MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  climcnds Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem climcnds 14371
Description: The Cauchy condensation test. If 𝑎(𝑘) is a decreasing sequence of nonnegative terms, then Σ𝑘 ∈ ℕ𝑎(𝑘) converges iff Σ𝑛 ∈ ℕ02↑𝑛 · 𝑎(2↑𝑛) converges. (Contributed by Mario Carneiro, 18-Jul-2014.)
Hypotheses
Ref Expression
climcnds.1 ((𝜑𝑘 ∈ ℕ) → (𝐹𝑘) ∈ ℝ)
climcnds.2 ((𝜑𝑘 ∈ ℕ) → 0 ≤ (𝐹𝑘))
climcnds.3 ((𝜑𝑘 ∈ ℕ) → (𝐹‘(𝑘 + 1)) ≤ (𝐹𝑘))
climcnds.4 ((𝜑𝑛 ∈ ℕ0) → (𝐺𝑛) = ((2↑𝑛) · (𝐹‘(2↑𝑛))))
Assertion
Ref Expression
climcnds (𝜑 → (seq1( + , 𝐹) ∈ dom ⇝ ↔ seq0( + , 𝐺) ∈ dom ⇝ ))
Distinct variable groups:   𝑘,𝑛,𝐹   𝑘,𝐺,𝑛   𝜑,𝑘,𝑛

Proof of Theorem climcnds
Dummy variables 𝑗 𝑥 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 nnuz 11558 . . . . 5 ℕ = (ℤ‘1)
2 1zzd 11244 . . . . 5 ((𝜑 ∧ seq1( + , 𝐹) ∈ dom ⇝ ) → 1 ∈ ℤ)
3 1zzd 11244 . . . . . . 7 (𝜑 → 1 ∈ ℤ)
4 nnnn0 11149 . . . . . . . 8 (𝑛 ∈ ℕ → 𝑛 ∈ ℕ0)
5 climcnds.4 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑛 ∈ ℕ0) → (𝐺𝑛) = ((2↑𝑛) · (𝐹‘(2↑𝑛))))
6 2nn 11035 . . . . . . . . . . . 12 2 ∈ ℕ
7 simpr 476 . . . . . . . . . . . 12 ((𝜑𝑛 ∈ ℕ0) → 𝑛 ∈ ℕ0)
8 nnexpcl 12693 . . . . . . . . . . . 12 ((2 ∈ ℕ ∧ 𝑛 ∈ ℕ0) → (2↑𝑛) ∈ ℕ)
96, 7, 8sylancr 694 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑𝑛 ∈ ℕ0) → (2↑𝑛) ∈ ℕ)
109nnred 10885 . . . . . . . . . 10 ((𝜑𝑛 ∈ ℕ0) → (2↑𝑛) ∈ ℝ)
11 climcnds.1 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝜑𝑘 ∈ ℕ) → (𝐹𝑘) ∈ ℝ)
1211ralrimiva 2949 . . . . . . . . . . . 12 (𝜑 → ∀𝑘 ∈ ℕ (𝐹𝑘) ∈ ℝ)
1312adantr 480 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑𝑛 ∈ ℕ0) → ∀𝑘 ∈ ℕ (𝐹𝑘) ∈ ℝ)
14 fveq2 6088 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑘 = (2↑𝑛) → (𝐹𝑘) = (𝐹‘(2↑𝑛)))
1514eleq1d 2672 . . . . . . . . . . . 12 (𝑘 = (2↑𝑛) → ((𝐹𝑘) ∈ ℝ ↔ (𝐹‘(2↑𝑛)) ∈ ℝ))
1615rspcv 3278 . . . . . . . . . . 11 ((2↑𝑛) ∈ ℕ → (∀𝑘 ∈ ℕ (𝐹𝑘) ∈ ℝ → (𝐹‘(2↑𝑛)) ∈ ℝ))
179, 13, 16sylc 63 . . . . . . . . . 10 ((𝜑𝑛 ∈ ℕ0) → (𝐹‘(2↑𝑛)) ∈ ℝ)
1810, 17remulcld 9927 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑛 ∈ ℕ0) → ((2↑𝑛) · (𝐹‘(2↑𝑛))) ∈ ℝ)
195, 18eqeltrd 2688 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑛 ∈ ℕ0) → (𝐺𝑛) ∈ ℝ)
204, 19sylan2 490 . . . . . . 7 ((𝜑𝑛 ∈ ℕ) → (𝐺𝑛) ∈ ℝ)
211, 3, 20serfre 12650 . . . . . 6 (𝜑 → seq1( + , 𝐺):ℕ⟶ℝ)
2221adantr 480 . . . . 5 ((𝜑 ∧ seq1( + , 𝐹) ∈ dom ⇝ ) → seq1( + , 𝐺):ℕ⟶ℝ)
23 simpr 476 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑗 ∈ ℕ) → 𝑗 ∈ ℕ)
2423, 1syl6eleq 2698 . . . . . . 7 ((𝜑𝑗 ∈ ℕ) → 𝑗 ∈ (ℤ‘1))
25 nnz 11235 . . . . . . . . 9 (𝑗 ∈ ℕ → 𝑗 ∈ ℤ)
2625adantl 481 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑗 ∈ ℕ) → 𝑗 ∈ ℤ)
27 uzid 11537 . . . . . . . 8 (𝑗 ∈ ℤ → 𝑗 ∈ (ℤ𝑗))
28 peano2uz 11576 . . . . . . . 8 (𝑗 ∈ (ℤ𝑗) → (𝑗 + 1) ∈ (ℤ𝑗))
2926, 27, 283syl 18 . . . . . . 7 ((𝜑𝑗 ∈ ℕ) → (𝑗 + 1) ∈ (ℤ𝑗))
