MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  clatlem Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem clatlem 17032
Description: Lemma for properties of a complete lattice. (Contributed by NM, 14-Sep-2011.)
Hypotheses
Ref Expression
clatlem.b 𝐵 = (Base‘𝐾)
clatlem.u 𝑈 = (lub‘𝐾)
clatlem.g 𝐺 = (glb‘𝐾)
Assertion
Ref Expression
clatlem ((𝐾 ∈ CLat ∧ 𝑆𝐵) → ((𝑈𝑆) ∈ 𝐵 ∧ (𝐺𝑆) ∈ 𝐵))

Proof of Theorem clatlem
StepHypRef Expression
1 clatlem.b . . 3 𝐵 = (Base‘𝐾)
2 clatlem.u . . 3 𝑈 = (lub‘𝐾)
3 simpl 473 . . 3 ((𝐾 ∈ CLat ∧ 𝑆𝐵) → 𝐾 ∈ CLat)
4 fvex 6158 . . . . . . . 8 (Base‘𝐾) ∈ V
51, 4eqeltri 2694 . . . . . . 7 𝐵 ∈ V
65elpw2 4788 . . . . . 6 (𝑆 ∈ 𝒫 𝐵𝑆𝐵)
76biimpri 218 . . . . 5 (𝑆𝐵𝑆 ∈ 𝒫 𝐵)
87adantl 482 . . . 4 ((𝐾 ∈ CLat ∧ 𝑆𝐵) → 𝑆 ∈ 𝒫 𝐵)
9 clatlem.g . . . . . . . 8 𝐺 = (glb‘𝐾)
101, 2, 9isclat 17030 . . . . . . 7 (𝐾 ∈ CLat ↔ (𝐾 ∈ Poset ∧ (dom 𝑈 = 𝒫 𝐵 ∧ dom 𝐺 = 𝒫 𝐵)))
1110biimpi 206 . . . . . 6 (𝐾 ∈ CLat → (𝐾 ∈ Poset ∧ (dom 𝑈 = 𝒫 𝐵 ∧ dom 𝐺 = 𝒫 𝐵)))
1211adantr 481 . . . . 5 ((𝐾 ∈ CLat ∧ 𝑆𝐵) → (𝐾 ∈ Poset ∧ (dom 𝑈 = 𝒫 𝐵 ∧ dom 𝐺 = 𝒫 𝐵)))
13 simpl 473 . . . . . 6 ((dom 𝑈 = 𝒫 𝐵 ∧ dom 𝐺 = 𝒫 𝐵) → dom 𝑈 = 𝒫 𝐵)
1413adantl 482 . . . . 5 ((𝐾 ∈ Poset ∧ (dom 𝑈 = 𝒫 𝐵 ∧ dom 𝐺 = 𝒫 𝐵)) → dom 𝑈 = 𝒫 𝐵)
1512, 14syl 17 . . . 4 ((𝐾 ∈ CLat ∧ 𝑆𝐵) → dom 𝑈 = 𝒫 𝐵)
168, 15eleqtrrd 2701 . . 3 ((𝐾 ∈ CLat ∧ 𝑆𝐵) → 𝑆 ∈ dom 𝑈)
171, 2, 3, 16lubcl 16906 . 2 ((𝐾 ∈ CLat ∧ 𝑆𝐵) → (𝑈𝑆) ∈ 𝐵)
1812simprrd 796 . . . 4 ((𝐾 ∈ CLat ∧ 𝑆𝐵) → dom 𝐺 = 𝒫 𝐵)
198, 18eleqtrrd 2701 . . 3 ((𝐾 ∈ CLat ∧ 𝑆𝐵) → 𝑆 ∈ dom 𝐺)
201, 9, 3, 19glbcl 16919 . 2 ((𝐾 ∈ CLat ∧ 𝑆𝐵) → (𝐺𝑆) ∈ 𝐵)
2117, 20jca 554 1 ((𝐾 ∈ CLat ∧ 𝑆𝐵) → ((𝑈𝑆) ∈ 𝐵 ∧ (𝐺𝑆) ∈ 𝐵))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wa 384   = wceq 1480  wcel 1987  Vcvv 3186  wss 3555  𝒫 cpw 4130  dom cdm 5074  cfv 5847  Basecbs 15781  Posetcpo 16861  lubclub 16863  glbcglb 16864  CLatccla 17028
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1719  ax-4 1734  ax-5 1836  ax-6 1885  ax-7 1932  ax-8 1989  ax-9 1996  ax-10 2016  ax-11 2031  ax-12 2044  ax-13 2245  ax-ext 2601  ax-rep 4731  ax-sep 4741  ax-nul 4749  ax-pow 4803  ax-pr 4867
This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 385  df-an 386  df-3an 1038  df-tru 1483  df-ex 1702  df-nf 1707  df-sb 1878  df-eu 2473  df-mo 2474  df-clab 2608  df-cleq 2614  df-clel 2617  df-nfc 2750  df-ne 2791  df-ral 2912  df-rex 2913  df-reu 2914  df-rab 2916  df-v 3188  df-sbc 3418  df-csb 3515  df-dif 3558  df-un 3560  df-in 3562  df-ss 3569  df-nul 3892  df-if 4059  df-pw 4132  df-sn 4149  df-pr 4151  df-op 4155  df-uni 4403  df-iun 4487  df-br 4614  df-opab 4674  df-mpt 4675  df-id 4989  df-xp 5080  df-rel 5081  df-cnv 5082  df-co 5083  df-dm 5084  df-rn 5085  df-res 5086  df-ima 5087  df-iota 5810  df-fun 5849  df-fn 5850  df-f 5851  df-f1 5852  df-fo 5853  df-f1o 5854  df-fv 5855  df-riota 6565  df-lub 16895  df-glb 16896  df-clat 17029
This theorem is referenced by:  clatlubcl  17033  clatglbcl  17035
  Copyright terms: Public domain W3C validator