MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  cju Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem cju 11054
Description: The complex conjugate of a complex number is unique. (Contributed by Mario Carneiro, 6-Nov-2013.)
Assertion
Ref Expression
cju (𝐴 ∈ ℂ → ∃!𝑥 ∈ ℂ ((𝐴 + 𝑥) ∈ ℝ ∧ (i · (𝐴𝑥)) ∈ ℝ))
Distinct variable group:   𝑥,𝐴

Proof of Theorem cju
Dummy variables 𝑦 𝑧 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 cnre 10074 . . 3 (𝐴 ∈ ℂ → ∃𝑦 ∈ ℝ ∃𝑧 ∈ ℝ 𝐴 = (𝑦 + (i · 𝑧)))
2 recn 10064 . . . . . . 7 (𝑦 ∈ ℝ → 𝑦 ∈ ℂ)
3 ax-icn 10033 . . . . . . . 8 i ∈ ℂ
4 recn 10064 . . . . . . . 8 (𝑧 ∈ ℝ → 𝑧 ∈ ℂ)
5 mulcl 10058 . . . . . . . 8 ((i ∈ ℂ ∧ 𝑧 ∈ ℂ) → (i · 𝑧) ∈ ℂ)
63, 4, 5sylancr 696 . . . . . . 7 (𝑧 ∈ ℝ → (i · 𝑧) ∈ ℂ)
7 subcl 10318 . . . . . . 7 ((𝑦 ∈ ℂ ∧ (i · 𝑧) ∈ ℂ) → (𝑦 − (i · 𝑧)) ∈ ℂ)
82, 6, 7syl2an 493 . . . . . 6 ((𝑦 ∈ ℝ ∧ 𝑧 ∈ ℝ) → (𝑦 − (i · 𝑧)) ∈ ℂ)
92adantr 480 . . . . . . . 8 ((𝑦 ∈ ℝ ∧ 𝑧 ∈ ℝ) → 𝑦 ∈ ℂ)
106adantl 481 . . . . . . . 8 ((𝑦 ∈ ℝ ∧ 𝑧 ∈ ℝ) → (i · 𝑧) ∈ ℂ)
119, 10, 9ppncand 10470 . . . . . . 7 ((𝑦 ∈ ℝ ∧ 𝑧 ∈ ℝ) → ((𝑦 + (i · 𝑧)) + (𝑦 − (i · 𝑧))) = (𝑦 + 𝑦))
12 readdcl 10057 . . . . . . . . 9 ((𝑦 ∈ ℝ ∧ 𝑦 ∈ ℝ) → (𝑦 + 𝑦) ∈ ℝ)
1312anidms 678 . . . . . . . 8 (𝑦 ∈ ℝ → (𝑦 + 𝑦) ∈ ℝ)
1413adantr 480 . . . . . . 7 ((𝑦 ∈ ℝ ∧ 𝑧 ∈ ℝ) → (𝑦 + 𝑦) ∈ ℝ)
1511, 14eqeltrd 2730 . . . . . 6 ((𝑦 ∈ ℝ ∧ 𝑧 ∈ ℝ) → ((𝑦 + (i · 𝑧)) + (𝑦 − (i · 𝑧))) ∈ ℝ)
169, 10, 10pnncand 10469 . . . . . . . . . 10 ((𝑦 ∈ ℝ ∧ 𝑧 ∈ ℝ) → ((𝑦 + (i · 𝑧)) − (𝑦 − (i · 𝑧))) = ((i · 𝑧) + (i · 𝑧)))
173a1i 11 . . . . . . . . . . 11 ((𝑦 ∈ ℝ ∧ 𝑧 ∈ ℝ) → i ∈ ℂ)
