MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  cjcld Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem cjcld 13727
Description: Closure law for complex conjugate. (Contributed by Mario Carneiro, 29-May-2016.)
Hypothesis
Ref Expression
recld.1 (𝜑𝐴 ∈ ℂ)
Assertion
Ref Expression
cjcld (𝜑 → (∗‘𝐴) ∈ ℂ)

Proof of Theorem cjcld
StepHypRef Expression
1 recld.1 . 2 (𝜑𝐴 ∈ ℂ)
2 cjcl 13636 . 2 (𝐴 ∈ ℂ → (∗‘𝐴) ∈ ℂ)
31, 2syl 17 1 (𝜑 → (∗‘𝐴) ∈ ℂ)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wcel 1976  cfv 5787  cc 9787  ccj 13627
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1712  ax-4 1727  ax-5 1826  ax-6 1874  ax-7 1921  ax-8 1978  ax-9 1985  ax-10 2005  ax-11 2020  ax-12 2032  ax-13 2229  ax-ext 2586  ax-sep 4700  ax-nul 4709  ax-pow 4761  ax-pr 4825  ax-un 6821  ax-resscn 9846  ax-1cn 9847  ax-icn 9848  ax-addcl 9849  ax-addrcl 9850  ax-mulcl 9851  ax-mulrcl 9852  ax-mulcom 9853  ax-addass 9854  ax-mulass 9855  ax-distr 9856  ax-i2m1 9857  ax-1ne0 9858  ax-1rid 9859  ax-rnegex 9860  ax-rrecex 9861  ax-cnre 9862  ax-pre-lttri 9863  ax-pre-lttrn 9864  ax-pre-ltadd 9865  ax-pre-mulgt0 9866
This theorem depends on definitions:  df-bi 195  df-or 383  df-an 384  df-3or 1031  df-3an 1032  df-tru 1477  df-ex 1695  df-nf 1700  df-sb 1867  df-eu 2458  df-mo 2459  df-clab 2593  df-cleq 2599  df-clel 2602  df-nfc 2736  df-ne 2778  df-nel 2779  df-ral 2897  df-rex 2898  df-reu 2899  df-rmo 2900  df-rab 2901  df-v 3171  df-sbc 3399  df-csb 3496  df-dif 3539  df-un 3541  df-in 3543  df-ss 3550  df-nul 3871  df-if 4033  df-pw 4106  df-sn 4122  df-pr 4124  df-op 4128  df-uni 4364  df-br 4575  df-opab 4635  df-mpt 4636  df-id 4940  df-po 4946  df-so 4947  df-xp 5031  df-rel 5032  df-cnv 5033  df-co 5034  df-dm 5035  df-rn 5036  df-res 5037  df-ima 5038  df-iota 5751  df-fun 5789  df-fn 5790  df-f 5791  df-f1 5792  df-fo 5793  df-f1o 5794  df-fv 5795  df-riota 6486  df-ov 6527  df-oprab 6528  df-mpt2 6529  df-er 7603  df-en 7816  df-dom 7817  df-sdom 7818  df-pnf 9929  df-mnf 9930  df-xr 9931  df-ltxr 9932  df-le 9933  df-sub 10116  df-neg 10117  df-div 10531  df-cj 13630
This theorem is referenced by:  absrpcl  13819  absmul  13825  abstri  13861  abs1m  13866  abslem2  13870  sqreulem  13890  gzcjcl  15421  mul4sqlem  15438  gzrngunit  19574  cphassr  22740  cph2ass  22741  tchcphlem2  22761  pjthlem1  22930  itgabs  23321  dvcj  23433  dvmptre  23452  dvmptim  23453  tanregt0  24003  logcj  24070  cosargd  24072  root1cj  24211  lawcoslem1  24259  isosctrlem2  24263  asinlem3  24312  atandmcj  24350  atancj  24351  sum2dchr  24713  rpvmasum2  24915  dchrisum0re  24916  pjhthlem1  27437  riesz3i  28108  itgabsnc  32449  ftc1cnnclem  32453  ftc2nc  32464  sigarim  39490  sigarac  39491  sigaraf  39492  sigarmf  39493  sigarls  39496  sigardiv  39500  sharhght  39504
  Copyright terms: Public domain W3C validator