Theorem climd 41960

Description: Express the predicate: The limit of complex number sequence 𝐹 is 𝐴, or 𝐹 converges to 𝐴. (Contributed by Glauco Siliprandi, 26-Jun-2021.)

Hypotheses

Ref	Expression
climd.1	⊢ Ⅎ𝑘𝜑
climd.2	⊢ Ⅎ𝑘𝐹
climd.3	⊢ 𝑍 = (ℤ≥‘𝑀)
climd.4	⊢ (𝜑 → 𝑀 ∈ ℤ)
climd.5	⊢ (𝜑 → 𝐹 ⇝ 𝐴)
climd.6	⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ 𝑍) → (𝐹‘𝑘) = 𝐵)
climd.7	⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ ℝ+)

Assertion

Ref	Expression
climd	⊢ (𝜑 → ∃𝑗 ∈ 𝑍 ∀𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑗)(𝐵 ∈ ℂ ∧ (abs‘(𝐵 − 𝐴)) < 𝑋))

Distinct variable groups:   𝐴,𝑗,𝑘   𝑗,𝐹   𝑗,𝑀   𝑗,𝑋,𝑘   𝑗,𝑍,𝑘   𝜑,𝑗

Allowed substitution hints:   𝜑(𝑘)   𝐵(𝑗,𝑘)   𝐹(𝑘)   𝑀(𝑘)

Proof of Theorem climd

Dummy variable 𝑥 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		climd.7	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ ℝ+)
2		climd.5	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐹 ⇝ 𝐴)
3		climd.1	. . . . 5 ⊢ Ⅎ𝑘𝜑
4		climd.2	. . . . 5 ⊢ Ⅎ𝑘𝐹
5		climd.3	. . . . 5 ⊢ 𝑍 = (ℤ≥‘𝑀)
6		climd.4	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝑀 ∈ ℤ)
7		climrel 14851	. . . . . . 7 ⊢ Rel ⇝
8	7	brrelex1i 5610	. . . . . 6 ⊢ (𝐹 ⇝ 𝐴 → 𝐹 ∈ V)
9	2, 8	syl 17	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝐹 ∈ V)
10		climd.6	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ 𝑍) → (𝐹‘𝑘) = 𝐵)
11	3, 4, 5, 6, 9, 10	clim2f2 41958	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝐹 ⇝ 𝐴 ↔ (𝐴 ∈ ℂ ∧ ∀𝑥 ∈ ℝ+ ∃𝑗 ∈ 𝑍 ∀𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑗)(𝐵 ∈ ℂ ∧ (abs‘(𝐵 − 𝐴)) < 𝑥))))
12	2, 11	mpbid 234	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝐴 ∈ ℂ ∧ ∀𝑥 ∈ ℝ+ ∃𝑗 ∈ 𝑍 ∀𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑗)(𝐵 ∈ ℂ ∧ (abs‘(𝐵 − 𝐴)) < 𝑥)))
13	12	simprd 498	. 2 ⊢ (𝜑 → ∀𝑥 ∈ ℝ+ ∃𝑗 ∈ 𝑍 ∀𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑗)(𝐵 ∈ ℂ ∧ (abs‘(𝐵 − 𝐴)) < 𝑥))
14		breq2 5072	. . . . 5 ⊢ (𝑥 = 𝑋 → ((abs‘(𝐵 − 𝐴)) < 𝑥 ↔ (abs‘(𝐵 − 𝐴)) < 𝑋))
15	14	anbi2d 630	. . . 4 ⊢ (𝑥 = 𝑋 → ((𝐵 ∈ ℂ ∧ (abs‘(𝐵 − 𝐴)) < 𝑥) ↔ (𝐵 ∈ ℂ ∧ (abs‘(𝐵 − 𝐴)) < 𝑋)))
16	15	rexralbidv 3303	. . 3 ⊢ (𝑥 = 𝑋 → (∃𝑗 ∈ 𝑍 ∀𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑗)(𝐵 ∈ ℂ ∧ (abs‘(𝐵 − 𝐴)) < 𝑥) ↔ ∃𝑗 ∈ 𝑍 ∀𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑗)(𝐵 ∈ ℂ ∧ (abs‘(𝐵 − 𝐴)) < 𝑋)))
17	16	rspcva 3623	. 2 ⊢ ((𝑋 ∈ ℝ+ ∧ ∀𝑥 ∈ ℝ+ ∃𝑗 ∈ 𝑍 ∀𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑗)(𝐵 ∈ ℂ ∧ (abs‘(𝐵 − 𝐴)) < 𝑥)) → ∃𝑗 ∈ 𝑍 ∀𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑗)(𝐵 ∈ ℂ ∧ (abs‘(𝐵 − 𝐴)) < 𝑋))
18	1, 13, 17	syl2anc 586	1 ⊢ (𝜑 → ∃𝑗 ∈ 𝑍 ∀𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑗)(𝐵 ∈ ℂ ∧ (abs‘(𝐵 − 𝐴)) < 𝑋))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 398   = wceq 1537  Ⅎwnf 1784   ∈ wcel 2114  Ⅎwnfc 2963  ∀wral 3140  ∃wrex 3141  Vcvv 3496   class class class wbr 5068  ‘cfv 6357  (class class class)co 7158  ℂcc 10537   < clt 10677   − cmin 10872  ℤcz 11984  ℤ_≥cuz 12246  ℝ⁺crp 12392  abscabs 14595   ⇝ cli 14843

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1796  ax-4 1810  ax-5 1911  ax-6 1970  ax-7 2015  ax-8 2116  ax-9 2124  ax-10 2145  ax-11 2161  ax-12 2177  ax-ext 2795  ax-sep 5205  ax-nul 5212  ax-pow 5268  ax-pr 5332  ax-un 7463  ax-cnex 10595  ax-resscn 10596  ax-pre-lttri 10613  ax-pre-lttrn 10614

This theorem depends on definitions:  df-bi 209  df-an 399  df-or 844  df-3or 1084  df-3an 1085  df-tru 1540  df-ex 1781  df-nf 1785  df-sb 2070  df-mo 2622  df-eu 2654  df-clab 2802  df-cleq 2816  df-clel 2895  df-nfc 2965  df-ne 3019  df-nel 3126  df-ral 3145  df-rex 3146  df-rab 3149  df-v 3498  df-sbc 3775  df-csb 3886  df-dif 3941  df-un 3943  df-in 3945  df-ss 3954  df-nul 4294  df-if 4470  df-pw 4543  df-sn 4570  df-pr 4572  df-op 4576  df-uni 4841  df-br 5069  df-opab 5131  df-mpt 5149  df-id 5462  df-po 5476  df-so 5477  df-xp 5563  df-rel 5564  df-cnv 5565  df-co 5566  df-dm 5567  df-rn 5568  df-res 5569  df-ima 5570  df-iota 6316  df-fun 6359  df-fn 6360  df-f 6361  df-f1 6362  df-fo 6363  df-f1o 6364  df-fv 6365  df-ov 7161  df-er 8291  df-en 8512  df-dom 8513  df-sdom 8514  df-pnf 10679  df-mnf 10680  df-xr 10681  df-ltxr 10682  df-le 10683  df-neg 10875  df-z 11985  df-uz 12247  df-clim 14847

This theorem is referenced by:  fnlimabslt  41967