184adantl 481 . . . . . . . . . . 11 ((𝑦 ∈ ℝ ∧ 𝑧 ∈ ℝ) → 𝑧 ∈ ℂ)
1917, 18, 18adddid 10102 . . . . . . . . . 10 ((𝑦 ∈ ℝ ∧ 𝑧 ∈ ℝ) → (i · (𝑧 + 𝑧)) = ((i · 𝑧) + (i · 𝑧)))
2016, 19eqtr4d 2688 . . . . . . . . 9 ((𝑦 ∈ ℝ ∧ 𝑧 ∈ ℝ) → ((𝑦 + (i · 𝑧)) − (𝑦 − (i · 𝑧))) = (i · (𝑧 + 𝑧)))
2120oveq2d 6706 . . . . . . . 8 ((𝑦 ∈ ℝ ∧ 𝑧 ∈ ℝ) → (i · ((𝑦 + (i · 𝑧)) − (𝑦 − (i · 𝑧)))) = (i · (i · (𝑧 + 𝑧))))
2218, 18addcld 10097 . . . . . . . . 9 ((𝑦 ∈ ℝ ∧ 𝑧 ∈ ℝ) → (𝑧 + 𝑧) ∈ ℂ)
23 mulass 10062 . . . . . . . . . 10 ((i ∈ ℂ ∧ i ∈ ℂ ∧ (𝑧 + 𝑧) ∈ ℂ) → ((i · i) · (𝑧 + 𝑧)) = (i · (i · (𝑧 + 𝑧))))
243, 3, 23mp3an12 1454 . . . . . . . . 9 ((𝑧 + 𝑧) ∈ ℂ → ((i · i) · (𝑧 + 𝑧)) = (i · (i · (𝑧 + 𝑧))))
2522, 24syl 17 . . . . . . . 8 ((𝑦 ∈ ℝ ∧ 𝑧 ∈ ℝ) → ((i · i) · (𝑧 + 𝑧)) = (i · (i · (𝑧 + 𝑧))))
2621, 25eqtr4d 2688 . . . . . . 7 ((𝑦 ∈ ℝ ∧ 𝑧 ∈ ℝ) → (i · ((𝑦 + (i · 𝑧)) − (𝑦 − (i · 𝑧)))) = ((i · i) · (𝑧 + 𝑧)))
27 ixi 10694 . . . . . . . . 9 (i · i) = -1
28 1re 10077 . . . . . . . . . 10 1 ∈ ℝ
2928renegcli 10380 . . . . . . . . 9 -1 ∈ ℝ
3027, 29eqeltri 2726 . . . . . . . 8 (i · i) ∈ ℝ
31 simpr 476 . . . . . . . . 9 ((𝑦 ∈ ℝ ∧ 𝑧 ∈ ℝ) → 𝑧 ∈ ℝ)
3231, 31readdcld 10107 . . . . . . . 8 ((𝑦 ∈ ℝ ∧ 𝑧 ∈ ℝ) → (𝑧 + 𝑧) ∈ ℝ)
33 remulcl 10059 . . . . . . . 8 (((i · i) ∈ ℝ ∧ (𝑧 + 𝑧) ∈ ℝ) → ((i · i) · (𝑧 + 𝑧)) ∈ ℝ)
3430, 32, 33sylancr 696 . . . . . . 7 ((𝑦 ∈ ℝ ∧ 𝑧 ∈ ℝ) → ((i · i) · (𝑧 + 𝑧)) ∈ ℝ)
3526, 34eqeltrd 2730 . . . . . 6 ((𝑦 ∈ ℝ ∧ 𝑧 ∈ ℝ) → (i · ((𝑦 + (i · 𝑧)) − (𝑦 − (i · 𝑧)))) ∈ ℝ)
36 oveq2 6698 . . . . . . . . 9 (𝑥 = (𝑦 − (i · 𝑧)) → ((𝑦 + (i · 𝑧)) + 𝑥) = ((𝑦 + (i · 𝑧)) + (𝑦 − (i · 𝑧))))
