Users' Mathboxes Mathbox for Glauco Siliprandi < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  clim1fr1 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem clim1fr1 38569
Description: A class of sequences of fractions that converge to 1. (Contributed by Glauco Siliprandi, 29-Jun-2017.)
Hypotheses
Ref Expression
clim1fr1.1 𝐹 = (𝑛 ∈ ℕ ↦ (((𝐴 · 𝑛) + 𝐵) / (𝐴 · 𝑛)))
clim1fr1.2 (𝜑𝐴 ∈ ℂ)
clim1fr1.3 (𝜑𝐴 ≠ 0)
clim1fr1.4 (𝜑𝐵 ∈ ℂ)
Assertion
Ref Expression
clim1fr1 (𝜑𝐹 ⇝ 1)
Distinct variable groups:   𝜑,𝑛   𝐴,𝑛   𝐵,𝑛
Allowed substitution hint:   𝐹(𝑛)

Proof of Theorem clim1fr1
Dummy variable 𝑘 is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 nnuz 11462 . . 3 ℕ = (ℤ‘1)
2 1zzd 11148 . . 3 (𝜑 → 1 ∈ ℤ)
3 nnex 10780 . . . . . 6 ℕ ∈ V
43mptex 6266 . . . . 5 (𝑛 ∈ ℕ ↦ 1) ∈ V
54a1i 11 . . . 4 (𝜑 → (𝑛 ∈ ℕ ↦ 1) ∈ V)
6 1cnd 9810 . . . 4 (𝜑 → 1 ∈ ℂ)
7 eqidd 2515 . . . . . 6 (𝑘 ∈ ℕ → (𝑛 ∈ ℕ ↦ 1) = (𝑛 ∈ ℕ ↦ 1))
8 eqidd 2515 . . . . . 6 ((𝑘 ∈ ℕ ∧ 𝑛 = 𝑘) → 1 = 1)
9 id 22 . . . . . 6 (𝑘 ∈ ℕ → 𝑘 ∈ ℕ)
10 1cnd 9810 . . . . . 6 (𝑘 ∈ ℕ → 1 ∈ ℂ)
117, 8, 9, 10fvmptd 6080 . . . . 5 (𝑘 ∈ ℕ → ((𝑛 ∈ ℕ ↦ 1)‘𝑘) = 1)
1211adantl 480 . . . 4 ((𝜑𝑘 ∈ ℕ) → ((𝑛 ∈ ℕ ↦ 1)‘𝑘) = 1)
131, 2, 5, 6, 12climconst 13986 . . 3 (𝜑 → (𝑛 ∈ ℕ ↦ 1) ⇝ 1)
14 clim1fr1.1 . . . . 5 𝐹 = (𝑛 ∈ ℕ ↦ (((𝐴 · 𝑛) + 𝐵) / (𝐴 · 𝑛)))
153mptex 6266 . . . . 5 (𝑛 ∈ ℕ ↦ (((𝐴 · 𝑛) + 𝐵) / (𝐴 · 𝑛))) ∈ V
1614, 15eqeltri 2588 . . . 4 𝐹 ∈ V
1716a1i 11 . . 3 (𝜑𝐹 ∈ V)
18 clim1fr1.4 . . . . . . 7 (𝜑𝐵 ∈ ℂ)
1918adantr 479 . . . . . 6 ((𝜑𝑛 ∈ ℕ) → 𝐵 ∈ ℂ)
20 clim1fr1.2 . . . . . . 7 (𝜑𝐴 ∈ ℂ)
2120adantr 479 . . . . . 6 ((𝜑𝑛 ∈ ℕ) → 𝐴 ∈ ℂ)
22 nncn 10782 . . . . . . 7 (𝑛 ∈ ℕ → 𝑛 ∈ ℂ)
2322adantl 480 . . . . . 6 ((𝜑𝑛 ∈ ℕ) → 𝑛 ∈ ℂ)
24 clim1fr1.3 . . . . . . 7 (𝜑𝐴 ≠ 0)
2524adantr 479 . . . . . 6 ((𝜑𝑛 ∈ ℕ) → 𝐴 ≠ 0)
26 nnne0 10807 . . . . . . 7 (𝑛 ∈ ℕ → 𝑛 ≠ 0)
2726adantl 480 . . . . . 6 ((𝜑𝑛 ∈ ℕ) → 𝑛 ≠ 0)
2819, 21, 23, 25, 27divdiv1d 10580 . . . . 5 ((𝜑𝑛 ∈ ℕ) → ((𝐵 / 𝐴) / 𝑛) = (𝐵 / (𝐴 · 𝑛)))