30 simpl 472 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑗 ∈ ℕ) → 𝜑)
31 elfznn 12199 . . . . . . . 8 (𝑛 ∈ (1...(𝑗 + 1)) → 𝑛 ∈ ℕ)
3230, 31, 20syl2an 493 . . . . . . 7 (((𝜑𝑗 ∈ ℕ) ∧ 𝑛 ∈ (1...(𝑗 + 1))) → (𝐺𝑛) ∈ ℝ)
33 simpll 786 . . . . . . . 8 (((𝜑𝑗 ∈ ℕ) ∧ 𝑛 ∈ ((𝑗 + 1)...(𝑗 + 1))) → 𝜑)
34 elfz1eq 12181 . . . . . . . . . 10 (𝑛 ∈ ((𝑗 + 1)...(𝑗 + 1)) → 𝑛 = (𝑗 + 1))
3534adantl 481 . . . . . . . . 9 (((𝜑𝑗 ∈ ℕ) ∧ 𝑛 ∈ ((𝑗 + 1)...(𝑗 + 1))) → 𝑛 = (𝑗 + 1))
36 nnnn0 11149 . . . . . . . . . . 11 (𝑗 ∈ ℕ → 𝑗 ∈ ℕ0)
37 peano2nn0 11183 . . . . . . . . . . 11 (𝑗 ∈ ℕ0 → (𝑗 + 1) ∈ ℕ0)
3836, 37syl 17 . . . . . . . . . 10 (𝑗 ∈ ℕ → (𝑗 + 1) ∈ ℕ0)
3938ad2antlr 759 . . . . . . . . 9 (((𝜑𝑗 ∈ ℕ) ∧ 𝑛 ∈ ((𝑗 + 1)...(𝑗 + 1))) → (𝑗 + 1) ∈ ℕ0)
4035, 39eqeltrd 2688 . . . . . . . 8 (((𝜑𝑗 ∈ ℕ) ∧ 𝑛 ∈ ((𝑗 + 1)...(𝑗 + 1))) → 𝑛 ∈ ℕ0)
419nnnn0d 11201 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑𝑛 ∈ ℕ0) → (2↑𝑛) ∈ ℕ0)
4241nn0ge0d 11204 . . . . . . . . . 10 ((𝜑𝑛 ∈ ℕ0) → 0 ≤ (2↑𝑛))
43 climcnds.2 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝜑𝑘 ∈ ℕ) → 0 ≤ (𝐹𝑘))
4443ralrimiva 2949 . . . . . . . . . . . 12 (𝜑 → ∀𝑘 ∈ ℕ 0 ≤ (𝐹𝑘))
4544adantr 480 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑𝑛 ∈ ℕ0) → ∀𝑘 ∈ ℕ 0 ≤ (𝐹𝑘))
4614breq2d 4590 . . . . . . . . . . . 12 (𝑘 = (2↑𝑛) → (0 ≤ (𝐹𝑘) ↔ 0 ≤ (𝐹‘(2↑𝑛))))
4746rspcv 3278 . . . . . . . . . . 11 ((2↑𝑛) ∈ ℕ → (∀𝑘 ∈ ℕ 0 ≤ (𝐹𝑘) → 0 ≤ (𝐹‘(2↑𝑛))))
489, 45, 47sylc 63 . . . . . . . . . 10 ((𝜑𝑛 ∈ ℕ0) → 0 ≤ (𝐹‘(2↑𝑛)))
4910, 17, 42, 48mulge0d 10456 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑛 ∈ ℕ0) → 0 ≤ ((2↑𝑛) · (𝐹‘(2↑𝑛))))
5049, 5breqtrrd 4606 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑛 ∈ ℕ0) → 0 ≤ (𝐺𝑛))
5133, 40, 50syl2anc 691 . . . . . . 7 (((𝜑𝑗 ∈ ℕ) ∧ 𝑛 ∈ ((𝑗 + 1)...(𝑗 + 1))) → 0 ≤ (𝐺𝑛))
5224, 29, 32, 51sermono 12653 . . . . . 6 ((𝜑𝑗 ∈ ℕ) → (seq1( + , 𝐺)‘𝑗) ≤ (seq1( + , 𝐺)‘(𝑗 + 1)))
5352adantlr 747 . . . . 5 (((𝜑 ∧ seq1( + , 𝐹) ∈ dom ⇝ ) ∧ 𝑗 ∈ ℕ) → (seq1( + , 𝐺)‘𝑗) ≤ (seq1( + , 𝐺)‘(𝑗 + 1)))
54 2re 10940 . . . . . . 7 2 ∈ ℝ
55 eqidd 2611 . . . . . . . 8 (((𝜑 ∧ seq1( + , 𝐹) ∈ dom ⇝ ) ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → (𝐹𝑘) = (𝐹𝑘))
5611adantlr 747 . . . . . . . 8 (((𝜑 ∧ seq1( + , 𝐹) ∈ dom ⇝ ) ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → (𝐹𝑘) ∈ ℝ)
57 simpr 476 . . . . . . . 8 ((𝜑 ∧ seq1( + , 𝐹) ∈ dom ⇝ ) → seq1( + , 𝐹) ∈ dom ⇝ )
581, 2, 55, 56, 57isumrecl 14287 . . . . . . 7 ((𝜑 ∧ seq1( + , 𝐹) ∈ dom ⇝ ) → Σ𝑘 ∈ ℕ (𝐹𝑘) ∈ ℝ)
59 remulcl 9878 . . . . . . 7 ((2 ∈ ℝ ∧ Σ𝑘 ∈ ℕ (𝐹𝑘) ∈ ℝ) → (2 · Σ𝑘 ∈ ℕ (𝐹𝑘)) ∈ ℝ)
6054, 58, 59sylancr 694 . . . . . 6 ((𝜑 ∧ seq1( + , 𝐹) ∈ dom ⇝ ) → (2 · Σ𝑘 ∈ ℕ (𝐹𝑘)) ∈ ℝ)
6122ffvelrnda 6252 . . . . . . . 8 (((𝜑 ∧ seq1( + , 𝐹) ∈ dom ⇝ ) ∧ 𝑗 ∈ ℕ) → (seq1( + , 𝐺)‘𝑗) ∈ ℝ)
621, 3, 11serfre 12650 . . . . . . . . . . 11 (𝜑 → seq1( + , 𝐹):ℕ⟶ℝ)
6362ad2antrr 758 . . . . . . . . . 10 (((𝜑 ∧ seq1( + , 𝐹) ∈ dom ⇝ ) ∧ 𝑗 ∈ ℕ) → seq1( + , 𝐹):ℕ⟶ℝ)