3736eleq1d 2715 . . . . . . . 8 (𝑥 = (𝑦 − (i · 𝑧)) → (((𝑦 + (i · 𝑧)) + 𝑥) ∈ ℝ ↔ ((𝑦 + (i · 𝑧)) + (𝑦 − (i · 𝑧))) ∈ ℝ))
38 oveq2 6698 . . . . . . . . . 10 (𝑥 = (𝑦 − (i · 𝑧)) → ((𝑦 + (i · 𝑧)) − 𝑥) = ((𝑦 + (i · 𝑧)) − (𝑦 − (i · 𝑧))))
3938oveq2d 6706 . . . . . . . . 9 (𝑥 = (𝑦 − (i · 𝑧)) → (i · ((𝑦 + (i · 𝑧)) − 𝑥)) = (i · ((𝑦 + (i · 𝑧)) − (𝑦 − (i · 𝑧)))))
4039eleq1d 2715 . . . . . . . 8 (𝑥 = (𝑦 − (i · 𝑧)) → ((i · ((𝑦 + (i · 𝑧)) − 𝑥)) ∈ ℝ ↔ (i · ((𝑦 + (i · 𝑧)) − (𝑦 − (i · 𝑧)))) ∈ ℝ))
4137, 40anbi12d 747 . . . . . . 7 (𝑥 = (𝑦 − (i · 𝑧)) → ((((𝑦 + (i · 𝑧)) + 𝑥) ∈ ℝ ∧ (i · ((𝑦 + (i · 𝑧)) − 𝑥)) ∈ ℝ) ↔ (((𝑦 + (i · 𝑧)) + (𝑦 − (i · 𝑧))) ∈ ℝ ∧ (i · ((𝑦 + (i · 𝑧)) − (𝑦 − (i · 𝑧)))) ∈ ℝ)))
4241rspcev 3340 . . . . . 6 (((𝑦 − (i · 𝑧)) ∈ ℂ ∧ (((𝑦 + (i · 𝑧)) + (𝑦 − (i · 𝑧))) ∈ ℝ ∧ (i · ((𝑦 + (i · 𝑧)) − (𝑦 − (i · 𝑧)))) ∈ ℝ)) → ∃𝑥 ∈ ℂ (((𝑦 + (i · 𝑧)) + 𝑥) ∈ ℝ ∧ (i · ((𝑦 + (i · 𝑧)) − 𝑥)) ∈ ℝ))
438, 15, 35, 42syl12anc 1364 . . . . 5 ((𝑦 ∈ ℝ ∧ 𝑧 ∈ ℝ) → ∃𝑥 ∈ ℂ (((𝑦 + (i · 𝑧)) + 𝑥) ∈ ℝ ∧ (i · ((𝑦 + (i · 𝑧)) − 𝑥)) ∈ ℝ))
44 oveq1 6697 . . . . . . . 8 (𝐴 = (𝑦 + (i · 𝑧)) → (𝐴 + 𝑥) = ((𝑦 + (i · 𝑧)) + 𝑥))
4544eleq1d 2715 . . . . . . 7 (𝐴 = (𝑦 + (i · 𝑧)) → ((𝐴 + 𝑥) ∈ ℝ ↔ ((𝑦 + (i · 𝑧)) + 𝑥) ∈ ℝ))
46 oveq1 6697 . . . . . . . . 9 (𝐴 = (𝑦 + (i · 𝑧)) → (𝐴𝑥) = ((𝑦 + (i · 𝑧)) − 𝑥))
4746oveq2d 6706 . . . . . . . 8 (𝐴 = (𝑦 + (i · 𝑧)) → (i · (𝐴𝑥)) = (i · ((𝑦 + (i · 𝑧)) − 𝑥)))
4847eleq1d 2715 . . . . . . 7 (𝐴 = (𝑦 + (i · 𝑧)) → ((i · (𝐴𝑥)) ∈ ℝ ↔ (i · ((𝑦 + (i · 𝑧)) − 𝑥)) ∈ ℝ))
4945, 48anbi12d 747 . . . . . 6 (𝐴 = (𝑦 + (i · 𝑧)) → (((𝐴 + 𝑥) ∈ ℝ ∧ (i · (𝐴𝑥)) ∈ ℝ) ↔ (((𝑦 + (i · 𝑧)) + 𝑥) ∈ ℝ ∧ (i · ((𝑦 + (i · 𝑧)) − 𝑥)) ∈ ℝ)))
