Users' Mathboxes Mathbox for Glauco Siliprandi < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  climdivf Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem climdivf 41769
Description: Limit of the ratio of two converging sequences. (Contributed by Glauco Siliprandi, 29-Jun-2017.)
Hypotheses
Ref Expression
climdivf.1 𝑘𝜑
climdivf.2 𝑘𝐹
climdivf.3 𝑘𝐺
climdivf.4 𝑘𝐻
climdivf.5 𝑍 = (ℤ𝑀)
climdivf.6 (𝜑𝑀 ∈ ℤ)
climdivf.7 (𝜑𝐹𝐴)
climdivf.8 (𝜑𝐻𝑋)
climdivf.9 (𝜑𝐺𝐵)
climdivf.10 (𝜑𝐵 ≠ 0)
climdivf.11 ((𝜑𝑘𝑍) → (𝐹𝑘) ∈ ℂ)
climdivf.12 ((𝜑𝑘𝑍) → (𝐺𝑘) ∈ (ℂ ∖ {0}))
climdivf.13 ((𝜑𝑘𝑍) → (𝐻𝑘) = ((𝐹𝑘) / (𝐺𝑘)))
Assertion
Ref Expression
climdivf (𝜑𝐻 ⇝ (𝐴 / 𝐵))
Distinct variable group:   𝑘,𝑍
Allowed substitution hints:   𝜑(𝑘)   𝐴(𝑘)   𝐵(𝑘)   𝐹(𝑘)   𝐺(𝑘)   𝐻(𝑘)   𝑀(𝑘)   𝑋(𝑘)

Proof of Theorem climdivf
StepHypRef Expression
1 climdivf.1 . . 3 𝑘𝜑
2 climdivf.2 . . 3 𝑘𝐹
3 nfmpt1 5155 . . 3 𝑘(𝑘𝑍 ↦ (1 / (𝐺𝑘)))
4 climdivf.4 . . 3 𝑘𝐻
5 climdivf.5 . . 3 𝑍 = (ℤ𝑀)
6 climdivf.6 . . 3 (𝜑𝑀 ∈ ℤ)
7 climdivf.7 . . 3 (𝜑𝐹𝐴)
8 climdivf.8 . . 3 (𝜑𝐻𝑋)
9 climdivf.3 . . . 4 𝑘𝐺
10 climdivf.9 . . . 4 (𝜑𝐺𝐵)
11 climdivf.10 . . . 4 (𝜑𝐵 ≠ 0)
12 climdivf.12 . . . 4 ((𝜑𝑘𝑍) → (𝐺𝑘) ∈ (ℂ ∖ {0}))
13 simpr 485 . . . . 5 ((𝜑𝑘𝑍) → 𝑘𝑍)
1412eldifad 3945 . . . . . 6 ((𝜑𝑘𝑍) → (𝐺𝑘) ∈ ℂ)
15 eldifsni 4714 . . . . . . 7 ((𝐺𝑘) ∈ (ℂ ∖ {0}) → (𝐺𝑘) ≠ 0)
1612, 15syl 17 . . . . . 6 ((𝜑𝑘𝑍) → (𝐺𝑘) ≠ 0)
1714, 16reccld 11397 . . . . 5 ((𝜑𝑘𝑍) → (1 / (𝐺𝑘)) ∈ ℂ)
18 eqid 2818 . . . . . 6 (𝑘𝑍 ↦ (1 / (𝐺𝑘))) = (𝑘𝑍 ↦ (1 / (𝐺𝑘)))
1918fvmpt2 6771 . . . . 5 ((𝑘𝑍 ∧ (1 / (𝐺𝑘)) ∈ ℂ) → ((𝑘𝑍 ↦ (1 / (𝐺𝑘)))‘𝑘) = (1 / (𝐺𝑘)))
2013, 17, 19syl2anc 584 . . . 4 ((𝜑𝑘𝑍) → ((𝑘𝑍 ↦ (1 / (𝐺𝑘)))‘𝑘) = (1 / (𝐺𝑘)))
215fvexi 6677 . . . . . 6 𝑍 ∈ V
2221mptex 6977 . . . . 5 (𝑘𝑍 ↦ (1 / (𝐺𝑘))) ∈ V
2322a1i 11 . . . 4 (𝜑 → (𝑘𝑍 ↦ (1 / (𝐺𝑘))) ∈ V)
241, 9, 3, 5, 6, 10, 11, 12, 20, 23climrecf 41766 . . 3 (𝜑 → (𝑘𝑍 ↦ (1 / (𝐺𝑘))) ⇝ (1 / 𝐵))
25 climdivf.11 . . 3 ((𝜑𝑘𝑍) → (𝐹𝑘) ∈ ℂ)
2620, 17eqeltrd 2910 . . 3 ((𝜑𝑘𝑍) → ((𝑘𝑍 ↦ (1 / (𝐺𝑘)))‘𝑘) ∈ ℂ)
27 climdivf.13 . . . 4 ((𝜑𝑘𝑍) → (𝐻𝑘) = ((𝐹𝑘) / (𝐺𝑘)))
2825, 14, 16divrecd 11407 . . . 4 ((𝜑𝑘𝑍) → ((𝐹𝑘) / (𝐺𝑘)) = ((𝐹𝑘) · (1 / (𝐺𝑘))))
2920eqcomd 2824 . . . . 5 ((𝜑𝑘𝑍) → (1 / (𝐺𝑘)) = ((𝑘𝑍 ↦ (1 / (𝐺𝑘)))‘𝑘))
3029oveq2d 7161 . . . 4 ((𝜑𝑘𝑍) → ((𝐹𝑘) · (1 / (𝐺𝑘))) = ((𝐹𝑘) · ((𝑘𝑍 ↦ (1 / (𝐺𝑘)))‘𝑘)))
3127, 28, 303eqtrd 2857 . . 3 ((𝜑𝑘𝑍) → (𝐻𝑘) = ((𝐹𝑘) · ((𝑘𝑍 ↦ (1 / (𝐺𝑘)))‘𝑘)))
321, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 24, 25, 26, 31climmulf 41761 . 2 (𝜑𝐻 ⇝ (𝐴 · (1 / 𝐵)))
33 climcl 14844 . . . 4 (𝐹𝐴𝐴 ∈ ℂ)
347, 33syl 17 . . 3 (𝜑𝐴 ∈ ℂ)
35 climcl 14844 . . . 4 (𝐺𝐵𝐵 ∈ ℂ)
3610, 35syl 17 . . 3 (𝜑𝐵 ∈ ℂ)