6436adantl 481 . . . . . . . . . . 11 (((𝜑 ∧ seq1( + , 𝐹) ∈ dom ⇝ ) ∧ 𝑗 ∈ ℕ) → 𝑗 ∈ ℕ0)
65 nnexpcl 12693 . . . . . . . . . . 11 ((2 ∈ ℕ ∧ 𝑗 ∈ ℕ0) → (2↑𝑗) ∈ ℕ)
666, 64, 65sylancr 694 . . . . . . . . . 10 (((𝜑 ∧ seq1( + , 𝐹) ∈ dom ⇝ ) ∧ 𝑗 ∈ ℕ) → (2↑𝑗) ∈ ℕ)
6763, 66ffvelrnd 6253 . . . . . . . . 9 (((𝜑 ∧ seq1( + , 𝐹) ∈ dom ⇝ ) ∧ 𝑗 ∈ ℕ) → (seq1( + , 𝐹)‘(2↑𝑗)) ∈ ℝ)
68 remulcl 9878 . . . . . . . . 9 ((2 ∈ ℝ ∧ (seq1( + , 𝐹)‘(2↑𝑗)) ∈ ℝ) → (2 · (seq1( + , 𝐹)‘(2↑𝑗))) ∈ ℝ)
6954, 67, 68sylancr 694 . . . . . . . 8 (((𝜑 ∧ seq1( + , 𝐹) ∈ dom ⇝ ) ∧ 𝑗 ∈ ℕ) → (2 · (seq1( + , 𝐹)‘(2↑𝑗))) ∈ ℝ)
7060adantr 480 . . . . . . . 8 (((𝜑 ∧ seq1( + , 𝐹) ∈ dom ⇝ ) ∧ 𝑗 ∈ ℕ) → (2 · Σ𝑘 ∈ ℕ (𝐹𝑘)) ∈ ℝ)
71 climcnds.3 . . . . . . . . . 10 ((𝜑𝑘 ∈ ℕ) → (𝐹‘(𝑘 + 1)) ≤ (𝐹𝑘))
7211, 43, 71, 5climcndslem2 14370 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑗 ∈ ℕ) → (seq1( + , 𝐺)‘𝑗) ≤ (2 · (seq1( + , 𝐹)‘(2↑𝑗))))
7372adantlr 747 . . . . . . . 8 (((𝜑 ∧ seq1( + , 𝐹) ∈ dom ⇝ ) ∧ 𝑗 ∈ ℕ) → (seq1( + , 𝐺)‘𝑗) ≤ (2 · (seq1( + , 𝐹)‘(2↑𝑗))))
74 eqidd 2611 . . . . . . . . . . 11 ((((𝜑 ∧ seq1( + , 𝐹) ∈ dom ⇝ ) ∧ 𝑗 ∈ ℕ) ∧ 𝑘 ∈ (1...(2↑𝑗))) → (𝐹𝑘) = (𝐹𝑘))
7566, 1syl6eleq 2698 . . . . . . . . . . 11 (((𝜑 ∧ seq1( + , 𝐹) ∈ dom ⇝ ) ∧ 𝑗 ∈ ℕ) → (2↑𝑗) ∈ (ℤ‘1))
76 simpll 786 . . . . . . . . . . . 12 (((𝜑 ∧ seq1( + , 𝐹) ∈ dom ⇝ ) ∧ 𝑗 ∈ ℕ) → 𝜑)
77 elfznn 12199 . . . . . . . . . . . 12 (𝑘 ∈ (1...(2↑𝑗)) → 𝑘 ∈ ℕ)
7811recnd 9925 . . . . . . . . . . . 12 ((𝜑𝑘 ∈ ℕ) → (𝐹𝑘) ∈ ℂ)
7976, 77, 78syl2an 493 . . . . . . . . . . 11 ((((𝜑 ∧ seq1( + , 𝐹) ∈ dom ⇝ ) ∧ 𝑗 ∈ ℕ) ∧ 𝑘 ∈ (1...(2↑𝑗))) → (𝐹𝑘) ∈ ℂ)
8074, 75, 79fsumser 14257 . . . . . . . . . 10 (((𝜑 ∧ seq1( + , 𝐹) ∈ dom ⇝ ) ∧ 𝑗 ∈ ℕ) → Σ𝑘 ∈ (1...(2↑𝑗))(𝐹𝑘) = (seq1( + , 𝐹)‘(2↑𝑗)))
81 1zzd 11244 . . . . . . . . . . 11 (((𝜑 ∧ seq1( + , 𝐹) ∈ dom ⇝ ) ∧ 𝑗 ∈ ℕ) → 1 ∈ ℤ)
82 fzfid 12592 . . . . . . . . . . 11 (((𝜑 ∧ seq1( + , 𝐹) ∈ dom ⇝ ) ∧ 𝑗 ∈ ℕ) → (1...(2↑𝑗)) ∈ Fin)
8377ssriv 3572 . . . . . . . . . . . 12 (1...(2↑𝑗)) ⊆ ℕ
8483a1i 11 . . . . . . . . . . 11 (((𝜑 ∧ seq1( + , 𝐹) ∈ dom ⇝ ) ∧ 𝑗 ∈ ℕ) → (1...(2↑𝑗)) ⊆ ℕ)
85 eqidd 2611 . . . . . . . . . . 11 ((((𝜑 ∧ seq1( + , 𝐹) ∈ dom ⇝ ) ∧ 𝑗 ∈ ℕ) ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → (𝐹𝑘) = (𝐹𝑘))
8656adantlr 747 . . . . . . . . . . 11 ((((𝜑 ∧ seq1( + , 𝐹) ∈ dom ⇝ ) ∧ 𝑗 ∈ ℕ) ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → (𝐹𝑘) ∈ ℝ)
8776, 43sylan 487 . . . . . . . . . . 11 ((((𝜑 ∧ seq1( + , 𝐹) ∈ dom ⇝ ) ∧ 𝑗 ∈ ℕ) ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → 0 ≤ (𝐹𝑘))
88 simplr 788 . . . . . . . . . . 11 (((𝜑 ∧ seq1( + , 𝐹) ∈ dom ⇝ ) ∧ 𝑗 ∈ ℕ) → seq1( + , 𝐹) ∈ dom ⇝ )
891, 81, 82, 84, 85, 86, 87, 88isumless 14365 . . . . . . . . . 10 (((𝜑 ∧ seq1( + , 𝐹) ∈ dom ⇝ ) ∧ 𝑗 ∈ ℕ) → Σ𝑘 ∈ (1...(2↑𝑗))(𝐹𝑘) ≤ Σ𝑘 ∈ ℕ (𝐹𝑘))
9080, 89eqbrtrrd 4602 . . . . . . . . 9 (((𝜑 ∧ seq1( + , 𝐹) ∈ dom ⇝ ) ∧ 𝑗 ∈ ℕ) → (seq1( + , 𝐹)‘(2↑𝑗)) ≤ Σ𝑘 ∈ ℕ (𝐹𝑘))
