Theorem cjvalt 6703

Description: Value of the conjugate of a complex number. The value is the real part minus i times the imaginary part. Definition 10-3.2 of [Gleason] p. 132.

Assertion

Ref	Expression
cjvalt	⊢ (A ∈ ℂ → (∗ ‘A) = ((ℜ ‘A) − (i · (ℑ ‘A))))

Proof of Theorem cjvalt

Step	Hyp	Ref	Expression
1		fveq2 3715	. . 3 ⊢ (x = A → (ℜ ‘x) = (ℜ ‘A))
2		fveq2 3715	. . . 4 ⊢ (x = A → (ℑ ‘x) = (ℑ ‘A))
3	2	opreq2d 3967	. . 3 ⊢ (x = A → (i · (ℑ ‘x)) = (i · (ℑ ‘A)))
4	1, 3	opreq12d 3969	. 2 ⊢ (x = A → ((ℜ ‘x) − (i · (ℑ ‘x))) = ((ℜ ‘A) − (i · (ℑ ‘A))))
5		df-cj 6692	. 2 ⊢ ∗ = {⟨x, y⟩∣(x ∈ ℂ ⋀ y = ((ℜ ‘x) − (i · (ℑ ‘x))))}
6		oprex 3974	. 2 ⊢ ((ℜ ‘A) − (i · (ℑ ‘A))) ∈ V
7	4, 5, 6	fvopab4 3771	1 ⊢ (A ∈ ℂ → (∗ ‘A) = ((ℜ ‘A) − (i · (ℑ ‘A))))

Syntax hints:   → wi 3   = wceq 954   ∈ wcel 956   ‘cfv 3177  (class class class)co 3954  ℂcc 5212  ici 5216   · cmul 5219   − cmin 5272  ℜcre 6686  ℑcim 6687  ∗ccj 6688

This theorem is referenced by:  cjclt 6704  cjcj 6721  cjreb 6724  recj 6725  imcj 6726  cjadd 6731  cjmul 6732  cjneg 6740  addcj 6741  recjt 6761  imcjt 6762  cji 6770  cj11t 6773  cjcncf 7221

This theorem was proved from axioms:  ax-1 4  ax-2 5  ax-3 6  ax-mp 7  ax-7 960  ax-gen 961  ax-8 962  ax-9 963  ax-10 964  ax-11 965  ax-12 966  ax-13 967  ax-14 968  ax-17 969  ax-4 971  ax-5o 973  ax-6o 976  ax-9o 1121  ax-10o 1138  ax-16 1208  ax-11o 1216  ax-ext 1457  ax-sep 2698  ax-pow 2737  ax-pr 2774  ax-un 2861

This theorem depends on definitions:  df-bi 147  df-or 224  df-an 225  df-ex 979  df-sb 1170  df-eu 1380  df-mo 1381  df-clab 1462  df-cleq 1467  df-clel 1470  df-ne 1584  df-rex 1647  df-v 1808  df-dif 2045  df-un 2046  df-in 2047  df-ss 2049  df-nul 2277  df-pw 2398  df-sn 2408  df-pr 2409  df-op 2412  df-uni 2499  df-br 2615  df-opab 2662  df-id 2830  df-xp 3179  df-rel 3180  df-cnv 3181  df-co 3182  df-dm 3183  df-rn 3184  df-res 3185  df-ima 3186  df-fun 3187  df-fv 3193  df-opr 3956  df-cj 6692

Copyright terms: Public domain