MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  cldcss Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem cldcss 23193
Description: Corollary of the Projection Theorem: A topologically closed subspace is algebraically closed in Hilbert space. (Contributed by Mario Carneiro, 17-Oct-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
cldcss.v 𝑉 = (Base‘𝑊)
cldcss.j 𝐽 = (TopOpen‘𝑊)
cldcss.l 𝐿 = (LSubSp‘𝑊)
cldcss.c 𝐶 = (CSubSp‘𝑊)
Assertion
Ref Expression
cldcss (𝑊 ∈ ℂHil → (𝑈𝐶 ↔ (𝑈𝐿𝑈 ∈ (Clsd‘𝐽))))

Proof of Theorem cldcss
StepHypRef Expression
1 hlphl 23142 . . . 4 (𝑊 ∈ ℂHil → 𝑊 ∈ PreHil)
2 cldcss.c . . . . 5 𝐶 = (CSubSp‘𝑊)
3 cldcss.l . . . . 5 𝐿 = (LSubSp‘𝑊)
42, 3csslss 20016 . . . 4 ((𝑊 ∈ PreHil ∧ 𝑈𝐶) → 𝑈𝐿)
51, 4sylan 488 . . 3 ((𝑊 ∈ ℂHil ∧ 𝑈𝐶) → 𝑈𝐿)
6 hlcph 23141 . . . 4 (𝑊 ∈ ℂHil → 𝑊 ∈ ℂPreHil)
7 cldcss.j . . . . 5 𝐽 = (TopOpen‘𝑊)
82, 7csscld 23029 . . . 4 ((𝑊 ∈ ℂPreHil ∧ 𝑈𝐶) → 𝑈 ∈ (Clsd‘𝐽))
96, 8sylan 488 . . 3 ((𝑊 ∈ ℂHil ∧ 𝑈𝐶) → 𝑈 ∈ (Clsd‘𝐽))
105, 9jca 554 . 2 ((𝑊 ∈ ℂHil ∧ 𝑈𝐶) → (𝑈𝐿𝑈 ∈ (Clsd‘𝐽)))
1113ad2ant1 1080 . . . . 5 ((𝑊 ∈ ℂHil ∧ 𝑈𝐿𝑈 ∈ (Clsd‘𝐽)) → 𝑊 ∈ PreHil)
12 eqid 2620 . . . . . 6 (proj‘𝑊) = (proj‘𝑊)
1312, 2pjcss 20041 . . . . 5 (𝑊 ∈ PreHil → dom (proj‘𝑊) ⊆ 𝐶)
1411, 13syl 17 . . . 4 ((𝑊 ∈ ℂHil ∧ 𝑈𝐿𝑈 ∈ (Clsd‘𝐽)) → dom (proj‘𝑊) ⊆ 𝐶)
157, 3, 12pjth2 23192 . . . 4 ((𝑊 ∈ ℂHil ∧ 𝑈𝐿𝑈 ∈ (Clsd‘𝐽)) → 𝑈 ∈ dom (proj‘𝑊))
1614, 15sseldd 3596 . . 3 ((𝑊 ∈ ℂHil ∧ 𝑈𝐿𝑈 ∈ (Clsd‘𝐽)) → 𝑈𝐶)
17163expb 1264 . 2 ((𝑊 ∈ ℂHil ∧ (𝑈𝐿𝑈 ∈ (Clsd‘𝐽))) → 𝑈𝐶)
1810, 17impbida 876 1 (𝑊 ∈ ℂHil → (𝑈𝐶 ↔ (𝑈𝐿𝑈 ∈ (Clsd‘𝐽))))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wb 196  wa 384  w3a 1036   = wceq 1481  wcel 1988  wss 3567  dom cdm 5104  cfv 5876  Basecbs 15838  TopOpenctopn 16063  LSubSpclss 18913  PreHilcphl 19950  CSubSpccss 19986  projcpj 20025  Clsdccld 20801  ℂPreHilccph 22947  ℂHilchl 23112
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1720  ax-4 1735  ax-5 1837  ax-6 1886  ax-7 1933  ax-8 1990  ax-9 1997  ax-10 2017  ax-11 2032  ax-12 2045  ax-13 2244  ax-ext 2600  ax-rep 4762  ax-sep 4772  ax-nul 4780  ax-pow 4834  ax-pr 4897  ax-un 6934  ax-inf2 8523  ax-cnex 9977  ax-resscn 9978  ax-1cn 9979  ax-icn 9980  ax-addcl 9981  ax-addrcl 9982  ax-mulcl 9983  ax-mulrcl 9984  ax-mulcom 9985  ax-addass 9986  ax-mulass 9987  ax-distr 9988  ax-i2m1 9989  ax-1ne0 9990  ax-1rid 9991  ax-rnegex 9992  ax-rrecex 9993  ax-cnre 9994  ax-pre-lttri 9995  ax-pre-lttrn 9996  ax-pre-ltadd 9997  ax-pre-mulgt0 9998  ax-pre-sup 9999  ax-addf 10000  ax-mulf 10001
This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 385  df-an 386  df-3or 1037  df-3an 1038  df-tru 1484  df-ex 1703  df-nf 1708  df-sb 1879  df-eu 2472  df-mo 2473  df-clab 2607  df-cleq 2613  df-clel 2616  df-nfc 2751  df-ne 2792  df-nel 2895  df-ral 2914  df-rex 2915  df-reu 2916  df-rmo 2917  df-rab 2918  df-v 3197  df-sbc 3430  df-csb 3527  df-dif 3570  df-un 3572  df-in 3574  df-ss 3581  df-pss 3583  df-nul 3908  df-if 4078  df-pw 4151  df-sn 4169  df-pr 4171  df-tp 4173  df-op 4175  df-uni 4428  df-int 4467  df-iun 4513  df-iin 4514  df-br 4645  df-opab 4704  