MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  cjcj Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem cjcj 14487
Description: The conjugate of the conjugate is the original complex number. Proposition 10-3.4(e) of [Gleason] p. 133. (Contributed by NM, 29-Jul-1999.) (Proof shortened by Mario Carneiro, 14-Jul-2014.)
Assertion
Ref Expression
cjcj (𝐴 ∈ ℂ → (∗‘(∗‘𝐴)) = 𝐴)

Proof of Theorem cjcj
StepHypRef Expression
1 cjcl 14452 . . . . 5 (𝐴 ∈ ℂ → (∗‘𝐴) ∈ ℂ)
2 recj 14471 . . . . 5 ((∗‘𝐴) ∈ ℂ → (ℜ‘(∗‘(∗‘𝐴))) = (ℜ‘(∗‘𝐴)))
31, 2syl 17 . . . 4 (𝐴 ∈ ℂ → (ℜ‘(∗‘(∗‘𝐴))) = (ℜ‘(∗‘𝐴)))
4 recj 14471 . . . 4 (𝐴 ∈ ℂ → (ℜ‘(∗‘𝐴)) = (ℜ‘𝐴))
53, 4eqtrd 2853 . . 3 (𝐴 ∈ ℂ → (ℜ‘(∗‘(∗‘𝐴))) = (ℜ‘𝐴))
6 imcj 14479 . . . . . 6 ((∗‘𝐴) ∈ ℂ → (ℑ‘(∗‘(∗‘𝐴))) = -(ℑ‘(∗‘𝐴)))
71, 6syl 17 . . . . 5 (𝐴 ∈ ℂ → (ℑ‘(∗‘(∗‘𝐴))) = -(ℑ‘(∗‘𝐴)))
8 imcj 14479 . . . . . . 7 (𝐴 ∈ ℂ → (ℑ‘(∗‘𝐴)) = -(ℑ‘𝐴))
98negeqd 10868 . . . . . 6 (𝐴 ∈ ℂ → -(ℑ‘(∗‘𝐴)) = --(ℑ‘𝐴))
10 imcl 14458 . . . . . . . 8 (𝐴 ∈ ℂ → (ℑ‘𝐴) ∈ ℝ)
1110recnd 10657 . . . . . . 7 (𝐴 ∈ ℂ → (ℑ‘𝐴) ∈ ℂ)
1211negnegd 10976 . . . . . 6 (𝐴 ∈ ℂ → --(ℑ‘𝐴) = (ℑ‘𝐴))
139, 12eqtrd 2853 . . . . 5 (𝐴 ∈ ℂ → -(ℑ‘(∗‘𝐴)) = (ℑ‘𝐴))
147, 13eqtrd 2853 . . . 4 (𝐴 ∈ ℂ → (ℑ‘(∗‘(∗‘𝐴))) = (ℑ‘𝐴))
1514oveq2d 7161 . . 3 (𝐴 ∈ ℂ → (i · (ℑ‘(∗‘(∗‘𝐴)))) = (i · (ℑ‘𝐴)))
165, 15oveq12d 7163 . 2 (𝐴 ∈ ℂ → ((ℜ‘(∗‘(∗‘𝐴))) + (i · (ℑ‘(∗‘(∗‘𝐴))))) = ((ℜ‘𝐴) + (i · (ℑ‘𝐴))))
17 cjcl 14452 . . 3 ((∗‘𝐴) ∈ ℂ → (∗‘(∗‘𝐴)) ∈ ℂ)
18 replim 14463 . . 3 ((∗‘(∗‘𝐴)) ∈ ℂ → (∗‘(∗‘𝐴)) = ((ℜ‘(∗‘(∗‘𝐴))) + (i · (ℑ‘(∗‘(∗‘𝐴))))))
191, 17, 183syl 18 . 2 (𝐴 ∈ ℂ → (∗‘(∗‘𝐴)) = ((ℜ‘(∗‘(∗‘𝐴))) + (i · (ℑ‘(∗‘(∗‘𝐴))))))
20 replim 14463 . 2 (𝐴 ∈ ℂ → 𝐴 = ((ℜ‘𝐴) + (i · (ℑ‘𝐴))))
2116, 19, 203eqtr4d 2863 1 (𝐴 ∈ ℂ → (∗‘(∗‘𝐴)) = 𝐴)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4   = wceq 1528  wcel 2105  cfv 6348  (class class class)co 7145  cc 10523  ici 10527   + caddc 10528   · cmul 10530  -cneg 10859  ccj 14443  cre 14444  cim 14445
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1787  ax-4 1801  ax-5 1902  ax-6 1961  ax-7 2006  ax-8 2107  ax-9 2115  ax-10 2136  ax-11 2151  ax-12 2167  ax-ext 2790  ax-sep 5194  ax-nul 5201  ax-pow 5257  ax-pr 5320  ax-un 7450  ax-resscn 10582  ax-1cn 10583  ax-icn 10584  ax-addcl 10585  ax-addrcl 10586  ax-mulcl 10587  ax-mulrcl 10588  ax-mulcom 10589  ax-addass 10590  ax-mulass 10591  ax-distr 10592  ax-i2m1 10593  ax-1ne0 10594  ax-1rid 10595  ax-rnegex 10596  ax-rrecex 10597  ax-cnre 10598  ax-pre-lttri 10599  ax-pre-lttrn 10600  ax-pre-ltadd 10601  ax-pre-mulgt0 10602
This theorem depends on definitions:  df-bi 208  df-an 397  df-or 842  df-3or 1080  df-3an 1081  df-tru 1531  df-ex 1772  df-nf 1776  df-sb 2061  df-mo 2615  df-eu 2647  df-clab 2797  df-cleq 2811  df-clel 2890  df-nfc 2960  df-ne 3014  df-nel 3121  df-ral 3140  df-rex 3141  df-reu 3142  df-rmo 3143  df-rab 3144  df-v 3494  df-sbc 3770  df-csb 3881  df-dif 3936  df-un 3938  df-in 3940  df-ss 3949  df-nul 4289  df-if 4464  df-pw 4537  df-sn 4558  df-pr 4560  df-op 4564  df-uni 4831  df-br 5058  df-opab 5120  df-mpt 5138  df-id 5453  df-po 5467  df-so 5468  df-xp 5554  df-rel 5555  df-cnv 5556  df-co 5557  df-dm 5558  df-rn 5559  df-res 5560  df-ima 5561  df-iota 6307  df-fun 6350  df-fn 6351  df-f 6352  df-f1 6353  df-fo 6354  df-f1o 6355  df-fv 6356  df-riota 7103  df-ov 7148  df-oprab 7149  df-mpo 7150  df-er 8278  df-en 8498  df-dom 8499  df-sdom 8500  df-pnf 10665  df-mnf 10666  df-xr 10667  df-ltxr 10668  df-le 10669  df-sub 10860  df-neg 10861  df-div 11286  df-2 11688  df-cj 14446  df-re 14447  df-im 14448
This theorem is referenced by:  cjmulrcl  14491  cjreim2  14508  cj11  14509  cjcji  14518  cjcjd  14546  abscj  14627  sqabsadd  14630  sqabssub  14631  cnsrng  20507  plycjlem  24793  dipassr2  28551  his52  28791  cnvbramul  29819
  Copyright terms: Public domain W3C validator