Users' Mathboxes Mathbox for Glauco Siliprandi < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  climdivf Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem climdivf 39280
Description: Limit of the ratio of two converging sequences. (Contributed by Glauco Siliprandi, 29-Jun-2017.)
Hypotheses
Ref Expression
climdivf.1 𝑘𝜑
climdivf.2 𝑘𝐹
climdivf.3 𝑘𝐺
climdivf.4 𝑘𝐻
climdivf.5 𝑍 = (ℤ𝑀)
climdivf.6 (𝜑𝑀 ∈ ℤ)
climdivf.7 (𝜑𝐹𝐴)
climdivf.8 (𝜑𝐻𝑋)
climdivf.9 (𝜑𝐺𝐵)
climdivf.10 (𝜑𝐵 ≠ 0)
climdivf.11 ((𝜑𝑘𝑍) → (𝐹𝑘) ∈ ℂ)
climdivf.12 ((𝜑𝑘𝑍) → (𝐺𝑘) ∈ (ℂ ∖ {0}))
climdivf.13 ((𝜑𝑘𝑍) → (𝐻𝑘) = ((𝐹𝑘) / (𝐺𝑘)))
Assertion
Ref Expression
climdivf (𝜑𝐻 ⇝ (𝐴 / 𝐵))
Distinct variable group:   𝑘,𝑍
Allowed substitution hints:   𝜑(𝑘)   𝐴(𝑘)   𝐵(𝑘)   𝐹(𝑘)   𝐺(𝑘)   𝐻(𝑘)   𝑀(𝑘)   𝑋(𝑘)

Proof of Theorem climdivf
StepHypRef Expression
1 climdivf.1 . . 3 𝑘𝜑
2 climdivf.2 . . 3 𝑘𝐹
3 nfmpt1 4717 . . 3 𝑘(𝑘𝑍 ↦ (1 / (𝐺𝑘)))
4 climdivf.4 . . 3 𝑘𝐻
5 climdivf.5 . . 3 𝑍 = (ℤ𝑀)
6 climdivf.6 . . 3 (𝜑𝑀 ∈ ℤ)
7 climdivf.7 . . 3 (𝜑𝐹𝐴)
8 climdivf.8 . . 3 (𝜑𝐻𝑋)
9 climdivf.3 . . . 4 𝑘𝐺
10 climdivf.9 . . . 4 (𝜑𝐺𝐵)
11 climdivf.10 . . . 4 (𝜑𝐵 ≠ 0)
12 climdivf.12 . . . 4 ((𝜑𝑘𝑍) → (𝐺𝑘) ∈ (ℂ ∖ {0}))
13 simpr 477 . . . . 5 ((𝜑𝑘𝑍) → 𝑘𝑍)
1412eldifad 3572 . . . . . 6 ((𝜑𝑘𝑍) → (𝐺𝑘) ∈ ℂ)
15 eldifsni 4296 . . . . . . 7 ((𝐺𝑘) ∈ (ℂ ∖ {0}) → (𝐺𝑘) ≠ 0)
1612, 15syl 17 . . . . . 6 ((𝜑𝑘𝑍) → (𝐺𝑘) ≠ 0)
1714, 16reccld 10754 . . . . 5 ((𝜑𝑘𝑍) → (1 / (𝐺𝑘)) ∈ ℂ)
18 eqid 2621 . . . . . 6 (𝑘𝑍 ↦ (1 / (𝐺𝑘))) = (𝑘𝑍 ↦ (1 / (𝐺𝑘)))
1918fvmpt2 6258 . . . . 5 ((𝑘𝑍 ∧ (1 / (𝐺𝑘)) ∈ ℂ) → ((𝑘𝑍 ↦ (1 / (𝐺𝑘)))‘𝑘) = (1 / (𝐺𝑘)))
2013, 17, 19syl2anc 692 . . . 4 ((𝜑𝑘𝑍) → ((𝑘𝑍 ↦ (1 / (𝐺𝑘)))‘𝑘) = (1 / (𝐺𝑘)))
21 fvex 6168 . . . . . . 7 (ℤ𝑀) ∈ V
225, 21eqeltri 2694 . . . . . 6 𝑍 ∈ V
2322mptex 6451 . . . . 5 (𝑘𝑍 ↦ (1 / (𝐺𝑘))) ∈ V
2423a1i 11 . . . 4 (𝜑 → (𝑘𝑍 ↦ (1 / (𝐺𝑘))) ∈ V)
251, 9, 3, 5, 6, 10, 11, 12, 20, 24climrecf 39277 . . 3 (𝜑 → (𝑘𝑍 ↦ (1 / (𝐺𝑘))) ⇝ (1 / 𝐵))
26 climdivf.11 . . 3 ((𝜑𝑘𝑍) → (𝐹𝑘) ∈ ℂ)
2720, 17eqeltrd 2698 . . 3 ((𝜑𝑘𝑍) → ((𝑘𝑍 ↦ (1 / (𝐺𝑘)))‘𝑘) ∈ ℂ)
28 climdivf.13 . . . 4 ((𝜑𝑘𝑍) → (𝐻𝑘) = ((𝐹𝑘) / (𝐺𝑘)))
2926, 14, 16divrecd 10764 . . . 4 ((𝜑𝑘𝑍) → ((𝐹𝑘) / (𝐺𝑘)) = ((𝐹𝑘) · (1 / (𝐺𝑘))))
3020eqcomd 2627 . . . . 5 ((𝜑𝑘𝑍) → (1 / (𝐺𝑘)) = ((𝑘𝑍 ↦ (1 / (𝐺𝑘)))‘𝑘))
3130oveq2d 6631 . . . 4 ((𝜑𝑘𝑍) → ((𝐹𝑘) · (1 / (𝐺𝑘))) = ((𝐹𝑘) · ((𝑘𝑍 ↦ (1 / (𝐺𝑘)))‘𝑘)))
3228, 29, 313eqtrd 2659 . . 3 ((𝜑𝑘𝑍) → (𝐻𝑘) = ((𝐹𝑘) · ((𝑘𝑍 ↦ (1 / (𝐺𝑘)))‘𝑘)))
331, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 25, 26, 27, 32climmulf 39272 . 2 (𝜑𝐻 ⇝ (𝐴 · (1 / 𝐵)))
34 climcl 14180 . . . 4 (𝐹𝐴𝐴 ∈ ℂ)
357, 34syl 17 . . 3 (𝜑𝐴 ∈ ℂ)
36 climcl 14180 . . . 4 (𝐺𝐵𝐵 ∈ ℂ)
3710, 36syl 17 . . 3 (𝜑𝐵 ∈ ℂ)