df-mpt 4721  df-tr 4744  df-id 5014  df-eprel 5019  df-po 5025  df-so 5026  df-fr 5063  df-se 5064  df-we 5065  df-xp 5110  df-rel 5111  df-cnv 5112  df-co 5113  df-dm 5114  df-rn 5115  df-res 5116  df-ima 5117  df-pred 5668  df-ord 5714  df-on 5715  df-lim 5716  df-suc 5717  df-iota 5839  df-fun 5878  df-fn 5879  df-f 5880  df-f1 5881  df-fo 5882  df-f1o 5883  df-fv 5884  df-isom 5885  df-riota 6596  df-ov 6638  df-oprab 6639  df-mpt2 6640  df-of 6882  df-om 7051  df-1st 7153  df-2nd 7154  df-supp 7281  df-tpos 7337  df-wrecs 7392  df-recs 7453  df-rdg 7491  df-1o 7545  df-2o 7546  df-oadd 7549  df-er 7727  df-map 7844  df-ixp 7894  df-en 7941  df-dom 7942  df-sdom 7943  df-fin 7944  df-fsupp 8261  df-fi 8302  df-sup 8333  df-inf 8334  df-oi 8400  df-card 8750  df-cda 8975  df-pnf 10061  df-mnf 10062  df-xr 10063  df-ltxr 10064  df-le 10065  df-sub 10253  df-neg 10254  df-div 10670  df-nn 11006  df-2 11064  df-3 11065  df-4 11066  df-5 11067  df-6 11068  df-7 11069  df-8 11070  df-9 11071  df-n0 11278  df-z 11363  df-dec 11479  df-uz 11673  df-q 11774  df-rp 11818  df-xneg 11931  df-xadd 11932  df-xmul 11933  df-ioo 12164  df-ico 12166  df-icc 12167  df-fz 12312  df-fzo 12450  df-seq 12785  df-exp 12844  df-hash 13101  df-cj 13820  df-re 13821  df-im 13822  df-sqrt 13956  df-abs 13957  df-struct 15840  df-ndx 15841  df-slot 15842  df-base 15844  df-sets 15845  df-ress 15846  df-plusg 15935  df-mulr 15936  df-starv 15937  df-sca 15938  df-vsca 15939  df-ip 15940  df-tset 15941  df-ple 15942  df-ds 15945  df-unif 15946  df-hom 15947  df-cco 15948  df-rest 16064  df-topn 16065  df-0g 16083  df-gsum 16084  df-topgen 16085  df-pt 16086  df-prds 16089  df-xrs 16143  df-qtop 16148  df-imas 16149  df-xps 16151  df-mre 16227  df-mrc 16228  df-acs 16230  df-mgm 17223  df-sgrp 17265  df-mnd 17276  df-mhm 17316  df-submnd 17317  df-grp 17406  df-minusg 17407  df-sbg 17408  df-mulg 17522  df-subg 17572  df-ghm 17639  df-cntz 17731  df-lsm 18032  df-pj1 18033  df-cmn 18176  df-abl 18177  df-mgp 18471  df-ur 18483  df-ring 18530  df-cring 18531  df-oppr 18604  df-dvdsr 18622  df-unit 18623  df-invr 18653  df-dvr 18664  df-rnghom 18696  df-drng 18730  df-subrg 18759  df-staf 18826  df-srng 18827  df-lmod 18846  df-lss 18914  df-lmhm 19003  df-lvec 19084  df-sra 19153  df-rgmod 19154  df-psmet 19719  df-xmet 19720  df-met 19721  df-bl 19722  df-mopn 19723  df-fbas 19724  df-fg 19725  df-cnfld 19728  df-phl 19952  df-ipf 19953  df-ocv 19988  df-css 19989  df-pj 20028  df-top 20680  df-topon 20697  df-topsp 20718  df-bases 20731  df-cld 20804  df-ntr 20805  df-cls 20806  df-nei 20883  df-cn 21012  df-cnp 21013  df-t1 21099  df-haus 21100  df-cmp 21171  df-tx 21346  df-hmeo 21539  df-fil 21631  df-flim 21724  df-fcls 21726  df-xms 22106  df-ms 22107  df-tms 22108  df-nm 22368  df-ngp 22369  df-tng 22370  df-nlm 22372  df-cncf 22662  df-clm 22844  df-cph 22949  df-tch 22950  df-cfil 23034  df-cmet 23036  df-cms 23113  df-bn 23114  df-hl 23115
This theorem is referenced by:  cldcss2  23194
  Copyright terms: Public domain W3C validator