5049rexbidv 3081 . . . . 5 (𝐴 = (𝑦 + (i · 𝑧)) → (∃𝑥 ∈ ℂ ((𝐴 + 𝑥) ∈ ℝ ∧ (i · (𝐴𝑥)) ∈ ℝ) ↔ ∃𝑥 ∈ ℂ (((𝑦 + (i · 𝑧)) + 𝑥) ∈ ℝ ∧ (i · ((𝑦 + (i · 𝑧)) − 𝑥)) ∈ ℝ)))
5143, 50syl5ibrcom 237 . . . 4 ((𝑦 ∈ ℝ ∧ 𝑧 ∈ ℝ) → (𝐴 = (𝑦 + (i · 𝑧)) → ∃𝑥 ∈ ℂ ((𝐴 + 𝑥) ∈ ℝ ∧ (i · (𝐴𝑥)) ∈ ℝ)))
5251rexlimivv 3065 . . 3 (∃𝑦 ∈ ℝ ∃𝑧 ∈ ℝ 𝐴 = (𝑦 + (i · 𝑧)) → ∃𝑥 ∈ ℂ ((𝐴 + 𝑥) ∈ ℝ ∧ (i · (𝐴𝑥)) ∈ ℝ))
531, 52syl 17 . 2 (𝐴 ∈ ℂ → ∃𝑥 ∈ ℂ ((𝐴 + 𝑥) ∈ ℝ ∧ (i · (𝐴𝑥)) ∈ ℝ))
54 an4 882 . . . 4 ((((𝐴 + 𝑥) ∈ ℝ ∧ (i · (𝐴𝑥)) ∈ ℝ) ∧ ((𝐴 + 𝑦) ∈ ℝ ∧ (i · (𝐴𝑦)) ∈ ℝ)) ↔ (((𝐴 + 𝑥) ∈ ℝ ∧ (𝐴 + 𝑦) ∈ ℝ) ∧ ((i · (𝐴𝑥)) ∈ ℝ ∧ (i · (𝐴𝑦)) ∈ ℝ)))
55 resubcl 10383 . . . . . . 7 (((𝐴 + 𝑥) ∈ ℝ ∧ (𝐴 + 𝑦) ∈ ℝ) → ((𝐴 + 𝑥) − (𝐴 + 𝑦)) ∈ ℝ)
56 pnpcan 10358 . . . . . . . . 9 ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑥 ∈ ℂ ∧ 𝑦 ∈ ℂ) → ((𝐴 + 𝑥) − (𝐴 + 𝑦)) = (𝑥𝑦))
57563expb 1285 . . . . . . . 8 ((𝐴 ∈ ℂ ∧ (𝑥 ∈ ℂ ∧ 𝑦 ∈ ℂ)) → ((𝐴 + 𝑥) − (𝐴 + 𝑦)) = (𝑥𝑦))
5857eleq1d 2715 . . . . . . 7 ((𝐴 ∈ ℂ ∧ (𝑥 ∈ ℂ ∧ 𝑦 ∈ ℂ)) → (((𝐴 + 𝑥) − (𝐴 + 𝑦)) ∈ ℝ ↔ (𝑥𝑦) ∈ ℝ))
5955, 58syl5ib 234 . . . . . 6 ((𝐴 ∈ ℂ ∧ (𝑥 ∈ ℂ ∧ 𝑦 ∈ ℂ)) → (((𝐴 + 𝑥) ∈ ℝ ∧ (𝐴 + 𝑦) ∈ ℝ) → (𝑥𝑦) ∈ ℝ))
60 resubcl 10383 . . . . . . . 8 (((i · (𝐴𝑦)) ∈ ℝ ∧ (i · (𝐴𝑥)) ∈ ℝ) → ((i · (𝐴𝑦)) − (i · (𝐴𝑥))) ∈ ℝ)
6160ancoms 468 . . . . . . 7 (((i · (𝐴𝑥)) ∈ ℝ ∧ (i · (𝐴𝑦)) ∈ ℝ) → ((i · (𝐴𝑦)) − (i · (𝐴𝑥))) ∈ ℝ)
623a1i 11 . . . . . . . . . 10 ((𝐴 ∈ ℂ ∧ (𝑥 ∈ ℂ ∧ 𝑦 ∈ ℂ)) → i ∈ ℂ)
63 subcl 10318 . . . . . . . . . . 11 ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑦 ∈ ℂ) → (𝐴𝑦) ∈ ℂ)