9158adantr 480 . . . . . . . . . 10 (((𝜑 ∧ seq1( + , 𝐹) ∈ dom ⇝ ) ∧ 𝑗 ∈ ℕ) → Σ𝑘 ∈ ℕ (𝐹𝑘) ∈ ℝ)
9254a1i 11 . . . . . . . . . 10 (((𝜑 ∧ seq1( + , 𝐹) ∈ dom ⇝ ) ∧ 𝑗 ∈ ℕ) → 2 ∈ ℝ)
93 2pos 10962 . . . . . . . . . . 11 0 < 2
9493a1i 11 . . . . . . . . . 10 (((𝜑 ∧ seq1( + , 𝐹) ∈ dom ⇝ ) ∧ 𝑗 ∈ ℕ) → 0 < 2)
95 lemul2 10728 . . . . . . . . . 10 (((seq1( + , 𝐹)‘(2↑𝑗)) ∈ ℝ ∧ Σ𝑘 ∈ ℕ (𝐹𝑘) ∈ ℝ ∧ (2 ∈ ℝ ∧ 0 < 2)) → ((seq1( + , 𝐹)‘(2↑𝑗)) ≤ Σ𝑘 ∈ ℕ (𝐹𝑘) ↔ (2 · (seq1( + , 𝐹)‘(2↑𝑗))) ≤ (2 · Σ𝑘 ∈ ℕ (𝐹𝑘))))
9667, 91, 92, 94, 95syl112anc 1322 . . . . . . . . 9 (((𝜑 ∧ seq1( + , 𝐹) ∈ dom ⇝ ) ∧ 𝑗 ∈ ℕ) → ((seq1( + , 𝐹)‘(2↑𝑗)) ≤ Σ𝑘 ∈ ℕ (𝐹𝑘) ↔ (2 · (seq1( + , 𝐹)‘(2↑𝑗))) ≤ (2 · Σ𝑘 ∈ ℕ (𝐹𝑘))))
9790, 96mpbid 221 . . . . . . . 8 (((𝜑 ∧ seq1( + , 𝐹) ∈ dom ⇝ ) ∧ 𝑗 ∈ ℕ) → (2 · (seq1( + , 𝐹)‘(2↑𝑗))) ≤ (2 · Σ𝑘 ∈ ℕ (𝐹𝑘)))
9861, 69, 70, 73, 97letrd 10046 . . . . . . 7 (((𝜑 ∧ seq1( + , 𝐹) ∈ dom ⇝ ) ∧ 𝑗 ∈ ℕ) → (seq1( + , 𝐺)‘𝑗) ≤ (2 · Σ𝑘 ∈ ℕ (𝐹𝑘)))
9998ralrimiva 2949 . . . . . 6 ((𝜑 ∧ seq1( + , 𝐹) ∈ dom ⇝ ) → ∀𝑗 ∈ ℕ (seq1( + , 𝐺)‘𝑗) ≤ (2 · Σ𝑘 ∈ ℕ (𝐹𝑘)))
100 breq2 4582 . . . . . . . 8 (𝑥 = (2 · Σ𝑘 ∈ ℕ (𝐹𝑘)) → ((seq1( + , 𝐺)‘𝑗) ≤ 𝑥 ↔ (seq1( + , 𝐺)‘𝑗) ≤ (2 · Σ𝑘 ∈ ℕ (𝐹𝑘))))
101100ralbidv 2969 . . . . . . 7 (𝑥 = (2 · Σ𝑘 ∈ ℕ (𝐹𝑘)) → (∀𝑗 ∈ ℕ (seq1( + , 𝐺)‘𝑗) ≤ 𝑥 ↔ ∀𝑗 ∈ ℕ (seq1( + , 𝐺)‘𝑗) ≤ (2 · Σ𝑘 ∈ ℕ (𝐹𝑘))))
102101rspcev 3282 . . . . . 6 (((2 · Σ𝑘 ∈ ℕ (𝐹𝑘)) ∈ ℝ ∧ ∀𝑗 ∈ ℕ (seq1( + , 𝐺)‘𝑗) ≤ (2 · Σ𝑘 ∈ ℕ (𝐹𝑘))) → ∃𝑥 ∈ ℝ ∀𝑗 ∈ ℕ (seq1( + , 𝐺)‘𝑗) ≤ 𝑥)
10360, 99, 102syl2anc 691 . . . . 5 ((𝜑 ∧ seq1( + , 𝐹) ∈ dom ⇝ ) → ∃𝑥 ∈ ℝ ∀𝑗 ∈ ℕ (seq1( + , 𝐺)‘𝑗) ≤ 𝑥)
1041, 2, 22, 53, 103climsup 14197 . . . 4 ((𝜑 ∧ seq1( + , 𝐹) ∈ dom ⇝ ) → seq1( + , 𝐺) ⇝ sup(ran seq1( + , 𝐺), ℝ, < ))
105 climrel 14020 . . . . 5 Rel ⇝
106105releldmi 5270 . . . 4 (seq1( + , 𝐺) ⇝ sup(ran seq1( + , 𝐺), ℝ, < ) → seq1( + , 𝐺) ∈ dom ⇝ )
107104, 106syl 17 . . 3 ((𝜑 ∧ seq1( + , 𝐹) ∈ dom ⇝ ) → seq1( + , 𝐺) ∈ dom ⇝ )
108 nn0uz 11557 . . . . 5 0 = (ℤ‘0)
109 1nn0 11158 . . . . . 6 1 ∈ ℕ0
110109a1i 11 . . . . 5 (𝜑 → 1 ∈ ℕ0)
11119recnd 9925 . . . . 5 ((𝜑𝑛 ∈ ℕ0) → (𝐺𝑛) ∈ ℂ)
112108, 110, 111iserex 14184 . . . 4 (𝜑 → (seq0( + , 𝐺) ∈ dom ⇝ ↔ seq1( + , 𝐺) ∈ dom ⇝ ))
113112biimpar 501 . . 3 ((𝜑 ∧ seq1( + , 𝐺) ∈ dom ⇝ ) → seq0( + , 𝐺) ∈ dom ⇝ )
114107, 113syldan 486 . 2 ((𝜑 ∧ seq1( + , 𝐹) ∈ dom ⇝ ) → seq0( + , 𝐺) ∈ dom ⇝ )
115 1zzd 11244 . . . 4 ((𝜑 ∧ seq0( + , 𝐺) ∈ dom ⇝ ) → 1 ∈ ℤ)
11662adantr 480 . . . 4 ((𝜑 ∧ seq0( + , 𝐺) ∈ dom ⇝ ) → seq1( + , 𝐹):ℕ⟶ℝ)
117 elfznn 12199 . . . . . . 7 (𝑘 ∈ (1...(𝑗 + 1)) → 𝑘 ∈ ℕ)
11830, 117, 11syl2an 493 . . . . . 6 (((𝜑𝑗 ∈ ℕ) ∧ 𝑘 ∈ (1...(𝑗 + 1))) → (𝐹𝑘) ∈ ℝ)
119 simpll 786 . . . . . . 7 (((𝜑𝑗 ∈ ℕ) ∧ 𝑘 ∈ ((𝑗 + 1)...(𝑗 + 1))) → 𝜑)
120 peano2nn 10882 . . . . . . . . 9 (𝑗 ∈ ℕ → (𝑗 + 1) ∈ ℕ)
121120adantl 481 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑗 ∈ ℕ) → (𝑗 + 1) ∈ ℕ)
122 elfz1eq 12181 . . . . . . . 8 (𝑘 ∈ ((𝑗 + 1)...(𝑗 + 1)) → 𝑘 = (𝑗 + 1))
