MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  climcl Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem climcl 14164
Description: Closure of the limit of a sequence of complex numbers. (Contributed by NM, 28-Aug-2005.) (Revised by Mario Carneiro, 28-Apr-2015.)
Assertion
Ref Expression
climcl (𝐹𝐴𝐴 ∈ ℂ)

Proof of Theorem climcl
Dummy variables 𝑥 𝑗 𝑘 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 climrel 14157 . . . . 5 Rel ⇝
21brrelexi 5118 . . . 4 (𝐹𝐴𝐹 ∈ V)
3 eqidd 2622 . . . 4 ((𝐹𝐴𝑘 ∈ ℤ) → (𝐹𝑘) = (𝐹𝑘))
42, 3clim 14159 . . 3 (𝐹𝐴 → (𝐹𝐴 ↔ (𝐴 ∈ ℂ ∧ ∀𝑥 ∈ ℝ+𝑗 ∈ ℤ ∀𝑘 ∈ (ℤ𝑗)((𝐹𝑘) ∈ ℂ ∧ (abs‘((𝐹𝑘) − 𝐴)) < 𝑥))))
54ibi 256 . 2 (𝐹𝐴 → (𝐴 ∈ ℂ ∧ ∀𝑥 ∈ ℝ+𝑗 ∈ ℤ ∀𝑘 ∈ (ℤ𝑗)((𝐹𝑘) ∈ ℂ ∧ (abs‘((𝐹𝑘) − 𝐴)) < 𝑥)))
65simpld 475 1 (𝐹𝐴𝐴 ∈ ℂ)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wa 384  wcel 1987  wral 2907  wrex 2908  Vcvv 3186   class class class wbr 4613  cfv 5847  (class class class)co 6604  cc 9878   < clt 10018  cmin 10210  cz 11321  cuz 11631  +crp 11776  abscabs 13908  cli 14149
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1719  ax-4 1734  ax-5 1836  ax-6 1885  ax-7 1932  ax-8 1989  ax-9 1996  ax-10 2016  ax-11 2031  ax-12 2044  ax-13 2245  ax-ext 2601  ax-sep 4741  ax-nul 4749  ax-pow 4803  ax-pr 4867  ax-cnex 9936  ax-resscn 9937
This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 385  df-an 386  df-3or 1037  df-3an 1038  df-tru 1483  df-ex 1702  df-nf 1707  df-sb 1878  df-eu 2473  df-mo 2474  df-clab 2608  df-cleq 2614  df-clel 2617  df-nfc 2750  df-ne 2791  df-ral 2912  df-rex 2913  df-rab 2916  df-v 3188  df-sbc 3418  df-dif 3558  df-un 3560  df-in 3562  df-ss 3569  df-nul 3892  df-if 4059  df-pw 4132  df-sn 4149  df-pr 4151  df-op 4155  df-uni 4403  df-br 4614  df-opab 4674  df-mpt 4675  df-id 4989  df-xp 5080  df-rel 5081  df-cnv 5082  df-co 5083  df-dm 5084  df-rn 5085  df-res 5086  df-ima 5087  df-iota 5810  df-fun 5849  df-fn 5850  df-f 5851  df-fv 5855  df-ov 6607  df-neg 10213  df-z 11322  df-uz 11632  df-clim 14153
This theorem is referenced by:  rlimclim  14211  climrlim2  14212  climuni  14217  fclim  14218  climeu  14220  climreu  14221  2clim  14237  climcn1lem  14267  climadd  14296  climmul  14297  climsub  14298  climaddc2  14300  climcau  14335  clim2div  14546  ntrivcvgtail  14557  ntrivcvgmullem  14558  mbflim  23341  ulmcau  24053  emcllem6  24627  dchrmusum2  25083  dchrvmasumiflem1  25090  dchrvmasumiflem2  25091  dchrisum0lem1b  25104  dchrmusumlem  25111  iprodefisum  31332  climrec  39236  climexp  39238  climsuse  39241  climneg  39243  climdivf  39245  climleltrp  39309  sge0isum  39948
  Copyright terms: Public domain W3C validator