MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  clatglbcl Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem clatglbcl 17035
Description: Any subset of the base set has a GLB in a complete lattice. (Contributed by NM, 14-Sep-2011.)
Hypotheses
Ref Expression
clatglbcl.b 𝐵 = (Base‘𝐾)
clatglbcl.g 𝐺 = (glb‘𝐾)
Assertion
Ref Expression
clatglbcl ((𝐾 ∈ CLat ∧ 𝑆𝐵) → (𝐺𝑆) ∈ 𝐵)

Proof of Theorem clatglbcl
StepHypRef Expression
1 clatglbcl.b . . 3 𝐵 = (Base‘𝐾)
2 eqid 2621 . . 3 (lub‘𝐾) = (lub‘𝐾)
3 clatglbcl.g . . 3 𝐺 = (glb‘𝐾)
41, 2, 3clatlem 17032 . 2 ((𝐾 ∈ CLat ∧ 𝑆𝐵) → (((lub‘𝐾)‘𝑆) ∈ 𝐵 ∧ (𝐺𝑆) ∈ 𝐵))
54simprd 479 1 ((𝐾 ∈ CLat ∧ 𝑆𝐵) → (𝐺𝑆) ∈ 𝐵)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wa 384   = wceq 1480  wcel 1987  wss 3555  cfv 5847  Basecbs 15781  lubclub 16863  glbcglb 16864  CLatccla 17028
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1719  ax-4 1734  ax-5 1836  ax-6 1885  ax-7 1932  ax-8 1989  ax-9 1996  ax-10 2016  ax-11 2031  ax-12 2044  ax-13 2245  ax-ext 2601  ax-rep 4731  ax-sep 4741  ax-nul 4749  ax-pow 4803  ax-pr 4867
This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 385  df-an 386  df-3an 1038  df-tru 1483  df-ex 1702  df-nf 1707  df-sb 1878  df-eu 2473  df-mo 2474  df-clab 2608  df-cleq 2614  df-clel 2617  df-nfc 2750  df-ne 2791  df-ral 2912  df-rex 2913  df-reu 2914  df-rab 2916  df-v 3188  df-sbc 3418  df-csb 3515  df-dif 3558  df-un 3560  df-in 3562  df-ss 3569  df-nul 3892  df-if 4059  df-pw 4132  df-sn 4149  df-pr 4151  df-op 4155  df-uni 4403  df-iun 4487  df-br 4614  df-opab 4674  df-mpt 4675  df-id 4989  df-xp 5080  df-rel 5081  df-cnv 5082  df-co 5083  df-dm 5084  df-rn 5085  df-res 5086  df-ima 5087  df-iota 5810  df-fun 5849  df-fn 5850  df-f 5851  df-f1 5852  df-fo 5853  df-f1o 5854  df-fv 5855  df-riota 6565  df-lub 16895  df-glb 16896  df-clat 17029
This theorem is referenced by:  clatleglb  17047  clatglbss  17048  clatp0cl  29456  glbconN  34143  pmapglbx  34535  diaglbN  35824  diaintclN  35827  dibglbN  35935  dibintclN  35936  dihglblem2N  36063  dihglblem3N  36064  dihglblem4  36066  dihglbcpreN  36069  dihglblem6  36109  dihintcl  36113  dochval2  36121  dochcl  36122  dochvalr  36126  dochss  36134
  Copyright terms: Public domain W3C validator