Theorem climcl 14350

Description: Closure of the limit of a sequence of complex numbers. (Contributed by NM, 28-Aug-2005.) (Revised by Mario Carneiro, 28-Apr-2015.)

Assertion

Ref	Expression
climcl	⊢ (𝐹 ⇝ 𝐴 → 𝐴 ∈ ℂ)

Proof of Theorem climcl

Dummy variables 𝑥 𝑗 𝑘 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		climrel 14343	. . . . 5 ⊢ Rel ⇝
2	1	brrelexi 5267	. . . 4 ⊢ (𝐹 ⇝ 𝐴 → 𝐹 ∈ V)
3		eqidd 2725	. . . 4 ⊢ ((𝐹 ⇝ 𝐴 ∧ 𝑘 ∈ ℤ) → (𝐹‘𝑘) = (𝐹‘𝑘))
4	2, 3	clim 14345	. . 3 ⊢ (𝐹 ⇝ 𝐴 → (𝐹 ⇝ 𝐴 ↔ (𝐴 ∈ ℂ ∧ ∀𝑥 ∈ ℝ+ ∃𝑗 ∈ ℤ ∀𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑗)((𝐹‘𝑘) ∈ ℂ ∧ (abs‘((𝐹‘𝑘) − 𝐴)) < 𝑥))))
5	4	ibi 256	. 2 ⊢ (𝐹 ⇝ 𝐴 → (𝐴 ∈ ℂ ∧ ∀𝑥 ∈ ℝ+ ∃𝑗 ∈ ℤ ∀𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑗)((𝐹‘𝑘) ∈ ℂ ∧ (abs‘((𝐹‘𝑘) − 𝐴)) < 𝑥)))
6	5	simpld 477	1 ⊢ (𝐹 ⇝ 𝐴 → 𝐴 ∈ ℂ)

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 383   ∈ wcel 2103  ∀wral 3014  ∃wrex 3015  Vcvv 3304   class class class wbr 4760  ‘cfv 6001  (class class class)co 6765  ℂcc 10047   < clt 10187   − cmin 10379  ℤcz 11490  ℤ_≥cuz 11800  ℝ⁺crp 11946  abscabs 14094   ⇝ cli 14335

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1835  ax-4 1850  ax-5 1952  ax-6 2018  ax-7 2054  ax-8 2105  ax-9 2112  ax-10 2132  ax-11 2147  ax-12 2160  ax-13 2355  ax-ext 2704  ax-sep 4889  ax-nul 4897  ax-pow 4948  ax-pr 5011  ax-cnex 10105  ax-resscn 10106

This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 384  df-an 385  df-3or 1073  df-3an 1074  df-tru 1599  df-ex 1818  df-nf 1823  df-sb 2011  df-eu 2575  df-mo 2576  df-clab 2711  df-cleq 2717  df-clel 2720  df-nfc 2855  df-ne 2897  df-ral 3019  df-rex 3020  df-rab 3023  df-v 3306  df-sbc 3542  df-dif 3683  df-un 3685  df-in 3687  df-ss 3694  df-nul 4024  df-if 4195  df-pw 4268  df-sn 4286  df-pr 4288  df-op 4292  df-uni 4545  df-br 4761  df-opab 4821  df-mpt 4838  df-id 5128  df-xp 5224  df-rel 5225  df-cnv 5226  df-co 5227  df-dm 5228  df-rn 5229  df-res 5230  df-ima 5231  df-iota 5964  df-fun 6003  df-fn 6004  df-f 6005  df-fv 6009  df-ov 6768  df-neg 10382  df-z 11491  df-uz 11801  df-clim 14339

This theorem is referenced by:  rlimclim  14397  climrlim2  14398  climuni  14403  fclim  14404  climeu  14406  climreu  14407  2clim  14423  climcn1lem  14453  climadd  14482  climmul  14483  climsub  14484  climaddc2  14486  climcau  14521  clim2div  14741  ntrivcvgtail  14752  ntrivcvgmullem  14753  mbflim  23555  ulmcau  24269  emcllem6  24847  dchrmusum2  25303  dchrvmasumiflem1  25310  dchrvmasumiflem2  25311  dchrisum0lem1b  25324  dchrmusumlem  25331  iprodefisum  31855  climrec  40255  climexp  40257  climsuse  40260  climneg  40262  climdivf  40264  climleltrp  40328  climuzlem  40395  climxlim2lem  40491  climxlim2  40492  sge0isum  41064