Users' Mathboxes Mathbox for Glauco Siliprandi < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  clim2cf Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem clim2cf 41807
Description: Express the predicate 𝐹 converges to 𝐴. Similar to clim2 14849, but without the disjoint var constraint 𝐹𝑘. (Contributed by Glauco Siliprandi, 11-Dec-2019.)
Hypotheses
Ref Expression
clim2cf.nf 𝑘𝐹
clim2cf.z 𝑍 = (ℤ𝑀)
clim2cf.m (𝜑𝑀 ∈ ℤ)
clim2cf.f (𝜑𝐹𝑉)
clim2cf.fv ((𝜑𝑘𝑍) → (𝐹𝑘) = 𝐵)
clim2cf.a (𝜑𝐴 ∈ ℂ)
clim2cf.b ((𝜑𝑘𝑍) → 𝐵 ∈ ℂ)
Assertion
Ref Expression
clim2cf (𝜑 → (𝐹𝐴 ↔ ∀𝑥 ∈ ℝ+𝑗𝑍𝑘 ∈ (ℤ𝑗)(abs‘(𝐵𝐴)) < 𝑥))
Distinct variable groups:   𝐴,𝑗,𝑘,𝑥   𝑗,𝐹,𝑥   𝑗,𝑀   𝑗,𝑍,𝑘   𝜑,𝑗,𝑘,𝑥
Allowed substitution hints:   𝐵(𝑥,𝑗,𝑘)   𝐹(𝑘)   𝑀(𝑥,𝑘)   𝑉(𝑥,𝑗,𝑘)   𝑍(𝑥)

Proof of Theorem clim2cf
StepHypRef Expression
1 clim2cf.a . . 3 (𝜑𝐴 ∈ ℂ)
21biantrurd 533 . 2 (𝜑 → (∀𝑥 ∈ ℝ+𝑗𝑍𝑘 ∈ (ℤ𝑗)(𝐵 ∈ ℂ ∧ (abs‘(𝐵𝐴)) < 𝑥) ↔ (𝐴 ∈ ℂ ∧ ∀𝑥 ∈ ℝ+𝑗𝑍𝑘 ∈ (ℤ𝑗)(𝐵 ∈ ℂ ∧ (abs‘(𝐵𝐴)) < 𝑥))))
3 clim2cf.z . . . . . . . 8 𝑍 = (ℤ𝑀)
43uztrn2 12250 . . . . . . 7 ((𝑗𝑍𝑘 ∈ (ℤ𝑗)) → 𝑘𝑍)
5 clim2cf.b . . . . . . . 8 ((𝜑𝑘𝑍) → 𝐵 ∈ ℂ)
65biantrurd 533 . . . . . . 7 ((𝜑𝑘𝑍) → ((abs‘(𝐵𝐴)) < 𝑥 ↔ (𝐵 ∈ ℂ ∧ (abs‘(𝐵𝐴)) < 𝑥)))
74, 6sylan2 592 . . . . . 6 ((𝜑 ∧ (𝑗𝑍𝑘 ∈ (ℤ𝑗))) → ((abs‘(𝐵𝐴)) < 𝑥 ↔ (𝐵 ∈ ℂ ∧ (abs‘(𝐵𝐴)) < 𝑥)))
87anassrs 468 . . . . 5 (((𝜑𝑗𝑍) ∧ 𝑘 ∈ (ℤ𝑗)) → ((abs‘(𝐵𝐴)) < 𝑥 ↔ (𝐵 ∈ ℂ ∧ (abs‘(𝐵𝐴)) < 𝑥)))
98ralbidva 3193 . . . 4 ((𝜑𝑗𝑍) → (∀𝑘 ∈ (ℤ𝑗)(abs‘(𝐵𝐴)) < 𝑥 ↔ ∀𝑘 ∈ (ℤ𝑗)(𝐵 ∈ ℂ ∧ (abs‘(𝐵𝐴)) < 𝑥)))
109rexbidva 3293 . . 3 (𝜑 → (∃𝑗𝑍𝑘 ∈ (ℤ𝑗)(abs‘(𝐵𝐴)) < 𝑥 ↔ ∃𝑗𝑍𝑘 ∈ (ℤ𝑗)(𝐵 ∈ ℂ ∧ (abs‘(𝐵𝐴)) < 𝑥)))
1110ralbidv 3194 . 2 (𝜑 → (∀𝑥 ∈ ℝ+𝑗𝑍𝑘 ∈ (ℤ𝑗)(abs‘(𝐵𝐴)) < 𝑥 ↔ ∀𝑥 ∈ ℝ+𝑗𝑍𝑘 ∈ (ℤ𝑗)(𝐵 ∈ ℂ ∧ (abs‘(𝐵𝐴)) < 𝑥)))
12 clim2cf.nf . . 3 𝑘𝐹
13 clim2cf.m . . 3 (𝜑𝑀 ∈ ℤ)
14 clim2cf.f . . 3 (𝜑𝐹𝑉)
15 clim2cf.fv . . 3 ((𝜑𝑘𝑍) → (𝐹𝑘) = 𝐵)