123 eleq1 2676 . . . . . . . . 9 (𝑘 = (𝑗 + 1) → (𝑘 ∈ ℕ ↔ (𝑗 + 1) ∈ ℕ))
124123biimparc 503 . . . . . . . 8 (((𝑗 + 1) ∈ ℕ ∧ 𝑘 = (𝑗 + 1)) → 𝑘 ∈ ℕ)
125121, 122, 124syl2an 493 . . . . . . 7 (((𝜑𝑗 ∈ ℕ) ∧ 𝑘 ∈ ((𝑗 + 1)...(𝑗 + 1))) → 𝑘 ∈ ℕ)
126119, 125, 43syl2anc 691 . . . . . 6 (((𝜑𝑗 ∈ ℕ) ∧ 𝑘 ∈ ((𝑗 + 1)...(𝑗 + 1))) → 0 ≤ (𝐹𝑘))
12724, 29, 118, 126sermono 12653 . . . . 5 ((𝜑𝑗 ∈ ℕ) → (seq1( + , 𝐹)‘𝑗) ≤ (seq1( + , 𝐹)‘(𝑗 + 1)))
128127adantlr 747 . . . 4 (((𝜑 ∧ seq0( + , 𝐺) ∈ dom ⇝ ) ∧ 𝑗 ∈ ℕ) → (seq1( + , 𝐹)‘𝑗) ≤ (seq1( + , 𝐹)‘(𝑗 + 1)))
129 0zd 11225 . . . . . 6 ((𝜑 ∧ seq0( + , 𝐺) ∈ dom ⇝ ) → 0 ∈ ℤ)
130 eqidd 2611 . . . . . 6 (((𝜑 ∧ seq0( + , 𝐺) ∈ dom ⇝ ) ∧ 𝑛 ∈ ℕ0) → (𝐺𝑛) = (𝐺𝑛))
13119adantlr 747 . . . . . 6 (((𝜑 ∧ seq0( + , 𝐺) ∈ dom ⇝ ) ∧ 𝑛 ∈ ℕ0) → (𝐺𝑛) ∈ ℝ)
132 simpr 476 . . . . . 6 ((𝜑 ∧ seq0( + , 𝐺) ∈ dom ⇝ ) → seq0( + , 𝐺) ∈ dom ⇝ )
133108, 129, 130, 131, 132isumrecl 14287 . . . . 5 ((𝜑 ∧ seq0( + , 𝐺) ∈ dom ⇝ ) → Σ𝑛 ∈ ℕ0 (𝐺𝑛) ∈ ℝ)
134116ffvelrnda 6252 . . . . . . 7 (((𝜑 ∧ seq0( + , 𝐺) ∈ dom ⇝ ) ∧ 𝑗 ∈ ℕ) → (seq1( + , 𝐹)‘𝑗) ∈ ℝ)
135 0zd 11225 . . . . . . . . . 10 (𝜑 → 0 ∈ ℤ)
136108, 135, 19serfre 12650 . . . . . . . . 9 (𝜑 → seq0( + , 𝐺):ℕ0⟶ℝ)
137136adantr 480 . . . . . . . 8 ((𝜑 ∧ seq0( + , 𝐺) ∈ dom ⇝ ) → seq0( + , 𝐺):ℕ0⟶ℝ)
138 ffvelrn 6250 . . . . . . . 8 ((seq0( + , 𝐺):ℕ0⟶ℝ ∧ 𝑗 ∈ ℕ0) → (seq0( + , 𝐺)‘𝑗) ∈ ℝ)
139137, 36, 138syl2an 493 . . . . . . 7 (((𝜑 ∧ seq0( + , 𝐺) ∈ dom ⇝ ) ∧ 𝑗 ∈ ℕ) → (seq0( + , 𝐺)‘𝑗) ∈ ℝ)
140133adantr 480 . . . . . . 7 (((𝜑 ∧ seq0( + , 𝐺) ∈ dom ⇝ ) ∧ 𝑗 ∈ ℕ) → Σ𝑛 ∈ ℕ0 (𝐺𝑛) ∈ ℝ)
141116adantr 480 . . . . . . . . 9 (((𝜑 ∧ seq0( + , 𝐺) ∈ dom ⇝ ) ∧ 𝑗 ∈ ℕ) → seq1( + , 𝐹):ℕ⟶ℝ)
142 simpr 476 . . . . . . . . . 10 (((𝜑 ∧ seq0( + , 𝐺) ∈ dom ⇝ ) ∧ 𝑗 ∈ ℕ) → 𝑗 ∈ ℕ)
14325adantl 481 . . . . . . . . . . 11 (((𝜑 ∧ seq0( + , 𝐺) ∈ dom ⇝ ) ∧ 𝑗 ∈ ℕ) → 𝑗 ∈ ℤ)
14438adantl 481 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝜑 ∧ seq0( + , 𝐺) ∈ dom ⇝ ) ∧ 𝑗 ∈ ℕ) → (𝑗 + 1) ∈ ℕ0)
145144nn0red 11202 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝜑 ∧ seq0( + , 𝐺) ∈ dom ⇝ ) ∧ 𝑗 ∈ ℕ) → (𝑗 + 1) ∈ ℝ)
146 nnexpcl 12693 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((2 ∈ ℕ ∧ (𝑗 + 1) ∈ ℕ0) → (2↑(𝑗 + 1)) ∈ ℕ)
1476, 144, 146sylancr 694 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝜑 ∧ seq0( + , 𝐺) ∈ dom ⇝ ) ∧ 𝑗 ∈ ℕ) → (2↑(𝑗 + 1)) ∈ ℕ)
148147nnred 10885 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝜑 ∧ seq0( + , 𝐺) ∈ dom ⇝ ) ∧ 𝑗 ∈ ℕ) → (2↑(𝑗 + 1)) ∈ ℝ)
149 2z 11245 . . . . . . . . . . . . . . 15 2 ∈ ℤ
150 uzid 11537 . . . . . . . . . . . . . . 15 (2 ∈ ℤ → 2 ∈ (ℤ‘2))
151149, 150ax-mp 5 . . . . . . . . . . . . . 14 2 ∈ (ℤ‘2)
152 bernneq3 12812 . . . . . . . . . . . . . 14 ((2 ∈ (ℤ‘2) ∧ (𝑗 + 1) ∈ ℕ0) → (𝑗 + 1) < (2↑(𝑗 + 1)))
153151, 144, 152sylancr 694 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝜑 ∧ seq0( + , 𝐺) ∈ dom ⇝ ) ∧ 𝑗 ∈ ℕ) → (𝑗 + 1) < (2↑(𝑗 + 1)))