6463adantrl 752 . . . . . . . . . 10 ((𝐴 ∈ ℂ ∧ (𝑥 ∈ ℂ ∧ 𝑦 ∈ ℂ)) → (𝐴𝑦) ∈ ℂ)
65 subcl 10318 . . . . . . . . . . 11 ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑥 ∈ ℂ) → (𝐴𝑥) ∈ ℂ)
6665adantrr 753 . . . . . . . . . 10 ((𝐴 ∈ ℂ ∧ (𝑥 ∈ ℂ ∧ 𝑦 ∈ ℂ)) → (𝐴𝑥) ∈ ℂ)
6762, 64, 66subdid 10524 . . . . . . . . 9 ((𝐴 ∈ ℂ ∧ (𝑥 ∈ ℂ ∧ 𝑦 ∈ ℂ)) → (i · ((𝐴𝑦) − (𝐴𝑥))) = ((i · (𝐴𝑦)) − (i · (𝐴𝑥))))
68 nnncan1 10355 . . . . . . . . . . . 12 ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑦 ∈ ℂ ∧ 𝑥 ∈ ℂ) → ((𝐴𝑦) − (𝐴𝑥)) = (𝑥𝑦))
69683com23 1291 . . . . . . . . . . 11 ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑥 ∈ ℂ ∧ 𝑦 ∈ ℂ) → ((𝐴𝑦) − (𝐴𝑥)) = (𝑥𝑦))
70693expb 1285 . . . . . . . . . 10 ((𝐴 ∈ ℂ ∧ (𝑥 ∈ ℂ ∧ 𝑦 ∈ ℂ)) → ((𝐴𝑦) − (𝐴𝑥)) = (𝑥𝑦))
7170oveq2d 6706 . . . . . . . . 9 ((𝐴 ∈ ℂ ∧ (𝑥 ∈ ℂ ∧ 𝑦 ∈ ℂ)) → (i · ((𝐴𝑦) − (𝐴𝑥))) = (i · (𝑥𝑦)))
7267, 71eqtr3d 2687 . . . . . . . 8 ((𝐴 ∈ ℂ ∧ (𝑥 ∈ ℂ ∧ 𝑦 ∈ ℂ)) → ((i · (𝐴𝑦)) − (i · (𝐴𝑥))) = (i · (𝑥𝑦)))
7372eleq1d 2715 . . . . . . 7 ((𝐴 ∈ ℂ ∧ (𝑥 ∈ ℂ ∧ 𝑦 ∈ ℂ)) → (((i · (𝐴𝑦)) − (i · (𝐴𝑥))) ∈ ℝ ↔ (i · (𝑥𝑦)) ∈ ℝ))
7461, 73syl5ib 234 . . . . . 6 ((𝐴 ∈ ℂ ∧ (𝑥 ∈ ℂ ∧ 𝑦 ∈ ℂ)) → (((i · (𝐴𝑥)) ∈ ℝ ∧ (i · (𝐴𝑦)) ∈ ℝ) → (i · (𝑥𝑦)) ∈ ℝ))
7559, 74anim12d 585 . . . . 5 ((𝐴 ∈ ℂ ∧ (𝑥 ∈ ℂ ∧ 𝑦 ∈ ℂ)) → ((((𝐴 + 𝑥) ∈ ℝ ∧ (𝐴 + 𝑦) ∈ ℝ) ∧ ((i · (𝐴𝑥)) ∈ ℝ ∧ (i · (𝐴𝑦)) ∈ ℝ)) → ((𝑥𝑦) ∈ ℝ ∧ (i · (𝑥𝑦)) ∈ ℝ)))
76 rimul 11049 . . . . . 6 (((𝑥𝑦) ∈ ℝ ∧ (i · (𝑥𝑦)) ∈ ℝ) → (𝑥𝑦) = 0)
7776a1i 11 . . . . 5 ((𝐴 ∈ ℂ ∧ (𝑥 ∈ ℂ ∧ 𝑦 ∈ ℂ)) → (((𝑥𝑦) ∈ ℝ ∧ (i · (𝑥𝑦)) ∈ ℝ) → (𝑥𝑦) = 0))
78 subeq0 10345 . . . . . . 7 ((𝑥 ∈ ℂ ∧ 𝑦 ∈ ℂ) → ((𝑥𝑦) = 0 ↔ 𝑥 = 𝑦))
7978biimpd 219 . . . . . 6 ((𝑥 ∈ ℂ ∧ 𝑦 ∈ ℂ) → ((𝑥𝑦) = 0 → 𝑥 = 𝑦))
