MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  cjne0 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem cjne0 14512
Description: A number is nonzero iff its complex conjugate is nonzero. (Contributed by NM, 29-Apr-2005.)
Assertion
Ref Expression
cjne0 (𝐴 ∈ ℂ → (𝐴 ≠ 0 ↔ (∗‘𝐴) ≠ 0))

Proof of Theorem cjne0
StepHypRef Expression
1 cj0 14507 . . . 4 (∗‘0) = 0
21eqeq2i 2834 . . 3 ((∗‘𝐴) = (∗‘0) ↔ (∗‘𝐴) = 0)
3 0cn 10622 . . . 4 0 ∈ ℂ
4 cj11 14511 . . . 4 ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 0 ∈ ℂ) → ((∗‘𝐴) = (∗‘0) ↔ 𝐴 = 0))
53, 4mpan2 687 . . 3 (𝐴 ∈ ℂ → ((∗‘𝐴) = (∗‘0) ↔ 𝐴 = 0))
62, 5syl5rbbr 287 . 2 (𝐴 ∈ ℂ → (𝐴 = 0 ↔ (∗‘𝐴) = 0))
76necon3bid 3060 1 (𝐴 ∈ ℂ → (𝐴 ≠ 0 ↔ (∗‘𝐴) ≠ 0))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wb 207   = wceq 1528  wcel 2105  wne 3016  cfv 6349  cc 10524  0cc0 10526  ccj 14445
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1787  ax-4 1801  ax-5 1902  ax-6 1961  ax-7 2006  ax-8 2107  ax-9 2115  ax-10 2136  ax-11 2151  ax-12 2167  ax-ext 2793  ax-sep 5195  ax-nul 5202  ax-pow 5258  ax-pr 5321  ax-un 7450  ax-resscn 10583  ax-1cn 10584  ax-icn 10585  ax-addcl 10586  ax-addrcl 10587  ax-mulcl 10588  ax-mulrcl 10589  ax-mulcom 10590  ax-addass 10591  ax-mulass 10592  ax-distr 10593  ax-i2m1 10594  ax-1ne0 10595  ax-1rid 10596  ax-rnegex 10597  ax-rrecex 10598  ax-cnre 10599  ax-pre-lttri 10600  ax-pre-lttrn 10601  ax-pre-ltadd 10602  ax-pre-mulgt0 10603
This theorem depends on definitions:  df-bi 208  df-an 397  df-or 842  df-3or 1080  df-3an 1081  df-tru 1531  df-ex 1772  df-nf 1776  df-sb 2061  df-mo 2618  df-eu 2650  df-clab 2800  df-cleq 2814  df-clel 2893  df-nfc 2963  df-ne 3017  df-nel 3124  df-ral 3143  df-rex 3144  df-reu 3145  df-rmo 3146  df-rab 3147  df-v 3497  df-sbc 3772  df-csb 3883  df-dif 3938  df-un 3940  df-in 3942  df-ss 3951  df-nul 4291  df-if 4466  df-pw 4539  df-sn 4560  df-pr 4562  df-op 4566  df-uni 4833  df-br 5059  df-opab 5121  df-mpt 5139  df-id 5454  df-po 5468  df-so 5469  df-xp 5555  df-rel 5556  df-cnv 5557  df-co 5558  df-dm 5559  df-rn 5560  df-res 5561  df-ima 5562  df-iota 6308  df-fun 6351  df-fn 6352  df-f 6353  df-f1 6354  df-fo 6355  df-f1o 6356  df-fv 6357  df-riota 7103  df-ov 7148  df-oprab 7149  df-mpo 7150  df-er 8279  df-en 8499  df-dom 8500  df-sdom 8501  df-pnf 10666  df-mnf 10667  df-xr 10668  df-ltxr 10669  df-le 10670  df-sub 10861  df-neg 10862  df-div 11287  df-2 11689  df-cj 14448  df-re 14449  df-im 14450
This theorem is referenced by:  cjdiv  14513  cjne0d  14552  recval  14672  logcj  25116
  Copyright terms: Public domain W3C validator