2928mpteq2dva 4570 . . . 4 (𝜑 → (𝑛 ∈ ℕ ↦ ((𝐵 / 𝐴) / 𝑛)) = (𝑛 ∈ ℕ ↦ (𝐵 / (𝐴 · 𝑛))))
3018, 20, 24divcld 10549 . . . . 5 (𝜑 → (𝐵 / 𝐴) ∈ ℂ)
31 divcnv 14291 . . . . 5 ((𝐵 / 𝐴) ∈ ℂ → (𝑛 ∈ ℕ ↦ ((𝐵 / 𝐴) / 𝑛)) ⇝ 0)
3230, 31syl 17 . . . 4 (𝜑 → (𝑛 ∈ ℕ ↦ ((𝐵 / 𝐴) / 𝑛)) ⇝ 0)
3329, 32eqbrtrrd 4505 . . 3 (𝜑 → (𝑛 ∈ ℕ ↦ (𝐵 / (𝐴 · 𝑛))) ⇝ 0)
34 eqid 2514 . . . . . 6 (𝑛 ∈ ℕ ↦ 1) = (𝑛 ∈ ℕ ↦ 1)
35 1cnd 9810 . . . . . 6 (𝑛 ∈ ℕ → 1 ∈ ℂ)
3634, 35fmpti 6174 . . . . 5 (𝑛 ∈ ℕ ↦ 1):ℕ⟶ℂ
3736a1i 11 . . . 4 (𝜑 → (𝑛 ∈ ℕ ↦ 1):ℕ⟶ℂ)
3837ffvelrnda 6150 . . 3 ((𝜑𝑘 ∈ ℕ) → ((𝑛 ∈ ℕ ↦ 1)‘𝑘) ∈ ℂ)
3921, 23mulcld 9814 . . . . . 6 ((𝜑𝑛 ∈ ℕ) → (𝐴 · 𝑛) ∈ ℂ)
4021, 23, 25, 27mulne0d 10427 . . . . . 6 ((𝜑𝑛 ∈ ℕ) → (𝐴 · 𝑛) ≠ 0)
4119, 39, 40divcld 10549 . . . . 5 ((𝜑𝑛 ∈ ℕ) → (𝐵 / (𝐴 · 𝑛)) ∈ ℂ)
42 eqid 2514 . . . . 5 (𝑛 ∈ ℕ ↦ (𝐵 / (𝐴 · 𝑛))) = (𝑛 ∈ ℕ ↦ (𝐵 / (𝐴 · 𝑛)))
4341, 42fmptd 6175 . . . 4 (𝜑 → (𝑛 ∈ ℕ ↦ (𝐵 / (𝐴 · 𝑛))):ℕ⟶ℂ)
4443ffvelrnda 6150 . . 3 ((𝜑𝑘 ∈ ℕ) → ((𝑛 ∈ ℕ ↦ (𝐵 / (𝐴 · 𝑛)))‘𝑘) ∈ ℂ)
4514a1i 11 . . . . 5 ((𝜑𝑘 ∈ ℕ) → 𝐹 = (𝑛 ∈ ℕ ↦ (((𝐴 · 𝑛) + 𝐵) / (𝐴 · 𝑛))))
46 oveq2 6433 . . . . . . . 8 (𝑛 = 𝑘 → (𝐴 · 𝑛) = (𝐴 · 𝑘))
4746oveq1d 6440 . . . . . . 7 (𝑛 = 𝑘 → ((𝐴 · 𝑛) + 𝐵) = ((𝐴 · 𝑘) + 𝐵))
4847, 46oveq12d 6443 . . . . . 6 (𝑛 = 𝑘 → (((𝐴 · 𝑛) + 𝐵) / (𝐴 · 𝑛)) = (((𝐴 · 𝑘) + 𝐵) / (𝐴 · 𝑘)))
4948adantl 480 . . . . 5 (((𝜑𝑘 ∈ ℕ) ∧ 𝑛 = 𝑘) → (((𝐴 · 𝑛) + 𝐵) / (𝐴 · 𝑛)) = (((𝐴 · 𝑘) + 𝐵) / (𝐴 · 𝑘)))
50 simpr 475 . . . . 5 ((𝜑𝑘 ∈ ℕ) → 𝑘 ∈ ℕ)
5120adantr 479 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑘 ∈ ℕ) → 𝐴 ∈ ℂ)
5250nncnd 10790 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑘 ∈ ℕ) → 𝑘 ∈ ℂ)
5351, 52mulcld 9814 . . . . . . 7 ((𝜑𝑘 ∈ ℕ) → (𝐴 · 𝑘) ∈ ℂ)
5418adantr 479 . . . . . . 7 ((𝜑𝑘 ∈ ℕ) → 𝐵 ∈ ℂ)
5553, 54addcld 9813 . . . . . 6 ((𝜑𝑘 ∈ ℕ) → ((𝐴 · 𝑘) + 𝐵) ∈ ℂ)
5624adantr 479 . . . . . . 7 ((𝜑𝑘 ∈ ℕ) → 𝐴 ≠ 0)
5750nnne0d 10819 . . . . . . 7 ((𝜑𝑘 ∈ ℕ) → 𝑘 ≠ 0)
5851, 52, 56, 57mulne0d 10427 . . . . . 6 ((𝜑𝑘 ∈ ℕ) → (𝐴 · 𝑘) ≠ 0)
5955, 53, 58divcld 10549 . . . . 5 ((𝜑𝑘 ∈ ℕ) → (((𝐴 · 𝑘) + 𝐵) / (𝐴 · 𝑘)) ∈ ℂ)
