𝐴)))) = (i · (ℑ‘𝐴)))
165, 15oveq12d 6708 . 2 (𝐴 ∈ ℂ → ((ℜ‘(∗‘(∗‘𝐴))) + (i · (ℑ‘(∗‘(∗‘𝐴))))) = ((ℜ‘𝐴) + (i · (ℑ‘𝐴))))
17 cjcl 13889 . . 3 ((∗‘𝐴) ∈ ℂ → (∗‘(∗‘𝐴)) ∈ ℂ)
18 replim 13900 . . 3 ((∗‘(∗‘𝐴)) ∈ ℂ → (∗‘(∗‘𝐴)) = ((ℜ‘(∗‘(∗‘𝐴))) + (i · (ℑ‘(∗‘(∗‘𝐴))))))
191, 17, 183syl 18 . 2 (𝐴 ∈ ℂ → (∗‘(∗‘𝐴)) = ((ℜ‘(∗‘(∗‘𝐴))) + (i · (ℑ‘(∗‘(∗‘𝐴))))))
20 replim 13900 . 2 (𝐴 ∈ ℂ → 𝐴 = ((ℜ‘𝐴) + (i · (ℑ‘𝐴))))
2116, 19, 203eqtr4d 2695 1 (𝐴 ∈ ℂ → (∗‘(∗‘𝐴)) = 𝐴)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4   = wceq 1523  wcel 2030  cfv 5926  (class class class)co 6690  cc 9972  ici 9976   + caddc 9977   · cmul 9979  -cneg 10305  ccj 13880  cre 13881  cim 13882
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1762  ax-4 1777  ax-5 1879  ax-6 1945  ax-7 1981  ax-8 2032  ax-9 2039  ax-10 2059  ax-11 2074  ax-12 2087  ax-13 2282  ax-ext 2631  ax-sep 4814  ax-nul 4822  ax-pow 4873  ax-pr 4936  ax-un 6991  ax-resscn 10031  ax-1cn 10032  ax-icn 10033  ax-addcl 10034  ax-addrcl 10035  ax-mulcl 10036  ax-mulrcl 10037  ax-mulcom 10038  ax-addass 10039  ax-mulass 10040  ax-distr 10041  ax-i2m1 10042  ax-1ne0 10043  ax-1rid 10044  ax-rnegex 10045  ax-rrecex 10046  ax-cnre 10047  ax-pre-lttri 10048  ax-pre-lttrn 10049  ax-pre-ltadd 10050  ax-pre-mulgt0 10051
This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 384  df-an 385  df-3or 1055  df-3an 1056  df-tru 1526  df-ex 1745  df-nf 1750  df-sb 1938  df-eu 2502  df-mo 2503  df-clab 2638  df-cleq 2644  df-clel 2647  df-nfc 2782  df-ne 2824  df-nel 2927  df-ral 2946  df-rex 2947  df-reu 2948  df-rmo 2949  df-rab 2950  df-v 3233  df-sbc 3469  df-csb 3567  df-dif 3610  df-un 3612  df-in 3614  df-ss 3621  df-nul 3949  df-if 4120  df-pw 4193  df-sn 4211  df-pr 4213  df-op 4217  df-uni 4469  df-br 4686  df-opab 4746  df-mpt 4763  df-id 5053  df-po 5064  df-so 5065  df-xp 5149  df-rel 5150  df-cnv 5151  df-co 5152  df-dm 5153  df-rn 5154  df-res 5155  df-ima 5156  df-iota 5889  df-fun 5928  df-fn 5929  df-f 5930  df-f1 5931  df-fo 5932  df-f1o 5933  df-fv 5934  df-riota 6651  df-ov 6693  df-oprab 6694  df-mpt2 6695  df-er 7787  df-en 7998  df-dom 7999  df-sdom 8000  df-pnf 10114  df-mnf 10115  df-xr 10116  df-ltxr 10117  df-le 10118  df-sub 10306  df-neg 10307  df-div 10723  df-2 11117  df-cj 13883  df-re 13884  df-im 13885
This theorem is referenced by:  cjmulrcl  13928  cjreim2  13945  cj11  13946  cjcji  13955  cjcjd  13983  abscj  14063  sqabsadd  14066  sqabssub  14067  cnsrng  19828  plycjlem  24077  dipassr2  27830  his52  28072  cnvbramul  29102
  Copyright terms: Public domain W3C validator