154145, 148, 153ltled 10037 . . . . . . . . . . . 12 (((𝜑 ∧ seq0( + , 𝐺) ∈ dom ⇝ ) ∧ 𝑗 ∈ ℕ) → (𝑗 + 1) ≤ (2↑(𝑗 + 1)))
155143peano2zd 11320 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝜑 ∧ seq0( + , 𝐺) ∈ dom ⇝ ) ∧ 𝑗 ∈ ℕ) → (𝑗 + 1) ∈ ℤ)
156147nnzd 11316 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝜑 ∧ seq0( + , 𝐺) ∈ dom ⇝ ) ∧ 𝑗 ∈ ℕ) → (2↑(𝑗 + 1)) ∈ ℤ)
157 eluz 11536 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝑗 + 1) ∈ ℤ ∧ (2↑(𝑗 + 1)) ∈ ℤ) → ((2↑(𝑗 + 1)) ∈ (ℤ‘(𝑗 + 1)) ↔ (𝑗 + 1) ≤ (2↑(𝑗 + 1))))
158155, 156, 157syl2anc 691 . . . . . . . . . . . 12 (((𝜑 ∧ seq0( + , 𝐺) ∈ dom ⇝ ) ∧ 𝑗 ∈ ℕ) → ((2↑(𝑗 + 1)) ∈ (ℤ‘(𝑗 + 1)) ↔ (𝑗 + 1) ≤ (2↑(𝑗 + 1))))
159154, 158mpbird 246 . . . . . . . . . . 11 (((𝜑 ∧ seq0( + , 𝐺) ∈ dom ⇝ ) ∧ 𝑗 ∈ ℕ) → (2↑(𝑗 + 1)) ∈ (ℤ‘(𝑗 + 1)))
160 eluzp1m1 11546 . . . . . . . . . . 11 ((𝑗 ∈ ℤ ∧ (2↑(𝑗 + 1)) ∈ (ℤ‘(𝑗 + 1))) → ((2↑(𝑗 + 1)) − 1) ∈ (ℤ𝑗))
161143, 159, 160syl2anc 691 . . . . . . . . . 10 (((𝜑 ∧ seq0( + , 𝐺) ∈ dom ⇝ ) ∧ 𝑗 ∈ ℕ) → ((2↑(𝑗 + 1)) − 1) ∈ (ℤ𝑗))
162 eluznn 11593 . . . . . . . . . 10 ((𝑗 ∈ ℕ ∧ ((2↑(𝑗 + 1)) − 1) ∈ (ℤ𝑗)) → ((2↑(𝑗 + 1)) − 1) ∈ ℕ)
163142, 161, 162syl2anc 691 . . . . . . . . 9 (((𝜑 ∧ seq0( + , 𝐺) ∈ dom ⇝ ) ∧ 𝑗 ∈ ℕ) → ((2↑(𝑗 + 1)) − 1) ∈ ℕ)
164141, 163ffvelrnd 6253 . . . . . . . 8 (((𝜑 ∧ seq0( + , 𝐺) ∈ dom ⇝ ) ∧ 𝑗 ∈ ℕ) → (seq1( + , 𝐹)‘((2↑(𝑗 + 1)) − 1)) ∈ ℝ)
16524adantlr 747 . . . . . . . . 9 (((𝜑 ∧ seq0( + , 𝐺) ∈ dom ⇝ ) ∧ 𝑗 ∈ ℕ) → 𝑗 ∈ (ℤ‘1))
166 simpll 786 . . . . . . . . . 10 (((𝜑 ∧ seq0( + , 𝐺) ∈ dom ⇝ ) ∧ 𝑗 ∈ ℕ) → 𝜑)
167 elfznn 12199 . . . . . . . . . 10 (𝑘 ∈ (1...((2↑(𝑗 + 1)) − 1)) → 𝑘 ∈ ℕ)
168166, 167, 11syl2an 493 . . . . . . . . 9 ((((𝜑 ∧ seq0( + , 𝐺) ∈ dom ⇝ ) ∧ 𝑗 ∈ ℕ) ∧ 𝑘 ∈ (1...((2↑(𝑗 + 1)) − 1))) → (𝐹𝑘) ∈ ℝ)
169166adantr 480 . . . . . . . . . 10 ((((𝜑 ∧ seq0( + , 𝐺) ∈ dom ⇝ ) ∧ 𝑗 ∈ ℕ) ∧ 𝑘 ∈ ((𝑗 + 1)...((2↑(𝑗 + 1)) − 1))) → 𝜑)
170120adantl 481 . . . . . . . . . . 11 (((𝜑 ∧ seq0( + , 𝐺) ∈ dom ⇝ ) ∧ 𝑗 ∈ ℕ) → (𝑗 + 1) ∈ ℕ)
171 elfzuz 12167 . . . . . . . . . . 11 (𝑘 ∈ ((𝑗 + 1)...((2↑(𝑗 + 1)) − 1)) → 𝑘 ∈ (ℤ‘(𝑗 + 1)))
172 eluznn 11593 . . . . . . . . . . 11 (((𝑗 + 1) ∈ ℕ ∧ 𝑘 ∈ (ℤ‘(𝑗 + 1))) → 𝑘 ∈ ℕ)
173170, 171, 172syl2an 493 . . . . . . . . . 10 ((((𝜑 ∧ seq0( + , 𝐺) ∈ dom ⇝ ) ∧ 𝑗 ∈ ℕ) ∧ 𝑘 ∈ ((𝑗 + 1)...((2↑(𝑗 + 1)) − 1))) → 𝑘 ∈ ℕ)
174169, 173, 43syl2anc 691 . . . . . . . . 9 ((((𝜑 ∧ seq0( + , 𝐺) ∈ dom ⇝ ) ∧ 𝑗 ∈ ℕ) ∧ 𝑘 ∈ ((𝑗 + 1)...((2↑(𝑗 + 1)) − 1))) → 0 ≤ (𝐹𝑘))
175165, 161, 168, 174sermono 12653 . . . . . . . 8 (((𝜑 ∧ seq0( + , 𝐺) ∈ dom ⇝ ) ∧ 𝑗 ∈ ℕ) → (seq1( + , 𝐹)‘𝑗) ≤ (seq1( + , 𝐹)‘((2↑(𝑗 + 1)) − 1)))
17636adantl 481 . . . . . . . . 9 (((𝜑 ∧ seq0( + , 𝐺) ∈ dom ⇝ ) ∧ 𝑗 ∈ ℕ) → 𝑗 ∈ ℕ0)
17711, 43, 71, 5climcndslem1 14369 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑗 ∈ ℕ0) → (seq1( + , 𝐹)‘((2↑(𝑗 + 1)) − 1)) ≤ (seq0( + , 𝐺)‘𝑗))