3734, 36, 11divrecd 11407 . 2 (𝜑 → (𝐴 / 𝐵) = (𝐴 · (1 / 𝐵)))
3832, 37breqtrrd 5085 1 (𝜑𝐻 ⇝ (𝐴 / 𝐵))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wa 396   = wceq 1528  wnf 1775  wcel 2105  wnfc 2958  wne 3013  Vcvv 3492  cdif 3930  {csn 4557   class class class wbr 5057  cmpt 5137  cfv 6348  (class class class)co 7145  cc 10523  0cc0 10525  1c1 10526   · cmul 10530   / cdiv 11285  cz 11969  cuz 12231  cli 14829
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1787  ax-4 1801  ax-5 1902  ax-6 1961  ax-7 2006  ax-8 2107  ax-9 2115  ax-10 2136  ax-11 2151  ax-12 2167  ax-ext 2790  ax-rep 5181  ax-sep 5194  ax-nul 5201  ax-pow 5257  ax-pr 5320  ax-un 7450  ax-cnex 10581  ax-resscn 10582  ax-1cn 10583  ax-icn 10584  ax-addcl 10585  ax-addrcl 10586  ax-mulcl 10587  ax-mulrcl 10588  ax-mulcom 10589  ax-addass 10590  ax-mulass 10591  ax-distr 10592  ax-i2m1 10593  ax-1ne0 10594  ax-1rid 10595  ax-rnegex 10596  ax-rrecex 10597  ax-cnre 10598  ax-pre-lttri 10599  ax-pre-lttrn 10600  ax-pre-ltadd 10601  ax-pre-mulgt0 10602  ax-pre-sup 10603
This theorem depends on definitions:  df-bi 208  df-an 397  df-or 842  df-3or 1080  df-3an 1081  df-tru 1531  df-ex 1772  df-nf 1776  df-sb 2061  df-mo 2615  df-eu 2647  df-clab 2797  df-cleq 2811  df-clel 2890  df-nfc 2960  df-ne 3014  df-nel 3121  df-ral 3140  df-rex 3141  df-reu 3142  df-rmo 3143  df-rab 3144  df-v 3494  df-sbc 3770  df-csb 3881  df-dif 3936  df-un 3938  df-in 3940  df-ss 3949  df-pss 3951  df-nul 4289  df-if 4464  df-pw 4537  df-sn 4558  df-pr 4560  df-tp 4562  df-op 4564  df-uni 4831  df-iun 4912  df-br 5058  df-opab 5120  df-mpt 5138  df-tr 5164  df-id 5453  df-eprel 5458  df-po 5467  df-so 5468  df-fr 5507  df-we 5509  df-xp 5554  df-rel 5555  df-cnv 5556  df-co 5557  df-dm 5558  df-rn 5559  df-res 5560  df-ima 5561  df-pred 6141  df-ord 6187  df-on 6188  df-lim 6189  df-suc 6190  df-iota 6307  df-fun 6350  df-fn 6351  df-f 6352  df-f1 6353  df-fo 6354  df-f1o 6355  df-fv 6356  df-riota 7103  df-ov 7148  df-oprab 7149  df-mpo 7150  df-om 7570  df-2nd 7679  df-wrecs 7936  df-recs 7997  df-rdg 8035  df-er 8278  df-en 8498  df-dom 8499  df-sdom 8500  df-sup 8894  df-pnf 10665  df-mnf 10666  df-xr 10667  df-ltxr 10668  df-le 10669  df-sub 10860  df-neg 10861  df-div 11286  df-nn 11627  df-2 11688  df-3 11689  df-n0 11886  df-z 11970  df-uz 12232  df-rp 12378  df-seq 13358  df-exp 13418  df-cj 14446  df-re 14447  df-im 14448  df-sqrt 14582  df-abs 14583  df-clim 14833
This theorem is referenced by:  stirlinglem8  42243  fourierdlem103  42371  fourierdlem104  42372
  Copyright terms: Public domain W3C validator