MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  climaddc1 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem climaddc1 14315
Description: Limit of a constant 𝐶 added to each term of a sequence. (Contributed by NM, 24-Sep-2005.) (Revised by Mario Carneiro, 3-Feb-2014.)
Hypotheses
Ref Expression
climadd.1 𝑍 = (ℤ𝑀)
climadd.2 (𝜑𝑀 ∈ ℤ)
climadd.4 (𝜑𝐹𝐴)
climaddc1.5 (𝜑𝐶 ∈ ℂ)
climaddc1.6 (𝜑𝐺𝑊)
climaddc1.7 ((𝜑𝑘𝑍) → (𝐹𝑘) ∈ ℂ)
climaddc1.h ((𝜑𝑘𝑍) → (𝐺𝑘) = ((𝐹𝑘) + 𝐶))
Assertion
Ref Expression
climaddc1 (𝜑𝐺 ⇝ (𝐴 + 𝐶))
Distinct variable groups:   𝐶,𝑘   𝑘,𝐹   𝜑,𝑘   𝐴,𝑘   𝑘,𝐺   𝑘,𝑀   𝑘,𝑍
Allowed substitution hint:   𝑊(𝑘)

Proof of Theorem climaddc1
StepHypRef Expression
1 climadd.1 . 2 𝑍 = (ℤ𝑀)
2 climadd.2 . 2 (𝜑𝑀 ∈ ℤ)
3 climadd.4 . 2 (𝜑𝐹𝐴)
4 climaddc1.6 . 2 (𝜑𝐺𝑊)
5 climaddc1.5 . . 3 (𝜑𝐶 ∈ ℂ)
6 0z 11348 . . 3 0 ∈ ℤ
7 uzssz 11667 . . . 4 (ℤ‘0) ⊆ ℤ
8 zex 11346 . . . 4 ℤ ∈ V
97, 8climconst2 14229 . . 3 ((𝐶 ∈ ℂ ∧ 0 ∈ ℤ) → (ℤ × {𝐶}) ⇝ 𝐶)
105, 6, 9sylancl 693 . 2 (𝜑 → (ℤ × {𝐶}) ⇝ 𝐶)
11 climaddc1.7 . 2 ((𝜑𝑘𝑍) → (𝐹𝑘) ∈ ℂ)
12 eluzelz 11657 . . . . 5 (𝑘 ∈ (ℤ𝑀) → 𝑘 ∈ ℤ)
1312, 1eleq2s 2716 . . . 4 (𝑘𝑍𝑘 ∈ ℤ)
14 fvconst2g 6432 . . . 4 ((𝐶 ∈ ℂ ∧ 𝑘 ∈ ℤ) → ((ℤ × {𝐶})‘𝑘) = 𝐶)
155, 13, 14syl2an 494 . . 3 ((𝜑𝑘𝑍) → ((ℤ × {𝐶})‘𝑘) = 𝐶)
165adantr 481 . . 3 ((𝜑𝑘𝑍) → 𝐶 ∈ ℂ)
1715, 16eqeltrd 2698 . 2 ((𝜑𝑘𝑍) → ((ℤ × {𝐶})‘𝑘) ∈ ℂ)
18 climaddc1.h . . 3 ((𝜑𝑘𝑍) → (𝐺𝑘) = ((𝐹𝑘) + 𝐶))
1915oveq2d 6631 . . 3 ((𝜑𝑘𝑍) → ((𝐹𝑘) + ((ℤ × {𝐶})‘𝑘)) = ((𝐹𝑘) + 𝐶))
2018, 19eqtr4d 2658 . 2 ((𝜑𝑘𝑍) → (𝐺𝑘) = ((𝐹𝑘) + ((ℤ × {𝐶})‘𝑘)))
211, 2, 3, 4, 10, 11, 17, 20climadd 14312 1 (𝜑𝐺 ⇝ (𝐴 + 𝐶))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wa 384   = wceq 1480  wcel 1987  {csn 4155   class class class wbr 4623   × cxp 5082  cfv 5857  (class class class)co 6615  cc 9894  0cc0 9896   + caddc 9899  cz 11337  cuz 11647  cli 14165
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1719  ax-4 1734  ax-5 1836  ax-6 1885  ax-7 1932  ax-8 1989  ax-9 1996  ax-10 2016  ax-11 2031  ax-12 2044  ax-13 2245  ax-ext 2601  ax-sep 4751  ax-nul 4759  ax-pow 4813  ax-pr 4877  ax-un 6914  ax-cnex 9952  ax-resscn 9953  ax-1cn 9954  ax-icn 9955  ax-addcl 9956  ax-addrcl 9957  ax-mulcl 9958  ax-mulrcl 9959  ax-mulcom 9960  ax-addass 9961  ax-mulass 9962  ax-distr 9963  ax-i2m1 9964  ax-1ne0 9965  ax-1rid 9966  ax-rnegex 9967  ax-rrecex 9968  ax-cnre 9969  ax-pre-lttri 9970  ax-pre-lttrn 9971  ax-pre-ltadd 9972  ax-pre-mulgt0 9973  ax-pre-sup 9974
This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 385  df-an 386  df-3or 1037  df-3an 1038  df-tru 1483  df-ex 1702  df-nf 1707  df-sb 1878  df-eu 2473  df-mo 2474  df-clab 2608  df-cleq 2614  df-clel 2617  df-nfc 2750  df-ne 2791  df-nel 2894  df-ral 2913  df-rex 2914  df-reu 2915  df-rmo 2916  df-rab 2917  df-v 3192  df-sbc 3423  df-csb 3520  df-dif 3563  df-un 3565  df-in 3567  df-ss 3574  df-pss 3576  df-nul 3898  df-if 4065  df-pw 4138  df-sn 4156  df-pr 4158  df-tp 4160  df-op 4162  df-uni 4410  df-iun 4494  df-br 4624  df-opab 4684  df-mpt 4685  df-tr 4723  df-eprel 4995  df-id 4999  df-po 5005  df-so 5006  df-fr 5043  df-we 5045  df-xp 5090  df-rel 5091  df-cnv 5092  df-co 5093  df-dm 5094  df-rn 5095  df-res 5096  df-ima 5097  df-pred 5649  df-ord 5695  df-on 5696  df-lim 5697  df-suc 5698  df-iota 5820  df-fun 5859  df-fn 5860  df-f 5861  df-f1 5862  df-fo 5863  df-f1o 5864  df-fv 5865  df-riota 6576  df-ov 6618  df-oprab 6619  df-mpt2 6620  df-om 7028  df-2nd 7129  df-wrecs 7367  df-recs 7428  df-rdg 7466  df-er 7702  df-en 7916  df-dom 7917  df-sdom 7918  df-sup 8308  df-pnf 10036  df-mnf 10037  df-xr 10038  df-ltxr 10039  df-le 10040  df-sub 10228  df-neg 10229  df-div 10645  df-nn 10981  df-2 11039  df-3 11040  df-n0 11253  df-z 11338  df-uz 11648  df-rp 11793  df-seq 12758  df-exp 12817  df-cj 13789  df-re 13790  df-im 13791  df-sqrt 13925  df-abs 13926  df-clim 14169
This theorem is referenced by:  climaddc2  14316  clim2ser2  14336  lgamcvg2  24715
  Copyright terms: Public domain W3C validator