6045, 49, 50, 59fvmptd 6080 . . . 4 ((𝜑𝑘 ∈ ℕ) → (𝐹𝑘) = (((𝐴 · 𝑘) + 𝐵) / (𝐴 · 𝑘)))
6153, 54, 53, 58divdird 10587 . . . . 5 ((𝜑𝑘 ∈ ℕ) → (((𝐴 · 𝑘) + 𝐵) / (𝐴 · 𝑘)) = (((𝐴 · 𝑘) / (𝐴 · 𝑘)) + (𝐵 / (𝐴 · 𝑘))))
6253, 58dividd 10547 . . . . . 6 ((𝜑𝑘 ∈ ℕ) → ((𝐴 · 𝑘) / (𝐴 · 𝑘)) = 1)
6362oveq1d 6440 . . . . 5 ((𝜑𝑘 ∈ ℕ) → (((𝐴 · 𝑘) / (𝐴 · 𝑘)) + (𝐵 / (𝐴 · 𝑘))) = (1 + (𝐵 / (𝐴 · 𝑘))))
6461, 63eqtrd 2548 . . . 4 ((𝜑𝑘 ∈ ℕ) → (((𝐴 · 𝑘) + 𝐵) / (𝐴 · 𝑘)) = (1 + (𝐵 / (𝐴 · 𝑘))))
6512eqcomd 2520 . . . . 5 ((𝜑𝑘 ∈ ℕ) → 1 = ((𝑛 ∈ ℕ ↦ 1)‘𝑘))
66 eqidd 2515 . . . . . . 7 ((𝜑𝑘 ∈ ℕ) → (𝑛 ∈ ℕ ↦ (𝐵 / (𝐴 · 𝑛))) = (𝑛 ∈ ℕ ↦ (𝐵 / (𝐴 · 𝑛))))
67 simpr 475 . . . . . . . . 9 (((𝜑𝑘 ∈ ℕ) ∧ 𝑛 = 𝑘) → 𝑛 = 𝑘)
6867oveq2d 6441 . . . . . . . 8 (((𝜑𝑘 ∈ ℕ) ∧ 𝑛 = 𝑘) → (𝐴 · 𝑛) = (𝐴 · 𝑘))
6968oveq2d 6441 . . . . . . 7 (((𝜑𝑘 ∈ ℕ) ∧ 𝑛 = 𝑘) → (𝐵 / (𝐴 · 𝑛)) = (𝐵 / (𝐴 · 𝑘)))
7054, 53, 58divcld 10549 . . . . . . 7 ((𝜑𝑘 ∈ ℕ) → (𝐵 / (𝐴 · 𝑘)) ∈ ℂ)
7166, 69, 50, 70fvmptd 6080 . . . . . 6 ((𝜑𝑘 ∈ ℕ) → ((𝑛 ∈ ℕ ↦ (𝐵 / (𝐴 · 𝑛)))‘𝑘) = (𝐵 / (𝐴 · 𝑘)))
7271eqcomd 2520 . . . . 5 ((𝜑𝑘 ∈ ℕ) → (𝐵 / (𝐴 · 𝑘)) = ((𝑛 ∈ ℕ ↦ (𝐵 / (𝐴 · 𝑛)))‘𝑘))
7365, 72oveq12d 6443 . . . 4 ((𝜑𝑘 ∈ ℕ) → (1 + (𝐵 / (𝐴 · 𝑘))) = (((𝑛 ∈ ℕ ↦ 1)‘𝑘) + ((𝑛 ∈ ℕ ↦ (𝐵 / (𝐴 · 𝑛)))‘𝑘)))
7460, 64, 733eqtrd 2552 . . 3 ((𝜑𝑘 ∈ ℕ) → (𝐹𝑘) = (((𝑛 ∈ ℕ ↦ 1)‘𝑘) + ((𝑛 ∈ ℕ ↦ (𝐵 / (𝐴 · 𝑛)))‘𝑘)))
751, 2, 13, 17, 33, 38, 44, 74climadd 14074 . 2 (𝜑𝐹 ⇝ (1 + 0))
76 1p0e1 10887 . 2 (1 + 0) = 1
7775, 76syl6breq 4522 1 (𝜑𝐹 ⇝ 1)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wa 382   = wceq 1474  wcel 1938  wne 2684  Vcvv 3077   class class class wbr 4481  cmpt 4541  wf 5685  cfv 5689  (class class class)co 6425  cc 9688  0cc0 9690  1c1 9691   + caddc 9693   · cmul 9695   / cdiv 10432  cn 10774  cli 13927