178166, 176, 177syl2anc 691 . . . . . . . 8 (((𝜑 ∧ seq0( + , 𝐺) ∈ dom ⇝ ) ∧ 𝑗 ∈ ℕ) → (seq1( + , 𝐹)‘((2↑(𝑗 + 1)) − 1)) ≤ (seq0( + , 𝐺)‘𝑗))
179134, 164, 139, 175, 178letrd 10046 . . . . . . 7 (((𝜑 ∧ seq0( + , 𝐺) ∈ dom ⇝ ) ∧ 𝑗 ∈ ℕ) → (seq1( + , 𝐹)‘𝑗) ≤ (seq0( + , 𝐺)‘𝑗))
180 eqidd 2611 . . . . . . . . 9 ((((𝜑 ∧ seq0( + , 𝐺) ∈ dom ⇝ ) ∧ 𝑗 ∈ ℕ) ∧ 𝑛 ∈ (0...𝑗)) → (𝐺𝑛) = (𝐺𝑛))
181176, 108syl6eleq 2698 . . . . . . . . 9 (((𝜑 ∧ seq0( + , 𝐺) ∈ dom ⇝ ) ∧ 𝑗 ∈ ℕ) → 𝑗 ∈ (ℤ‘0))
182 elfznn0 12260 . . . . . . . . . 10 (𝑛 ∈ (0...𝑗) → 𝑛 ∈ ℕ0)
183166, 182, 111syl2an 493 . . . . . . . . 9 ((((𝜑 ∧ seq0( + , 𝐺) ∈ dom ⇝ ) ∧ 𝑗 ∈ ℕ) ∧ 𝑛 ∈ (0...𝑗)) → (𝐺𝑛) ∈ ℂ)
184180, 181, 183fsumser 14257 . . . . . . . 8 (((𝜑 ∧ seq0( + , 𝐺) ∈ dom ⇝ ) ∧ 𝑗 ∈ ℕ) → Σ𝑛 ∈ (0...𝑗)(𝐺𝑛) = (seq0( + , 𝐺)‘𝑗))
185 0zd 11225 . . . . . . . . 9 (((𝜑 ∧ seq0( + , 𝐺) ∈ dom ⇝ ) ∧ 𝑗 ∈ ℕ) → 0 ∈ ℤ)
186 fzfid 12592 . . . . . . . . 9 (((𝜑 ∧ seq0( + , 𝐺) ∈ dom ⇝ ) ∧ 𝑗 ∈ ℕ) → (0...𝑗) ∈ Fin)
187182ssriv 3572 . . . . . . . . . 10 (0...𝑗) ⊆ ℕ0
188187a1i 11 . . . . . . . . 9 (((𝜑 ∧ seq0( + , 𝐺) ∈ dom ⇝ ) ∧ 𝑗 ∈ ℕ) → (0...𝑗) ⊆ ℕ0)
189 eqidd 2611 . . . . . . . . 9 ((((𝜑 ∧ seq0( + , 𝐺) ∈ dom ⇝ ) ∧ 𝑗 ∈ ℕ) ∧ 𝑛 ∈ ℕ0) → (𝐺𝑛) = (𝐺𝑛))
190166, 19sylan 487 . . . . . . . . 9 ((((𝜑 ∧ seq0( + , 𝐺) ∈ dom ⇝ ) ∧ 𝑗 ∈ ℕ) ∧ 𝑛 ∈ ℕ0) → (𝐺𝑛) ∈ ℝ)
191166, 50sylan 487 . . . . . . . . 9 ((((𝜑 ∧ seq0( + , 𝐺) ∈ dom ⇝ ) ∧ 𝑗 ∈ ℕ) ∧ 𝑛 ∈ ℕ0) → 0 ≤ (𝐺𝑛))
192 simplr 788 . . . . . . . . 9 (((𝜑 ∧ seq0( + , 𝐺) ∈ dom ⇝ ) ∧ 𝑗 ∈ ℕ) → seq0( + , 𝐺) ∈ dom ⇝ )
193108, 185, 186, 188, 189, 190, 191, 192isumless 14365 . . . . . . . 8 (((𝜑 ∧ seq0( + , 𝐺) ∈ dom ⇝ ) ∧ 𝑗 ∈ ℕ) → Σ𝑛 ∈ (0...𝑗)(𝐺𝑛) ≤ Σ𝑛 ∈ ℕ0 (𝐺𝑛))
194184, 193eqbrtrrd 4602 . . . . . . 7 (((𝜑 ∧ seq0( + , 𝐺) ∈ dom ⇝ ) ∧ 𝑗 ∈ ℕ) → (seq0( + , 𝐺)‘𝑗) ≤ Σ𝑛 ∈ ℕ0 (𝐺𝑛))
195134, 139, 140, 179, 194letrd 10046 . . . . . 6 (((𝜑 ∧ seq0( + , 𝐺) ∈ dom ⇝ ) ∧ 𝑗 ∈ ℕ) → (seq1( + , 𝐹)‘𝑗) ≤ Σ𝑛 ∈ ℕ0 (𝐺𝑛))
196195ralrimiva 2949 . . . . 5 ((𝜑 ∧ seq0( + , 𝐺) ∈ dom ⇝ ) → ∀𝑗 ∈ ℕ (seq1( + , 𝐹)‘𝑗) ≤ Σ𝑛 ∈ ℕ0 (𝐺𝑛))
197 breq2 4582 . . . . . . 7 (𝑥 = Σ𝑛 ∈ ℕ0 (𝐺𝑛) → ((seq1( + , 𝐹)‘𝑗) ≤ 𝑥 ↔ (seq1( + , 𝐹)‘𝑗) ≤ Σ𝑛 ∈ ℕ0 (𝐺𝑛)))
198197ralbidv 2969 . . . . . 6 (𝑥 = Σ𝑛 ∈ ℕ0 (𝐺𝑛) → (∀𝑗 ∈ ℕ (seq1( + , 𝐹)‘𝑗) ≤ 𝑥 ↔ ∀𝑗 ∈ ℕ (seq1( + , 𝐹)‘𝑗) ≤ Σ𝑛 ∈ ℕ0 (𝐺𝑛)))
199198rspcev 3282 . . . . 5 ((Σ𝑛 ∈ ℕ0 (𝐺𝑛) ∈ ℝ ∧ ∀𝑗 ∈ ℕ (seq1( + , 𝐹)‘𝑗) ≤ Σ𝑛 ∈ ℕ0 (𝐺𝑛)) → ∃𝑥 ∈ ℝ ∀𝑗 ∈ ℕ (seq1( + , 𝐹)‘𝑗) ≤ 𝑥)
200133, 196, 199syl2anc 691 . . . 4 ((𝜑 ∧ seq0( + , 𝐺) ∈ dom ⇝ ) → ∃𝑥 ∈ ℝ ∀𝑗 ∈ ℕ (seq1( + , 𝐹)‘𝑗) ≤ 𝑥)
2011, 115, 116, 128, 200climsup 14197 . . 3 ((𝜑 ∧ seq0( + , 𝐺) ∈ dom ⇝ ) → seq1( + , 𝐹) ⇝ sup(ran seq1( + , 𝐹), ℝ, < ))
202105releldmi 5270 . . 3 (seq1( + , 𝐹) ⇝ sup(ran seq1( + , 𝐹), ℝ, < ) → seq1( + , 𝐹) ∈ dom ⇝ )
203201, 202syl 17 . 2 ((𝜑 ∧ seq0( + , 𝐺) ∈ dom ⇝ ) → seq1( + , 𝐹) ∈ dom ⇝ )