8079adantl 481 . . . . 5 ((𝐴 ∈ ℂ ∧ (𝑥 ∈ ℂ ∧ 𝑦 ∈ ℂ)) → ((𝑥𝑦) = 0 → 𝑥 = 𝑦))
8175, 77, 803syld 60 . . . 4 ((𝐴 ∈ ℂ ∧ (𝑥 ∈ ℂ ∧ 𝑦 ∈ ℂ)) → ((((𝐴 + 𝑥) ∈ ℝ ∧ (𝐴 + 𝑦) ∈ ℝ) ∧ ((i · (𝐴𝑥)) ∈ ℝ ∧ (i · (𝐴𝑦)) ∈ ℝ)) → 𝑥 = 𝑦))
8254, 81syl5bi 232 . . 3 ((𝐴 ∈ ℂ ∧ (𝑥 ∈ ℂ ∧ 𝑦 ∈ ℂ)) → ((((𝐴 + 𝑥) ∈ ℝ ∧ (i · (𝐴𝑥)) ∈ ℝ) ∧ ((𝐴 + 𝑦) ∈ ℝ ∧ (i · (𝐴𝑦)) ∈ ℝ)) → 𝑥 = 𝑦))
8382ralrimivva 3000 . 2 (𝐴 ∈ ℂ → ∀𝑥 ∈ ℂ ∀𝑦 ∈ ℂ ((((𝐴 + 𝑥) ∈ ℝ ∧ (i · (𝐴𝑥)) ∈ ℝ) ∧ ((𝐴 + 𝑦) ∈ ℝ ∧ (i · (𝐴𝑦)) ∈ ℝ)) → 𝑥 = 𝑦))
84 oveq2 6698 . . . . 5 (𝑥 = 𝑦 → (𝐴 + 𝑥) = (𝐴 + 𝑦))
8584eleq1d 2715 . . . 4 (𝑥 = 𝑦 → ((𝐴 + 𝑥) ∈ ℝ ↔ (𝐴 + 𝑦) ∈ ℝ))
86 oveq2 6698 . . . . . 6 (𝑥 = 𝑦 → (𝐴𝑥) = (𝐴𝑦))
8786oveq2d 6706 . . . . 5 (𝑥 = 𝑦 → (i · (𝐴𝑥)) = (i · (𝐴𝑦)))
8887eleq1d 2715 . . . 4 (𝑥 = 𝑦 → ((i · (𝐴𝑥)) ∈ ℝ ↔ (i · (𝐴𝑦)) ∈ ℝ))
8985, 88anbi12d 747 . . 3 (𝑥 = 𝑦 → (((𝐴 + 𝑥) ∈ ℝ ∧ (i · (𝐴𝑥)) ∈ ℝ) ↔ ((𝐴 + 𝑦) ∈ ℝ ∧ (i · (𝐴𝑦)) ∈ ℝ)))
9089reu4 3433 . 2 (∃!𝑥 ∈ ℂ ((𝐴 + 𝑥) ∈ ℝ ∧ (i · (𝐴𝑥)) ∈ ℝ) ↔ (∃𝑥 ∈ ℂ ((𝐴 + 𝑥) ∈ ℝ ∧ (i · (𝐴𝑥)) ∈ ℝ) ∧ ∀𝑥 ∈ ℂ ∀𝑦 ∈ ℂ ((((𝐴 + 𝑥) ∈ ℝ ∧ (i · (𝐴𝑥)) ∈ ℝ) ∧ ((𝐴 + 𝑦) ∈ ℝ ∧ (i · (𝐴𝑦)) ∈ ℝ)) → 𝑥 = 𝑦)))
9153, 83, 90sylanbrc 699 1 (𝐴 ∈ ℂ → ∃!𝑥 ∈ ℂ ((𝐴 + 𝑥) ∈ ℝ ∧ (i · (𝐴𝑥)) ∈ ℝ))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wa 383   = wceq 1523  wcel 2030  wral 2941  wrex 2942  ∃!wreu 2943  (class class class)co 6690  cc 9972  cr 9973  0cc0 9974  1c1 9975  ici 9976   + caddc 9977   · cmul 9979  cmin 10304  -cneg 10305