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1700  ax-4 1713  ax-5 1793  ax-6 1838  ax-7 1885  ax-8 1940  ax-9 1947  ax-10 1966  ax-11 1971  ax-12 1983  ax-13 2137  ax-ext 2494  ax-rep 4597  ax-sep 4607  ax-nul 4616  ax-pow 4668  ax-pr 4732  ax-un 6722  ax-cnex 9746  ax-resscn 9747  ax-1cn 9748  ax-icn 9749  ax-addcl 9750  ax-addrcl 9751  ax-mulcl 9752  ax-mulrcl 9753  ax-mulcom 9754  ax-addass 9755  ax-mulass 9756  ax-distr 9757  ax-i2m1 9758  ax-1ne0 9759  ax-1rid 9760  ax-rnegex 9761  ax-rrecex 9762  ax-cnre 9763  ax-pre-lttri 9764  ax-pre-lttrn 9765  ax-pre-ltadd 9766  ax-pre-mulgt0 9767  ax-pre-sup 9768
This theorem depends on definitions:  df-bi 195  df-or 383  df-an 384  df-3or 1031  df-3an 1032  df-tru 1477  df-ex 1695  df-nf 1699  df-sb 1831  df-eu 2366  df-mo 2367  df-clab 2501  df-cleq 2507  df-clel 2510  df-nfc 2644  df-ne 2686  df-nel 2687  df-ral 2805  df-rex 2806  df-reu 2807  df-rmo 2808  df-rab 2809  df-v 3079  df-sbc 3307  df-csb 3404  df-dif 3447  df-un 3449  df-in 3451  df-ss 3458  df-pss 3460  df-nul 3778  df-if 3940  df-pw 4013  df-sn 4029  df-pr 4031  df-tp 4033  df-op 4035  df-uni 4271  df-iun 4355  df-br 4482  df-opab 4542  df-mpt 4543  df-tr 4579  df-eprel 4843  df-id 4847  df-po 4853  df-so 4854  df-fr 4891  df-we 4893  df-xp 4938  df-rel 4939  df-cnv 4940  df-co 4941  df-dm 4942  df-rn 4943  df-res 4944  df-ima 4945  df-pred 5487  df-ord 5533  df-on 5534  df-lim 5535  df-suc 5536  df-iota 5653  df-fun 5691  df-fn 5692  df-f 5693  df-f1 5694  df-fo 5695  df-f1o 5696  df-fv 5697  df-riota 6387  df-ov 6428  df-oprab 6429  df-mpt2 6430  df-om 6833  df-2nd 6934  df-wrecs 7168  df-recs 7230  df-rdg 7268  df-er 7504  df-pm 7622  df-en 7717  df-dom 7718  df-sdom 7719  df-sup 8106  df-inf 8107  df-pnf 9830  df-mnf 9831  df-xr 9832  df-ltxr 9833  df-le 9834  df-sub 10018  df-neg 10019  df-div 10433  df-nn 10775  df-2 10833  df-3 10834  df-n0 11047  df-z 11118  df-uz 11427  df-rp 11574  df-fl 12322  df-seq 12531  df-exp 12590  df-cj 13544  df-re 13545  df-im 13546  df-sqrt 13680  df-abs 13681  df-clim 13931  df-rlim 13932
This theorem is referenced by:  wallispilem5  38867
  Copyright terms: Public domain W3C validator