204114, 203impbida 873 1 (𝜑 → (seq1( + , 𝐹) ∈ dom ⇝ ↔ seq0( + , 𝐺) ∈ dom ⇝ ))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wb 195  wa 383   = wceq 1475  wcel 1977  wral 2896  wrex 2897  wss 3540   class class class wbr 4578  dom cdm 5028  ran crn 5029  wf 5786  cfv 5790  (class class class)co 6527  supcsup 8207  cc 9791  cr 9792  0cc0 9793  1c1 9794   + caddc 9796   · cmul 9798   < clt 9931  cle 9932  cmin 10118  cn 10870  2c2 10920  0cn0 11142  cz 11213  cuz 11522  ...cfz 12155  seqcseq 12621  cexp 12680  cli 14012  Σcsu 14213
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1713  ax-4 1728  ax-5 1827  ax-6 1875  ax-7 1922  ax-8 1979  ax-9 1986  ax-10 2006  ax-11 2021  ax-12 2034  ax-13 2234  ax-ext 2590  ax-rep 4694  ax-sep 4704  ax-nul 4712  ax-pow 4764  ax-pr 4828  ax-un 6825  ax-inf2 8399  ax-cnex 9849  ax-resscn 9850  ax-1cn 9851  ax-icn 9852  ax-addcl 9853  ax-addrcl 9854  ax-mulcl 9855  ax-mulrcl 9856  ax-mulcom 9857  ax-addass 9858  ax-mulass 9859  ax-distr 9860  ax-i2m1 9861  ax-1ne0 9862  ax-1rid 9863  ax-rnegex 9864  ax-rrecex 9865  ax-cnre 9866  ax-pre-lttri 9867  ax-pre-lttrn 9868  ax-pre-ltadd 9869  ax-pre-mulgt0 9870  ax-pre-sup 9871
This theorem depends on definitions:  df-bi 196  df-or 384  df-an 385  df-3or 1032  df-3an 1033  df-tru 1478  df-fal 1481  df-ex 1696  df-nf 1701  df-sb 1868  df-eu 2462  df-mo 2463  df-clab 2597  df-cleq 2603  df-clel 2606  df-nfc 2740  df-ne 2782  df-nel 2783  df-ral 2901  df-rex 2902  df-reu 2903  df-rmo 2904  df-rab 2905  df-v 3175  df-sbc 3403  df-csb 3500  df-dif 3543  df-un 3545  df-in 3547  df-ss 3554  df-pss 3556  df-nul 3875  df-if 4037  df-pw 4110  df-sn 4126  df-pr 4128  df-tp 4130  df-op 4132  df-uni 4368  df-int 4406  df-iun 4452  df-br 4579  df-opab 4639  df-mpt 4640  df-tr 4676  df-eprel 4939  df-id 4943  df-po 4949  df-so 4950  df-fr 4987  df-se 4988  df-we 4989  df-xp 5034  df-rel 5035  df-cnv 5036  df-co 5037  df-dm 5038  df-rn 5039  df-res 5040  df-ima 5041  df-pred 5583  df-ord 5629  df-on 5630  df-lim 5631  df-suc 5632  df-iota 5754  df-fun 5792  df-fn 5793  df-f 5794  df-f1 5795  df-fo 5796  df-f1o 5797  df-fv 5798  df-isom 5799  df-riota 6489  df-ov 6530  df-oprab 6531  df-mpt2 6532  df-om 6936  df-1st 7037  df-2nd 7038  df-wrecs 7272  df-recs 7333  df-rdg 7371  df-1o 7425  df-oadd 7429  df-er 7607  df-pm 7725  df-en 7820  df-dom 7821  df-sdom 7822  df-fin 7823  df-sup 8209  df-inf 8210  df-oi 8276  df-card 8626  df-cda 8851  df-pnf 9933  df-mnf 9934  df-xr 9935  df-ltxr 9936  df-le 9937  df-sub 10120  df-neg 10121  df-div 10537  df-nn 10871  df-2 10929  df-3 10930  df-n0 11143  df-z 11214  df-uz 11523  df-rp 11668  df-ico 12011  df-fz 12156  df-fzo 12293  df-fl 12413  df-seq 12622  df-exp 12681  df-hash 12938  df-cj 13636  df-re 13637  df-im 13638  df-sqrt 13772  df-abs 13773  df-clim 14016  df-rlim 14017  df-sum 14214
This theorem is referenced by:  harmonic  14379  zetacvg  24486
  Copyright terms: Public domain W3C validator