1612, 3, 13, 14, 15clim2f 41793 . 2 (𝜑 → (𝐹𝐴 ↔ (𝐴 ∈ ℂ ∧ ∀𝑥 ∈ ℝ+𝑗𝑍𝑘 ∈ (ℤ𝑗)(𝐵 ∈ ℂ ∧ (abs‘(𝐵𝐴)) < 𝑥))))
172, 11, 163bitr4rd 313 1 (𝜑 → (𝐹𝐴 ↔ ∀𝑥 ∈ ℝ+𝑗𝑍𝑘 ∈ (ℤ𝑗)(abs‘(𝐵𝐴)) < 𝑥))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wb 207  wa 396   = wceq 1528  wcel 2105  wnfc 2958  wral 3135  wrex 3136   class class class wbr 5057  cfv 6348  (class class class)co 7145  cc 10523   < clt 10663  cmin 10858  cz 11969  cuz 12231  +crp 12377  abscabs 14581  cli 14829
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1787  ax-4 1801  ax-5 1902  ax-6 1961  ax-7 2006  ax-8 2107  ax-9 2115  ax-10 2136  ax-11 2151  ax-12 2167  ax-ext 2790  ax-sep 5194  ax-nul 5201  ax-pow 5257  ax-pr 5320  ax-un 7450  ax-cnex 10581  ax-resscn 10582  ax-pre-lttri 10599  ax-pre-lttrn 10600
This theorem depends on definitions:  df-bi 208  df-an 397  df-or 842  df-3or 1080  df-3an 1081  df-tru 1531  df-ex 1772  df-nf 1776  df-sb 2061  df-mo 2615  df-eu 2647  df-clab 2797  df-cleq 2811  df-clel 2890  df-nfc 2960  df-ne 3014  df-nel 3121  df-ral 3140  df-rex 3141  df-rab 3144  df-v 3494  df-sbc 3770  df-csb 3881  df-dif 3936  df-un 3938  df-in 3940  df-ss 3949  df-nul 4289  df-if 4464  df-pw 4537  df-sn 4558  df-pr 4560  df-op 4564  df-uni 4831  df-br 5058  df-opab 5120  df-mpt 5138  df-id 5453  df-po 5467  df-so 5468  df-xp 5554  df-rel 5555  df-cnv 5556  df-co 5557  df-dm 5558  df-rn 5559  df-res 5560  df-ima 5561  df-iota 6307  df-fun 6350  df-fn 6351  df-f 6352  df-f1 6353  df-fo 6354  df-f1o 6355  df-fv 6356  df-ov 7148  df-er 8278  df-en 8498  df-dom 8499  df-sdom 8500  df-pnf 10665  df-mnf 10666  df-xr 10667  df-ltxr 10668  df-le 10669  df-neg 10861  df-z 11970  df-uz 12232  df-clim 14833
This theorem is referenced by:  clim0cf  41811
  Copyright terms: Public domain W3C validator