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1762  ax-4 1777  ax-5 1879  ax-6 1945  ax-7 1981  ax-8 2032  ax-9 2039  ax-10 2059  ax-11 2074  ax-12 2087  ax-13 2282  ax-ext 2631  ax-sep 4814  ax-nul 4822  ax-pow 4873  ax-pr 4936  ax-un 6991  ax-resscn 10031  ax-1cn 10032  ax-icn 10033  ax-addcl 10034  ax-addrcl 10035  ax-mulcl 10036  ax-mulrcl 10037  ax-mulcom 10038  ax-addass 10039  ax-mulass 10040  ax-distr 10041  ax-i2m1 10042  ax-1ne0 10043  ax-1rid 10044  ax-rnegex 10045  ax-rrecex 10046  ax-cnre 10047  ax-pre-lttri 10048  ax-pre-lttrn 10049  ax-pre-ltadd 10050  ax-pre-mulgt0 10051
This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 384  df-an 385  df-3or 1055  df-3an 1056  df-tru 1526  df-ex 1745  df-nf 1750  df-sb 1938  df-eu 2502  df-mo 2503  df-clab 2638  df-cleq 2644  df-clel 2647  df-nfc 2782  df-ne 2824  df-nel 2927  df-ral 2946  df-rex 2947  df-reu 2948  df-rmo 2949  df-rab 2950  df-v 3233  df-sbc 3469  df-csb 3567  df-dif 3610  df-un 3612  df-in 3614  df-ss 3621  df-nul 3949  df-if 4120  df-pw 4193  df-sn 4211  df-pr 4213  df-op 4217  df-uni 4469  df-br 4686  df-opab 4746  df-mpt 4763  df-id 5053  df-po 5064  df-so 5065  df-xp 5149  df-rel 5150  df-cnv 5151  df-co 5152  df-dm 5153  df-rn 5154  df-res 5155  df-ima 5156  df-iota 5889  df-fun 5928  df-fn 5929  df-f 5930  df-f1 5931  df-fo 5932  df-f1o 5933  df-fv 5934  df-riota 6651  df-ov 6693  df-oprab 6694  df-mpt2 6695  df-er 7787  df-en 7998  df-dom 7999  df-sdom 8000  df-pnf 10114  df-mnf 10115  df-xr 10116  df-ltxr 10117  df-le 10118  df-sub 10306  df-neg 10307  df-div 10723
This theorem is referenced by:  cjth  13887  cjf  13888  remim  13901
  Copyright terms: Public domain W3C validator