3835, 37, 11divrecd 10764 . 2 (𝜑 → (𝐴 / 𝐵) = (𝐴 · (1 / 𝐵)))
3933, 38breqtrrd 4651 1 (𝜑𝐻 ⇝ (𝐴 / 𝐵))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wa 384   = wceq 1480  wnf 1705  wcel 1987  wnfc 2748  wne 2790  Vcvv 3190  cdif 3557  {csn 4155   class class class wbr 4623  cmpt 4683  cfv 5857  (class class class)co 6615  cc 9894  0cc0 9896  1c1 9897   · cmul 9901   / cdiv 10644  cz 11337  cuz 11647  cli 14165
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1719  ax-4 1734  ax-5 1836  ax-6 1885  ax-7 1932  ax-8 1989  ax-9 1996  ax-10 2016  ax-11 2031  ax-12 2044  ax-13 2245  ax-ext 2601  ax-rep 4741  ax-sep 4751  ax-nul 4759  ax-pow 4813  ax-pr 4877  ax-un 6914  ax-cnex 9952  ax-resscn 9953  ax-1cn 9954  ax-icn 9955  ax-addcl 9956  ax-addrcl 9957  ax-mulcl 9958  ax-mulrcl 9959  ax-mulcom 9960  ax-addass 9961  ax-mulass 9962  ax-distr 9963  ax-i2m1 9964  ax-1ne0 9965  ax-1rid 9966  ax-rnegex 9967  ax-rrecex 9968  ax-cnre 9969  ax-pre-lttri 9970  ax-pre-lttrn 9971  ax-pre-ltadd 9972  ax-pre-mulgt0 9973  ax-pre-sup 9974
This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 385  df-an 386  df-3or 1037  df-3an 1038  df-tru 1483  df-ex 1702  df-nf 1707  df-sb 1878  df-eu 2473  df-mo 2474  df-clab 2608  df-cleq 2614  df-clel 2617  df-nfc 2750  df-ne 2791  df-nel 2894  df-ral 2913  df-rex 2914  df-reu 2915  df-rmo 2916  df-rab 2917  df-v 3192  df-sbc 3423  df-csb 3520  df-dif 3563  df-un 3565  df-in 3567  df-ss 3574  df-pss 3576  df-nul 3898  df-if 4065  df-pw 4138  df-sn 4156  df-pr 4158  df-tp 4160  df-op 4162  df-uni 4410  df-iun 4494  df-br 4624  df-opab 4684  df-mpt 4685  df-tr 4723  df-eprel 4995  df-id 4999  df-po 5005  df-so 5006  df-fr 5043  df-we 5045  df-xp 5090  df-rel 5091  df-cnv 5092  df-co 5093  df-dm 5094  df-rn 5095  df-res 5096  df-ima 5097  df-pred 5649  df-ord 5695  df-on 5696  df-lim 5697  df-suc 5698  df-iota 5820  df-fun 5859  df-fn 5860  df-f 5861  df-f1 5862  df-fo 5863  df-f1o 5864  df-fv 5865  df-riota 6576  df-ov 6618  df-oprab 6619  df-mpt2 6620  df-om 7028  df-2nd 7129  df-wrecs 7367  df-recs 7428  df-rdg 7466  df-er 7702  df-en 7916  df-dom 7917  df-sdom 7918  df-sup 8308  df-pnf 10036  df-mnf 10037  df-xr 10038  df-ltxr 10039  df-le 10040  df-sub 10228  df-neg 10229  df-div 10645  df-nn 10981  df-2 11039  df-3 11040  df-n0 11253  df-z 11338  df-uz 11648  df-rp 11793  df-seq 12758  df-exp 12817  df-cj 13789  df-re 13790  df-im 13791  df-sqrt 13925  df-abs 13926  df-clim 14169
This theorem is referenced by:  stirlinglem8  39635  fourierdlem103  39763  fourierdlem104  39764
  Copyright terms: Public domain W3C validator